Алгебраїчні рівняння

Размещено на http://www.allbest.ru/

Тема: Алгебраїчні рівняння

1. Загальні відомості про рівняння

Визначення. Рівнянням називається рівність, який містить перемінні величини і виконується лише при деяких значеннях цим перемінних.

Нехай -- функція, яка визначена при дійсних значеннях і приймає лише дійсні значення. Якщо , то число називається нулем функції або коренем рівняння

. (1)

Розв'яжемо рівняння (1) означає знайти всі його корні і доказати відсутність інших корнів, крім найдених. Два рівняння , називається еквівалентним або рівносильним, якщо множина їх рішення співпадає. Процес рішення рівняння (1) -- це перетворення рівняння (1) до виду, який позволяє легко знайти його корні. Під година перетворення рівняння (1) область визначення рівняння може змінюватися і при цьому можливо поява сторонніх корнів або втрата корнів.

Приклад. При розв'язанні ірраціонального рівняння

, (2)

зводимо дві частини рівняння в квадрат

, , .

При зведенні рівняння в квадрат область припустимих значень розширюється і появляються сторонній корінь , який являється коренем рівняння

. (3)

При зведенні в квадрат обох частин рівняння (3) може приходити до рівняння .

Приклад. Розв'яжемо алгебраїчне рівняння

.

Прирівнюючи чисельники, приходимо до рівняння

, .

Розв'язок не являється розв'язком вихідного рівняння.

2. Рівняння першої ступені з одним невідомим

Розглянемо рівняння першої степені з параметрами

. (1)

1. При рівняння має один розв'язок .

2. При рівняння не має розв'язків.

3. При кожне значення являється розв'язком рівняння. Розв'язок рівняння не єдине. Рівняння має безліч розв'язків.

Приклад. Знайдемо розв'язок лінійного рівняння

 .

Приводимо рівняння до вигляду

, .

Приклад. Лінійне рівняння

,

приводитися до вигляду

Приклад. Розв'яжемо лінійне рівняння

Рівняння має неєдиний розв'язок.

Лінійне рівняння (4) або має єдиний розв'язок, або нескінченну безліч розв'язків, або зовсім не має розв'язків.

Приклад. Режим лінійного рівняння

. (5)

При , рівняння передіятися до вигляду

.

1. Якщо або , те рівняння (5) не має розв'язків.

2. Якщо , те , тобто .

3. Якщо , , , те .

Приклад. Знайти розв'язок рівняння

, (6)

.

1. Якщо , те рівняння (6) не має розв'язків.

2. Якщо , те , .

3. Якщо , , те .

У багатьох випадках систему лінійних алгебраїчних рівнянь можна звести до одного лінійного рівняння вигляду (4).

Приклад. Знайдемо розв'язок системі лінійних рівнянь

З першого рівняння знаходимо

і підставимо в два інших рівняння. Отримаємо систему

З першого рівняння знаходимо , і підставимо в останнє рівняння. Отримаємо одне рівняння з одним невідомим . З попередніх рівнянь знаходимо .

Аналогічно виключаються невідомі з системи лінійних алгебраїчних рівнянь з параметрами.

Приклад. Знайти значення параметра b, при якому система лінійних рівнянь

маємо нескінченно багато розв'язків. Крім невідомого , отримаємо рівняння

При це рівняння, а отже і вихідна система лінійних рівнянь має нескінченно багато розв'язків.

Приклад. Знайти значення параметра , при якому система рівнянь

не має розв'язків. За винятком невідомого , приходимо до рівняння першого ступеня з одним невідомим

 .

При це рівняння вихідна система рівняння не має розв'язків.

Приклад. Знайти значення параметра , яку задовольняє наступній умові. Для будь-якого дійсного значення параметра знайдеться хоча б одне значення параметра таке, що задана система

маємо хоча б один розв'язок.

Вилучимо із системи рівняння невідоме і приходимо до лінійного рівняння

(7)

Якщо , те рівняння (7) має розв'язок за любимо . При або коефіцієнт при в рівняння (7) перетворюється в нуль. Щоб рівняння (7) мало розв'язок необхідно виконати умови

, .

При одному й тому ж значенні параметра , може бути, але при, різних значень параметра . Умови можливості параметра зводиться до нерівностей

звідки знаходимо значення параметра .

