Ірраціональні рівняння

Размещено на http://www.allbest.ru/

3

Тема 1: Ірраціональні рівняння

Рівняння називається ірраціональним, якщо невідоме входить під знаком чи радикала невідоме зводиться в ступінь із дробовим показником. Рішення ірраціонального рівняння зводиться до звільнення від ірраціональності і рішенню отриманого рівняння. При зведенні рівняння в ступінь можуть з'явитися сторонні корені. Тому необхідно робити перевірку, чи є знайдені корені рішеннями вихідного рівняння. Основним методом рішення ірраціональних рівнянь є зведення обох частин рівняння в ступінь. Приведемо основні способи рішення ірраціональних рівнянь.

1. Рівняння на ОДЗ

Знаходимо ОДЗ з умов того, що підкореневе вираження вираження задовольняє умові . При рішенні ірраціонального рівняння перевіряємо, чи входять знайдені корені в ОДЗ.

Приклад. Вирішимо рівняння

.

Зведемо обидві частини рівняння в квадрат

.

Корінь не задовольняє рівнянню, тому що під коренем будуть негативні вираження.

Приклад. Вирішимо ірраціональне рівняння

.

Корені , не входять в ОДЗ і не задовольняють рівнянню.

Приклад. Вирішимо рівняння

.

З рівнянь знаходимо корені , , . Корінь не входить в ОДЗ і є стороннім.

Приклад. Вирішимо рівняння

.

Рівняння має очевидний корінь , що не входить в ОДЗ і є стороннім. Після скорочення на одержимо рівняння

, , .

Варто оцінити значення лівої і правої частин рівняння в ОДЗ. Якщо вони не можуть бути рівними в ОДЗ, то рівняння не має рішення.

Приклад. Вирішимо рівняння

.

Знаходимо ОДЗ . В ОДЗ виконана нерівність , .

Тому рівняння не має рішення.

Приклад. Вирішимо рівняння

.

Знаходимо ОДЗ із нерівностей

Рівняння рішень не має. Приклад. Вирішимо рівняння

.

Знаходимо ОДЗ: . В ОДЗ права частина рівняння негативна, а ліва частина ненегативна. Рівняння не має рішення, .

2. Зведення рівняння в квадрат

Приклад. Вирішимо рівняння

.

Зведемо рівняння в квадрат

.

Приклад. Вирішимо рівняння

.

Виділимо обох частин рівняння в квадрат

Після приведення подібних членів одержимо

.

Приклад. Вирішимо рівняння

.

Перетворимо рівняння

.

Зводимо обох частин рівняння в квадрат

.

Це рішення не задовольняє рівнянню .

Приклад. Вирішимо рівняння

.

Зведемо обох частин рівняння в квадрат. Одержимо

Зведемо рівняння в квадрат

.

Рішення , не задовольняють рівнянню.

Приклад. Вирішимо рівняння

.

Зведемо обох частин рівняння в квадрат

,

чи .

ірраціональний радикал дробовий

3. Метод заміни

Заміна підкореневого вираження спрощує зведення ірраціонального рівняння до раціонального.

Приклад. Вирішимо рівняння

.

Позначимо . Одержимо рівняння

Одержимо рівняння

.

Приклад. Вирішити рівняння

.

Позначимо . Одержимо рівняння

.

Приклад. Вирішити рівняння

.

Позначаючи , одержимо рівняння

.

. Вирішуємо рівняння

;

.

Приклад. Вирішити рівняння

.

Думаємо . Одержимо рівняння

.

З рівняння .

Приклад. Вирішити рівняння

.

Думаємо .

Вирішуємо рівняння: .

Звідси знаходимо .

Приклад. Вирішити рівняння

.

Думаємо . Одержимо рівняння

.

Приклад. Вирішити рівняння

.

Виділимо повний квадрат

.

Уведемо заміну: .

З рівняння , знаходимо .

.

Приклад. Вирішити рівняння

.

Уведемо позначення . Рівняння прийме вид

.

Рівняння рішення не має.

Рівняння має корені: .

Приклад. Вирішити рівняння

.

Позначимо . Одержимо рівняння

.

Вирішуємо рівняння

Корінь -- сторонній.

Приклад. Вирішити рівняння

.

Позначимо , одержимо рівняння .

. Знаходимо .

4. Виділення повного квадрата

При рішенні ірраціональних рівнянь часто використовують прийом виділення повного квадрата.

