Основи планіметрії

Размещено на http://www.allbest.ru/

1

Лекція

ОСНОВИ ПЛАНИМЕТРІЇ

1. Трикутники і їхні властивості

Планіметрія - частина геометрії, у якій вивчаються властивості ліній і фігур на площині.

Початкові поняття геометрії, такі, як площина, пряма, точка, лінія, фігура, вважаються заданими споконвічно і не вимагають спеціального визначення.

Твердження в геометрії мають форму означень, аксіом і теорем. При цьому означення дають необхідні поняття і властивості геометричних об'єктів, аксіоми являють собою твердження, прийняті без доведення, а теореми доводяться за допомогою логічних міркувань.

Рухом називається перетворення площини, що зберігає відстань між будь-якими двома точками.

Фігури називаються рівними, якщо існує рух, що переводить одну фігуру площини в іншу.

Сформулюємо деякі основні означення планіметрії, пов'язані з трикутником.

Трикутником, називається фігура, яка складається з трьох відрізків, які з'єднують кожну пару з трьох точок, що не лежать на одній прямій.

Периметром Р трикутника називається сума довжин сторін цього трикутника.

Медіаною трикутника називається відрізок, що з'єднує вершину трикутника із серединою протилежної сторони.

Висотою трикутника називається відрізок перпендикуляра, опущеного з вершини трикутника на протилежну сторону чи на її продовження.

Бісектрисою кута називається пряма, що поділяє кут на два рівних кути. Бісектрисою трикутника називається відрізок бісектриси кута трикутника, розташований в трикутнику.

Прямокутним називається трикутник, дві сторони якого перпендикулярні (утворять кут 90°). Дві перпендикулярні сторони прямокутного трикутника називаються катетами, а третя сторона - гіпотенузою.

Основні ознаки рівності довільних трикутників:

- Перша ознака. Якщо дві сторони і кут між ними одного трикутника відповідно рівні двом сторонам і куту між ними іншого трикутника, то ці трикутники рівні;

- Друга ознака. Якщо сторона і два протилежних до неї кути одного трикутника відповідно дорівнюють стороні і двом протилежним її кутам іншого трикутника, те ці трикутники рівні;

- Третя ознака. Якщо три сторони одного трикутника рівні трьом сторонам іншого, то ці трикутники рівні.

Теорема 1 (нерівність трикутника). Сума довжин будь-яких двох сторін трикутника більше довжини третьої сторони.

Зауваження. У деяких курсах планіметрії нерівність трикутника розглядається як аксіома.

Співвідношення між сторонами і кутами в довільному трикутнику визначаються теоремами 2 і 3.

Теорема 2. У трикутнику проти більшої сторони лежить більший кут.

Теорема 3. У трикутнику проти більшого кута лежить велика сторона.

Рівнобедреним називається трикутник, дві сторони якого рівні. Третя сторона рівнобедреного трикутника називається його основою.

Теорема 4. Кути при основі рівнобедреного трикутника рівні. обернена теорема: якщо кути при основі трикутника рівні, то трикутник рівнобедрений. Рівностороннім називається трикутник, усі сторони якого рівні. Усі кути рівностороннього трикутника рівні 60°.

2. Паралельність. Паралелограм і трапеція. Подоба трикутників

Паралельними називаються дві прямі, що належать однієї площини, і не мають загальних точок.

Аксіома паралельності (постулат Евкліда). Через точку, що не лежить на даній прямій, можна провести єдину пряму, паралельну даної.

При перетині двох прямих а і b січної утворюється вісім кутів, що носять спеціальні назви:

1) навхрест лежачі кути 3 і 5, 4 і 6;

2) однобічні кути 4 і 5, 3 і 6;

3) відповідні кути 1 і 5, 4 і 8, 2 і 6, 3 і 7.

Рис. 1:

Ознаки паралельності:

1) Якщо при перетині двох прямих навхрест лежачі кути рівні, то прямі паралельні;

2) Якщо при перетині двох прямих січної відповідні кути рівні, то прямі паралельні;

3) Якщо при перетині двох прямих січної сума однобічних кутів дорівнює 180°, то прямі паралельні.

Властивості паралельних прямих формулюються як твердження, зворотні ознакам. Наприклад, властивість 1: «Якщо дві паралельні прямі перетинаються січної, то на хрест лежачі кути рівні».

Наведемо теореми і означення, пов'язані з паралельністю.

