Взаємно прості та прості числа
Критерії взаємної простоти двох цілих чисел. Найменше спільне кратне та методи їх знаходження. Найбільший спільний дільник і методи його знаходження. Ознаки подільності. Основна властивість дробу. Зведення дробів до найменшого спільного знаменника.
| Рубрика | Математика |
| Вид | лекция |
| Язык | украинский |
| Дата добавления | 26.01.2014 |
| Размер файла | 79,2 K |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Размещено на http://www.allbest.ru/
Взаємно прості та прості числа
Взаємно простими числами називаються числа і , у яких найбільший спільний дільник дорівнює 1.
Критерії взаємної простоти двох цілих чисел: числа та взаємно прості тоді й тільки тоді, коли існують такі цілі числа і , що .
Властивості:
Якщо кожне з чисел і взаємно просте з числом , то добуток також взаємно простий з .
Якщо добуток ділиться на і при цьому взаємно просте з , то тоді на обов'язково ділиться число
Означення. Натуральне число називається простим, якщо воно має рівно два натуральні дільники.
Якщо прості числа виписувати в ланцюжок за зростанням та його початок буде такий: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, … .
Теорема. Існує безліч простих чисел.
Лема. Якщо і - різні прості числа, то вони взаємно прості.
Найменше спільне кратне та методи їх знаходження
Означення. Найменшим спільним кратним натуральних чисел і називають натуральне число з такими властивостями.
є дільником , є дільником тобто - спільне кратне чисел і .
якщо дільник і дільник , то дільник .
Методи знаходження найменшого спільного кратного чисел і
Розклад чисел на прості множники.
За формулою
,
де - найбільший спільник дільник чисел та , який знаходиться за алгоритмом Евкліда.
Найбільший спільний дільник та методи його знаходження
Будь-які два числа і мають спільні дільники, наприклад, 1 і-1.
Нехай хоча б одне з чисел і відмінне від нуля. Виявляється, що в цьому випадку числа і мають такий додатний спільний дільник який ділиться на будь-який спільник дільник цих чисел. Його називають найбільшим спільним дільником чисел і . Числа і мають тільки один найбільший спільний дільник.
Оскільки протилежні числа мають однакові дільники, то задачу про знаходження найбільшого спільного дільника досить вміти розв'язувати для додатних чисел. Ще давньогрецькі математики знали, що найбільший спільний дільник двох чисел можна знайти, виконавши кілька разів ділення з остачею. Пізніше цей метод відшукування найбільшого спільного дільника почали називати алгоритмом Евкліда.
Приклад. Зайти найбільший спільний дільник чисел 4171 і 18527 за алгоритмом Евкліда.
Розв'язок
Число на яке ділили на останньому кроці - 97.
Це шуканий найбільший спільний дільник.
спільний дільник кратне дріб
Порівняння за модулем
Лема. Останні від ділення чисел і на число однакові тоді й тільки тоді, коли є дільником .
Означення. Якщо числа і при діленні на дають однакові остачі, то вони називаються рівними за модулем і позначається: .
Теорема. Нехай
, .
Тоді: 1.
2.
3. .
Наслідок 1. Якщо , , то
1. ;
2. ;
3. .
Наслідок 2. Знайти остачу від ділення на 7.
Розв'язок. Оскільки
і , то .
Далі маємо
; ; .
Відповідь: остача від ділення числа на 7 дорівнює 4.
Ознаки подільності (ОП)
ОП на 3 і 9. Число ділиться на 3 (на 9) тоді й тільки тоді, коли сума його цифр ділиться на 3 (на 9).
ОП на 2, 5, 10. Число ділиться на 2 (на 5, на 10) тоді й тільки тоді, коли його остання цифра ділиться на 2 (на 5, на 10).
ОП на числа типа 6, 12, 15 дає теорема:
Теорема: Якщо числа і взаємно прості, -дільник і -дільник , то -дільник .
Задача. Знайти остачу від ділення на 7 таких чисел: 1) 2135; 2) 19791980.
Розв'язок:
1. ; ; .
2. ;
;
;
.
