Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Задачі з параметром

Розв'язування задач у математиці досить часто зводиться до розв'язування рівнянь, систем рівнянь, нерівностей, в які крім невідомих входять також деякі інші змінні величини, що мають назву параметрів.

Рівнянням з параметрами називають рівняння виду

(1)

де х -- шукане невідоме.

Значення шуканого невідомого х залежить від значення параметрів.

Значення параметрів при яких вираз має зміст при деяких значеннях х, називають допустимими. Множину всіх допустимих систем значень параметрів рівняння (1) називають областю зміни параметрів цього рівняння.

Розв'язати рівняння з параметрами -- означає знайти всі розв'язки цього рівняння для кожної допустимої системи значень параметрів.

Щоб розв'язати рівняння (1), потрібно:

визначити область допустимих значень параметрів

розв'язати рівняння (1) відносно х і подати невідоме х у вигляді функції від параметрів;

з'ясувати, при яких допустимих значеннях параметрів значення функції є розв'язками даного рівняння;

розглянути рівняння (1) при таких допустимих значеннях параметрів, при яких його не можна розв'язати відносно х і з'ясувати чи має рівняння при цих значеннях параметрів розв'язки і, якщо має, то які.

Основні види рівнянь з параметрами які зустрічаються на вступних іспитах можна розбити на такі класи:

Лінійні рівняння з параметром.

Дробові -- раціональні рівняння з параметром.

Квадратні рівняння з параметром.

Ірраціональні рівняння з параметрами.

До найпоширеніших методів розв'язання рівнянь з параметром відноситься графічний метод.

Цей вид рівнянь достатньо висвітлено в літературі [4--7].

У цьому посібнику не має змоги розглянути всю інформацію по задачам з параметрами, тому спинимось на двох видах рівнянь:

Лінійне рівняння та системи рівнянь з параметрами.

Квадратні рівняння з параметрами.

Серед методів розглянемо застосування графічного методу до розв'язування деяких задач.

12.1 Лінійні рівняння з параметром

Означення. Рівняння виду

(1)

де х -- невідоме; -- параметри, називають лінійним рівнянням з параметрами.

Дослідимо рівняння (1).

Якщо , то рівняння (1) має єдиний розв'язок:

Якщо , то рівняння (1) має безліч розв'язків.

Якщо то рівняння не має розв'язків.

Приклад. При якому значенні параметра b рівняння має безліч розв'язків?

Використовуючи схему дослідження лінійного рівняння, маємо:

Розв'язуючи цю систему, дістаємо:

отже,

Відповідь. При система рівнянь має безліч розв'язків.

Приклад. При якому значенні параметра b рівняння

не має розв'язку?

Після перетворення рівняння до виду

Останнє рівняння не має розв'язків якщо

,

Звідки

Відповідь. .

Приклад. При яких значеннях с рівняння має додатні розв'язки?

Спочатку зводимо рівняння до загального виду. Дістанемо,

або

За умовою задачі тому Отже

Відповідь.

Приклад. Визначити, при яких значеннях параметра а корені рівняння кратні 3.

Зводячи рівняння до вигляду

дістанемо єдиний розв'язок при

За умовою корені рівняння кратні 3, тобто де Звідси

Відповідь.

Вправи для самостійного розв'язування

1. При якому значення параметра в рівняння

має безліч розв'язків? ().

2. При якому значення параметра з рівняння

має безліч розв'язків? ().

3. При якому значенні параметра а рівняння

не має розв'язку? ().

4. Визначити при яких значеннях рівняння

має додатні розв'язки. ().

5. При якому значенні параметрів рівняння

не має розв'язку? ().

6. Визначити при яких значеннях параметра а корені рівняння

кратні 5. ( ).

7. Розв'язати рівняння

де а -- параметр.

(Якщо то ;

то ;

то ;

то ;

то

8. При яких значеннях параметра а всі розв'язки рівняння

задовольняє нерівність

?

9. При яких значеннях параметра а рівняння

має не менше чотирьох цілих коренів?

10. При яких значеннях параметра а рівняння

а) не має розв'язків;

б) має скінченну множину розв'язків?

12.2 Квадратні рівняння з параметром

Рівняння виду де -- шукане невідоме, -- параметри, називається квадратним рівнянням з параметрами.

Корені квадратного рівняння знаходимо за формулою:

, де

Якщо то рівняння має 2 дійсні корені.

Якщо , то рівняння має єдиний корінь.

Якщо , то рівняння не має дійсних коренів.

Для коренів і квадратного рівняння виконуються наступні теореми.

