Показові логарифмічні рівняння
Показова і логарифмічна функція. Перетворення логарифмічних виразів. Способи розв’язання логарифмічних і показових рівнянь. Показово-степеневі рівняння та системи показових і логарифмічних рівнянь. Основні властивості показових функцій та логарифмів.
| Рубрика | Математика |
| Вид | лекция |
| Язык | украинский |
| Дата добавления | 26.01.2014 |
| Размер файла | 104,1 K |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Размещено на http://www.allbest.ru/
План
1. Показова функція
2. Логарифмічна функція
3. Перетворення логарифмічних виразів
4. Способи розв'язання логарифмічних рівнянь
5. Способи розв'язання показових рівнянь
6. Показово-степеневі рівняння
7. Системи показових і логарифмічних рівнянь
Питання для самоперевірки
Вправи для самостійного розв'язування
Показові логарифмічні рівняння
показова логарифмічна рівняння функція
Для наближеного вичислення показової і логарифмічної функцій можна використати наступні розкладання
, .
Збіжність можна отримати якщо покладемо
,
.
Показову функцію можна розкласти в ряд
.
Збіжність ряду можна покращити, поклавши
.
Значення логарифмів можна знайти з розкладання
,
.
Отримаємо і отримаємо розкладання в ряд
Ці розкладання можна використовувати при комплексних значеннях аргументів. В подальшому припускаємо, що всі аргументи і функції є дійсними.
1. Показова функція
Приведемо деякі властивості показників функції .
1. .
2. .
3. .
4. .
5. .
6. .
7. .
При показова функція зростає при всіх значеннях х, при показова функція убуває при всіх значеннях х (Рис. 8. 1).
Рис. 8. 1
2. Логарифмічна функція
Логарифмічна функція є функція зворотна до показової функції .
При логарифмічна функція зростає при , при логарифмічна функція убуває при (Рис. 8. 2).
Рис. 8. 2
Визначення. Логарифм числа b по заснуванню а називається степінь, в яку потрібно звести до основи а, щоб отримати число b
.
Звичайно думають .
Основні тотожності для визначення логарифмів
.
Приведемо деякі властивості логарифмів
1. .
2. .
3. .
4. .
5. .
6. .
7. Формула переходу до нової основи
.
8. .
9. .
10.
11. .
12. .
Доказ останніх формул 8-11 випливає з формули 7.
3. Перетворення логарифмічних виразів
Обчислити
1. .
2. .
3. .
4.
.
5. .
6. .
7. .
Позначимо: , тоді ,
. Отримаємо
.
8. .
Покладемо , отримаємо .
.
9. .
10. .
11. .
12.
13. Знайти , якщо .
.
14. Дано: . Знайти .
.
15. Знайти , якщо .
Перейдемо до основи х.
.
.
4. Способи розв'язання логарифмічних рівнянь
1. Перехід до загальної основи. Якщо в рівнянні є логарифми з різними основами, то переходимо до загальної основи.
Приклад. ,
,
.
Приклад. . Переходимо до основи 5.
,
.
2. Потенціювання. Якщо під знаком логарифма є сума або різниця, то рівняння потенціюють. Розв'язок обов'язково перевіряють.
Приклад. . Перейдемо до основи 2.
.
Потенціюємо рівняння. .
Корінь не задовольняє рівняння.
Приклад. .
Корінь не задовольняє рівняння.
3. Логарифмування. Якщо в показнику при невідомому є логарифми невідомого, то звичайно рівняння логарифмується.
Приклад. ,
. Логарифмуємо рівняння по основі 10. .
Приклад. ,
, , .
4. Спосіб позначень. Логарифмічне рівняння зводиться до алгебраїчного рівняння.
Приклад. , ,
.
Приклад. . Позначимо .
.
5. Розкладання на множники. Рівняння розкладається на множники і кожний множник прирівнюється до нуля.
Приклад. ,
,
.
Приклад. .
Позначимо: , . Отримаємо рівняння , які розкладаємо на множники.
, .
1)
2) .
Корінь не задовольняє рівняння.
6. Графічний спосіб розв'язання. Рівняння записується у вигляді . Будуються графіки функцій , і шукаються точки їх перетинання, які визначають розв'язок рівняння.
Приклад. Розв'яжемо графічні рівняння .
Графіки функцій , перетинаються в точці . Розв'язок .
Приклад. Розв'яжемо рівняння
. Позначимо .
Отримаємо рівняння: , які мають очевидне розв'язання . Ліва частина монотонно зростає і тому - єдиний корінь. .
Звичайно при розв'язанні логарифмічних рівнянь використовується декілька способів їх перетворення.
Приклад. . Переходимо до основи 3.
.
Потенціюємо рівняння: :
. Логарифмуємо рівняння по основі 3.
.
Приклад. .
1. Припустимо, що . Рівняння приймає вид тотожності
.
2. Нехай . Отримаємо рівняння
. Потенціюємо рівняння.
.
5. Способи розв'язання показових рівнянь
1. Прирівнювання показників при одній підставі
З рівняння знаходимо .
Приклад. ,
;
.
Приклад. .