Теорема 1. Сума внутрішніх кутів трикутника дорівнює 180°.

Паралелограмом називається чотирикутник, протилежні сторони якого попарно Паралельні.

Ознаки паралелограма:

1) Якщо дві протилежні сторони чотирикутника рівні і Паралельні, те цей чотирикутник - паралелограм;

2) Якщо діагоналі чотирикутника в точці перетинання поділяються навпіл, те цей чотирикутник - паралелограм;

3) Якщо протилежні кути чотирикутника попарно рівні, те цей чотирикутник - паралелограм.

Властивості паралелограма формулюються так само, як твердження, зворотні ознакам паралелограма. Наприклад, властивість 2: «У паралелограмі діагоналі точкою перетину поділяються навпіл».

Трапецією називається чотирикутник, дві протилежні сторони якого паралельні. Ці сторони називають основами трапеції. Дві інші, непаралельні сторони трапеції називають бічними. Трапеція називається рівнобедреною, якщо її бічні сторони рівні.

Трапеція називається прямокутною, якщо одна з її бічних сторін перпендикулярна підставам.

Теорема 2 (теорема Фалеса). Якщо на прямій а відкласти кілька рівних відрізків і через їхні кінці провести Паралельні прямі, то ці прямі відітнуть на будь-якої іншої прямої b рівні між собою відрізки (рис. 2), тобто якщо:

АВ = ВР = CD

A₁B₁ = B₁C₁ = C₁D₁

Рис. 2:

Наслідок. Паралельні прямі відтинають на сторонах кута відповідно пропорційні відрізки, тобто вірно співвідношення:

На основі теореми Фалеса доводиться три важливих для рішення задач теорем.

Теорема 3 (про середню лінію). Середня лінія трикутника, що з'єднує середини двох сторін, паралельна третій стороні і дорівнює її половині.

Теорема 4. Середня лінія трапеції, що з'єднує середини бічних сторін, паралельна основам і дорівнює їхній напівсухі.

Задача. У трапеції ABCD паралельні сторони відповідно мають довжини: ВР = 12, а також AD =20. Знайдемо довжини трьох відрізків, на які діагоналі АС і BD розділяють середню лінію трапеції.

1) МР - середня лінія Д АВС. Тому, по теоремі 2:

2) QN - середня лінія Д ВDC, відповідно:

3) MN - середня лінія трапеції ABCD, тому по теоремі 3 маємо:

PQ = MJV - MP - NQ = 16 - 6 - 6 = 4

Рис. 3:

Теорема 5 (про бісектрису внутрішнього кута трикутника). Бісектриса внутрішнього кута довільного трикутника поділяє протилежну сторону на відрізки, пропорційні протилежним сторонам:

Задача. В прямокутному трикутнику АВС, АС = 3, а також ВР = 4. Знайдемо довжини відрізків, на які бісектриса AD поділяє сторону ВС, а також довжину бісектриси AD.

1) По теоремі Піфагора знаходимо:

2) Нехай AD - бісектриса CAB. Позначимо CD = x, тоді:

BD = 4 - Х

3) По теоремі 5 маємо:

4) По теоремі Піфагора для CAB одержимо:

AD² = АС² + CD²

Тому:

Одержимо відповідь:

Рис. 4:

Два трикутники називаються подібними, якщо їхні відповідні кути рівні.

А схожі сторони пропорційні.

Ознаки подоби трикутників.

Перша ознака. Якщо два кути одного трикутника відповідно рівні двом кутам іншого трикутника, то трикутники подібні.

Друга ознака. Якщо дві сторони одного трикутника відповідно пропорційні двом сторонам іншого, а кути, укладені між ними, відповідно рівні, то трикутники подібні.

Третя ознака. Якщо три сторони одного трикутника відповідно пропорційні трьом сторонам іншого, то трикутники подібні.

В трикутнику АВС проведені відрізки AD і BE, що перетинаються в точці О. Відомі відносини, у яких точки D і Е поділяють відповідні сторони:

Рис 5:

Знайдемо відносини, у яких відрізки AD і BE поділяються крапкою О. Маємо за умовою:

Проведемо відрізок DF, по теоремі Фалеса:

Тоді:



Записуючи ще раз теорему Фалеса, одержимо:

Або:

Аналогічно, якщо через точку Е провести пряму, рівнобіжну AD, знайдемо:

3. Чотирикутники

Чотирикутник називається опуклим, якщо він знаходиться в одній на півплощині щодо кожної прямої, що містить його сторону.

