Система алгебраїчних рівнянь
Характеристика основних способів вирішення системи лінійних алгебраїчних рівнянь з невідомими. Сутність методу винятку Гаусса та його модифікація. Рішення основних ненегативних дискримінантів системи двох рівнянь с двома невідомими, його особливості.
| Рубрика | Математика |
| Вид | лекция |
| Язык | украинский |
| Дата добавления | 26.01.2014 |
| Размер файла | 61,6 K |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Размещено на http://www.allbest.ru/
Тема: Система алгебраїчних рівнянь
1. Система лінійних алгебраїчних рівнянь
Основним методом вирішення системи m лінійних алгебраїчних рівнянь з n невідомими являються методом винятку. Опишемо один із варіантів винятку Гаусса.
Це одного рівняння система
,
,
, (1)
наприклад із першого рівняння, надходить невідоме і представляємо в другому рівнянні. В загальному випадку приходимо до системи рівнянь
,
,
. (2)
Останнє m-1 рівняння можна вирішити незалежно від першого рівняння. Із одного рівняння знаходимо і підставимо в останні рівняння. Приходимо до системи рівнянь виду
,
,
,
. (3)
Приклад. Зайдемо вирішення системи рівнянь
,
,
.
Із другого рівняння знаходимо
.
Підставляємо в перше та третє рівняння, знаходимо систему рівнянь
.
Із першого рівняння знаходимо і підставляємо в друге рівняння, одержимо рівняння .
Послідовно знаходимо , , .
Приклад. Знайдемо вирішення системи рівнянь
,
,
.
Із першого рівняння знаходимо
і крім із другого і третього рівнянь, одержимо однакові рівняння
,
.
Звідси знаходимо спільне вирішення системи
Потім вилучається і т. д. Якщо в результаті вилучення одержимо неможливе числове рівняння, то система рівнянь (1) несумісна, так як не має рішення.
Якщо система рівнянь приводиться до вигляду
,
,
,
. (4)
то система рівнянь (1) має єдине рішення, яке знаходиться із системи рівнянь (4), починаючи з останнього рівняння.
Якщо система рівнянь приводиться до вигляду
,
,
, (5)
лінійний алгебраїчний гаусс
де .При цьому система рівнянь (1) має нескінченне число рішень. Невідоме являються довільними і називаються вільними. Невідоме називаються базисними. Базисні застосування виражаються через вільне і загальне вирішення системи (1) має вигляд
,
,
. (6)
Часто використовується модифікація методу Гаусса. Якщо невідомі виключаються із всіх рівнянь, то приходимо к системі рівнянь виду
,
,
.
Цей метод виключно називається методом Жордана-Гаусса. При , система управління має єдине рішення.
2. Системи двох рівнянь з двома невідомими
Викладемо деякі найбільше уживані способи рішення системи двох рівнянь с двома невідомими.
1. Виняток одного невідомого. Якщо одне із рівнянь системи дозволено відносно одного із невідомих, то знаходимо це невідоме і підставляємо в друге рівняння. При цьому приходимо до одного рівняння з одним невідомим.
Приклад. Знайдемо вирішення системи рівнянь
Перше рівняння розширимо відносно х.
Знаходимо рішення рівняння і відповідне значення .
Приклад. Вирішіть систему рівнянь
;
.
Друге рівняння розв'язно відносно .
Знайдемо і підставимо в перше рівняння. Отримаємо рівняння яке має рішення: . Для невідомого знаходимо відповідне значення: .
Приклад. Знайдемо рішення системи рівнянь
,
.
Якщо розв'язок перших рівнянь відносно , то отримаємо
.
При підстановці цих виразів у друге рівняння отримаємо складне і раціональне рівняння. Помножимо друге рівняння на 2 і складемо перше рівняння. Отримаємо рівняння
лінійне відносно . Знаходимо . Крім із другого рівняння системи приходимо до алгебраїчного рівняння
,
які перетворюються в рівняння
,
які мають розв'язок
.
Знаходимо відповідні значення невідомого .
