Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

10.1 Система лінійних алгебраїчних рівнянь

Основним методом розв'язання системи m лінійних алгебраїчних рівнянь з n невідомими є метод виключення Гаусса. Розглянемо один із варіантів цього методу.

Нехай маємо систему рівнянь

(1)

На першому кроці виключаємо невідоме з усіх рівнянь системи, крім першого. Для цього з будь-якого, наприклад першого, рівняння визначаємо і підставляємо його в решту рівнянь системи (1). Після відповідних перетворень дістаємо систему рівнянь:

(2)

Далі так само виключаємо невідоме з усіх рівнянь, крім першого і другого. Дістаємо систему:

(3)

Аналогічно виключаємо і т. д. Якщо в результаті виконання такої процедури дістанемо неможливу числову рівність, то система рівнянь (1) несумісна і, отже, не має розв'язку.

Якщо система рівнянь зводиться зрештою до вигляду

(4)

то система рівнянь (1) має єдиний розв'язок, який знаходимо із системи рівнянь (4), починаючи з останнього рівняння.

Приклад. Розв'язати систему рівнянь

Із другого рівняння знаходимо

Підставляючи у перше та третє рівняння, знаходимо систему рівнянь, з якої виключено

Далі виключаємо із другого рівняння останньої системи, користуючись залежністю Рівняння набирає вигляду

або

Звідси послідовно знаходимо:

10.2 Системи двох рівнянь із двома невідомими

Розглянемо деякі найчастіше застосовувані способи розв'язування системи двох рівнянь із двома невідомими.

1. Виключення одного невідомого. Якщо одне з рівнянь системи можна розв'язати відносно одного із невідомих, то знаходимо це невідоме і підставляємо в друге рівняння. При цьому дістаємо одне рівняння з одним невідомим.

Приклад. Розв'язати систему рівнянь

Перше рівняння розв'язуємо відносно х і підставляємо знайдений вираз у друге рівняння:

звідки

Розв'язуючи здобуте квадратне рівняння, дістаємо Відповідні значення другого невідомого такі:

Приклад. Розв'язати систему рівнянь

Друге рівняння можна розв'язати відносно

Отже, визначимо і підставимо цей вираз у перше рівняння. Дістанемо квадратне рівняння

яке має розв'язки: Для невідомого знаходимо такі відповідні значення:

Приклад. Розв'язати систему рівнянь

Помноживши друге рівняння на 2, додамо його до першого рівняння. Дістанемо рівняння

лінійне відносно . Знаходимо

.

Виключаючи із другого рівняння системи, приходимо до алгебраїчного рівняння

яке після перетворень набирає вигляду

Розв'язуючи це рівняння, дістаємо:

Відповідні значення другого невідомого такі:

2. Однорідні системи рівнянь. Функція називається однорідною порядку якщо виконується тотожність

(1)

Наприклад, функція

однорідна порядку 2, оскільки виконується тотожність

Стала величина є однорідною функцією нульового порядку, оскільки при . Нуль -- однорідна функція довільного порядку, оскільки при кожному .

Система алгебраїчних рівнянь

(2)

називається однорідною, якщо -- однорідні функції відповідно порядків

Із системи рівнянь (2) випливає рівняння

(3)

де -- однорідні функції одного й того самого порядку. У рівнянні (3) виконуємо заміну і дістаємо одне рівняння виду

(4)

Якщо знайдено розв'язок рівняння (4), то друге рівняння системи рівнянь (2) розв'язують спільно з рівнянням

.

Приклад. Розв'язати однорідну систему рівнянь

У першому рівнянні ліворуч маємо однорідну функцію другого порядку. Виконавши заміну , дістанемо рівняння

Розв'язуємо систему рівнянь

Знаходимо

Розв'язуємо систему рівнянь

Знаходимо

Приклад. Розв'язати систему рівнянь

У лівій частині кожного рівняння маємо однорідну функцію третього порядку. У результаті почленного ділення першого рівняння на друге дістаємо:

Ліворуч і праворуч маємо однорідну функцію нульового порядку.

Виконавши заміну дістанемо рівняння

.

Розв'язуючи систему рівнянь

знаходимо розв'язки

Приклад. Розв'язати однорідну систему рівнянь

Поділивши почленно перше рівняння на друге, дістанемо однорідне рівняння

в якому ліва та права частини є однорідними функціями першого порядку. При маємо рівняння

звідки

Розв'язавши систему рівнянь

дістанемо два розв'язки:

Розв'язавши систему рівнянь

дістанемо ще два розв'язки:

Розв'язавши систему рівнянь

дістанемо ще два розв'язки:

Приклад. Розв'язати однорідну систему рівнянь

Ліві частини даних рівнянь є однорідними функціями другого порядку. Узявши дістанемо рівняння

Із системи рівнянь

знаходимо розв'язки:

Система рівнянь

дійсних розв'язків не має.

