Задачі на складання системи рівнянь та нерівностей

Размещено на http://www.allbest.ru/

1

ЛЕКЦІЯ

ЗАДАЧІ НА СКЛАДАННЯ СИСТЕМ РІВНЯНЬ ТА НЕРІВНОСТЕЙ

ВСТУП

Задачі на складання рівнянь становлять розділ математики, що традиційно пропонується на вступних іспитах з математики. Під час розв'язування цих задач розвивається логічне мислення, формуються дослідницькі навички, а також уміння виконувати складні перетворення, що виникають у процесі розв'язування відповідних систем рівнянь та нерівностей.

Текстові задачі умовно можна поділити на такі головні види:

1) задачі на «РУХ»;

2) задачі на числа;

3) задачі на відсотки;

4) задачі на «працю»;

5) «нестандартні» задачі.

1. ЗАДАЧІ НА РУХ

Розглянемо тепер задачі на складання рівнянь, які умовно можна назвати задачами на рух. Система рівнянь, яку необхідно скласти на підставі умов кожної з таких задач, містить зазвичай параметри руху: пройдену відстань (s, l, r), швидкості тіл, що рухаються, (u, v, w), час руху (t, Т).

Зауважимо, що позначення тих чи інших невідомих прийнятими для них у фізиці буквами зосереджує увагу на суті задачі, робить систему рівнянь більш зрозумілою для розв'язування задачі, виключає випадкові помилки, що можуть виникати через безликість введених позначень.

Припущення, що звичайно приймаються (якщо не зроблено іншого застереження) в умовах задач на рух, полягають ось у чому:

а) повороти тіл, що рухаються, вважаються миттєвими, тобто відбуваються без витрат часу, швидкість при цьому також змінюється миттєво;

б) якщо тіло рухається за течією ріки, то його швидкість w складається зі швидкості в стоячій воді v і швидкості течії ріки u:

А якщо проти течії ріки, то його швидкість дорівнює:

Якщо в умові задачі мова йде про рух плотів, то це означає, що тіло рухається зі швидкістю плину ріки.

До задач на рух належать також задачі, в яких хтось виконує деяку роботу, задачі, пов'язані з наповненням і спорожнюванням резервуарів. У задачах такого типу робота чи об'єм резервуара відіграє роль відстані, а продуктивність об'єктів, що виконують роботу, аналогічні швидкостям руху.

У задачах на рух особливо корисно будувати ілюстративний рисунок, фіксуючи всі характерні моментами-зустрічі, зупинок і поворотів. Вдалий рисунок допомагає зрозуміти зміст задачі, усвідомити зв'язок між даними та невідомими. Приклади таких креслень наведено нижче.

При розв'язуванні задач на рух доводиться розглядати такі дві ситуації:

а) рух двох назустріч одне одному (рис. 1), якщо початкова відстань між двома точками, що рухаються назустріч одна одній зі швидкостями і дорівнює то час, через який вони зустрінуться, дорівнює:

б) рух в одному напрямі (рис. 2), якщо початкова відстань між двома точками, з яких:

Рис. 1:

Рис. 2:

Одна наздоганяє іншу, дорівнює той час, через який друга точка (швидкість ) дожене першу (швидкість ), дорівнює:

Розглянемо тепер методику складання рівнянь по тексту задачі. Зробимо це на конкретних прикладах. Наприклад: Міста А і В розташовані на березі річки, причому місто В розташоване нижче за течією. О 9-й годині ранку з міста А до міста В відпливає пліт і одночасно з міста В до міста А відпливає човен, який зустрічається з плотом через 5 годин. Допливши до міста А, човен повертає у зворотному напрямі і припливає одночасно з плотом. Чи встигне човен або пліт прибути до міста В о 9 годині вечора (того самого дня).

За умовою задачі будуємо рис. 3.

Рис. 3:

Виділимо з умови задачі речення, математичний запис яких утворить рівняння. Їх два:

- човен і пліт відправляються одночасно і зустрічаються через 5 годин;

- човен повертається в місто В одночасно з плотом.

Для математичного запису цих речення потрібно з'ясувати, які невідомі потрібно розглянути.

В основу вибору невідомих можна покласти простий принцип: невідомі варто вводити так, щоб за їх допомогою найлегше записати у вигляді рівнянь наявні в задачі умови.

При цьому зовсім не обов'язково, щоб величина, яку потрібно визначити, фігурувала серед невідомих.

Наприклад, у розглядуваній задачі такі параметри, як відстань між містами s, швидкість течії ріки (і плоту) u і швидкість човна в стоячій воді v, дають змогу дуже просто записати всі наявні умови (див. таблицю).