Звичайний дріб - це число виду , де і - натуральні числа. Число називається чисельником, - знаменником дробу. Наприклад, , .
Серед звичайних дробів розрізняють правильні та неправильні.
Дріб називається правильной, якщо її чисельник менше знаменника, і неправильной, якщо її чисельник більше знаменника або дорівнює йому.
Будь-який неправильний дріб можна подати сумою натурального числа та правильного дробу.
Прийнято суму натурального числа та правильного дробу записувати без знаку додавання, число, записане у такому вигляді, називається мішаним.
Наприклад,
Усякий мішаний дріб або натуральне число можна записати у вигляді неправильного дробу.
; .
Два дроба і називаються рівними, якщо .
Основна властивість дробу:
Якщо чисельник і знаменник дробу помножити або поділити на одне й теж натуральне число, то дістанемо дріб, який дорівнює даному
.
Користуючись основною властивістю дробу, іноді можна замінити даний дріб, іншим дробом, рівним даному, але з меншим чисельником та меншим знаменником. Таку заміну називають скороченням.
Наприклад,
.
Скорочувати дроби можна, якщо чисельник та знаменник - не взаємно прості числа. Якщо чисельник й знаменник - взаємно прості числа, то дріб називається нескорочувальним.
Наприклад,
і т.п.
Зведення дробів до найменшого спільного знаменника
Для зведення дробів до найменшого спільного знаменника, треба:
знайти найменший спільний кратний знаменник дробів;
обчислити додаткові множники, ділячи найменше спільне кратне на кожний знаменник;
помножити чисельник й знаменник кожного дробу на відповідний додатковий множник.
Приклад. Звести до найменшого спільного знаменника дроби і .
1. Знаходимо НСК (24, 30).
, ; отже
.
2. Знаходимо додаткові множники
, .
3. Множимо дроби на відповідні додаткові множники.
;
.
Арифметичні дії над звичайними дробами
.
.
.
.
.
.
.
Размещено на Allbest.ru
...Подобные документы
Дріб, числівник і знаменник якого є многочленами, називається раціональним (алгебраїчним). Приведення раціональних дробів до спільного знаменника. Скоротити дріб - це означає розділити числівник і знаменник дробу на спільний множник.
контрольная работа [45,1 K], добавлен 06.06.2004Збагачення запасу чисел, введення ірраціональних чисел. Зведення комплексних чисел у ступінь і знаходження кореня. Окремий випадок формули Муавра. Труднощі при витягу кореня з комплексних чисел. Витяг квадратного кореня із негативного дійсного числа.
курсовая работа [130,8 K], добавлен 26.03.2009Сутність фізичного та геометричного змісту похідної, особливості його використовування у математичних задачах. Означення диференціалу, формула його обчислення. Екстремуми функцій двох змінних. Правила знаходження найбільшого і найменшого значення функції.
презентация [262,6 K], добавлен 20.05.2015Перетворення звичайного дробу в десятковий за допомогою конгруенцій. Захоплення Йоганна Бернуллі, дільники реп’юнітів і представлення звичайних дробів десятковим, довжина періоду дробу з простим знаменником. Доведення теореми Ферма для заданих значень.
курсовая работа [481,8 K], добавлен 14.04.2015Расширення запасу чисел. Знаходження коренів рівняння з достатнім степенем точності. Запис степеня многочлена та його коефіцієнтів. Контрольний приклад находження відрізків додатних та від’ємних коренів. Описання основних процедур та функцій програми.
курсовая работа [1,0 M], добавлен 28.03.2009Методи зведення до канонічної форми задач лінійного програмування. Визначення шляхів знаходження екстремумів функцій графічним способом. Побудова початкового опорного плану методом "північно-західного" напрямку. Складання двоїстої системи матриць.
контрольная работа [262,0 K], добавлен 08.02.2010Сутність, особливості та історична поява чисел "пі" та "е". Доведення ірраціональності та трансцендентності чисел "пі" та "е". Методи наближеного обчислення чисел "пі" та "е" за допомогою числових рядів та розкладу в нескінченні ланцюгові дроби.
