Нерівності
Основні поняття показових логарифмічних рівнянь. Нерівності першої степені з одним невідомим. Квадратні нерівності та метод інтервалів. Ірраціональні та показові, логарифмічні, тригонометричні та алгебраїчні нерівності. Сутність системи нерівностей.
| Рубрика | Математика |
| Вид | лекция |
| Язык | украинский |
| Дата добавления | 26.01.2014 |
| Размер файла | 112,4 K |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Размещено на http://www.allbest.ru/
План
1. Основні поняття
2. Нерівності першої степені з одним невідомим
3. Квадратні нерівності
4. Метод інтервалів
5. Ірраціональні нерівності
6. Показові нерівності
7. Логарифмічні нерівності
8. Система нерівностей
9. Тригонометричні нерівності
10. Алгебраїчні нерівності
Питання для самоперевірки
Вправи для самостійного розв'язування
1. Основні поняття
логарифмічна тригонометрична алгебраїчна нерівність
Два математичних вирази, з'єднані знаком «більше» >, «менше» <, «не більше» або «не менше» , називаються нерівностями.
Запис позначає, що або або .
Нерівності бувають чисельні і буквені. Якщо в нерівність входять перемінні, то нерівність називається з перемінними. Якщо нерівність виконується при всіх значеннях перемінних, то воно називається тотожним нерівністю.
Нерівність називається алгебраїчним, якщо з перемінними виконуються алгебраїчними діями. Інші нерівності називаються неалгебраїчними або трансцендентними.
Приведемо властивості нерівностей.
1. Якщо , то .
2. Якщо , , то .
3. Якщо , .
4. Якщо , , то , .
5. Якщо , , то .
6. Якщо і n - натуральне число, то , .
2. Нерівності першої степені з одним невідомим
Нерівність вигляду називається нерівністю першої степені з одним невідомим.
Приклад. Розв'яжемо нерівність
.
Розв'язок. , .
Система двох нерівностей зводиться до одного з наступних випадків.
1. 2. 3. 4. .
Якщо , то розв'язком системи нерівностей будуть:
1. 2. 3. 4.
Приклад. Розв'яжемо систему нерівностей
Система нерівностей приймає вигляд
.
3. Квадратні нерівності
Розглянемо квадратні нерівності
. (1)
Якщо , то нерівність (1) виконано при всіх при і нерівність (1) не виконане ні в одній точці при .
Якщо , то нерівність (1) завжди виконано в точці . Нерівність (1) виконано при при і не виконано при при .
При знаходимо корні рівняння
, .
При нерівність виконано при .
При нерівність виконано при .
Можна сформувати просте правило.
Якщо квадратну нерівність (1) виконано при великих значеннях , то воно виконано поза відрізка обмеженого коренями рівняння . Якщо нерівність (1) не виконано при великих значеннях , то воно виконано на відрізку, обмеженими коренями рівняння (1).
Приклад. Розв'яжемо нерівність .
Оскільки нерівність не виконано при великих значеннях , то воно виконано між коренями рівняння , , так як при .
Приклад. Нерівність виконано при великих значеннях , то воно виконано поза інтервалу, обмеженого коренями рівняння , так як при .
Часто зустрічається нерівність вигляду
, (2)
які рівносильні системі нерівностей.
Приклад. Розв'яжемо рівняння
.
По формулі (2) отримаємо систему нерівностей:
, або .
4. Метод інтервалів
Метод інтервалів застосовується при розв'язанні любих нерівностей, але простіше всього застосовується при розв'язанні раціональних нерівностях вигляду
. (3)
- натуральні показники степені. Для розв'язання нерівностей знаходять корні лівої частини нерівностей і наносять на числову вісь. Потім приводять криву так, що крива вище найбільшого кореня лівої частини нерівності. При переході через корінь лівої частини нерівності (3) крива залишається з тієї ж сторони від вісі х, якщо показник -парний і переходить на другу від вісі х, якщо показник - непарний.