Приклад. Знайдемо умови можливості розв'язання системи лінійних рівнянь

Складаючи всі рівняння системи, знаходимо

, .

Віднімаючи з цього рівняння системи, знаходимо

.

Цей розв'язок існує, якщо .

Вправи для розв'язування

1. ;

2. ;

3. ;

4. ;

5. ;

6. ;

7. ;

8. ;

9.

при ;

10. За яких значень параметра для довільного дійсного значення знайдеться хоча б одне дійсне значення параметра таке, що задана система рівнянь

має хоча б один розв'язок.

3. Рівняння другої ступені з одним невідомим

Алгебраїчне рівняння другої степені з одним невідомим

(8)

називається також квадратним рівнянням. Рівняння вигляду

називається наведеним квадратним рівнянням і має розв'язок

.

Для рівняння (8) цей розв'язок можна представити у вигляді

.

Для корнів приведеного квадратного рівняння справедлива формула Вієтта

.

Цей результат являється наслідком тотожності

.

Корені квадратного рівняння (8) дійсне і різні при , кратні при і не являються дійсними при . Якщо , те багаточлен

з дійсними коефіцієнтами приймає значення лише одного знака. При багаточлен приймає значення одного знака, за винятком одної крапки -- кратного кореня рівняння (8), де багаточлен набуває нульового значення.

Приклад. Знайдемо розв'язок рівняння

.

При рівняння має один розв'язок .

При знаходимо дискримінант

і рівняння має два розв'язки

.

Приклад. Розглянемо квадратне рівняння з параметром

.

Необхідно виконати дії .

При цьому приходимо до квадратного рівняння

, (9)

який має дискримінант

.

При рівняння не являється квадратним. При всі коефіцієнти рівняння (9) обертаються в нуль і розв'язком рівняння (9) є довільне значення , а розв'язок рівняння (9) є довільне значення .

При рівняння (9) можна поділити на і при цьому знаходимо два кореня

. (10)

Нерівності набуває вигляду

.

Рівняння має розв'язок . Розв'язок рівняння існують лише при . Остаточно отримаємо розв'язок рівняння.

1. При рівняння не має розв'язків.

2. При рівняння має довільний розв'язок .

3. При рівняння має єдиний розв'язок .

4. При рівняння має дворазові розв'язки .

5. При рівняння має різні розв'язки.

6. При рівняння має два різних розв'язків (10).

Приклад. Розв'яжемо рівняння з параметром

.

Якщо , те рівняння не являється квадратним. Розв'язуючи рівняння , знаходимо .

При рівняння має єдиний розв'язок .

При рівняння має розв'язок .

При знаходимо дискримінант

і знаходимо корені рівняння

.

Приклад. Розв'яжемо рівняння

.

Зразу можна зробити висновок, що .

При цьому рівняння зводиться до вигляду

.

Знаходимо дискримінант цього рівняння

.

При виконуються умови . При , знаходимо розв'язок рівняння

. (11)

Якщо , те рівняння має єдине рішення . Перевіримо виконання умови , який приймає вид нерівностей

Остаточно знаходимо відповідь.

1. Якщо , те рівняння має єдиний розв'язок .

2. При рівняння розв'язків не має.

3. При рівняння має єдиний розв'язок .

4. Якщо , , те рівняння має два розв'язки (11).

4. Задачі на використання властивостей дискримінанта

Якщо дискримінант , те квадратне рівняння

дискримінант вієтт рівняння

не має дійсних коренів і тому квадратний тричлен

не змінює свого знака при і приймає знак коефіцієнта або коефіцієнта .

Приклад. За яких значень параметра виконується нерівність

.

Необхідною і достатньою умовою виконуються нерівності є виконання системи розумів

.

Розв'язуючи цю систему нерівностей, знаходимо відповідь: .

Приклад. За яких значень параметра нерівність

виконується для будь-якого значення .

Приходимо до системи нерівностей

які мають розв'язок .

Приклад. Знайти всі значення параметра , для яких нерівності

виконується дві любих пари чисел таких, що .

Розв'язок. Якщо , те . Приходимо до системи нерівностей



яку можна записати у вигляді

Приходимо до системи нерівностей для параметра

Ця система має розв'язок .

5. Використання формул Вієтта

Приклад. Знайти значення параметра , при яких відношення коренів рівняння

дорівнює двом.

Маємо систему рівнянь



Оскільки шукаємо тільки значення параметра , то вилучаємо невідомі . Маємо рівняння:

.