2. Рішення, основних ненегативних дискримінантів
Нехай кожне рівняння системи рівняння
,
(8)
являється квадратною функцією відносно одного із невідомого, наприклад, . Щоб система (8) мала розв'язок необхідно, щоб дискримінанти рівнянь (8) були негативні, так як
Якщо система нерівностей (9) має рішення , а система рівнянь (8) при має загальний розв'язок , то система рівнянь (8) має розв'язок
Приклад. Розв'язати систему рівнянь
Ці рівняння являються квадратними відносно . Знаходимо дискримінанті рівняння
;
.
Ці нерівності мають єдине загальне рішення . При вихідне рівняння має рішення .
Приклад. Розв'яжемо систему рівнянь
,
.
Ці рівняння є квадратними відносно і мають дискримінанти
,
.
Одержання нерівності мають єдине рішення . При цьому вихідна система має рішення .
3. Однорідні рівняння
Визначення. Функція називається однорідного порядку , якщо виконано торжество
. (10)
Така функція являється однорідною порядку 2, так як виконано торжество
Функція буде однорідною.
Функція буде однорідною нульового порядку.
Постійна величина являється однорідною функцією нульового порядку, так як при . Нуль являється однорідною функцією кожного порядку, так як при кожному .
Визначення. Система алгебраїчних рівнянь
(11)
якщо являється однорідними функціями відповідно порядків
Із системи рівнянь (11) виводиться рівняння
(12)
де -- однорідні функції одного порядку. В рівнянні (12) робимо заміну і приходимо до одного рівняння виду
(13)
Якщо знайдене рішення рівняння (13), то система рівнянь (11) розв'язується спільно з рівнянням .
Приклад. Розв'яжіть однорідну систему рівнянь
В першому рівнянні зліва однорідна функція любого порядку. Робимо заміну і приходимо до рівняння
Розв'яжемо систему рівнянь
і знайдемо
розв'яжемо систему рівня
і знайдемо
Приклад. Розв'яжемо систему рівнянь
Ліва частина рівняння являється однорідними функціями третього порядку. Маємо рівняння
Зліва та справа однорідна функція нульового порядку.
При заміні отримаємо рівняння та його корінь
.
Вирішуючи систему рівнянь
знаходимо рішення
Приклад. Розв'яжемо однорідну систему рівнянь
Поділивши одне рівняння на друге, отримаємо однорідне рівняння
в якому ліва та права частина являється однорідними функціями першого порядку. При , отримаємо рівняння
Яке має розв'язок .
Вирішуючи систему рівнянь
знаходимо два розв'язки: .
Вирішуючи систему рівнянь
Знаходимо рішення:
Вирішуючи систему рівнянь
Знаходимо ще два рішення:
Приклад. Розв'яжемо однорідну систему рівнянь
Ліва частина рівняння являється однорідними функціями другого порядку. Припускаючи отримаємо рівняння
Із системи рівнянь
знаходимо рішення
Система рівнянь
дійсних рішенню не має
4. Симетричні системи рівнянь
Визначення. Функція називається симетричною, якщо виконується торжество .
Система рівнянь
називається симетричною, якщо функція симетрична.
Симетрична система спрощується при використанні симетричної заміни невідомих:
або або і т. д.
Приклад. Розв'яжіть систему рівнянь
Зробимо заміну невідомих
Використавши перетворення
приходимо до системи рівнянь
Із системи рівнянь знаходимо:
Для відшукання маємо систему рівнянь
знаходимо рішення вихідної системи рівнянь
Приклад. Вирішіть систему рівнянь
Зробимо симетричну заміну змінних
та приходимо до системи рівнянь
яка має рішення Для знаходимо систему рівнянь
із якої знаходимо дві системи рівнянь
і розв'язок вихідної системи рівнянь:
Приклад. Розв'яжіть систему симетричних рівнянь
,
Введемо нові невідомі
Виконаємо перетворення
Приходимо до системи рівнянь
Виключимо невідоме . Отримаємо рівняння
яке має рішення . Знаходимо певне значення
Із системи рівнянь
Знаходимо
Із системи рівнянь
Знаходимо
Із системі рівнянь
знаходимо
5. Заміна невідомих
Система алгебраїчних рівнянь часто може бути спрощена, якщо ввести нові значення для невідомих .