Приклад. Розв'яжемо нерівність
.
Наносимо корені на вісь х і малюємо криву, визначаючу знаки лівої частини нерівності.
Рис. 9. 1.
Нерівності мають розв'язок .
Приклад. Розв'яжемо нерівність
.
Розкладемо ліву частину нерівності на множники
.
Можна поділити ліву частину на множники , які завжди позитивні
.
Відкладаємо на числовій осі точки .
Рис. 9. 2.
Розв'язком нерівності є тільки значення .
Приклад. Розв'яжемо більш складніші раціональні нерівності
.
Відкладемо на числовій вісі точки , , в яких ліва частина нерівності може змінити свій знак.
Рис. 9. 3.
Точки , в яких нерівність не виконується відмічаємо пустим кружечком. Утворюється розв'язок нерівності
.
5. Ірраціональні нерівності
Як правило, ірраціональні нерівності зводяться до одного з наступних нерівностей
(4)
Нерівність (4) виконано в одному з двох випадків
.
Нерівність
(5)
виконано, якщо виконані нерівності
Приклад. Розв'яжемо рівняння
.
Маємо нерівність вигляду (4). Розв'яжемо системи нерівностей
.
Остаточно знаходимо розв'язок .
Приклад. Розв'яжемо ірраціональну нерівність
.
Маємо нерівність вигляду (5).
.
Приклад. Розв'яжемо нерівність
.
Потрібно окремо розв'язати нерівність і рівняння
.
Остаточно отримаємо розв'язок .
Приклад. Розв'яжемо нерівність
.
Розв'яжемо окремо нерівність і рівняння
.
Остаточно отримаємо розв'язок .
Кожна ірраціональна нерівність можна розв'язати методом інтервалів. Для цього заміняють нерівність рівністю, розв'язують рівняння і знаходять ОДЗ. Точки, відповідні розв'язкам розбивають ОДЗ на частини. Якщо в одній точці частини виконано нерівність, то воно виконано в усіх точках частини. Якщо в одній точці частини нерівності не виконано, то воно не виконується в усіх точках частини.
Приклад. Розв'яжемо нерівність методом інтервалів
. (6)
Знаходимо ОДЗ з нерівності
ОДЗ: . Замість нерівності розв'яжемо рівняння
.
Наносимо точки на числову вісь
Рис. 9. 4.
1. Підставляємо точку із інтервалу в нерівність. Отримаємо нерівність , які не виконуються. Тому нерівність (6) не виконується в усіх точках інтервалу .
2. Підставимо точку із інтервалу . Отримаємо здійсненну нерівність . Отже, нерівність (6) виконано на інтервалі .
3. Візьмемо точку із інтервалу . Отримаємо невиконану нерівність . Отже, нерівність (6) не виконано ні в одній точці інтервалу .
Розв'язок нерівності (6) .
6. Показові нерівності
Показові нерівності приводять до нерівності вигляду
(7)
Якщо , то .
Якщо , то .
Приклад. Розв'яжемо показові нерівності
.
Перейдемо до основи 3
.
. Розв'яжемо нерівності методом інтервалів і находимо розв'язок .
Приклад. Розв'яжемо показові нерівності
.
Запишемо нерівність у вигляді
.
Поділимо нерівність на і отримаємо
.
Позначимо , отримаємо нерівність
, .
1) .
2) . Відповідь .
7. Логарифмічні нерівності
Логарифмічні нерівності зводяться до нерівності вигляду
(8)
1. Якщо , то .
2. Якщо , то .
Приклад. Розв'яжемо нерівність
.
Запишемо нерівність у вигляді (8)
і знаходимо розв'язок .
Приклад. Розв'яжемо нерівність
.
Запишемо нерівність у вигляді
.
Звідси знаходимо ,
, .
Найбільш складними являються логарифмічні нерівності, коли основи логарифмів залежать від х.
(9)
Приходимо до двох систем нерівностей
1. , 2. .