Останнє рівняння має розв'язок , .

При з рівняння знаходимо , . При рівняння має розв'язок: , .

Приклад. Знайти добуток значень параметра , за яких торба коренів рівняння

дорівнює сумі квадратів його коренів.

З формул Вієтта знаходимо рівності

Останнє рівняння можна записати у вигляді

Виключаючи , отримаємо рівняння для

.

Приклад. Знайти ціле значення параметра , при якому рівняння

має рівні корені.

Квадратне рівняння має рівні корені, якщо дискримінант дорівнює нулю. Розв'яжемо рівняння

,

знаходимо , . Відповідь .

Приклад. Знайти торбу кубів коренів рівняння

.

Можна знайти корені рівняння і обчислимо торбу кубів коренів

.

Таку ж відповідь можна отримати з допомогою формул Вієтта



.

Функція називається симетричною, якщо вона не змінюється при довільній перестановці аргументів, так як .

Коефіцієнт наведеного квадратного рівняння

.

є симетричними функціями від коренів рівняння.

Завжди можна довільну симетричну функцію через основні симетричні функції , . Це було виконано в попередньому прикладі.

Приклад. При яких значеннях параметра торба квадратів коренів рівняння

буде мінімальною?

Використовуючи формули Вієтта, знаходим

.

Знаходимо дискримінант рівняння

.

Оскільки при довільних значеннях параметра виконується нерівність , те немає обмежень на значення параметра . Торба квадратів коренів приймає найменше значення 1 при .

Приклад. При якому значенні параметра торба квадратів коренів рівняння

приймає найменше значення?

Знаходимо дискримінант рівняння (12)

.

З умови знаходимо, що рівняння (12) маємо рішення лише при . Знаходимо торбу квадратів коренів рівняння (12) по формулах Вієтта

.

Найменше значення лінійна функція може приймати лише на кінці відрізка .

Оскільки , те

досягається при .

Приклад. При яких значеннях параметра рівняння

,

має загальний корінь?

Запишемо рівняння Вієтта

і покладемо . Крім значення отримаємо . Рівняння

,

мають загальний корінь .

Другий спосіб розв'язку прикладу складається в наступному.

Нехай -- загальний корінь рівняння. Маємо систему алгебраїчних рівнянь

(13)

Виключимо . Для цього помножимо другу рівняння на і віднімемо з першого рівняння. Приходимо до рівняння

.

При рівняння (13) не має дійсних розв'язків.

Виключаючи , отримаємо рівняння для параметра

, .

При рівняння (13) не мають спільного кореня. При рівняння (13) має спільний корінь .

Приклад. Знайти значення параметра , при якому один з корнів рівняння

утроє менше одного з корнів рівняння

Розв'язок. Нехай -- корінь рівняння (14), -- корінь рівняння (15). Маємо систему рівняння

з якої знаходимо . Підставляючи в рівняння (14), приходимо до рівняння для

.

При рівняння (14) має корінь , а рівняння (15) має корінь . При рівняння (14) має корінь , а рівняння (15) має корінь .

6. Розміщення корнів квадратного рівняння

Розв'язок задач і розташування коренів квадратного рівняння

, (16)

спирається на ті, що графіком функції являється парабола, яка випукла вниз при і випукла нагору при .

Приведемо прості теореми і розташування коренів квадратного рівняння (16).

Теорема 1. Якщо , те на інтервалі знаходиться один корінь рівняння (16).

Теорема 2. Якщо , те крапка лежить між корнів рівняння (16).

Теорема 3. Якщо , те відрізок лежить між корнів рівняння (16).

Теорема 4. Якщо , те корні рівняння (16) лежати на півосі .

Теорема 5. Якщо , те корні рівняння (16) лежати на півосі .

Теорема 6. Якщо , те корні рівняння (16) лежати на інтервалі .

Приклад. Знайти значення параметра , при яких два корні рівняння

існують і належати інтервалу (0; 3).

Графік функції винний перетинати або торкатися вісь у крапках, які розташовані з права від крапки . Томові маємо нерівності , , , які мають розв'язки .

Другий спосіб розв'язку полягає у відшуканні найменшого кореня квадратного рівняння

і розв'яжемо нерівності , що також приводимо до нерівності .

Приклад. Знайти значення параметра , при яких рівняння

має розв'язок.