Розглянемо деякі властивості квадратного тричлена. Виділяючи повний квадрат, дістаємо формулу:

,

із якої маємо, що графік квадратичної функції дістаємо з графіка функції за допомогою двох паралельних перенесень -- зсуву на величину вздовж осі Ох і зсуву на величину вздовж осі Оу.

Тому координати визначаються параметром

Віссю симетрії параболи є пряма

Теорема (Вієта). Між коренями і квадратного рівняння

існують співвідношення:

Зауваження. Дуже часто теорема Вієта провокує учнів
на відгадування коренів рівняння (усне розв'язування) замість його розв'язування за формулою коренів квадратного рівняння. Але можна 10 разів усно правильно знайти корені квадратного рівняння за теоремою, але на 11 раз помилитися. Уявіть собі, що цей 11 раз відбудеться на іспиті?! Що може бути гіршим за помилку при обчисленні на письмовому іспиті?

Незважуючи на попереднє зауваження, теорема Вієта може успішно застосовуватися при розв'язуванні різних задач, зокрема, задач на дослідження знаків коренів квадратичного рівняння. Це надійний інструмент для розв'язування багатьох задач з параметрами для квадратичної функції.

Теорема. Для того щоб корені квадратного рівняння мали однакові знаки, необхідно і достатньо, щоб виконувалися співвідношення:

При цьому обидва корені будуть достатні, якщо додатково виконується умова

і обидва корені будуть від'ємні, якщо

Теорема. Для того щоб корені квадратного рівняння мали різні знаки, необхідно і достатньо щоб виконувалися співвідношення

Наведемо також теореми про розміщення коренів квадратного рівняння.

Теорема. Нехай числа і -- корені квадратного рівняння

де

і дано деякі точки і на осі

Тоді:

1. Обидва корені менші від числа , тобто

і ,

тоді і тільки тоді, коли

або

2. Корені лежать по різні боки від числа , тобто

,

тоді і тільки тоді, коли

або

3. Обидва корені більші від числа , тобто і , тоді і тільки тоді, коли

або

4. Обидва кореня між точками і , тобто

і ,

тоді і тільки тоді, коли

або

5. Корені рівняння лежать по різні боки відрізка , тобто , тоді і тільки тоді, коли

або

Приклад. При яких значеннях а число 2 міститься між коренями рівняння

?

Нехай і -- корені квадратного рівняння причому Формалізуючи умови задачі, дістаємо:

Якщо розв'язувати цю систему рівнянь, то будемо мати значні труднощі.

Тому користуємося п. 2 теореми:

Відповідь.

Приклад. Знайти кількість цілих значень при яких квадратне рівняння не має дійсних коренів?

Рівняння не має дійсних коренів, якщо

тобто або

З цього проміжку знаходимо цілі 1, 2, 3, …, 15.

Відповідь. 15 цілих значень.

Приклад. При якому значенні параметра b рівняння

має єдиний розв'язок?

Спочатку перетворюємо рівняння до виду

.

Це рівняння має єдиний розв'язок, якщо його дискримінант дорівнює нулю, тобто

,

звідки

Відповідь.

Приклад. Обчислити суму цілих значень параметра а, при яких рівняння

має два різні дійсні корені.

Рівняння має два різні дійсні корені, якщо

тобто

,

Далі знаходимо суму цілих значень параметра а:

Відповідь.

Приклад. Визначити найбільше ціле значення параметра а, при якому рівняння

має два різні розв'язки.

Введемо заміну (очевидно, що ) і подамо рівняння у вигляді:

Це рівняння має два розв'язки, якщо тобто . Звідси

Корені рівняння

. Тому і

Із системи маємо: .

Відповідь.

Приклад. Знайти кількість цілих значень параметра , при яких сума розв'язків рівняння

належить проміжку ?

За теоремою Вієта

Тоді

,

або

,

або

Параметр набуває таких цілих значень: 9, 10, 11, 12, 13.

Відповідь. 5 цілих значень.

Приклад. Розв'язати рівняння

ОДЗ:

Тоді після зведення до спільного знаменника рівняння набирає вигляду

,

або на області допустимих значень невідомого та параметра:

.

Знайдемо дискримінант цього рівняння

і його корені:

Враховуючи ОДЗ, дістаємо при

,

що рівняння має два корені

Якщо

Приклад. Розв'язати рівняння

,

де -- параметр,

Виконавши заміну , перетворимо це рівняння у вигляді

де бо

Вершина графіка квадратного тричлена

має абсцису тому з умов випливає, що Отже, при проміжку може належати тільки більший корінь вказаного тричлена. Цей факт аналітично описується системою нерівностей

Розв'язуючи цю систему за умови , знаходимо, що вона сумісна при

Більший корінь тричлена

тому, розв'язуючи рівняння

,

знаходимо розв'язок

.

