Размещено на http://www.allbest.ru/

ЛЕКЦІЯ

Функції і їх графіки

1. Функції

функція графік тригонометрична

1.1 З історії поняття функції

Поняття функції виникло в математиці порівняно недавно. Для того щоб прийти до розуміння доцільності його введення й одержати перші досить чіткі означення, потрібні були зусилля відомих математиків декількох поколінь. Революційні зміни в математиці, що відбулися в ХVІІ сторіччі, викликані роботами багатьох вчених, що представляють різні країни і народи. Але в першу чергу варто назвати імена П. Ферма (1601--1665), Р. Декарта (1596--1650), И. Ньютона (1643--1727), Г. В. Лейбніца (1646--1716).

Необхідні передумови до виникнення поняття функції були створені в 30-х роках ХVII в., коли виникла аналітична геометрія, що характеризується, на відміну від класичних методів геометрів Древньої Греції, активним залученням алгебри до рішення геометричних задач. Практично одночасно (і незалежно один від одного) французькі математики П. Ферма і Р. Декарт помітили, що введення системи координат на площини і завдання фігур їхніми рівняннями дозволяють звести багато задач геометрії до дослідження рівнянь геометричних фігур. На честь Декарта, що дав розгорнутий виклад нового методу в книгах «Геометрія» і «Міркування про метод», прямокутна система координат пізніше була названа декартовою. Істотно помітити, що одночасно формувалася й алгебра, створювалося «буквене числення», те саме, за допомогою якого зараз перетворюються алгебраїчні вирази, розв”язуються рівняння, текстові задачі і т. п.

Великий англійський учений, математик і фізик І. Ньютон, досліджуючи залежності координат точки, що рухається, від часу, фактично вже займався дослідженням функцій. Хоча не він увів це поняття, Ньютон ясно усвідомлював його значення. Так, у 1676 р. він відзначав: «Я не міг би, звичайно, одержати цих загальних результатів, перш ніж не відвернувся від розгляду фігур і не звів усе просто до дослідження ординат» (тобто фактично функцій від часу).

Сам термін «функція» уперше зустрічається в рукописі великого німецького математика і філософа Г. Лейбніца -- спочатку в рукописі (1673 р.), а потім і в друкованому вигляді (1692 р.). Латинське слово function переводиться як «здійснення», «виконання» (дієслово fungor переводиться також словом «виражати»). Лейбніц увів це поняття для назви різних параметрів, зв'язаних з положенням точки на площині. У ході переписування Лейбніц і його учень -- швейцарський математик И. Бернуллі (1667--1748) поступово приходять до розуміння функції як аналітичного виразу й у 1718 р. дають таке означення: «Функцією змінної величини називається кількість, складена яким завгодно способом з цієї перемінної і постійних».

Л. Эйлер у своїй книзі «Введення в аналіз» (1748 р.) формулював означення функції так: «Функція перемінної кількості є аналітичне вираження, складене яким-небудь способом з цієї перемінної кількості і чисел чи постійних кількостей».

Эйлер же ввів і прийняті зараз позначення для функцій.

Сучасне означення числової функції, у якому це поняття вже звільнялося від способу завдання, було дано незалежно один від одного російським математиком Н. И. Лобачевским (1834 р.) і німецьким математиком Л. Дирихле (1837 р.). Основна ідея цих визначень полягала в наступному: не істотно, яким образом (і зокрема, необов'язково шляхом завдання аналітичного вираження) кожному поставлено у відповідність визначене значення , важливо тільки, що ця відповідність установлена.

Сучасне поняття функції з довільними областями означення і значень сформувалося, власне кажучи, зовсім недавно, у першій половині поточного сторіччя, після робіт творця теорії множин Г. Кантора (1845--1918).

Складний і, дуже тривалий шлях розвитку поняття функції досить типовий. Для того щоб усвідомити необхідність уведення нового абстрактного поняття, потрібно виділити його в процесі рішення багатьох конкретних задач, дати означення, яке по можливості точно відбиває його зміст.

До поняття функції математики прийшли, відправляючись від конкретних і важких задач математики і її додатків. Це відбувалося в процесі створення нового могутнього апарата досліджень -- інтегрального і диференціального числення. Відкриття інтегрального і диференціального числення, центральним поняттям яких Эйлер проголосив функцію («Весь аналіз нескінченного обертається навколо перемінних кількостей і їхніх функцій»), розширило можливості математики.