Прирівнюємо показники при основі 5.
.
Корінь не задовольняє рівняння.
2. Логарифмування рівняння.
Приклад. . Логарифмуємо рівняння по основі 3.
,
.
Приклад. . Оскільки , то можна логарифмувати рівняння.
.
3. Спосіб позначень.
Приклад. . Позначимо .
.
.
Приклад. . Позначимо
. При цьому ; .
.
Приклад. . Позначимо
:
.
4. Однорідні рівняння.
Рівняння , можна переписати у вигляді
.
Вважаючи , отримаємо рівняння .
Приклад. . Перепишемо рівняння у вигляді
,
.
Приклад.
х = 1, 18681439.
Приклад. . Запишемо рівняння у вигляді
;
.
5. Розкладання рівняння на множники.
Рівняння намагаємося подати у вигляді і прирівнюємо до нуля кожний множник.
Приклад. . Покладемо і розкладемо рівняння на множники . Приходимо до рівняння: ; . Рівняння розв'язується графічно і знаходимо корінь .
Приклад. .
Покладемо і згрупуємо члени з множниками
.
1) , 2) , ;
. Корінь не задовольняє рівняння.
6. Показово-степеневі рівняння
Розглядається рівняння
Приведемо часткові випадки цього рівняння.
1) , функція існує.
2) , функції існує.
3) , , .
4) . Числа - цілі, одинакові парності.
Приклад. .
1) .
2) .
3) . При підстановці в рівнянні отримаємо . Оскільки - не існуюче вираження, то корінь не задовольняє рівняння.
4. .
Приклад. .
1) .
2) .
3) - не задовольняє рівняння.
4) .
Деякі рівняння можна розглядати як показові так і логарифмічні.
Приклад. .
Потенціюємо рівняння. ,
.
Приклад. Розв'яжемо рівняння .
Переходимо до основи 3. ;
.
1) .
2) .
Приклад. :
.
7. Системи показових і логарифмічних рівнянь
Для розв'язання системи рівнянь намагаються зменшити число рівнянь, крім невідомих.
Приклад.
Позначимо . Отримаємо систему рівнянь
.
Приклад. Логарифмуємо систему рівнянь
по основі 2. Отримаємо систему лінійних рівнянь
.
З очевидним розв'язком .
Приклад. .
Виключаємо і приходимо до одного рівняння
.
Приклад. . Розділимо перші рівняння на другі
.
Приклад. .
Запишемо систему рівнянь у вигляді
.
Приклад.
Другий розв'язок не задовольняє рівняння
Приклад.
З першого рівняння знаходимо .
З системи рівнянь знаходимо .
Приклад.
З першого рівняння знаходимо ,
. Друге значення не задовольняє умові
. .
Питання для самоперевірки
1. Графіки показових і логарифмічних функцій.
2. Знайти границі:
.
3. Властивості показових функцій.
4. Властивості логарифмів.
5. Способи розв'язання логарифмічних рівнянь.
6. Способи розв'язання показових рівнянь.
Вправи для самостійного розв'язування
1. Обчислити
(10)
2. (1)
3. (4)
4. (0)
5. (0)
6. Визначити , якщо
7. (169)
8. (0)
9. (16)
10. (81)
Розв'язати рівняння
11. (0)
12. (3)
13. (-1; 1)
14. (37)
15.
16.
17. (1; 2)
18.
19.
20. (20)
21.
22.
23. (9)
24. (9)
25. (-0, 5)
26. (0)
27.
28.
29. (2)
30.
31.
32.
33. (-1; 3)
Розв'язати системи рівнянь
34. (1; 2), (16; - 28)
35. (5; 1), (5; - 1)
36. (3; 27)
37. (4; 2)
38.
39. (1; 1)
40. (8; 4)
41. (4; 1)
42.
43. (27; 4)
Размещено на Allbest.ru
...Подобные документы
Лінійні діофантові рівняння. Невизначені рівняння вищих порядків. Невизначене рівняння Ферма. Приклади розв’язання лінійних діофантових рівнянь та системи лінійних діофантових рівнянь. Алгоритми знаходження всіх цілочисельних розв’язків рівнянь.
курсовая работа [1,7 M], добавлен 29.12.2010Визначення поняття "рівняння з параметрами", розгляд принципів рішення даних рівнянь на загальних випадках. Особливості методів розв'язання рівнянь із параметрами, зв'язаних із властивостями показовою, логарифмічною й тригонометричною функціями.
реферат [68,3 K], добавлен 15.02.2011Розв’язання систем лінійних рівнянь методом Жордана-Гауса. Еквівалентні перетворення системи, їх виконання як елемент методів розв’язування системи рівнянь. Базисні та вільні змінні. Лінійна та фундаментальна комбінації розв’язків, таблиці коефіцієнтів.
контрольная работа [170,2 K], добавлен 16.05.2010Чисельні методи розв’язання систем нелінійних рівнянь: лінійні і нелінійні рівняння, метод простих ітерацій, метод Ньютона. Практичне використання методів та особливості розв’язання систем нелінійних рівнянь у пакеті Mathcad, Excel та на мові С++.