При інших а розв'язків немає.

Приклад. Розв'язати рівняння

де а -- параметр.

Виконаємо заміну , де Тоді , а отже, Звідси Отже, приходимо до системи

Розв'язування системи зводиться до знаходження тих значень параметра а, при яких логічно можливе таке розв'язування квадратного тричлена

Ці можливі випадки розташування на дійсній осі коренів квадратного тричлена описуються аналітично умовами:

1) 2) 3) .

Тоді 1)  2)  3) 

Враховуючи, що корені тричлена задаються формулою

,

доходимо висновку, що система має такі розв'язки:

при

при ,

при

тому корені початкового рівняння задаються рівностями:

якщо

, то ;

, то ;

;

, рівняння розв'язків не має.

Вправи для самостійного розв'язування

1. Знайти всі значення параметра а, при кожному з яких рівняння

має два різні від'ємні корені. ().

2. Знайти всі значення при яких сума коренів рівняння

дорівнює сумі квадратів його коренів.

()

3. Знайти кількість цілих значень параметра при яких добуток коренів рівняння

належить проміжку (1, 2).

4. У рівнянні

визначити , при якому відношення коренів цього рівняння дорівнює

().

5. При яких значеннях корені рівняння

належать інтервалу (0; 1)?

6. При яких значеннях корені квадратного рівняння

мають різні знаки? (

7. Знайти найбільше значення параметра при якому рівняння

не має двох різних дійсних розв'язків. ().

8. При якому найменшому цілому значенні параметра корені рівняння

знаходяться по різні боки проміжку ? ().

9. Розв'язати рівняння

( ).

10. Розв'язати рівняння

(Якщо то якщо , то ).

11. При яких значеннях параметра корені рівняння

належать відрізку ?

12. При яких значеннях параметра корені рівняння

невід'ємні? ().

13. При яких значеннях параметр рівняння

має хоча б один додатний корінь? ().

14. При яких значеннях параметра корені і многочлена

задовольняють нерівності

. ().

15. При яких значеннях параметра а обидва корені і рівняння

належать інтервалу

? ().

16. При яких значеннях параметра а рівняння

не має розв'язків?

().

17. Залежно від а розв'язати рівняння:

а)  (якщо , то при інших );

б)  (якщо , то , при інших );

c) . (В. ).

18. При яких значеннях параметра а корені рівняння

належать інтервалу

? ().

19. При яких значеннях параметра а один із коренів рівняння

менший від 1, а другий більший від 2?

()

20. При яких цілих значеннях параметра а система рівнянь

має розв'язки? Знайти ці розв'язки.

(Якщо то при інших розв'язків немає).

12.3 Графічне розв'язування рівнянь із параметрами

Алгоритм графічного методу.

Знайти область допустимих значень невідомого та параметрів, що входять до рівняння.

Виразити параметр як функцію від невідомого: .

У системі координат побудувати графік функції для тих значень х, які входять в область визначення рівняння.

Знайти точки перетину прямої з графіком .

Можливі випадки:

пряма не перетинає графік функції . При цьому значення рівняння розв'язків не має.

пряма перетинає графік функції . Визначити абсциси точок перетину (для цього достатньо розв'язати рівняння відносно ).

Записати відповідь.

Приклад. Дослідити рівняння

Якщо рівняння набирає вигляду

2) якщо маємо

У системі координат будуємо графіки функцій

для та для (рис. 1).

Далі знаходимо точки перетину прямої з графіком функції Пряма має з графіком функції лише одну спільну точку, абсциса якої дорівнює

Рис. 1

Якщо рівняння розв'язків не має, оскільки пряма не перетинає графік Якщо , пряма перетинає графік функції у двох точках, абсциси яких можна знайти з рівняння

Якщо , то перетином прямої з графіком функції є дві точки з абсцисами де -- менший корінь рівняння ; -- більший корінь рівняння , тобто

Відповідь. Якщо рівняння розв'язку не має;

; )

Приклад. При якому значенні рівняння має три розв'язки?

Запишемо рівняння у вигляді

ОДЗ: ,

Побудуємо схематично графіки функцій

та (рис. 2).

Рис. 2

Якщо , то пряма перетинає криву

у трьох точках з абсцисами .

Відповідь. -10.

Вправи для самостійного розв'язування

1. При якому значенні параметра рівняння

має три розв'язки? (-26).