В останньому рівнянні співвідношення являє собою час руху плоту:

- час руху човна проти течії.

- час руху човна вниз за течією ріки.

Таким чином, маємо систему двох рівнянь із трьома невідомими. Ясно, що всі три невідомих s, u і v з цієї системи двох рівнянь однозначно знайти не можна. Тому звернемося ще раз до умови задачі. Що ж потрібно визначити? У задачі запитується, чи встигне човен або пліт прибути в місто В до 9 год. вечора, тобто більший чи менший за 12 год. час руху човна. Оскільки цей час дорівнює s/u, то з'ясовується, що потрібно визначити не самі невідомі s і u, а тільки їх відношення, величину s/u.

Систему рівнянь задачі можна записати в такому вигляді:

Або:

Таким чином, ця система фактично містить тільки два невідомих: s/v і u/v. З другого рівняння визначається значення співвідношення u/v. Таким чином, маємо:

Після цього відразу визначається співвідношення:

Виходить, човен і пліт не встигнуть приплисти в пункт В до 9 год. вечора того ж дня.

Зауваження. 1. Умова цієї задачі не містить величин, що мають розмірність довжини. Тому тут можна було б позначити відстань між містами через 1. Фактично це означало б, що відстань між містами взято за одиницю вимірювання довжини. Тоді з першого рівняння знаходимо швидкість руху човна і потім час руху.

2. Розгляд цих двох прикладів показує, у чому полягає методика складання рівнянь за текстом задачі. Її сутність у тому, щоб виділити в тексті задачі ті речення, що пов'язують між собою параметрами руху. Після введення невідомих за принципом найбільшої зручності запису відповідних зв'язків виходять рівняння, що визначають розв'язок задачі.

Як останній приклад в цьому підрозділі розглянемо задачу на виконання роботи. Як уже зазначалося, такі задачі з повним правом можна прирахувати до задач на рух.

Наприклад: Дві машини, що риють тунель назустріч одна одній, закінчили його проходження за 60 днів. Якщо перша машина працювала б 18 днів, а друга 16 днів, то разом вони пройшли б 60 м. тунелю. Якщо перша машина виконала б 2/3 всієї роботи другої машини з проходження тунелю, а друга 0,3 всієї роботи першої машини, то першій знадобилося б для цього на 6 днів більше, ніж другій. Скільки метрів тунелю в день проходить кожна машина?

Введемо, за аналогією до швидкостей у задачах на рух, продуктивності машин (м/день) і (м/день).

Тоді всю роботу - довжину тунелю - можна розглядати як аналог відстані в задачі на рух. Тут - обсяг роботи, виконаної першою машиною, а - обсяг роботи, виконаної другою машиною. Складемо рівняння задачі, користуючись таблицею.

Цю систему зручніше за все розв'язати, якщо записати друге рівняння у вигляді квадратного рівняння для відношення продуктивності:

З двох розв'язків цього рівняння беремо додатний:

2. ЗАДАЧІ, В ЯКИХ КІЛЬКІСТЬ НЕВІДОМИХ ПЕРЕВИЩУЄ КІЛЬКІСТЬ РІВНЯНЬ СИСТЕМИ

Серед прикладів, розглянутих у попереднє, уже зустрічалися задачі, в яких кількість невідомих у системі рівнянь перевищувала кількість самих рівнянь. Причини, що призводили до такої ситуації, пов'язані зі способом розв'язування задач.

Якщо вибирати невідомі для складання рівнянь, керуючись принципом найбільшої зручності математичного запису умов задачі, то тієї величина, яку необхідно знайти, може серед них не бути.

Як правило, така величина подається деякою комбінацією введених невідомих, тому може статися, що однозначно визначити всі невідомі із системи рівнянь неможливо, проте шукана комбінація цих невідомих знаходиться однозначно. Розглянемо кілька прикладів, що ілюструють цей клас задач на складання рівнянь.

Наприклад: Школяр витратив деяку суму грошей на придбання портфеля, авторучки і книги. Якби портфель коштував в 5 разів менше, авторучка - у 2 рази менше, а книга - в 2,5 рази менше, ніж насправді, то та сама покупка коштувала б 8 грн. Якби портфель був у 2 рази дешевшим, авторучка - у 4 рази дешевшою, а книга - в 3 рази дешевшою, те за ту саму покупку школяр заплатив би 12 грн. Скільки коштує вся покупка і за що було сплачено більше: за портфель чи за авторучку? Найбільш природно ввести в цій задачі ціну портфеля, авторучки і книги: і грн. відповідно.