Загальний розв'язок яких утворить розв'язок нерівності (9).
Приклад. Розв'яжемо нерівність
.
Розв'яжемо систему нерівностей
1. 2. .
Остаточна відповідь .
Приклад. Розв'яжемо логарифмічну нерівність
.
Запишемо нерівність у вигляді (9)
і розглянемо можливі випадки
1. 2. .
Побудуємо графік функції .
При отримаємо нерівність
, .
При отримаємо нерівність
, , .
При отримаємо нерівність
, ; .
Розв'язок нерівності .
8. Система нерівностей
Нерівність вигляду розв'язується з допомогою побудови графіка рівняння .
Приклад. Знайти область існування функції
.
Величина існує, якщо виконана система нерівностей
.
Будуємо графіки рівнянь , і знаходимо область, де виконано дві нерівності. Якщо нерівність строго, то границя позначається пунктирами. (Рис. 9. 5). Шукана область штрихується.
Рис. 9.5
Приклад. Знайти область існування функції
.
Функція існує, якщо виконано нерівність
.
Область зображена на рис. 9. 6.
Рис. 9.6
9. Тригонометричні нерівності
Всі тригонометричні нерівності зводяться до одного з наступних нерівностей.
І. .
Рис. 9. 7.
З рис. 9. 7 знаходимо розв'язок
. (7)
Приклад. Розв'яжемо нерівність
.
Вважаючи отримаємо квадратну нерівність
.
Розв'яжемо нерівність
.
ІІ.
З рис. 9. 7. знаходимо розв'язок
. (8)
Приклад. Розв'яжемо нерівність
.
Думаючи , отримаємо квадратну нерівність
.
Розв'яжемо нерівності
1) ;
2) .
ІІІ. .
Рис. 9. 8
З рис. 9. 8 знаходимо розв'язок нерівності
(9)
Приклад. Розв'яжемо нерівність
.
Покладемо і розв'яжемо нерівність
.
Розв'яжемо нерівності
1) ;
2) .
IV. . З рис. 9. 8 знаходимо розв'язок
(10)
Приклад. Розв'яжемо нерівність
.
Позначивши , приходимо до нерівності
.
Розв'яжемо нерівності
1) ;
2) .
.
IV.
Рис. 9. 9
З рис. 9. 9 знаходимо розв'язок нерівності
. (11)
Аналогічно розв'язується нерівність
. (12)
Приклад. Розв'яжемо нерівність
.
Покладемо . Отримаємо нерівність
.
Розв'яжемо нерівності:
.
V.
Рис. 9.10
Нерівність має розв'язок
(13)
Аналогічно нерівність має розв'язок
(13)
Приклад. Розв'яжемо нерівність
.
Думаючи отримаємо .
Розв'яжемо нерівність,
.
Приклад. Розв'яжемо нерівність
.
Позначаючи , отримаємо нерівність
.
Розв'яжемо нерівність:
1) ;
2) .
10. Алгебраїчні нерівності
Приведемо деякі невідомі нерівності
1. Нерівність Коші:
. (15)
2. Нерівність Гельдера при
. (16)
3. (17)
Приведемо приклади розв'язку нерівностей.
Приклад. Довести нерівність
.
Якщо , то нерівність виконується. Якщо , то зведемо нерівність до квадратів
,
. Нерівність виконано.
Приклад. Довести, що для будь-якого трикутника із сторонами виконується нерівність
.
Оскільки дві частини нерівностей позитивні, то зведемо нерівність в квадрат
.
Оскільки , то нерівність виконано.
Приклад. Доказати нерівність
.
Помножимо нерівність на 2. Отримаємо нерівність
,
які очевидно виконуються.
Приклад. Довести, що при будь-яких додатних значеннях а і b має місце нерівність
.
Зведемо нерівність в квадрат
,
,
.
При тотожних перетвореннях нерівностей отримали здійснені нерівності, що доказує справедливість нерівності.
Приклад. Довести, що , якщо .