2. При якому найбільшому цілому значенні параметра рівняння

має два розв'язки? (-16).

3. Розв'язати графічно рівняння

.

(Якщо

рівняння не має розв'язків).

4. Розв'язати графічно рівняння

.

(Якщо , рівняння розв'язків немає.

Якщо ).

12.4 Дослідження та розв'язування систем лінійних рівнянь із двома невідомими й параметрами

Дослідити систему рівнянь -- означає встановити:

чи є система визначеною, тобто має єдиний розв'язок, і за яких умов;

чи є система несумісною, тобто не має розв'язків, і за яких умов;

чи має вона безліч розв'язків і за яких умов.

Приклад. Дослідити систему рівнянь

де -- невідомі; -- параметри.

Якщо то система має єдиний розв'язок.

При цьому графіки рівнянь, що входять у систему, мають одну спільну точку, координати якої є розв'язком системи.

2. Якщо

то система не має розв'язків.

Графіки рівнянь при цьому є паралельними прямими.

3. Якщо

то система рівнянь має безліч розв'язків.

Графіки рівнянь збігаються.

Приклад 2. При якому значенні параметра а система

має безліч розв'язків?

Система має безліч розв'язків, якщо

Розв'язавши рівняння , дістанемо

З умови маємо

Відповідь.

Приклад 3. При яких значеннях а система

не має розв'язків?

Система не має розв'язків, якщо

Розв'яжемо рівняння

. Звідси

Перевіримо умову

Підставивши в останній вираз замість а значення дістанемо

Якщо то система немає розв'язків.

Відповідь. .

Приклад. При яких значеннях система рівнянь

має розв'язки ?

Система має розв'язки, якщо

тобто коли Звідси маємо:

Розв'язуючи систему рівнянь, дістаємо

За умовою задачі тобто

Оскільки , то остання система рівносильна системі:

звідси

Відповідь.

Вправи для самостійного розв'язування

1. При якому значенні параметра а система

має безліч розв'язків?

2. При якому найбільшому значенні параметра а система

не має розв'язків? (3).

3. При яких значеннях система рівнянь

має від'ємні розв'язки?

().

4. При яких значеннях система рівнянь

має розв'язки ?

5. Дослідити та розв'язати систему рівнянь

(Якщо -- безліч розв'язків; якщо розв'язків немає. Якщо ).

Похідна та її застосування

13.1 Відомості з історії

1. Про походження термінів і позначень. Розділ математики, в якому вивчаються похідні та їх застосування до дослідження функцій, називається диференціальним численням. Приріст виду , що являє собою різницю, відіграє помітну роль під час роботи з похідними. Тому цілком природною видається поява латинського кореня differentia (різниця) у назві calculis differentialis зазначеного числення, що з'явилося наприкінці XVII століття.

Термін «похідна» є буквальним перекладом на українську французького терміна derivйe, що його ввів 1797 року Ж. Лагранж (1736--1813); він же впровадив сучасні позначення . Така назва відбиває зміст поняття: функція походить від , є похідною від. Ньютон називав похідну функцію флюксією, а саму функцію -- флюентою. І. Г. Лейбніц говорив про диференціальне відношення і ввів позначення похідної , яке також часто зустрічається в сучасній літературі.

Символ Лейбніц вибрав для позначення диференціала функції . (Диференціал функції -- це добуток похідної на приріст , тобто ; замінюючи позначення на , це можна записати так: , звідки ). Теоретичний зміст диференціалу стає зрозумілим із розгляду рис. 1: -- дотична до графіку.

Розповідь про походження термінології, прийнятої в диференціальному численні, була б неповною без поняття границі і нескінченно малої. Більш ретельно про це поговоримо далі, а поки зауважимо, що похідні визначається як границя:

Похідною функції у точці х₀ називають границю, до якої прямує відношення приросту функції до приросту аргументу коли останній прямує до нуля:

.

Рис. 1

Позначення -- скорочення латинського слова limes (межа, границя); зменшуючи, наприклад, , ми спрямовуємо значення до границі . Термін «границя» увів Ньютон.

Прикладом нескінченно малої може бути функція від , оскільки при . Узагалі, якщо , говорять, що -- нескінченно мала. Нескінченно малі відіграють важливу роль у математичному аналізі, який з огляду на це часто називають також аналізом нескінченно малих.

Зауважимо нарешті, що слово «екстремум» походить від латинського extremum (крайній). Maximum перекладається як найбільший, а minimum -- найменший.