1.2 Числова функція

Означення. Числовою функцією з областю визначення D називається відповідність, при якої кожному числу x з множини D співставляється за деяким правилом число y, що залежить від x.

Функції звичайно позначають латинськими (а іноді грецькими) буквами. Розглянемо довільну функцію f. Незалежну змінну називають також аргументом функції. Число y, що відповідає числу x, називають значенням функції f у точці x і позначають f(x). Область визначення f функції позначають D(f). Множину, що складається з усіх чисел f(x), таких, що x належить області визначення функції f, називають областю значень функції f і позначають E(f).

Найчастіше функцію задають за допомогою формули. При цьому якщо не дано додаткових обмежень, то областю визначення функції, заданою формулою, вважають множину усіх значень змінної, при яких ця формула має сенс. Наприклад, формула f(x) = має сенс при всіх x 0, тому областю визначення функції f(x) = вважають множину усіх не рівних нулю дійсних чисел. Область її значень збігається з областю визначення і є об'єднанням інтервалів (-?; 0) і (0; ?).

Так, для функції f(x) =

Область визначення функції y = tg x -- об'єднання всіх інтервалів виду де n ; область її значень -- уся числова пряма, тобто E(tgх) = (-?; ?).

Функції виду f(x) = p(x), де p(x) -- многочлен, називають цілими раціональними функціями, а функції виду де p(x) і q(x) -- многочлени, називають дрібно-раціональними функціями. Частка , визначена, якщо q(x) не звертається в нуль. Тому область визначення дрібно-раціональної функції -- множина усіх дійсних чисел, з якого виключені корені многочлена q(x).

Приклад 1. Знайдемо область визначення дрібно-раціональної функції

Корені многочлена -- числа 0, 1 і 2. Тому D(f) = (-?; 0) (0; 1) (1; 2) (2; ?).

1.3 Графік функції

Означення. Графіком функції f називають множину усіх точок (x; y) координатної площини, де y = f(x), а x «пробігає» всю область визначення функції f.

Підмножина координатної площини є графіком будь-якої функції, якщо вона має не більш однієї загальної точки з будь-якої прямої, паралельної осі Oy. Наприклад, множина, зображена на малюнку (14.1), не є графіком функції, тому що вона містить дві точки з однієї і тією же абсцисою a, але різними ординатами b₁ і b₂. Якби ми рахували цю множина графіком функції, то довелося б вважати, що ця функція має при x = a відразу два значення b₁ і b₂, що суперечить означенню функції.

Часто функцію задають графічно. При цьому для будь-якого x₀ з області визначення легко знайти відповідне значення y₀ = f(x₀) функції (мал. 14.2).

1.4 Перетворення графіків

Ми маємо певний запас функцій, графіки яких вміємо будувати-- це функції Покажемо, що, застосовуючи відомі з курсу геометрії зведення про перетворення фігур, цей список можна істотно розширити.

1) Розглянемо спочатку паралельний перенос на вектор (0; b) уздовж осі ординат. Позначаючи тут і далі через координати точки, у яку переходить довільна точка (x; y) площини при даному перетворенні, одержимо відомі вам формули

 (14.1)

Нехай f -- довільна функція з областю визначення D(f). З'ясуємо, у яку фігуру переходить графік цієї функції при даному переносі. З формул (14.1) відразу одержуємо, що довільна точка (x; f(x) + b), де

По означенню графіка функції ця фігура є графіком функції y = f(x) + b. Сказане дозволяє сформулювати правило:

Для побудови графіка функції f(x) + b, де b -- постійне число, треба перенести графік f на вектор (0; b) уздовж осі ординат.

Приклад 2. Побудуємо графіки функцій: а) y = sin x + 2; б) y = x² - 5.

а) Відповідно до правила переносимо графік функції y = sin x на вектор (0; 2), тобто нагору по осі Oy на 2 одиниці (мал. 14.3).

б) Побудова здійснюється переносом параболи y = x² на вектор
(0; -5), тобто вниз по осі Oy (мал. 14.4).

2) Ще одним перетворенням є розтягання уздовж осі Oy з коефіцієнтом k, що задається формулами

Для побудови точки M?, у яку переходить дана точка M при розтяганні, треба побудувати на прямій АМ, де А -- проекція М на вісь Ox (мал. 14.5), точку, гомотетичну М щодо центра А (коефіцієнт гомотетії дорівнює коефіцієнту k розтягання). На рисунку 14.6 показана побудова точок, у які переходять дані при розтяганнях з коефіцієнтами і -2.

