Комплексні числа

Размещено на http://www.allbest.ru/

Лекція

на тему: Комплексні числа

Зміст

1. Походження комплексних чисел

2. Визначення комплексних чисел

3. Дії з комплексними числами

4. Дії з комплексними числами в тригонометричній формі

5. Показова функція. Формула Ейлера

6. Гіперболічні функції

7. Логарифмічна функція

8. Зворотні тригонометричні функції

1. Походження комплексних чисел

Спочатку люди користувалися лише натуральними числами 1, 2, 3, …, які можна було порахувати на пальцях. При розв'язку рівнянь першої степені:

З'явилися раціональні і негативні числа. Спочатку за використанням негативних чисел в багатьох державах назначалася смертна кара. Потім знайшли наочне пояснення негативних чисел. Числам зіставлялися точки на числовій вісі. Позитивним числам відповідали крапки, розташовані на числовій осі по одну сторону від початку відліку.

Негативним числам відповідали крапки, розташовані на числовій осі по іншу сторону від початку відліку.

Ще великі проблеми з'явилися при рішенні квадратних рівнянь. При рішенні рівняння х² = m, довелося вводити ірраціональні числа. Коли було доведено, що число не можна представити раціональним дробом виду:

Де:

n, m - натуральні числа, то багато математиків чи збожеволіли чи покінчили життя самогубством.

При рішенні рівняння х² = -1, довелося ввести мниму одиницю. Числа вигляду:

Стали називати комплексними. Квадратне рівняння:

Має комплексні рішення:

Потім було доведено, що не існує більш загальних чисел, чим комплексні числа. Гаусс довів, що алгебраїчне рівняння будь-якого ступеня n = 1, 2, 3:

З комплексними коефіцієнтами має рівно n комплексних рішень.

Комплексні числа вигляду:

- можна представляти крапками на площині.

Комплексні числа одержали загальне поширення. Вони виявилися необхідними в інженерних і економічних розрахунках і тому були у всіх країнах світу включені в шкільні програми для обов'язкового вивчення. Усупереч цьому комуністична партія СРСР заборонила комплексні числа в школі. Це привело до того, що школярі дотепер заучують помилкові твердження, наприклад: «квадратні рівняння при негативному дискримінанті не має рішень», «логарифми негативних чисел не існують», «функції арксинус і арккосинус не існують, якщо аргумент по модулі більше одиниці», «корінь з негативного числа не існує» і т. ін.

Відзначимо, що усі функції, розглянуті в шкільному курсі математики, можуть бути обчислені для комплексних значень аргументу.

2. Визначення комплексних чисел

Комплексні числа є найбільш важливою системою чисел. Дійсні числа є часткою випадку комплексних чисел.

Визначення. Число називається мнимою одиницею. Справедлива рівність і² = -1.

Визначення. Число виду:

Де:

х, у - дійсні числа, називається комплексним числом.

Число Re називається дійсною частиною числа z. Число Im називається мнимою частиною числа z.

Два комплексних числа:

- називаються рівними, якщо в них рівні відповідно дійсні і мнимі частини.

Тобто a₁ = a₂, а також b₁ = b₂.

Для комплексних чисел не визначені знаки: >, ?, <, ?.

Визначення. Числа:

- називаються комплексно сполученими.

Комплексне число зображується крапкою з координатами х = а, або у = b на площині _хО_у, що називається комплексною площиною (рис. 1).

Рис. 1:

Вісь х називається дійсною, вісь у називається мнимою віссю. Комплексно сполученого числа:

- розташовуються симетрично щодо дійсної осі.

Приклад. Вирішимо квадратне рівняння:

Дискримінант менше нуля.

Рівняння не має дійсних рішень.

Знаходимо комплексні рішення:

Ці рішення - комплексно сполучені числа.

Для визначення положення крапки:

На комплексній площині будемо використовувати полярну систему координат (с, ц) (рис. 2).

Рис. 2:

Полярний радіус с називають модулем комплексного числа z.

Полярний кут ц називають аргументом комплексного числа z.

З мал. 2 знаходимо рівності:

(1)

Приклади.

Дано комплексні числа:



Знаходимо:

Визначення. Тригонометричною формою комплексного числа:

- називається запис числа z у виді:

(2)

При цьому знаходимо рівності:

Приклади. Представимо комплексні числа в тригонометричній формі:

Застосуємо поняття модуля й аргументу комплексного числа.

1. Рівняння:

- задає окружність одиничного радіуса з центра на початку координат.

2. Рівняння:

- задає окружність з центром у крапці:

Рис. 3:

3. Рівняння:

- визначає промінь, з початку складовий кут:

З віссю х.

4. Рівняння:

- визначає пряму Re.

3. Дії з комплексними числами

1) Додавання і вирахування. Якщо:

Додавання комплексних чисел аналогічно:

2) Множення. При множенні комплексних чисел варто пам'ятати, що:



Добуток комплексно сполучених чисел завжди дійсне негативне число:

3) Розподіл комплексних чисел. Якщо знаменник с - дійсне число, то:

Якщо знаменник комплексне число, то попередньо множать на комплексно сполучене число:

4) Витяг квадратного кореня. Шукаємо значення:

Одержали систему алгебраїчних рівнянь:

Знаходимо систему рівнянь:



Остаточно знаходимо формулу:

Приклад. Вирішимо квадратне рівняння:

Знаходимо дискримінант:

Приходимо до системи рівнянь:

Приходимо до нової системи рівнянь:

Остаточно одержимо розв'язок:



4. Дії з комплексними числами в тригонометричній формі

1) Множення. Дано два комплексних числа:

Знаходимо їхній добуток:

(3)

Приходимо до правила. Модуль добутку дорівнює добутку модулів. Аргумент добутку дорівнює сумі аргументів співмножників.