Позначимо і отримаємо квадратне рівняння

. (17)

Вихідні рівняння мають розв'язки, якщо рівняння (17) має корінь . Застосуємо загальний метод розв'язку. Дискримінант рівняння (17).

.

Томові рівняння (17) при довільних значеннях параметра має дійсні розв'язки. Функція досягає найменшого значення при .

Рівняння (17) буде мати два розв'язки на відрізку [0; 1] якщо виконуються нерівності

, , .

Ці нерівності несумісні, так як не мають загального розв'язку. Томові рівняння (17) не може мати два кореня на відрізку [0; 1] при будь-якому значенні параметра .

Розглянемо всі другі можливості.

Якщо , те рівняння (17) має корінь .

Якщо , те рівняння (17) має один корінь на інтервалі (0; 1). Звідси випливає, що при умові , так як при рівняння (17) має корінь на інтервалі (0; 1). Остаточно отримаємо, що при рівняння (17) має корінь на відрізку [0; 1], а вихідні рівняння мають дійсні розв'язки.

У даному прикладі можна було б зразу розв'язати рівняння (17)

.

Умова приводимо до нерівності .

Приклад. При яких значеннях параметра корні квадратного рівняння

позитивні.

Знайдемо дискримінант рівняння

 .

Отже, корені рівняння існують при довільних значеннях параметра . Вершина параболи співпадає значення . Для того, щоб корні рівняння були позитивними необхідно і достатньо, щоб виконувались нерівності

Звідси випливає, що корні квадратного рівняння позитивні при .

У цьому прикладі можна знайти корні

, .

З нерівності знаходимо умови .

7. Алгебраїчні рівняння вищих степенів та їх властивості

Алгебраїчним рівнянням вищого степеня називається рівняння виду:

, , . (18)

Якщо , те рівняння називається зведеним.

Позначаємо

 .

Якщо , те називають коренем багаточлена , або рівняння .

Остача від ділення багаточлена на лінійний двочлен дорівнює значенню багаточлена при . Дійсно, нехай

.

де -- многочлен-частка степеня , r -- остача.

Підставляючи замість його значення , одержиме

.

Це твердження відоме під назвою теореми Безу.

З теореми Безу випливають такі наслідки:

1. Число тоді й тільки тоді буде коренем багаточлена , якщо ділився на , необхідно й достатньо, щоб .

Основна теорема алгебри. (Гаусс). Будь-який багаточлен n-го степеня в множині комлексних чисел має n коренів, серед яких можуть бути і такі, що дорівнюють один одному. Будь-який багаточлен n-го степеня в множині комплексних чисел можна податі у вигляді

,

де -- корені багаточлена, -- кратність коренів і .

Якщо багаточлен з речовинними коефіцієнтами мають комплексний корінь те він має сполучений з їм корінь .

Любий багаточлен непарної степені з дійсними коефіцієнтами має по меншій мірі дійсний корінь.

Теорема (Гаусс). Якщо багаточлен з цілими коефіцієнтами може бути розкладений на множники з раціональними коефіцієнтами, те він може бути розкладений на множники з цілими коефіцієнтами.

Наслідок 1. Якщо алгебраїчне рівняння з цілими коефіцієнтами

має раціональний корінь, те він являється дільником .

Наслідок 2. Якщо алгебраїчне рівняння з цілими коефіцієнтами

має раціональний корінь , те р-дільник , q- дільник .

8. Розкладання багаточлена на множники

Висловимо деякі способи розкладання багаточлена на множники.

Розкладання на множники з допомогою групування

Членуй багаточлена групуються так, щоб смороду малі загальний множник, який виноситься за дужки.

Приклад. Розглянемо рівняння

.

Групуємо перші два і останні два члени

, , .

Приклад. Розглянемо рівняння

.

Віднімемо і додамо , а число 20 розіб'ємо на два доданки 16 і 4.

Рівняння розпадається на два рівняння

.

Використання формул скороченого множення

Приклад. Розв'язати рівняння

.

Розкладемо рівняння як різницю квадратів

.

Рівняння розпадається на два рівняння

,

, .

Приклад. Розв'яжемо рівняння

.

Розкладемо ліву і праву частину рівняння на множники

Отримаємо .

Рівняння розпадається на два рівняння

,

, .

Виділення повного квадрата або куба двочлена

Приклад. Розв'яжемо рівняння

.