Приклад. Вирішити рівняння

.

Виділимо під радикалами повний квадрат

чи

.

Вирішуємо рівняння на інтервалах і знаходимо корені , .

Приклад. Вирішити рівняння

.

Позначимо й одержимо рівняння

.

Одержимо рішення .

Приклад. Вирішити рівняння

.

Запишемо рівняння

чи

чи

чи .

Приклад. Вирішити рівняння

.

Під знаком кореня -- повний квадрат

.

Знаходимо ОДЗ

З першої системи знаходимо . Корінь -- сторонній.

З другої системи знаходимо .

Корінь -- сторонній.

Приклад. Вирішити рівняння

.

Виділимо повний квадрат

.

Покладемо . Одержимо рівняння

.

Позначимо й одержимо рівняння

.

Якщо покладемо , то одержимо систему

.

Віднімаючи рівняння, одержимо

.

Вирішуємо рівняння

Оскільки .

5. Множення на сполучене вираження

Приклад. Вирішити рівняння

(1)

Помножимо обох частин рівняння на сполучене вираження

.

Одержимо рівняння

. (2)

Маємо корінь рівняння . З рівнянь (1), (2) знаходимо

.

Зводимо обох частин рівняння в квадрат.

.

Корінь не задовольняє рівнянню.

Приклад. Вирішити рівняння

.

Ліву і праву частини рівняння множимо і поділяємо на сполучені вираження

.

Одержимо рівняння

.

Є загальний множник .

Приклад. Вирішити рівняння з кубічними иррациональностями

.

Помножимо на сполучене вираження .

Одержимо різницю кубів

.

Одержимо більш просте рівняння

.

Покладемо , . Одержимо

, , ; , .

6. Однорідні ірраціональні рівняння

Рівняння виду

називається однорідним. Воно зводиться до квадратного рівняння заміною

.

Приклад. Розв'язати рівняння

.

Уведемо позначення

і приходимо до рівняння

, , .

З рівняння

, .

Приклад. Розв'яжемо рівняння

чи .

Думаючи, , ,

, , , .

Корінь не задовольняє рівнянню.

7. Розкладання на множники

Приклад. Розв'язати рівняння

Знайдемо спочатку ОДЗ із нерівностей

Винесемо загальний множник

Зведемо обидві частини рівняння до квадрату

,

або , .

Приклад. Розв'язати рівняння

Винесемо корінь четвертого ступеня за дужки

, , , .

Приклад. Розв'язати рівняння

Винесемо корінь за дужки

, ;

, , , .

8. Рівняння з кубічними ірраціональностями

Розглянемо ірраціональні рівняння виду

(3)

Зведемо обидві частини рівняння в куб

.

Використаємо для спрощення рівняння (3)

. (4)

Зведемо обидві частини рівняння в куб

Якщо рівняння (3) маємо корінь, те він є коренем рівняння (4). Однак рівняння (4) може мати корінь, який не є коренем рівняння (3).

Позначимо:

, , .

Рівняння (4) приймає вигляд

.

Це рівняння відрізняється від рівняння (30, яку можна записати у виді . Якщо рівняння (4) має зайві корені, те смороду є коренями рівнянь

, , .

; , . (5)

Якщо при рішенні рівняння (4) з'явилися зайві корені, то вони задовольняють системі рівнянь (5).

Приклад. Вирішимо рівняння

.

Зводимо обох частин рівняння в куб

; .

, . Цей корінь не задовольняє рівнянню, але є коренем системи рівнянь (5)

; , .

Приклад. Розв'яжемо рівняння

.

Зводимо рівняння в куб по формулі (4)

; ; .

Корінь не задовольняє рівнянню, але задовольняє системі рівнянь

; ; .

Приклад. Розв'яжемо рівняння

.

По формулі (4) знаходимо

, , .

Перевірка показує, що корінь -- сторонній.

9. Заміна радикалів новими невідомими

Основним способом рішення складних ірраціональних рівнянь є заміна кожного радикала новим невідомої. Це дозволяє звести ірраціональне рівняння до системи алгебраїчних рівнянь.

Приклад. Розв'яжемо рівняння

.

Уведемо позначення

,

і при цьому приходимо до системи алгебраїчних рівнянь

.

У першу чергу виключаємо невідоме .

Звідси знаходимо рішення , , .