Властивості й ознаки паралелограма, одного з видів чотирикутника, описані А попередньої частини. До окремих випадків паралелограма відносяться такі види чотирикутників, як ромб, прямокутник і квадрат.

Ромбом називається паралелограм, усі сторони якого рівні.

Крім властивостей паралелограма ромб (рис. 6) має власні властивості:

а) діагоналі ромба є бісектриса його кутів;

б) діагоналі ромба взаємно перпендикулярні.

Рис. 6:

Прямокутником називається паралелограм, один з кутів якого прямої.

Особлива властивість прямокутника: діагоналі прямокутника рівні.

Квадратом називається ромб, один з кутів якого прямої кут. Квадрат має як властивості ромба, так і властивості прямокутника.

Медіана прямокутного трикутника, проведена з вершини прямого кута, дорівнює половині гіпотенузи.

Властивості вписаної й описаної кіл для чотирикутників даються наступними теоремами.

Теорема 1. Для того щоб у чотирикутник можна було вписати окружність, необхідно і досить, щоб суми протилежних сторін були рівні.

Теорема 2. Для того щоб навколо чотирикутника можна було описати окружність, необхідно і досить, щоб суми його протилежних кутів були рівні.

4. Коло і круг. Число р

Колом називається множина точок площини, рівновіддалених від однієї, називаної центром. Кругом називається множина точок площини, відстань від який до однієї точки - центра кола - не перевершує постійної величини, називаної радіусом кола.

Дотичною називається пряма, що має з окружністю одну загальну точку. Січною називається пряма, що має дві загальні точки з окружністю.

Рис. 7:

Хордою називається відрізок, що з'єднує дві точки кола. Діаметром називається хорда, що проходить через центр кола.

Теорема 1. Дотична перпендикулярна радіусу, проведеному в точку дотику. Обернена теорема: якщо пряма перпендикулярна радіусу в його кінці, що лежить на кола, то вона є дотичної.

Теорема 2. Відрізки дотичних, проведених до кола з однієї точки, що лежить поза окружністю, рівний.

Теорема 3. Діаметр кола, перпендикулярний хорді, проходить через її середину.

Обернена теорема: якщо діаметр проходить через середину хорди, то він їй перпендикулярний.

На рис. 8 АВ - хорда, MN - діаметр.

Рис. 8:

Кут з вершиною в центрі кола називається центральним.

Кут, вершина якого знаходиться на кола, а сторони перетинають окружність, називається вписаним.

Теорема 4. Вписаний кут виміряється половиною дуги, на яку він спирається.

Рис. 9:

Окремий випадок: кут між дотичною і січною, що проходить через точку дотику, виміряється половиною дуги, що відтинає січна.

Теорема 5. Якщо дві хорди перетинаються усередині кола, то добутку відрізків, на які кожна хорда розбивається точкою перетину, однакові, тобто:

АЕ ЕС = BE ED

Теорема 6 (про квадрат дотичної). Квадрат довжини дотичної дорівнює добутку відрізків січної (рис. 10), тобто:

АК² = АВ - АС

Рис. 10:

Дотик кіл. Два кола можуть дотикатися як зовнішнім, так і внутрішнім чином:

Рис. 11:

Теорема 7. Центри кіл, що дотикаються, і точка дотику знаходяться на однієї прямої.

Довжиною кола називається межа послідовності периметрів правильних уписаних у цю окружність багатокутників при необмеженому збільшенні числа їхніх сторін, а площею кругу - межа послідовності площ цих багатокутників.

5. Визначні точки в трикутнику

Теорема 1. Три бісектриси трикутника перетинаються в одній точці, що є центром кола, вписаної в трикутник (рис. 12).

Рис. 12:

Теорема 2. Три серединних перпендикуляри, проведених до сторін трикутника, перетинаються в одній точці, що є центром кола, описаної біля трикутника.

Рис. 13:

Теорема 3. Три медіани трикутника перетинаються в одній точці і поділяються нею у відношенні 2 : 1, вважаючи від вершини трикутника (рис. 14), тобто:

АТ ? OK = CO ? OD = 2 ? 1

Рис. 14:

Теорема 4. Три висоти трикутника або їхні продовження перетинаються в одній точці, яка називається ортоцентром трикутника.

Пряма Ейлера. Точка перетину медіан, центр описаного кола й ортоцентр трикутника лежать на одній прямій, причому точка перетину медіан поділяє відрізок, що з'єднує ортоцентр і центр описаного кола, у відношенні 2 : 1.