Виділимо повні квадрати

.

, .

Отримаємо рівняння

,

, .

Приклад. Розв'яжемо рівняння

.

Виділимо повний куб двочлена

, , .

При виділенні повного кубу, коли кубічні рівняння можна перетворити до вигляду

, або

можна попередньо знайти число . З розкладань

знаходимо за формулою

. (19)

Приклад. Розв'яжемо рівняння

.

Знаходимо з формули (19)

і випливає використати розкладання

.

Запишемо рівняння у вигляді

, ,

, .

Приклад. Розв'яжемо рівняння

.

Знаходимо з рівняння (19)

Використаємо розкладання куба суми

.

Помножимо початкове рівняння

на 9. Отримаємо

, ,

, .

Приклад. Розв'яжемо рівняння

.

Знаходимо з рівняння (19)

.

Використаємо розкладання

.

Початкове рівняння можна переписати у вигляді

, . , .

Схема Горнера. Розділимо багаточлен

на двочлен . Отримаємо

-
-
-
-
	26

Це ділення можна здійснити за схемою Горнена

	2	- 1	1	- 4	6
х = 2	2	2 2 - 1 = 3	2 3 + 1 = 7	2 7 - 4 = 10	2 10 + 6 = 26

Коефіцієнти часткового і залишок від ділення 26 знаходиться на схемі Горнера.

Приклад. Розв'яжемо рівняння

.

Раціональні корені рівняння можуть бути лише дільниками числа 6, так як . За схемою Горнера знаходимо

	1	- 4	1	6
х = - 1	1	- 5	6	0
х = 2	1	- 3	0
х = 3	1	0

Це означає, що рівняння буде . Якщо корінь вибраний невдало, те останнє число в рядку не буде дорівнювати нулю.

Приклад. Розв'яжемо рівняння за схемою Горнера

,

	1	- 2	- 18	- 6	9
х = 1	1	- 1	- 19	- 25	- 16
х = - 1	1	- 3	- 15	9	0
х = 3	1	0	- 15	- 36
х = - 3	1	- 6	3	0

З схеми видно, що корені , вибрані невдало і коренями будуть , . Часткове від ділення буде багаточлен . Рівняння маємо корені .

Використання теореми Гаусса

Якщо багаточлен не має раціональних коренів, те використання схеми Горнера даремне, так як неможливо угадати ірраціональні корені.

У цьому випадку можна покладатися розкласти багаточлен з цілими коефіцієнтами на квадратні множники з цілими коефіцієнтами.

Приклад. Розв'яжемо рівняння

.

Це рівняння не має раціональних коренів.

Спробуємо розкласти багаточлен на два квадратні множника з цілими коефіцієнтами

.

Розкриваючи дужки і прирівнюючи коефіцієнти при однакових ступенях , приходимо до системи рівнянь

Отут -- цілі числа. З останнього рівняння знаходимо, що можливі випадки

1) , 2) , 3) , 4) ,

5) , 6) , 7) , 8) .

Оскільки квадратичні множники перестановочні те випадки 1 - 4 повторюють випадки 5 - 6. Томові будемо розглядати лише випадки 1 - 4.

1) . З системи рівнянь

знаходимо .

Оскільки не являється цілим числом, те розкладення на квадратичні множники з цілими коефіцієнтами неможливі.

2) . З системи рівнянь

знаходимо .

Число не являється цілим числом.

3) . З системи рівнянь

знаходимо .

Число не являється цілим числом.

4) ю З системи рівнянь

знаходимо .

Перевіримо виконане рівняння , . Отримаємо розкладання на множники

і розв'яжемо квадратні рівняння.

, ,

, .

Коренями рівняння являються ірраціональні числа.

Викладений спосіб розкладання на множники можна застосовувати і у випадку, коли рівняння має раціональні корені.

Приклад. Розв'яжемо рівняння

.

Шукаємо розкладання на квадратні множники

.

Приходимо до системи рівнянь для цілих коефіцієнтів .

Пробуємо випадки . Приходимо до системи рівнянь

з яких знаходимо розкладання на множники

.

, ,

, .

9. Рівняння, зведені до квадратних рівнянь

Укажемо типи рівнянь, які зводяться до квадратних.

Двочленні рівняння

Двочленними називаються рівняння виду

, .

Розв'язок рівнянь складається в розкладанні рівняння на множники.

Приклад. ,

, , .