2. З історії диференціального числення. Диференціальне числення було створено Ньютоном і Лейбніцем порівняно недавно, наприкінці XVII сторіччя. Проте вражає той факт, що задовго до цього Архімед не тільки розв'язав задачу на побудову дотичної до такої складної кривої, як спіраль (застосувавши при цьому граничні переходи), а й зумів знайти максимум функції .

Епізодично поняття дотичної (яке також пов'язане з поняттям похідної) зустрічалося у працях італійського математика Н. Тартальї (бл. 1500--1557) -- тут дотична з'явилася в ході вивчення питання про кут нахилу гармати, при якому забезпечується найбільша дальність польоту снаряда. Й. Кеплер розглядав дотичну, розв'язуючи задачу про найбільший об'єм паралелепіпеда, уписаного в кулю даного радіуса.

У XVII столітті на основі вчення Г. Галілея про рух активно розвинулася кінематична концепція похідної, передусім у працях Р. Декарта, французького математика Роберваля (1602--1675), англійського вченого Д. Грегорі (1638--1675), у працях Й. Барроу (1630--1677) і, нарешті, І. Ньютона.

До розгляду дотичної і нормалі (так називається пряма, перпендикулярна до дотичної в точці дотику) Декарт прийшов під час вивчення оптичних властивостей лінз. За допомогою методів аналітичної геометрії та винайденого ним методу невизначених коефіцієнтів Декарт зумів розв'язати задачі про побудову нормалей до ряду кривих, зокрема еліпса.

У 1629 році П. Ферма запропонував правила відшукання екстремумів многочленів, застосовуючи граничні переходи.

Ферма відіграв видатну роль у розвитку математики. Його ім'ям названо одну з найвідоміших теорем теорії чисел -- велику теорему Ферма, яку не доведено й досі. Ферма -- один із творців аналітичної геометрії. Він займався й оптикою, сформулювавши широко відомий фундаментальний принцип: промінь світла поширюється так, що час його проходження найменший.

Важливим наслідком цього принципу є, наприклад, закон відбиття світла: кут відбиття дорівнює куту падіння. Те саме стосується закону заломлення світла на межі поділу двох різних за густиною однорідних середовищ.

Зауважимо, що методи Ферма, що стосуються відшукання максимумів і мінімумів, побудови дотичних, обчислення площ -- важливі віхи в передісторії диференціального та інтегрального числення.

Систематичне вчення про похідні розвинули Лейбніц та І. Ньютон, що мало величезний вплив на подальший розвиток математики та природознавства.

Якщо Ньютон виходив передусім із задач механіки (ньютонів аналіз створювався одночасно з ньютоновою класичною механікою), то Лейбніц розглядав переважно геометричні задачі.

Говорячи про подальший розвиток ідей аналізу (а вони дуже швидко завоювали популярність і знайшли багатьох послідовників), слід насамперед назвати імена учнів Лейбніца -- братів Якоба та Йога Бернуллі.

А. Лопіталь (1661--1704) -- учень Й. Бернуллі, уже 1696 року видав перший друкований курс диференціального числення «Аналіз нескінченно малих для дослідження кривих ліній», що сприяв поширенню нових методів.

Чимало вагомих результатів здобув Лагранж, праці якого відіграли важливу роль в осмисленні основ аналізу.

Неоціненний внесок у розвиток математичного аналізу, як і багатьох інших розділів математики, зробили Л. Ейлер і К. Ф. Гаус (1777--1855).

У стислому огляді неможливо розповісти про суть відкриттів у галузі математичного аналізу, зроблених у XVIII столітті та в наступні роки. Але про один напрямок не можна не згадати. Ідеться про розкладання функцій у степеневі ряди, тобто про подання функцій у вигляді многочленів із нескінченною кількістю доданків. Прикладом нескінченної суми (числового ряду) в елементарній математиці є нескінченні періодичні дроби, що подаються у вигляді суми нескінченної кількості доданків. З числовими та функціональними рядами працював не тільки Ньютон, але і його попередники, і тому не зовсім справедливо, що чудове співвідношення

( -- значення, здобуте в результаті n-кратного диференціювання функції у точці ) названо формулою Тейлора. (Б. Тейлор (1685--1731) -- англійський математик, який опублікував її в 1715 році),

З'ясувалося, що нерідко, відкидаючи нескінченну кількість доданків, можна діставати формули, що дають прийняті наближення функцій многочленами.

Зауважимо, що ентузіазм, викликаний появою нового могутнього методу математики, який дає змогу розв'язувати широке коло практичних задач, сприяв бурхливому розвитку аналізу у XVIII столітті. Але вже до кінця цього століття проблеми, з якими стикнулися творці диференціального та інтегрального числення, постали дуже гостро.