З'ясуємо, у яку фігуру переходить графік функції f при розтяганні. З формул (14.2) відразу одержуємо, що довільна точка (x; f (x)) графіка f переходить у точку (x; kf (x)). Звідси випливає, що графік f переходить у фігуру, що складається з усіх точок (x; kf (x)), де x D(f). Ця фігура є графіком функції y = kf (x). Доведено наступне правило:

Для побудови графіка функції y = kf (x) треба розтягти графік функції y = f (x) у k раз уздовж осі ординат.

Приклад 3. Побудуємо графіки функцій y = -2 x² і

Побудова здійснюється в першому випадку з графіка функції y = x² (рис. 14.7), а в другому випадку спочатку будуємо графік функції , потім скористаємося розтяганням уздовж осі ординат з коефіцієнтом (рис. 14.8).

Зауваження. Якщо то розтягання з коефіцієнтом k часто називають стиском. Наприклад, розтягання з коефіцієнтом називають стиском у 2 рази. Відзначимо також, що якщо те для побудови графіка функції y = kf (x) треба спочатку розтягти графіка f у раз, а потім відбити його симетрично щодо осі абсцис (див. рис. 14.7).

Рис. 14.8

3) Паралельний перенос уздовж осі абсцис на вектор (a; 0) задається формулами

(1.3)

Кожна точка графіка функції f переходить відповідно до формул (1.3) у точку (x + a; f (x)). Тому за допомогою перемінних , можна записати, що графік f переходить у фігуру Ф, що складається з точок де приймає всі значення виду x + a (x «пробігає» D(f)).

Саме при цих значеннях число x - a належить D(f) і визначено. Отже, фігура Ф є графік функції y = f (x - a). Отже, можна зробити висновок:

Графік функції y = f (x - a) виходить із графіка f переносом (уздовж осі абсцис) на вектор (a; 0).

Зверніть увагу: якщо , то вектор (a; 0) спрямований у позитивному напрямку осі абсцис, а при -- у негативному.

Приклад 4. Побудова графіків функцій і показано на рисунках 14.9 і 14.10.

Рис. 14.9

Рис. 14.10

4) Розтягнення уздовж осі Ох з коефіцієнтом k задається формулами

(1.4)

Довільна точка графіка функції f переходить при такомум розтяганні в точку (kx; f (x)). Переходячи до перемінних , , можна записати, що графік y = f (x) переходить у фігуру, що складається з точок де приймає всі значення виду , а .

Ця фігура є графік функції . Отже:

Для побудови графіка функції треба піддати графік функції f розтяганню з коефіцієнтом k уздовж осі абсцис.

Приклад 5. Побудова графіків функцій і показано на рисунках 14.11 и 14.12.

Рис. 14.11

Рис. 14.12

1.5 Відображення

Функцію з областю визначення D і областю значень E називають також відображенням множини D на множину E. Можна сказати, наприклад, що формула задає відображення множини R дійсних чисел на відрізок [-1; 1]. Слова «функція» і «відображення» -- синоніми.

Нерідко розглядають функції (відображення), область чи визначення область значень яких (а можливо, і обоє цих множини) не є числовими множинами.

Поняття відображення часто відносять до числа основних понять математики. З його допомогою можна дати таке означення функції:

Функцією з областю визначення D і областю значень E називається відображення множини D на множину E, при якому кожному елементу множини D відповідає один цілком визначений елемент множини E і кожен елемент множини E поставлений у відповідність хоча б одному елементу множини D.

Вправи

1. Знайти значення функції:

а) у точках -1, , 10;

б) у точках , 0, ;

в) у точках 0, 1, 2;

г) у точках , 0,

2. Записати значення функції:

а) у точках х₀, ;

б) у точках а, ;

в) у точках х₀, ;

г) у точках

3. Чи є графіком функції фігура, зображена на малюнку 14.13, а -- м?

Рис. 14.13

4.Знайти область визначення кожної з функцій

а) ; б) ;

в) ; г) .

д) ; е) ;

ж) ; з) .

5. Знайти область визначення й область значень кожної з функцій:

а) ; б) ;

в) ; г) .

6. Накреслите графік будь-якої функції f, для якої:

а) ;

б) .

7. В одній і тій же системі координат побудуйте графіки функцій:

а) ;

б) ;

в) ;

г) .