Тричленні рівняння

Тричленними рівняннями називаються рівняння виду

, .

Заміна зводимо тричленні рівняння до квадратного.

Приклад. Розв'яжемо рівняння

, , , , ,

, .

При тричленні рівняння називається біквадратним.

Приклад. ,

, , , , ,

, .

Заміна в рівнянні. Розв'яжемо рівняння

 .

Покладемо і отримаємо квадратні рівняння , , , , ; , .

Попереднє перетворення рівнянь

Рівняння вигляду

.

Поділимо чисельник і знаменник шкірного дробу на

і заміна зводимо рівняння до квадратного рівняння.

Приклад. Розв'яжемо рівняння

.

Поділимо чисельник і знаменник на

.

Заміна зводимо до квадратного рівняння

, .

Знаходимо розв'язок рівняння

, .

, .

Приклад. Розв'яжемо рівняння

Поділимо чисельник і знаменник дробів на

.

Заміна приводити до рівняння

, , .

, .

, , .

Рівняння вигляду , (20)

Групуємо членуй

.

Заміна зводиться до квадратного рівняння

.

Приклад. Розв'яжемо рівняння

.

Розкладемо на множники

.

Оскільки , те групуємо перший і останній множник і середні множники

, , ,

, .

, ,

, .

Приклад. Розв'яжемо рівняння

.

Щоб звести до рівняння вигляду (20) помножимо третій і четвертий множники на 2 і 6. Отримаємо

.

Оскільки 5 + 5 = 4 + 6, то групуємо перші і останні множники

.

Позначимо

, ,

, ,

, , .

Приклад. Розв'яжемо рівняння

.

Приводимо рівняння до вигляду 20

.

Оскільки - 1 - 4 = - 2 - 3, то групуємо граничні і середні членуй

.

, , .

Розв'яжемо рівняння

, ,

, , .

Рівняння вигляду (21)

Поділимо рівняння на і отримаємо рівняння

.

Заміна приводимо рівняння до квадратного

.

Приклад. Розв'яжемо рівняння

.

Рівняння не має кореня , поділимо рівняння на

 .

Виконаємо заміну . Отримаємо квадратне рівняння

, .

Розв'яжемо рівняння

,

, .

Приклад. Розв'яжемо рівняння

.

Щоб звести рівняння до рівняння вигляду (21) впровадимо , . Отримаємо рівняння вигляду (21)

.

Поділимо рівняння на

.

Покладемо рівняння на і отримаємо квадратне рівняння , .

Розв'яжемо рівняння

, , ,

, , .

Рівняння вигляду (22)

Поділимо дві частини рівняння на . Отримаємо рівняння

.

яку заміною зводиться до квадратного

.

Приклад. Розв'яжемо рівняння

.

Поділимо рівняння на

 .

Заміна приводимо до квадратного рівняння

, , .

Розв'яжемо рівняння

, ,

, .

Зворотні (симетричні) рівняння

Рівняння вигляду

називається зворотним. Воно зводиться до квадратного рівняння заміною . Поділимо рівняння (23) на . Отримаємо рівняння

.

. Після заміни отримаємо квадратне рівняння

.

Приклад. Розв'яжемо зворотне рівняння

.

Поділимо рівняння на і покладемо .

, .

Розв'яжемо рівняння

,

, .

Приклад. Розв'яжемо рівняння

.

Заміна приводити це рівняння до квадратного

, .

Розв'яжемо рівняння

 , ,

, .

Заміна вигляду (24)

Приклад. Розв'яжемо рівняння

.

Виконаємо заміну перемінних

, , , .

Вихідні рівняння зводяться до квадратного

, .

Розв'яжемо рівняння

, ,

, .

Розглянемо загальне рівняння четвертого порядку

 (25)

і знайдемо умови коли можна виконати заміну вигляду (24).

Поділимо рівняння на .

Отримаємо рівняння

.

Якщо вводитися позначення

,

.

У рівняння можна виконати заміну, якщо

(26)

Приклад. Розв'яжемо рівняння

.

Маємо . Умову (26) виконано. Поділимо рівняння на

 .

Після заміни , отримаємо рівняння

, .

Розв'яжемо рівняння

, ,

, .

Алгебраїчне рівняння четвертого степеня (25) називається зворотним, якщо коефіцієнти рівняння зв'язані рівняннями

, .