Основні труднощі полягали в тому, що не було сформульовано точних означень таких ключових понять, як «границя», «неперервність», «дійсне число». Через це й відповідні міркування містили логічні прогалини, а іноді були навіть помилковими. Характерний приклад -- визначення неперервності. Ейлер, Лагранж і навіть Фур'є (а він працював уже на початку XIX століття) називали неперервною функцію, задану у своїй області визначення одним аналітичним виразом.

Тим самим «нова» математика не відповідала стандартам строгості, звичним для вчених, вихованих на класичних зразках грецьких математиків. Інтуїція, конче потрібна математикам, істотно випередила логіку, що також є невід'ємною характеристикою математичної науки.

Геніальна інтуїція таких гігантів, як Ньютон, Лейбніц, Ейлер, допомагала їм уникати помилок. Але необхідно було створювати міцні логічні основи.

Із цього приводу згадаймо характерні висловлення тогочасних мислителів. Відомий математик М. Ролль писав, що нове числення є колекцією геніальних помилок. А великий французький філософ Вольтер зазначав, що це числення являє собою мистецтво обчислювати і точно вимірювати речі, існування яких не може бути доведено.

Рішучий крок до створення міцного фундаменту аналізу зробив у 20-х роках ХІХ століття французький математик О. Коші (1789--1857), запропонувавши точні означення границі функції та послідовності і на їх основі довівши багато принципових теорем аналізу. Дещо раніше (1821 р.) означення границі та неперервності функції, багато інших важливих результатів (зокрема, знаменитий приклад функції, неперервної на проміжку, яка не має похідної в жодній його точці) подав чеський математик Б. Больцано (1781--1848), але його праці стали відомими значно пізніше.

Означення границі функції за Коші формулюється так: число називається границею функції при , що прямує до (записують ), якщо для довільного числа можна знайти таке число , що для всіх , які задовольняють нерівність .

Спираючись на це означення, уже неважко дати означення неперервності функції в точці: функція неперервна в точці , якщо .

Означення границі послідовності за Коші аналогічне: число є границею послідовності , якщо для кожного існує номер , такий що при усіх справджується нерівність .

Коші довів формульовані далі теореми про границі, якими ми фактично користуємося при обчисленні похідних:

Якщо , то існують границі суми, різниці, добутку та частки (при ) цих функцій, обчислювані за такими правилами:

,

,

. (1)

похідна задача параметри

Гасло багатьох математиків XVII століття було таке: «Рухайтеся вперед -- і віра в правильність результатів до вас прийде».

13.2 Похідна

Поняття похідної

Нехай у = f (x) -- неперервна функція аргументу х, визначена на інтервалі (a, b). Візьмемо деяке значення незалежної змінної х і надамо їй деякого приросту х. Тоді функція y = f(x) набуде приросту (рис. 1)

у = f(x + x) - f(x).

Відношення приросту у функції у = f(x) до приросту незалежної змінної х називається диференціальним відношенням:

. (1)

Рис. 2

Відношення -- це тангенс кута нахилу січної до осі Ох. При січна прямує до дотичної в точці Р. Тангенсом кута нахилу дотичної до осі Ох при цьому буде границя відношення

.

Функція у = f(x) називається диференційовною в точці х = х₀, якщо існує границя

. (2)

Значення границі при цьому називається похідною функції

у = f(x) у точці х₀ і позначається

Функція називається диференційовною на інтервалі І, якщо вона диференційовна в кожній точці х цього інтервалу.

Кожному значенню х із області диференційовності функції f (x) ставиться у відповідність її похідна в точці х. Отже, дістаємо похідну функцію, яку позначаємо f (x). Дія відшукання похідної функції f (x) називається диференціюванням.

Приклад. Розглянемо функцію і знайдемо диференціальне відношення та похідну цієї функції (рис. 2).

Рис. 2

Диференціальне відношення визначаємо за формулою (1):

.

Похідну знаходимо за (2):

.

Похідні основних елементарних функцій

1. Похідна степеневої функції

у = х:

2. Похідна показникової функції

у = а^х:

зокрема, при у = е^х:

3. Похідна логарифмічної функції

зокрема, при

4. Похідні тригонометричних функцій:

.

Правила диференціювання

ПРАВИЛО 1. Похідна сталої дорівнює нулю:

(сonst) = 0.

Приклад. (7) = 0; (- 100) = 0.

ПРАВИЛО 2. Якщо u -- будь-яка диференційовна функція від х і с -- довільна стала, то (cu) = cu.

Приклад.  