Покладемо і розглянемо функцію . Щоб знайти мінімум функції знаходимо похідну
.
З рівняння знаходимо .
Отже , , .
Якщо , то .
Приклад. Довести нерівність
.
Розкриваючи дужки, отримаємо нерівність
,
,
.
При тотожних перетвореннях отримаємо очевидно виконану нерівність.
Питання для самоперевірки
1. Приведіть властивості нерівностей.
2. Як розв'язується квадратні нерівності?
3. В чому перебуває метод інтервалів?
4. Як розв'язуються ірраціональні нерівності?
5. Розв'язок показових нерівностей.
6. Розв'язок логарифмічних нерівностей.
7. Розв'язок тригонометричних нерівностей.
Вправи для самостійного розв'язування
Розв'язати нерівність
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
25.
26.
27.
28.
29.
30.
31.
32.
33.
34.
35.
36.
37.
38.
39.
40.
41.
42.
43.
44.
45.
46.
47.
48.
49.
Довести нерівність
50. , якщо - сторони трикутника.
51. , якщо - сторони трикутника.
52. , де є площа трикутника із сторонами .
53. , де є площа трикутника із сторонами .
54. , де - висоти, опущені відповідно на сторони ; - є радіус вписаного в трикутник кола.
55. , ; - радіус описаного кола трикутника, - радіус вписаного кола трикутника.
56. , де - радіус вписаного кола, - висоти, приведені на сторони .
57. , де - медіани, проведені на сторони .
Размещено на Allbest.ru
...Подобные документы
Системи лінійних рівнянь з двома змінними з параметром. Тригонометричні рівняння та системи тригонометричних рівнянь з параметрами. Лінійні та квадратні нерівності. Застосування графічних методів паралельного переносу в розв’язанні задач з параметрами.
дипломная работа [1,3 M], добавлен 16.06.2013Форми організації навчально-методологічної діяльності. Формалізування предметного способу дій. Аналіз програмних вимог. Властивості неперервних функцій. Ірраціональні та раціональні нерівності. Розв'язування квадратичних нерівностей методом інтервалів.
курсовая работа [1,8 M], добавлен 07.01.2016Загальні відомості про раціональні нерівності, теореми про рівносильність нерівностей. Методи розв'язування раціональних нерівностей вищих степенів узвгальненим методом інтервалів, методом заміни змінної. Розв'язування дробово-раціональних нерівностей.
курсовая работа [774,9 K], добавлен 01.04.2010Вивчення теорії інтегральних нерівностей типу Біхарі для неперервних і розривних функцій та її застосування. Розгляд леми Гронуолла–Беллмана–Бiхарi для нелiнiйних iнтегро-сумарних нерiвностей. Критерій стійкості автономної системи диференціальних рівнянь.
курсовая работа [121,7 K], добавлен 21.04.2015Узагальнення учбового матеріалу шкільного курсу алгебри в розділі "Рівняння та нерівності"; розробка пропозицій щодо використання програмно-графічного комплексу Microsoft Mathematics 4.0 для впровадження інтегрованих інноваційних методологій викладання.
дипломная работа [2,2 M], добавлен 16.06.2013Ознайомлення з нестандартними методами рішення рівнянь і нерівностей. Відомості з історії математики про рішення рівнянь. Розгляд та застосування на практиці методів рішення рівнянь і нерівностей, заснованих на використанні властивостей функції.
дипломная работа [1,4 M], добавлен 26.01.2011Складання плану виробництва при максимальному прибутку. Введення додаткових (фіктивних) змінних, які перетворюють нерівності на рівності. Розв’язування задачі лінійного програмування графічним методом та економічна інтерпретація отриманого розв’язку.
контрольная работа [298,3 K], добавлен 20.11.2009Оцінка ймовірності відхилення випадкової величини Х від її математичного сподівання. Знаходження дисперсії випадкової величини за допомогою теореми Бернуллі. Застосування для випадкової величини нерівності Чебишова. Суть центральної граничної теореми.