Тоді перша і друга умови задачі дають два рівняння:

Чи:

Таким чином, ми маємо у своєму розпорядженні систему двох рівнянь, в яку входять три невідомих. Зрозуміло, що визначити всі три невідомих однозначно з такої системи не можна. Однак умова задачі і не вимагає цього Необхідно знайти лише вартість усієї покупки, тобто величину:

А така комбінація невідомих легко знаходиться з наведеної системи рівнянь. Справді, коефіцієнти при невідомих у системі такі, що, додавши рівняння системи, дістанемо:

Чи:

Тобто вся покупка коштує 28 грн.

Порівняємо між собою величини х і у. Крім величини із системи рівнянь знаходимо:

Або:

3. ЗАДАЧІ, ЩО РОЗВ'ЯЗУЮТЬСЯ ЗА ДОПОМОГОЮ НЕРІВНОСТЕЙ

Наприклад: З пункту А в пункт В о 8-й годині ранку виходить швидкий потяг. У цей самий момент із В до А виходять пасажирський і кур'єрський потяги, причому швидкість пасажирського потяга в два рази менша за швидкість кур'єрського. Швидкий потяг прибуває в пункт В о 13-й годині 50 хвилині того самого дня, а зустрічає кур'єрський потяг не раніш як 10-й годині 30 хв. ранку.

Знайти час прибуття пасажирського потяга в пункт А, коли відомо, що між моментами зустрічей швидкого потяга з кур'єрським і швидкого потяга з пасажирським минає не менш ніж година. Як це зустрічалося раніше, тут зручно ввести відстань між містами s, а також швидкості потягів: - пасажирського, - швидкого.

Тоді швидкість кур'єрського потяга буде дорівнювати (див. рисунок).

Рис. 4:

Складемо, як звичайно, рівняння (у даному випадку рівняння і нерівності) за допомогою таблиці.

Останню нерівність необхідно пояснити. Відношення:

Є час, що минув від початку руху до зустрічі швидкого і кур'єрського потягів.

А час до зустрічі швидкого і пасажирського потягів дорівнює відношенню:

Різниця цих відношень дорівнює часу, що минув від моменту зустрічі швидкого поїзда з кур'єрським до моменту зустрічі швидкого поїзда з пасажирським.

Ця різниця за умовою більша або дорівнює 1.

Нерівності можна перетворити так:

Підставляючи в ці нерівності значення з першого рівняння і виконуючи перетворення, дістаємо систему нерівностей:

Звідси бачимо, у чому полягає вузловий момент розв'язку цієї задачі. Дістали систему нерівностей, які майже виключають одна одну. Для того щоб така система була сумісною, необхідно щоб виконати рівність:

Саме ця рівність дає нам відсутнє рівняння. У задачі потрібно знайти час прибуття пасажирського потяга в пункт А, тобто величину Маємо:

Отже, пасажирський потяг витрачає на дорогу 8 год. 45 хв.

Таким чином, мі можемо розрахувати, що він прибуває в пункт А о 16 годині 45 хвилин.

4. ЗАДАЧІ З ЦІЛОЧИСЛОВИМИ НЕВІДОМИМИ

Далі розглядаються задачі на складання рівнянь або нерівностей, в яких невідомі величини можуть набувати тільки цілих значень. Дуже часто ці задачі складено так, що розв'язати їх однозначно можна, лише врахувавши цю обставину. математичний рівняння цілочисловий

Наприклад: В автоперегонах беруть участь команди, що мають однакову кількість автомобілів марки «Волга» і марки «Москвич», причому в кожній команді кількість усіх автомобілів менша за 7. Якщо в кожній команді кількість автомобілів марки «Волга» залишити без зміни, а кількість автомобілів марки «Москвич» збільшити в три рази, то загальна кількість «Москвичів», що беруть участь у гонках, буде на 50 більшою від загальної кількості «Волг», а кількість автомобілів у кожній команді перевищить 12. Визначити число команд, що беруть участь у гонках, і кількість «Волг» та «Москвичів» у кожній команді. Позначимо число команд, що беруть участь у гонках, через N, а число «Волг» і «Москвичів» у кожній команді - через т і п відповідно. Умова задачі приводить до такої системи рівнянь і нерівностей (див. таблицю).

Виявляється, що навіть такої невеликої кількості інформації достатньо для однозначного визначення трьох цілих додатних невідомих m, n і N. Справді, подамо останню нерівність системи у вигляді:

Або:

Оскільки т і п - натуральні числа, то першу нерівність системи можна записати так:

Очевидно також, що використовуючи ці обмеження, дістаємо відповідь, що у гонках брали участь 5 команд, у кожній з який 2 «Волги» і 4 «Москвичі».

Размещено на Allbest.ru