ПРАВИЛО 3. Якщо u та v -- диференційовні функції від х, то їхня сума u + v є диференційовною функцією:

.

Аналогічно, похідна суми будь-якої скінченної кількості диференційовних функцій дорівнює сума похідних даних функцій:

.

Приклад. Знайти похідну функції

.

.

ПРАВИЛО 4. добуток двох диференційовних функцій u та v є диференційовною функцією:

.

Похідна добутку n функцій:

(3)

Приклад. Знайти у, якщо у = (х² +1) lnx.

ПРАВИЛО 5. У точках, в яких , відношення двох диференційовних функцій є функція диференційовна, причому

.

Приклад. Знайти у, якщо

.

Похідна оберненої функції

ПРАВИЛО 6. Якщо функція у = f(x) монотонна й має в точці х відмінну від нуля похідну, то функція, обернена до даної, подається у вигляді х = g(y) і має похідну х = g(y), обернену до похідної даної функції:

(4)

Похідні обернених тригонометричних функцій:

Похідна складеної функції

ПРАВИЛО 7. Похідна складеної функції

:

-- правило ланцюга. (5)

Приклад. Задано функцію у = f(x). Знайти у.

1) ; 2) ; 3) .

За формулою (5) маємо:

2) Візьмемо:

.

Тоді за правилом 4 дістаємо:

.

Функції і -- складені. Згідно з (5) маємо:

.

3) Нехай і . Тоді за правилом 5 дістаємо:

.

Похідні функцій arctgx³ і обчислюємо за формулою (5):

;

Логарифмічне диференціювання

ПРАВИЛО 8. Якщо функція у = f(x) являє собою добуток кількох множників, то перш ніж диференціювати цю функцію, її можна прологарифмувати.

Приклад. Знайти у, якщо

.

Прологарифмуємо обидві частини даного рівняння:

Продиференціюємо обидві частини останньої рівності:

Правило диференціювання показниково-степеневої функції

ПРАВИЛО 9. Щоб знайти похідну показниково-степеневої функції, потрібно спочатку продиференціювати її як показникову, а потім як степеневу функцію.

Окремі випадки:

1. Нехай функція y = f(x) є показниковою:

, тобто .

Тоді

.

2. Нехай функція у = f(x) є степеневою, , тобто v(x) = а.

Тоді

Приклад. Знайти у, якщо

у = (х² + 1)^sinx.

1) .

2) .

3) 

Похідні вищих порядків

Нехай у = f(x) -- деяка диференційовна функція на інтервалі І, причому похідна цієї функції у = f(x) також є диференційовною функцією на зазначеному інтервалі. Похідна функції f (x) називається похідною другого порядку функції f і позначається f  або f ⁽²⁾. Якщо f ⁽²⁾ диференційовна на інтервалі І, то похідна функції f  ⁽²⁾ називається похідною третього порядку функції f (х) і позначається f ⁽³⁾.

Аналогічно, похідною n-го порядку f ⁽ⁿ⁾ функції f (х) за індукцією називається похідна функції f ^(n-1), якщо вона існує і диференційовна.

Іноді замість позначення f ⁽ⁿ⁾(х) застосовують символ або Dⁿy, Dⁿf(x).

Приклад. Для функції

f(x) = х⁴ + 2х³ + х + 5 знайти похідну n-го порядку.

f (x) = 4х³ + 6х² + 1,

f (x) = 12х² + 12х,

f ⁽³⁾(x) = 24х + 12,

f ⁽⁴⁾(x) = 24,

f ⁽ⁿ⁾(x) = 0 для n 5.

Правила відшукання похідних n-го порядку

На похідні n-го порядку легко поширюються правила відшукання похідних першого порядку.

Очевидно, виконуються рівності:

Виведемо так звану формулу Лейбніца, яка дає змогу обчислювати похідну n-го порядку від добутку двох функцій u(x) та v(x). Для того щоб вивести цю формулу, знаходимо спочатку кілька похідних, а далі встановлюємо загальне правило:

Закон утворення похідних зберігається для похідних будь-якого порядку й полягає ось у чому.

Вираз (u + v)ⁿ потрібно розкласти за формулою бінома Ньютона й у здобутому розкладі замінити показники степенів для u та v показниками порядку похідних, причому нульові степені, що входять у крайні члени розкладу, слід замінити самими функціями (тобто похідними нульового порядку):

Це формула Лейбніца.

Зауваження. Повне доведення цієї формули можна подати методом повної математичної індукції [9].

Приклад. Задано функцію . Знайти її похідну у⁽ⁿ⁾.

,

або

.