3. Симетричні системи рівнянь. Функція називається симетричною, якщо виконується

Система рівнянь

називається симетричною, якщо функції симетричні.

Симетричну систему можна спростити, скориставшись симетричною заміною невідомих:

або або тощо.

Приклад. Розв'язати систему рівнянь

система лінійне алгебраїчне рівняння

Зробимо таку заміну невідомих:

Скориставшись перетворенням

дістанемо систему рівнянь:

з якої знаходимо:

Для відшукання маємо систему рівнянь:

Знаходимо розв'язок вихідної системи рівнянь:

Приклад. Розв'язати систему рівнянь

Виконавши симетричну заміну змінних

дістанемо систему рівнянь

яка має розв'язок Для знаходимо таку систему рівнянь:

з якої знаходимо дві системи рівнянь

і розв'язок вихідної системи рівнянь:

Приклад. Розв'язати систему симетричних рівнянь

Введемо нові невідомі

Виконаємо перетворення

Приходимо до системи рівнянь

Виключивши невідоме дістаємо рівняння

яке має розв'язок . Звідси дістаємо

Із системи рівнянь

знаходимо

Із системи рівнянь

знаходимо

Із системи рівнянь

знаходимо

4. Заміна невідомих. Систему алгебраїчних рівнянь часто можна спростити, якщо ввести нові значення для невідомих .

Приклад. Розв'язати систему рівнянь

Узявши із системи рівнянь

знайдемо

Із системи рівнянь

знайдемо розв'язок вихідної системи

Приклад. Знайти розв'язок системи рівнянь

Скориставшись заміною дістанемо рівняння

звідки

Із системи рівнянь

маємо:

Система рівнянь

не має розв'язку, оскільки зводиться до рівняння яке не має дійсного розв'язку.

5. Виключення спільного виразу. Якщо в обидва рівняння системи входить один і той самий вираз, то можна виключити цей вираз, тобто з одного рівняння знайти його і підставити в інше рівняння. При цьому можна дістати простіше рівняння.

Приклад. Розв'язати систему рівнянь

Запишемо цю систему рівнянь у вигляді:

В обидва рівняння входить вираз . Далі маємо:

або

Підставивши у друге рівняння вираз вихідної системи, отримаємо

Приклад. Розв'язати систему рівнянь

Запишемо систему рівнянь у вигляді

Виключаючи спільний вираз дістаємо:

Розв'язуючи останню систему, знаходимо розв'язок

Приклад. Розв'язати систему рівнянь

Друге рівняння можна записати у вигляді

В обидва рівняння входить вираз . Перемножуючи рівняння, виключаємо вираз і приходимо до рівняння

яке має розв'язок:

6. Система рівнянь з модулями. При розв'язуванні рівнянь з модулями використовують означення модуля числа:

Приклад. Знайти розв'язок системи рівнянь

Робимо всі можливі припущення про значення чисел

1. Нехай Система рівнянь має вигляд:

Її розв'язок:

2. Нехай Дістаємо систему рівнянь:

яка має розв'язок:

3. Нехай Дістаємо систему рівнянь:

яка має розв'язок:

4. Нехай Дістаємо систему рівнянь:

яка має рішення:

Множину розв'язків зображено на рисунку.

Приклад. Знайти розв'язок системи рівнянь

Нехай Приходимо до системи рівнянь

яка має розв'язок:

Нехай Приходимо до системи рівнянь

яка має розв'язок:

10.3 Системи рівнянь із трьома невідомими

1. Екстремум функції кількох змінних. Якщо кількість рівнянь менша за кількість невідомих, то відшукання невідомих пов'язане з відшуканням мінімуму чи максимуму функції кількох змінних.

Приклад. Розв'язати рівняння

Функція має єдиний мінімум у точці (1; 2; 3), і цей мінімум дорівнює нулю. Тому рівняння має розв'язок

Приклад. Розв'язати систему рівнянь

Перші рівняння можна записати у вигляді

З урахуванням другого рівняння

Приклад. Розв'язати систему рівнянь

Перше рівняння помножимо на 2 і віднімемо від другого рівняння. Дістанемо рівняння

Або

Приклад. Розв'язати систему рівнянь

Оскільки , дістаємо рівняння:

Наведемо кілька прикладів розв'язування системи рівнянь за допомогою відшукання екстремуму функції.

Приклад. Розв'язати систему рівнянь

Додавши почленно два останні рівняння, дістанемо рівняння

Або

Звідси знаходимо:

Усі невідомі мають один знак, оскільки

З першого рівняння знаходимо розв'язок

Приклад. Розв'язати систему рівнянь

Перемноживши рівняння, дістанемо:

Якщо то маємо розв'язок

Відшукуючи інший розв'язок при дістанемо рівняння

Ліва частина рівняння має мінімум у точці який дорівнює 6. Система має єдиний розв'язок

Размещено на Allbest.ru

...