так як виконано умову (26).

Зворотне рівняння має вигляд

.

Після ділення на отримаємо рівняння

 .

Заміна зводимо рівняння до квадратного

.

Однорідні рівняння

Рівняння вигляду

(27)

називається однорідним. Якщо багаточлен не має загальних коренів, те поділимо рівняння (27) на або і зводимо рівняння (27) до квадратного

, .

Приклад. Розв'яжемо рівняння

.

Поділимо рівняння на і отримаємо квадратне рівняння

, .

З рівнянь знаходимо корені

, , ,

, , .

Рівняння виду

де вираження поділяється на .

Це рівняння зводиться до однорідного (указав Саушкін О. Ф.).

Приклад.

.

Різниця поділяється на .

Рівняння можна записати у виді

чи .

Поділимо рівняння на й одержимо квадратне рівняння

.

Знаходимо . Вирішуємо рівняння

.

Приклад. Вирішимо рівняння

рівняння можна записати у виді однорідного

.

Поділимо рівняння на

.

Думаючи приходимо до квадратного рівняння

.

Вирішуємо рівняння



.

Рівняння виду зводиться до біквадратного рівняння заміною

.

Приклад .

Уводимо заміну .

Одержимо рівняння .

Розкриваючи дужки, одержимо рівняння

.

Аналогічно зважуються рівняння більш високого ступеня.

Приклад. Вирішимо рівняння

.

Покладемо заміну .

Одержимо рівняння



Чи .

Після скорочення на одержимо біквадратне рівняння

.

Вирішимо рівняння:

.

Остаточно знаходимо значення

.

Рівняння виду зважується виділенням повного квадрата.

.

Приклад. Вирішимо квадратне рівняння

.

Запишемо рівняння у виді

,

.

Думаючи , получимквадратное рівняння

.

Вирішуємо рівняння

.

Приклад. Вирішимо рівняння

.

Виділимо повний квадрат

,

думаючи ,

одержимо квадратне рівняння

.

Вирішуємо рівняння

.

10. Метод Кардано для рішення кубічного рівняння

При рішенні кубічного рівняння

.

Заміна дозволяє привести рівняння до виду

. (28)

Рішення урвнения (28) шукається у виді суми

,

.

Рівняння зводимо до системи рівнянь

 .

Оскільки , те одержимо рівняння . Виключаємо невідоме

.

З квадратного рівняння знаходимо , а потім .

Приклад. Вирішимо рівняння

.

Думаючи , приходимо до рівняння

Зводимо рівняння до системи рівнянь

З рівняння знаходимо

.

З квадратного рівняння знаходимо .

;

.

При і при одержуємо одне значення . Інші рішення знаходяться при використанні комплексних чисел.

Вправи для самостійного розв'язування

1. При яких значеннях параметра корні рівняння більше чим - 1? .

2. При яких значеннях параметра один із коренів рівняння більше, чим, 3, а другий корінь менше 2? .

3. При яких значеннях параметра торба квадратів коренів рівняння більш найменший? .

4. При яких значеннях параметра нерівності виконується для будь-якого х? .

5. Розв'язати рівняння:

Відповідь: при ; при або ; при .

6. При яких значеннях параметра відношення коренів рівняння дорівнює 1,5. .

7. Знайти всі значення параметра таких, що для шкірного з них нерівність виконується для будь-яких значень пара чисел таких, що .

8. При яких значеннях параметра рівняння

має два відмінних дійсних розв'язка? .

9. Розв'язати рівняння

при ; при .

10. При яких значеннях параметра для довільного дійсного значення знайдеться хоча б одне дійсне значення параметра таке, що задана система

має хоча б один розв'язок? .

11. При яких значеннях параметра рівняння має корні різних знаків .

12. Знайти значеннях параметра , при яких корені рівняння

не від'ємні. .

13. При яких значеннях параметра рівняння має хоча б один позитивний корінь? .

14. Знайти значення параметра , при яких два кореня рівняння

а) менше 1; б) більше - 1; в) розділена числом 1.

Відповідь: а) .

б) .

в) .

15. При яких значеннях параметра один корінь рівняння

більше 2, а другий корінь менше 2. .

16. При яких значеннях один корінь рівняння

менше 1, а другий корінь більше 2. .

17. При яких значеннях будь-який розв'язок нерівності являється рішенням нерівності . .

Размещено на Allbest.ru

...