2) Розподіл. Як і вище знаходимо рівність:

Модуль відносини чисел дорівнює відношенню модулів цих чисел. Аргумент відносини дорівнює різниці аргументів чисельника і знаменника.

3) Зведення в ступінь. З формули (3) одержимо формулу:

В окремому випадку одержимо формулу Муавра:

 (4)

Приклад. При з формули (4):

Знаходимо відомі формули:

Одержимо рівність:

Відкіля одержимо рівності:

4) Витяг кореня n-го ступеня. Покладемо:

Зведемо рівність у n-у ступінь:

Відкіля знаходимо:



(5)

Усі значення коренів:

Приклад. Маємо:

У результаті знаходимо всі чотири розв'язки рівняння:

5. Показова функція. Формула Ейлера

Найбільш простий і одночасно найбільш важлива є показова функція з підставою е = 2,718281828.

Число е називається числом Аелера. Значення показової функції можна знайти з розкладання функції в статечний ряд:

(6)

Ряд (6) швидко сходиться при досить малих значеннях z.

Якщо значення z велике, то можна використовувати формулу:

(7)

P якого знаходимо рівність:

- придатне для обчислення при великих значеннях z.

Значення показової функції можна знайти по формулі:

(8)

В окремому випадку при z = іу з формули (8) знаходимо формулу Ейлера:

(9)

Значення показової функції при довільному комплексному значенні аргументу знаходиться по формулі:

(10)

Приклад:



При заміні у на -у по формулі (9) одержимо формулу:

(11)

Складаючи і віднімаючи формули (9), (11) приходимо до інших формул Ейлера:

(12)

Ці формули можна використовувати для одержання різних тригонометричних формул.

Приклад. З формул (12) знаходимо:

Аналогічно знаходимо:

6. Гіперболічні функції

У розрахунках часто застосовуються гіперболічні функції:

- гіперболічний косинус.

- гіперболічний синус.

- гіперболічний тангенс.

- гіперболічний котангенс.

Рис. 4:

Рис. 5:

Гіперболічний функції тісно зв'язані з тригонометричними функціями:

(13)

З цих формул одержуємо аналогічні формули:

(14)

Оскільки гіперболічні функції виражаються через тригонометричні функції від чисто мнимого аргументу, то для гіперболічних функцій будуть справедливі формули, аналогічні формулам для тригонометричних функцій.

У формулах для тригонометричних функцій:

Замінимо х на іх й одержимо аналогічні формули для гіперболічних функцій:



За допомогою гіперболічних функцій можна знаходити значення тригонометричних функцій від комплексних аргументів:

Аналогічні формули справедливі для гіперболічних функцій від комплексного аргументу:

7. Логарифмічна функція

Логарифмічна функція визначається з рівності:

А з рівності:



Знаходимо:

Остаточно одержимо аналітичні вираження для логарифмічної функції:

(15)

Логарифмічна функція має нескінченне число значень. Якщо z - позитивне дійсне число, то лише одні зі значень In буде дійсним. При обході z навколо крапки z = 0 в позитивному напрямку проти вартовий стрілки arg одержує додатковий доданок 2р, а функція In одержує доданок 2р1.

Приклад. Знайдемо:

Логарифми негативних чисел існують, приймають нескінченне число комплексних значень.

Приклад. Знайдемо:

Знайдемо:

Для відшукання логарифмів можна використовувати розкладання в статечний ряд:

З цього розкладання можна одержати ряд:

(16)

Яке застосовано при Re.

Вміючи обчислювати логарифми можна визначити показову функцію з довільною підставою по формулі:

(17)

Приклад:

Знайдемо значення негативного числа в ірраціональному ступені:

Усі значення усюди щільно лежать на одиничній окружності.

Аналогічно знаходяться значення статечної функції по формулі:

 (18)

Якщо:

То статечна функція при обході z навколо початку координат одержує додатковий множник, і після n обходів приходимо до первісного значення, тому що:

Функція:

- багатозначна і приймає n різних значень, що відрізняються множником:

8. Зворотні тригонометричні функції

Знайдемо вираження для зворотних тригонометричних функцій через логарифмічну функцію:



Приводимо до квадратного рівняння:

Остаточно одержимо формулу:

(19)

Приклад. Обчислимо значення функції:

Приклад. Обчислимо значення функції:

(20)

Приклад. Обчислимо значення функції:

Приклад. Знайдемо значення функції:

Маємо рівняння:

З рівняння:

Знаходимо:

рівняння математичний тригонометричний

Остаточно знаходимо вираження:

(21)

Приклад:

Приклад. Обчислимо значення функції:

Приклад. Обчислимо значення функції:

На закінчення відзначимо, що функції комплексного перемінних мають властивості, що дозволяють обчислювати визначені інтеграли, вирішувати задачі математичної фізики, знаходимо конформні відображення.

Размещено на Allbest.ru

...