курсовая работа [584,5 K], добавлен 18.07.2010Оцінювання параметрів розподілів. Незміщені, спроможні оцінки. Методи знаходження оцінок: емпіричні оцінки, метод максимальної правдоподібності. Означення емпіричної функції розподілу, емпіричні значення параметрів. Задача перевірки статистичних гіпотез.
контрольная работа [57,2 K], добавлен 12.08.2010Застосування конгруенцій: ознаки подільності, перевірка арифметичних дій, перетворення десяткового дробу у звичайний та навпаки, індекси. Вчені, що займалися питанням застосування конгруенцій. Основні теореми в теорії конгруенцій - Ейлера і Ферма.
курсовая работа [226,2 K], добавлен 04.06.2011Методи перевірки чисел на простоту: критерій Люка та його теореми, їх доведення. Теорема Поклінгтона та її леми. Метод Маурера - швидкий алгоритм генерації доведених простих чисел, близьких до випадкового та доведення Д. Коувером і Дж. Куіскуотером.
лекция [138,8 K], добавлен 08.02.2011Знаходження ймовірності настання події у кожному з незалежних випробувань. Знаходження функції розподілу випадкової величини. Побудова полігону, гістограми та кумуляти для вибірки, поданої у вигляді таблиці частот. Числові характеристики ряду розподілу.
контрольная работа [47,2 K], добавлен 20.11.2009Історія становлення поняття дійсного числа. Властивості ланцюгових дробів загального виду з додатними елементами. Зображення дійсних чисел ланцюговими дробами загального виду і системними дробами. Задачі, при розв’язанні яких використовуються ці дроби.
курсовая работа [415,0 K], добавлен 02.03.2014Точне знаходження первісної й інтеграла для довільних функцій. Чисельне визначення однократного інтеграла. Покрокові пояснення алгоритму методу Чебишева, реалізованого засобами програмування СКМ Mathcad. Знаходження інтегралу за допомогою панелі Calculus.
курсовая работа [390,8 K], добавлен 19.05.2016Похідна як основне поняття диференційного числення, що характеризує швидкість зміни функції, границя відношення приросту функції до приросту аргументу. Приклади знаходження похідної за визначенням. Похідні вищих порядків, геометричний зміст похідної.
презентация [49,6 K], добавлен 16.02.2011Розкриття невизначеностей з використанням правила Лопіталя. Правило Лопіталя. Наслідок. Приклад. Розкриття невизначеностей виду. Правило Лопіталя - правило знаходження межі дробу, чисельник і знаменник якого прямує до 0.
реферат [53,0 K], добавлен 11.04.2006Застосування методів математичного аналізу для знаходження центрів мас кривих, плоских фігур та поверхонь з використанням інтегральних числень функцій однієї та кількох змінних. Поняття визначеного, подвійного, криволінійного та поверхневого інтегралів.
курсовая работа [515,3 K], добавлен 29.06.2011Використання наближення функцій для практичних розрахунків, методи інтерполювання многочленом Лагранжа та Ньютона. Означення ермітових сплайнів з експоненціальними ланками та знаходження аналітичних виразів їх параметрів. Обчислення похибки наближення.
курсовая работа [687,3 K], добавлен 28.01.2011Таблиця формул основних інтегралів. Методи обчислення площі плоскої фігури в декартових координатах. Означення потрійного інтеграла. Знаходження площі фігури обмеженої лініями, розрахунок обсягу просторового тіла. Властивості визначеного інтеграла.
презентация [467,7 K], добавлен 23.02.2013Основні засади комбінаторики та теорії множин на основі аксіоматики Цермело-Френкеля і використання правила суми й добутку. Знаходження кусково-постійних конфігурацій множин засобами мови програмування IDE C++ Builder з допомогою вбудованого GUI.
контрольная работа [539,5 K], добавлен 27.11.2010Таблиця основних інтегралів та знаходження невизначених інтегралів від елементарних функцій. Розкладання підінтегральної функції в лінійну комбінацію більш простих функцій. Метод підстановки або заміни змінної інтегрування. Метод інтегрування частинами.
реферат [150,2 K], добавлен 29.06.2011