Приклад. Розв'яжемо рівняння

.

Позначимо радикали

Рівняння зводиться і системі рівнянь

У першу чергу виключаємо невідоме

.

Одержимо рівняння

.

Яке розкладається на множники

.

Вирішуємо рівняння

Корень не задовольняє рівнянню.

Приклад. Розв'яжемо рівняння

.

Уводимо позначення

Рівняння зводиться до системи рівнянь

Розкладемо перше рівняння на множники

.

Вирішуємо рівняння

1)

2) , .

10. Уведення параметра (представив Саушкин О. Ф.)

Також як і в алгебраїчні рівняння можна вводити допоміжний параметр, що спрощує рішення рівнянь.

Приклад. Розв'язати рівняння

.

Запишемо рівняння у виді

.

Заміна приводить рівняння до виду

.

Уводимо параметр , думаючи .

Одержимо ірраціональне рівняння з параметром

, .

Одержимо квадратне рівняння відносно

.

Знаходимо рішення

, .

Для відшукання одержимо рівняння

, ,

, , .

Звідси знаходимо значення

, , , .

Корені , -- сторонні.

Приклад. Розв'язати рівняння

.

Уводимо параметр . Одержимо рівняння

, .

Звільняючись від ірраціональності, одержимо рівняння

, .

Підставляючи значення , одержимо рішення

,

,

,

.

Рівняння задовольняє лише корінь .

Приклад. Розв'язати рівняння

.

Знаходимо ОДЗ

.

Зводимо обох частин рівняння в квадрат

;

, , , .

Корінь не входить в ОДЗ. Якщо , то . Знайдемо значення , при яких маємо корінь . Підставимо у вихідне рівняння

;

, ; .

Відповідь: при ; при .

11. Рівняння з модулями

Рівняння з модулями примикають до ірраціональних рівнянь, тому що

. (6)

Звичайно використовують визначення по формулі.

.

Приклад. Вирішити рівняння

.

Припустимо, що й одержимо рівняння . Якщо , то , .

Приклад. Вирішити рівняння

.

Знайдемо крапки, у яких модулі звертаються в нуль

, ; , .

Ці крапки розбивають числову вісь на частині, у кожній з який вираження під знаком модуля не змінюють знак.

1) ; , ;

2) ; , маємо тотожності;

3) ; , . Відповідь .

Приклад. Вирішити рівняння

.

Знайдемо крапки, де , , . Розглядаємо всілякі окремі випадки.

1) , , ;

2) ; , ;

3) ; , .

Приклад. Розв'язати систему рівнянь

Розглянемо усілякі випадки

1) ,

. Знайшли рішення системи.

2) ,

. Рішення не задовольняє умові.

3) ,

. Рішення не задовольняє умові.

4) ,

. Знайшли рішення системи.

З формули (6) випливають правила внесення і винесення множників під радикал

. (7)

Якщо множник вноситься під радикал, то поза радикалом залишається знак множника .

Приклад. Розв'язати рівняння

.

Помножимо рівняння на , .

.

Розглянемо можливі випадки.

1) . Вносимо позитивний множник під знак радикала

, ,

, . ; , .

Корінь не задовольняє умові. Відповідь .

2) . Вносимо негативний множник під знак радикала по формулі (7)

, , , , .

, , . Корінь не задовольняє умові. Відповідь .

12. Системи ірраціональних рівнянь

Системи двох ірраціональних рівнянь дуже різноманітні, важко вказати загальні способи їхнього рішення. Звичайно намагаються виключити одне невідоме й одержати одне рівняння з одним невідомим.

Приклад. Розв'язати систему рівнянь

Позначимо , , , .

Із систем рівнянь знаходимо

1) , , , ;

2) , , , .

Приклад. Розв'язати систему рівнянь

Позначимо , і одержимо систему рівнянь

.

Вирішуємо системи рівнянь

1. .

2. .

Приклад. Розв'язати систему рівнянь

.

Зводимо обох рівнянь у квадрат

.

. Вирішуємо рівняння

, ,

, , , .

Питання для самоперевірки

1. Як знаходити ОДЗ?

2. Як вирішувати рівняння з кубічними ірраціональностями?

3. У чому складається заміна радикалів новими невідомими?

4. Як вирішувати рівняння з модулями?

5. Як вирішувати однорідні рівняння?

Размещено на Allbest.ru

...