Побудуйте графіки функцій (49--50).

8. а) ; б) ;

в) ; г) .

9. а) ; б) ;

в) ; г) .

10. Знайти значення функції:

а) у точках -2; ; 0; 5;

б) у точках -2; -1; 0; 4;

в) у точках ; ; 0; .

11. Знайти область визначення функції:

а) ; б) ;

в) ; г) .

12. Побудуйте графіки функцій

а) ; б)

в) ; г)

г) ; д) ;

е) ; ж) .

2. Парні і непарні функції. Періодичність тригонометричних функцій

2. 1. Парні і непарні функції. Розглянемо функції, області визначення яких симетричні відносно початку координат, тобто для будь-якого x з області визначення число (-x) також належить області визначення. Серед таких функцій виділяють парні і непарні.

Означення. Функція f називається парної, якщо для будь-якого x з її області визначення f (-x) = f (x) (рис. 14.14).

Рис. 14.14

Означення. Функція f називається непарної, якщо для будь-якого x з її області визначення f (-x) = -f (x) (рис. 14.15).

Рис. 14.15

Приклад 1. Функція парна, а функція непарна. Дійсно, область визначення кожної з них (це вся числова пряма) симетрична щодо точки О и для будь-якого x виконані рівності , . Графіки функцій зображені на рисунках 14.16 і 14.17.

Рис. 14.16 Рис. 14.17

При побудові графіків парних і непарних функцій будемо користатися наступними відомими з курсу алгебри властивостями:

1⁰. Графік парної функції симетричний щодо осі ординат.

2⁰. Графік непарної функції симетричний і відносно початку координат.

З цих двох правил випливає наступне: при побудові графіка парної чи непарної функції досить побудувати його частина для ненегативних x, а потім відбити отриманий графік щодо осі ординат (у випадку парної функції) чи початку координат (у випадку непарної).

Приклад 2. Функція непарна .Її графік симетричний відносно початку координат (рис. 14.18).



Рис. 14.18 Рис. 14.19

Основні тригонометричні функції синус, тангенс і котангенс є непарними, а косинус -- парною функцією .Тому графіки синуса, тангенса і котангенса симетричні відносно початки координат, а графік косинуса симетричний щодо осі ординат.

Приклад 3. Функція парна, тому що її область визначення симетрична щодо точки x = 0 (вона складається з усіх чисел, відмінних від -1, 0 і 1) і для усіх виконана рівність

.

Графік цієї функції симетричний щодо осі Оy (рис. 14.19).

Приклад 4. Функція не є ні парної, ні непарної. Її область визначення симетрична щодо точки 0, але, наприклад, при не виконано ні рівність , ні рівність , оскільки , а .

2.2 Періодичні функції

Дуже багато процесів і явищ, з якими ми зустрічаємося на практиці, мають повторюваний характер. Так, взаємне розташування Сонця і Землі повторюється через рік. Положення маятника в моменти часу, що відрізняються на період коливання маятника, однакові.

Такого роду процеси називають періодичними, а функції, їхній що описують, -- періодичними функціями.

Відомі вам основні тригонометричні функції -- періодичні. Так для будь-якого числа x і будь-якого цілого k виконана рівність . Звідси випливає, що -- період функції синус ( -- довільне ціле число).

Узагалі, говорячи про періодичність функції f, думають, що мається таке число , що область визначення разом з кожною точкою x містить і точки, що виходять з x рівнобіжними переносами уздовж осі Ox (вправо і вліво) на відстань T. Функцію f називають періодичної з періодом , якщо для будь-якого x з області визначення значення цієї функції в точках x, x - T і x + T рівні, тобто .

Оскільки синус і косинус визначені на всій числовій прямій і , для кожного , синус і косинус -- періодичні функції з періодом .

Тангенс і котангенс -- періодичні функції з періодом . Справді, області визначення цих функцій разом з кожним містять числа й і вірні рівності , .

Очевидно, що якщо функція f періодична з періодом T, те при будь-якім цілому число теж період цієї функції. Наприклад, при , скориставшись кілька разів визначенням періодичної функції, знаходимо:

Запам”ятаємо, що:

а) найменший додатний період функцій і дорівнює ;

б) найменшим додатним періодом функцій і є число .