Приклад. Розв'яжемо систему рівнянь
Запровадимо значення і прийдемо до системи рівнянь
Із системи рівнянь
Знайдемо рішення вихідної системи
Приклад. Знайдемо рішення системи рівнянь
Запровадимо значення із рівняння
знайдемо рішення
Із системи рівнянь
знайдемо рішення:
Система рівнянь не має вирішення
так як зводиться до рівняння яке не має дійсного рішення.
6. Виключення спільного виразу
Якщо в обох рівнянь системи входить одне і теж вираження, то можна виключити це вираження, тобто з одного рівняння знайти це вираження і підставити в інше рівняння. При цьому може знайтися більш просте рівняння.
Приклад. Розв'яжемо систему рівнянь
Запишемо цю систему рівнянь у вигляді
В обидва рівняння входить вираз . Крім цього виразу отримаємо вираз
або
Підставивши у друге рівняння вираз вихідної системи і отримаємо
Приклад. Розв'яжемо систему рівнянь
Запишемо систему рівнянь у вигляді
Крім спільного виразу , отримаємо , .
Розв'язуючи останню систему, знаходимо рішення .
Приклад. Розв'яжемо систему рівнянь
Друге рівняння можна записати у вигляді
В обидва рівняння ходить вираз . Перемножуючи рівняння, виключаємо вираз і приходимо до рівняння
яке має рішення:
7. Система рівнянь з модулями
При розв'язанні рівнянь з модулями не використовувати визначення модуля числа
Приклад. Знайти рішення системи рівнянь
Робимо все можливі припущення про значення чисел
1. Нехай Система рівнянь має вид
і має рішення:
2. Нехай Отримаємо систему рівнянь
,
яка має рішення:
3. Нехай . Отримаємо систему рівнянь
яка має розв'язок:
4. Нехай . Отримаємо систему рівнянь
яка має рішення:
Размещено на Allbest.ru
...Подобные документы
Історія створення теорії алгебраїчних рівнянь. Сутність системи лінійних алгебраїчних рівнянь в лінійній алгебрі. Повна характеристика методів розв'язання рівнянь: точні, ітераційні та ймовірнісні. Особливості теорем Гауса-Жордана та Габріеля Крамера.
реферат [543,7 K], добавлен 23.04.2015Системи лінійних алгебраїчних рівнянь, головні означення. Коротка характеристика головних особливостей матричного способу, методу Жордано-Гаусса. Формули Крамера, теорема Кронекера-Капеллі. Практичний приклад розв’язання однорідної системи рівнянь.
курсовая работа [690,9 K], добавлен 25.04.2013Дослідження системи лінійних алгебраїчних рівнянь на стійкість. Одержання характеристичного многочлена методом Левур’є, в основу якого покладено обчислювання слідів степенів матриці А. Приклад перевірки на стійкість систему Аx=B за допомогою програми.
курсовая работа [33,0 K], добавлен 29.08.2010Сумісність лінійних алгебраїчних рівнянь. Найвищий порядок відмінних від нуля мінорів матриці. Детермінант квадратної матриці. Фундаментальна система розв’язків та загальний розв'язок системи лінійних однорідних рівнянь. Приклади розв’язання завдань.
курсовая работа [86,0 K], добавлен 15.09.2008Розв’язання систем лінійних рівнянь методом Жордана-Гауса. Еквівалентні перетворення системи, їх виконання як елемент методів розв’язування системи рівнянь. Базисні та вільні змінні. Лінійна та фундаментальна комбінації розв’язків, таблиці коефіцієнтів.
контрольная работа [170,2 K], добавлен 16.05.2010Основні етапи розв'язування алгебраїчних рівнянь: аналіз задачі, пошук плану розв'язування та його здійснення; перевірка та розгляд інших способів виконання. Раціоналізація розв'язування алгебраїчних рівнянь вищих степенів методом заміни змінних.
курсовая работа [229,8 K], добавлен 13.05.2013Функціональні методи рішення тригонометричних і комбінованих рівнянь. Рішення тригонометричних нерівностей графічним методом. Відомість тригонометричних рівнянь до алгебраїчних. Перетворення й об'єднання груп загальних рішень тригонометричних рівнянь.