курсовая работа [2,0 M], добавлен 30.11.2010Прийоми розв’язання задач в першому і другому степені на Далекому Сході та Греції. Досягнення арабських математиків в області алгебраїчних рівнянь. Розв'язання похідного кубічного рівняння. Найвидатніші теореми про радикали вищих степенів, їх розв’язання.
курсовая работа [536,1 K], добавлен 23.02.2014Розв'язання системи рівнянь методом Гауса і за формулами Крамера. Знаходження власних значень і векторів матриці, косинуса кута між векторами. Визначення з якої кількості товару більш вигідним становиться продаж у магазині. Диференціювання функцій.
контрольная работа [104,7 K], добавлен 06.03.2013Розгляд теоретичних основ рівнянь з параметрами. Основні види даних рівнянь. Аналітичний та графічний методи розв’язування задач із використанням формул, властивостей функцій. Ознайомлення із системою розв’язування задач з параметрами для 9 класу.
курсовая работа [605,9 K], добавлен 29.04.2014Системи лінійних алгебраїчних рівнянь, головні означення. Коротка характеристика головних особливостей матричного способу, методу Жордано-Гаусса. Формули Крамера, теорема Кронекера-Капеллі. Практичний приклад розв’язання однорідної системи рівнянь.
курсовая работа [690,9 K], добавлен 25.04.2013Етапи розв'язування задачі дослідження певного фізичного явища чи процесу, зведення її до диференціального рівняння. Методика та схема складання диференціальних рівнянь. Приклади розв'язування прикладних задач за допомогою диференціального рівняння.
контрольная работа [723,3 K], добавлен 07.01.2016Розв’язання системи рівнянь методом Крамера, методом оберненої матриці та методом Гаусса. Розрахунок довжини ребра, кута між ребрами, рівняння висоти, рівняння площини грані і кута між ребром та гранню. Дослідження функції та побудува її графіку.
контрольная работа [397,0 K], добавлен 30.10.2011Визначення системи лінійних рівнянь та її розв’язання. Поняття рангу матриці, правило Крамера та види перетворень з матрицею. Способи знайдення оберненої матриці А–1 до невиродженої матриці А. Контрольні запитання та приклади розв’язування задач.
задача [73,5 K], добавлен 25.03.2011Історія створення теорії алгебраїчних рівнянь. Сутність системи лінійних алгебраїчних рівнянь в лінійній алгебрі. Повна характеристика методів розв'язання рівнянь: точні, ітераційні та ймовірнісні. Особливості теорем Гауса-Жордана та Габріеля Крамера.
реферат [543,7 K], добавлен 23.04.2015Історія розвитку математичної науки. Математичне моделювання і дослідження процесів і явищ за допомогою функцій, рівнянь та інших математичних об`єктів. Функції, їх основні властивості та графіки, множина раціональних чисел. Розв`язання типових задач.
книга [721,3 K], добавлен 01.03.2011Умова існування цілих розв’язків лінійних діофантових рівнянь, алгоритм Евкліда. Розв’язування лінійних рівнянь з двома змінними в цілих числах. Методика вивчення діофантових рівнянь в загальноосвітніх школах. Діофантові рівняння вищих порядків.
курсовая работа [758,4 K], добавлен 15.05.2019Аналіз найвідоміших методів розв’язування звичайних диференціальних рівнянь і їх систем, користуючись рекомендованою літературою. Розробка відповідної схеми алгоритму. Розв’язання системи звичайних диференціальних рівнянь в за допомогою MathCAD.
лабораторная работа [412,4 K], добавлен 21.10.2014Класичні та сучасні наближені методи розв'язання диференціальних рівнянь та їх систем. Класифікація наближених методів розв'язування. Розв'язування трансцендентних, алгебраїчних і диференціальних рівнянь, методи чисельного інтегрування і диференціювання.
отчет по практике [143,9 K], добавлен 02.03.2010Теоретичні основи розв’язування рівнянь з параметрами. Функція пряма пропорційність. Загальне поняття про аналітичний та графічний метод. Дробово-раціональні рівняння з параметрами, що зводяться до лінійних. Система розв’язування задач для 9 класу.
курсовая работа [596,8 K], добавлен 21.03.2013Неперервність функцій в точці, області, на відрізку. Властивості неперервних функцій. Точки розриву, їх класифікація. Знаходження множини значень функції та нулів функції. Розв’язування рівнянь. Дослідження функції на знак. Розв’язування нерівностей.
контрольная работа [179,7 K], добавлен 04.04.2012Графічний спосіб розв'язку рівнянь. Комбінований метод пошуку та відокремлення коренів. Метод Ньютона (метод дотичних або лінеаризації). Процедура Ейткена прискорення збіжності. Метод половинного поділу та простих ітерацій уточнення коренів рівняння.
лекция [1,9 M], добавлен 27.07.2013Системи лінійних рівнянь з двома змінними з параметром. Тригонометричні рівняння та системи тригонометричних рівнянь з параметрами. Лінійні та квадратні нерівності. Застосування графічних методів паралельного переносу в розв’язанні задач з параметрами.
дипломная работа [1,3 M], добавлен 16.06.2013