реферат [88,5 K], добавлен 02.02.2010Розгляд властивостей абсолютних величин і теорем про рівносильні перетворення рівнянь і нерівностей, що містять знак модуля. Формулювання маловідомих тверджень, що істотно спрощують традиційні алгоритмічні способи рішення шкільних, конкурсних задач.
дипломная работа [675,1 K], добавлен 15.02.2011Сутність симплекс-методу у вирішенні задач лінійного програмування. Рішення задачі на відшукання максимуму або мінімуму лінійної функції за умови, що її змінні приймають невід'ємні значення і задовольняють деякій системі лінійних рівнянь або нерівностей.
реферат [28,5 K], добавлен 26.02.2012Функціональні методи рішення тригонометричних і комбінованих рівнянь. Рішення тригонометричних нерівностей графічним методом. Відомість тригонометричних рівнянь до алгебраїчних. Перетворення й об'єднання груп загальних рішень тригонометричних рівнянь.
дипломная работа [773,7 K], добавлен 25.02.2011Системи лінійних алгебраїчних рівнянь, головні означення. Коротка характеристика головних особливостей матричного способу, методу Жордано-Гаусса. Формули Крамера, теорема Кронекера-Капеллі. Практичний приклад розв’язання однорідної системи рівнянь.
курсовая работа [690,9 K], добавлен 25.04.2013Стандартні ірраціональні рівняння й методи їхнього рішення. Застосування основних властивостей функції: області визначення рівняння, значень, монотонності та обмеженості функції. Застосування похідної. Методи рішення змішаних ірраціональних рівнянь.
курсовая работа [406,7 K], добавлен 14.01.2011Метод простої ітерації Якобі і метод Зейделя. Необхідна і достатня умова збіжності методу простої ітерації для розв’язання системи лінейних рівнянь. Оцінка похибки. Діагональне домінування матриці як умова збіжності ітерації. Основні переваги цих методів.
презентация [79,9 K], добавлен 06.02.2014Чисельні методи розв’язання систем нелінійних рівнянь: лінійні і нелінійні рівняння, метод простих ітерацій, метод Ньютона. Практичне використання методів та особливості розв’язання систем нелінійних рівнянь у пакеті Mathcad, Excel та на мові С++.
курсовая работа [2,0 M], добавлен 30.11.2010Історія створення теорії алгебраїчних рівнянь. Сутність системи лінійних алгебраїчних рівнянь в лінійній алгебрі. Повна характеристика методів розв'язання рівнянь: точні, ітераційні та ймовірнісні. Особливості теорем Гауса-Жордана та Габріеля Крамера.
реферат [543,7 K], добавлен 23.04.2015Основні поняття чисельних методів розв’язання систем лінійних алгебраїчних рівнянь. Алгоритм Гаусса зведення системи до східчастого виду послідовним застосуванням елементарних перетворень. Зворотній хід методу Жордана-Гаусса. Метод оберненої матриці.
курсовая работа [165,1 K], добавлен 18.06.2015Прийоми розв’язання задач в першому і другому степені на Далекому Сході та Греції. Досягнення арабських математиків в області алгебраїчних рівнянь. Розв'язання похідного кубічного рівняння. Найвидатніші теореми про радикали вищих степенів, їх розв’язання.
курсовая работа [536,1 K], добавлен 23.02.2014Визначення системи лінійних рівнянь та її розв’язання. Поняття рангу матриці, правило Крамера та види перетворень з матрицею. Способи знайдення оберненої матриці А–1 до невиродженої матриці А. Контрольні запитання та приклади розв’язування задач.
задача [73,5 K], добавлен 25.03.2011Огляд складання програми на мові програмування С++ для обчислення чотирьох лінійної системи рівнянь матричним методом. Обчислення алгебраїчних доповнень до елементів матриці. Аналіз ітераційних методів, заснованих на використанні повторюваного процесу.
практическая работа [422,7 K], добавлен 28.05.2012