дипломная работа [773,7 K], добавлен 25.02.2011Основні поняття чисельних методів розв’язання систем лінійних алгебраїчних рівнянь. Алгоритм Гаусса зведення системи до східчастого виду послідовним застосуванням елементарних перетворень. Зворотній хід методу Жордана-Гаусса. Метод оберненої матриці.
курсовая работа [165,1 K], добавлен 18.06.2015Огляд складання програми на мові програмування С++ для обчислення чотирьох лінійної системи рівнянь матричним методом. Обчислення алгебраїчних доповнень до елементів матриці. Аналіз ітераційних методів, заснованих на використанні повторюваного процесу.
практическая работа [422,7 K], добавлен 28.05.2012Задачі, ідея та формули методу Лобачевского-Греффе розв’язання рівнянь, особливості конкретні приклади його використання у випадку дійсних різних коренів. Загальні властивості алгебраїчних рівнянь. Загальна характеристика процесу квадратування коренів.
контрольная работа [118,8 K], добавлен 21.04.2010Власні числа і побудова фундаментальної системи рішень. Однорідна лінійна система диференціальних рівнянь. Побудова фундаментальної матриці рішень методом Ейлера. Знаходження наближеного рішення у вигляді матричного ряду. Рішення неоднорідної системи.
курсовая работа [378,9 K], добавлен 26.12.2010Системи лінійних рівнянь з двома змінними з параметром. Тригонометричні рівняння та системи тригонометричних рівнянь з параметрами. Лінійні та квадратні нерівності. Застосування графічних методів паралельного переносу в розв’язанні задач з параметрами.
дипломная работа [1,3 M], добавлен 16.06.2013Рішення основних систем лінійних рівнянь. Визначники другого та третього порядку. Властивості визначників, теорема розкладання. Теорема Крамера для систем рівнянь. Доцільність рішення задачі автоматизованим способом. Ймовірність допущення помилок.
курсовая работа [386,2 K], добавлен 18.12.2010Ознайомлення з нестандартними методами рішення рівнянь і нерівностей. Відомості з історії математики про рішення рівнянь. Розгляд та застосування на практиці методів рішення рівнянь і нерівностей, заснованих на використанні властивостей функції.
дипломная работа [1,4 M], добавлен 26.01.2011Лінійні діофантові рівняння. Невизначені рівняння вищих порядків. Невизначене рівняння Ферма. Приклади розв’язання лінійних діофантових рівнянь та системи лінійних діофантових рівнянь. Алгоритми знаходження всіх цілочисельних розв’язків рівнянь.
курсовая работа [1,7 M], добавлен 29.12.2010Прийоми розв’язання задач в першому і другому степені на Далекому Сході та Греції. Досягнення арабських математиків в області алгебраїчних рівнянь. Розв'язання похідного кубічного рівняння. Найвидатніші теореми про радикали вищих степенів, їх розв’язання.
курсовая работа [536,1 K], добавлен 23.02.2014Визначення системи лінійних рівнянь та її розв’язання. Поняття рангу матриці, правило Крамера та види перетворень з матрицею. Способи знайдення оберненої матриці А–1 до невиродженої матриці А. Контрольні запитання та приклади розв’язування задач.
задача [73,5 K], добавлен 25.03.2011Умова існування цілих розв’язків лінійних діофантових рівнянь, алгоритм Евкліда. Розв’язування лінійних рівнянь з двома змінними в цілих числах. Методика вивчення діофантових рівнянь в загальноосвітніх школах. Діофантові рівняння вищих порядків.
курсовая работа [758,4 K], добавлен 15.05.2019Визначення поняття "рівняння з параметрами", розгляд принципів рішення даних рівнянь на загальних випадках. Особливості методів розв'язання рівнянь із параметрами, зв'язаних із властивостями показовою, логарифмічною й тригонометричною функціями.
реферат [68,3 K], добавлен 15.02.2011Вивчення рівняння з однією невідомою довільного степеня та способів знаходження коренів таких рівнянь. Доведення основної теореми алгебри. Огляд способу Ньютона встановлення меж дійсних коренів алгебраїчних рівнянь. Відокремлення коренів методом Штурма.
курсовая работа [1,1 M], добавлен 06.10.2012