Подивимось наступний приклад. В рівнобедреному трикутнику АВС сторони відповідно рівні АВ=ВР. Знайдемо радіус описаного кола, радіус вписаного кола і відстань між їх центрами.

Рис. 15:

Визначимо спочатку радіус R описаної кола. Врахуємо, що BD - висота, медіана і бісектриса Д АВС. З Д ВВС, по теоремі Піфагора, центр описаної кола О розташований на BD:

ОВ = ОС = R

OD = 4 - OB = 4 - R

По теоремі Піфагора для Д OCD одержимо:

OD² + CD² = ОС²

Тобто:

(4 - R)² + 3² = R²

Знайдемо тепер радіус r уписаної кола.

Маємо:

BD - бісектриса АВС;

СО₁ - бісектриса ВСА.

Точка О₁ - центр уписаної кола, O₁D.

По теоремі про бісектрису внутрішнього кута для Д ВВС маємо:

Вирахуємо відстань між центрами окружностей:

О₁О = О₁D - OD = r - (4 - r) =

Теорема Морлі. Якщо в довільному трикутнику кожен кут розділити на три рівні частини, то точки перетинання їхніх променів, що поділяють, (виявляться вершинами рівностороннього трикутника. Тим же властивістю володіють і точки перетинання променів, що поділяють на рівні частини зовнішні кути довільного трикутника.

Рис. 16:

6. Метричні теореми планіметрії. Формули площі трикутника

Теорема Піфагора. Якщо трикутник прямокутний, то сума квадратів катетів дорівнює квадрату гіпотенузи:

а² + b² = c²

Рис. 17:

Обернена теорема: якщо сума квадратів двох сторін трикутника дорівнює квадрату третьої сторони, те цей трикутник прямокутний.

За допомогою теореми Піфагора доводяться наступні твердження.

1. У рівнобедреному прямокутному трикутнику гострі кути рівні 45°, а відношення гіпотенузи до катета дорівнює

2. Катет прямокутного трикутника, що лежить проти кута 30°, дорівнює половині гіпотенузи.

Для прямокутного трикутника:

- синус гострого кута (роздягнув 6, п. 2) дорівнює відношенню протилежного катета до гіпотенузи;

- косинус дорівнює відношенню протилежного катета до гіпотенузи;

- тангенс дорівнює відношенню протилежного катета до протилежного.

Таким чином:

Теорема косинусів. Квадрат сторони трикутника дорівнює сумі квадратів двох інших сторін мінус подвоєний добуток цих сторін на косинус кута між ними:

с² = а² + b² - 2abcos г

Теорема синусів. Відношення сторони трикутника до синуса протилежного кута є величина постійна для даного трикутника, рівним двом радіусам описаної кола:

Запишемо теорему косинусів для Д ADC і Д ADB:

Рис. 18:

Склавши ці рівняння і враховуючи рівність:

cos (180° - ц) = -cos ц

Скорочуючи останні члени, після елементарних перетворень одержимо:



Теорема.

В будь-якому трикутнику сума квадратів медіан дорівнює .

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

Де:

h_a - висота, опущена на сторону a;

r - радіус уписаної кола;

R - радіус описаної кола;

р - на півпериметр. Формула (5) називається формулою Герона.

Зауваження.

Якщо формула Герона дає занадто громіздке вираження, то площа можна обчислити по формулі (2), де:

За допомогою метричних теорем і формул площі може бути вирішена будь-яка задача типу: «Дано три елементи трикутника, причому принаймні один є мірою довжини. Знайти будь-який інший елемент трикутника». Знайдемо кут б, висоту h_a, радіуси описаної (R) і вписаної (r) окружностей, площа S трикутника.

1) Маємо:

а² = b² + с² - 2bccos б

Відповідно:

2) З вираження знаходимо:

Підставляючи сюди S з формули (5), одержимо:

3) Використовуючи рівність, маємо:

4) З вираження (3) одержимо:



геометрія математичний паралелограм

Приведемо ще ряд корисних метричних співвідношень у довільному трикутнику:

Відстань між центрами уписаної й описаної окружностей:

Площа чотирикутника:

Де:

d₁ і d₂ - довжини діагоналей чотирикутника;

а - кут між ними.

Площа трапеції:

Де:

а і b - підстави трапеції;

h - її висота.

Размещено на Allbest.ru

...