Механічний та геометричний зміст похідної

Джерелом диференціального числення стали, як відомо, два питання:

1) про відшукання швидкості в разі довільного закону руху;

2) про відшукання дотичної до довільної лінії.

Обидва вони привели до однієї й тієї самої обчислювальної задачі, яку було покладено в основу диференціального числення. Ця задача полягає в тому, щоб за даною функцією f(x) відшукати іншу функцію f (x), яка дістала назву похідної і являє собою швидкість зміни функції f(x) щодо зміни аргументу.

У механіці відповідна задача формулюється так: знайти швидкість тіла, що рухається за законом , у деякий момент часу t. Вважаємо, що відстань s і час t -- фізичні величини, які можна вимірювати.

Нехай за час від t до t + t тіло пройшло шлях s + s = f(t + t).

Тоді s = f(t + t) - f(t).

Середня швидкість тіла, що рухається вздовж деякої лінії, визначається за формулою:

.

Щоб знайти миттєву швидкість v такого тіла, потрібно перейти до границі відношення при :

.

Миттєвою швидкістю тіла, що рухається вздовж лінії s = f(t), називається похідна функції s = f(t) за часом t:

.

Приклад. Нехай -- рівняння вільного руху тіла, g -- прискорення його вільного падіння. Знайти миттєву швидкість тіла в будь-який момент часу; у момент часу t = 2 c.

За означенням маємо

.

Зокрема, якщо t = 2, дістаємо:

.^

Сформулюємо тепер розглянуту задачу мовою геометрії.

Нехай дано функцію у = f(x), графік якої наведено на
рис. 2. Диференціальне відношення дорівнює тангенсу кута , утвореного січною, що проходить через точки Р та Q, які мають відповідно абсциси х та х + х, із додатним напрямом oсі Ох.

Якщо приріст х 0, то точка Q прямує до точки P, а кут  -- до кута , утвореного дотичною до розглядуваної кривої в даній точці з додатним напрямом осі Ох. Отже, маємо:

. (6)

Значення похідної в деякій точці дорівнює тангенсу кута, утвореного дотичною до кривої в цій точці з додатним напрямом осі Ох.

Приклад. Знайти тангенси кутів нахилу дотичної до кривої
у = х² у точках М₁(Ѕ; ј), М₂(-1; 1) (рис. 3).

Рис. 3

Згідно з (6) дістаємо:

За формулою похідної степеневої функції маємо:

Отже,

Рівняння дотичної та нормалі до кривої

Розглянемо рівняння кривої у = f(x) (рис. 4). Візьмемо на кривій точку М(х₁, у₁) і запишемо рівняння дотичної до цієї кривої в точці М, припускаючи, що дотична не паралельна жодній координатній осі.

Рівняння кривої, що має кутовий коефіцієнт k і проходить через точку М, набирає вигляду

.

Для дотичної , тому рівняння дотичної буде таке:

Поряд із дотичною до кривої розглядають і її нормаль.

Нормаллю до кривої в даній точці називається пряма, яка проходить через цю точку і перпендикулярна до дотичної в ній.

Рис. 4

Із означення нормалі випливає, що її кутовий коефіцієнт k_норм пов'язаний із кутовим коефіцієнтом k дотичної рівністю

, тобто

Отже, дістаємо рівняння нормалі до кривої у = f(x) у точці
М (х₁, у₁):

Приклад. Записати рівняння дотичної та нормалі до кривої
у = х³ у точці М(1; 1).

Оскільки у = 3х², то кутовий коефіцієнт дотичної

.

Отже, згідно з (1) рівняння дотичної буде таке:

, або .

Рівняння нормалі:

, або (рис. 5).

Рис. 5

Вправи для самостійного розв'язування

1. Знайти похідну функції.

1) ; 2) ;

3) ; 4) ;

5) ; 6) ;

7) ; 8) ;

9) ; 10) .

2. В якій точці похідна функції

дорівнює 7?

3. Скласти рівняння дотичної до графіка функції в точці :

4. Знайти кута похилу графіка функції в точці

5. В яких точках графіка функції

дотична до нього утворює тупий кут з віссю абсцис?

6. Знайти , якщо

.

7. Знайти похідну функції.

1) ; 2) ;

3) ; 4) ;

5) ; 6) ;

7) ; 8) ;

9) ; 10) .

8. Знайти приріст функції

в точці , якщо .

9. Вибрати функцію, для якої не існує похідної в точці .

1) ; 2) ;

3) ; 4) .

10. Розв'язати рівняння , якщо:

1) ; 2) ;

3) ; 4) .

Размещено на Allbest.ru

...