Періодичністю основних тригонометричних функцій ми уже фактично користалися раніше, при побудові графіків. Справедливо наступне твердження:

Для побудови графіка періодичної функції з періодом досить провести побудова на відрізку довжиною і потім отриманий графік паралельно перенести на відстані вправо і вліво уздовж осі (рис. 34, тут -- будь-яке натуральне число).

Рис. 14.20

Приклад 5. Побудуємо графік функції .

Для побудови скористаємося тим, що функція періодична з періодом . Дійсно, функція визначена на всієї прямої, і, виходить, разом з довільною точкою її область визначення містить точки, що виходять з рівнобіжними переносами уздовж осі вправо і вліво на . Крім того, унаслідок періодичності косинуса . Користаючись властивістю графіків періодичних функцій, будуємо графік спочатку на відрізку (для цього відповідно до відомих правил перетворення графіків розтягуємо графік косинуса уздовж осі в 2 рази і зрушуємо його на 1 нагору (рис. 14.21), а потім за допомогою паралельних переносів продовжуємо його на всю числову пряму (рис. 14.22).



Рис.14.21

Рис. 14.22

Приклад 6. Доведемо, що функція періодична і її найменший додатний період дорівнює . Тангенс визначений при всіх значеннях аргументу, не рівних , . Тому область визначення даної функції складається з таких , що , тобто . Звідси випливає, що поряд з довільним містить і всі точки виду , . Очевидно, що число є періодом , тому що . Залишається довести, що число -- найменший додатний період . Допустимо, що періодом є таке число , що . Тоді для будь-якого справедливо рівність

 ,

оскільки -- період . Але це означає, що -- період функції . По припущенню , тобто . Протиріччя з доведеним раніше: найменший додатний період тангенса дорівнює .

Аналогічно доводиться загальне твердження:

Якщо функція періодична і має період , то функція , де і постійні, а , також періодична, причому її період дорівнює .

З того твердження відразу одержуємо, що, наприклад, періодом функції є число , а період функції дорівнює .

Вправи

13. Довести, що функції є парними

а) ; б) ;

в) ; г) .

д) ; е) ;

з) ; ж) .

14. Довести, що функції є непарними

а) ; б) ;

в) ; г) .

д) ; е) ;

з) ; ж) .

15.Довести, що число є періодом функції , якщо:

а) ; б) ;

в) ; г) .

16. Довести, що функція є періодичної:

а) ; б) ;

в) ; г) .

17.Знайти найменший додатний період кожної з функцій

а) ; б) ;

в) ; г) .

18.Знайти найменший додатний період і побудуйте графік функції:

а) ; б) ;

в) ; г) .

Які з зазначених нижче функцій є парними, які -- непарними, а які не є ні парними, ні непарними ?

19. а) ; б) ;

в) ; г) .

20. а) ; б) ;

в) ; г) .

21. Побудуйте графік функції:

а) ; б) ;

в) ; г) .

22. Довести, що число 2 не є періодом функції:

а) ; б) ; в) ; г) .

2.3 Зростання й спадання функцій

Означення. Функція зростає на множині , якщо для будь-яких x₁ і x₂ з множині , таких, що x₂ > x₁, виконується нерівність .

Означення. Функція спадає на множині , якщо для будь-яких x₁ і x₂ з множині , таких, що x₂ > x₁, виконується нерівність .

Іншими словами, функція називається зростаючою на множині , якщо більшому значенню аргументу з цієї множині відповідає більше значення функції. Функція називається спадаючою на множині , якщо більшому значенню аргументу відповідає менше значення функції.

2.4 Екстремуми

Означення. Околом точки а називається будь-який інтервал, що містить цю точку. Наприклад, інтервал (2; 6) -- один з околів точки 3, інтервал (-3,3; -2,7) -- окол точки -3.

Означення. Точка x₀ називається точкою мінімуму функції f, якщо для всіх x з деякого околу x₀ виконана нерівність (рис. 14.23).

Рис. 14.23

Означення. Точка x₀ називається точкою максимуму функції f, якщо для всіх x з деякого околу x₀ виконана нерівність (рис. 14.24).

Рис. 14.24

За означенням значення функції в точці максимуму є найбільшим серед значень функції з деякої околу цієї точки, тому графік функції в околу , як правило, має вид гладкого «пагорба» (рис. 43, а і рис. 44 -- точки x₁, x₂, x₃) чи загостреної «піки» (рис. 43, б). В околу точки мінімуму графіки, як правило, зображуються у виді «западини», чи теж гладкої (рис. 42, б -- точка , рис. 44 -- точки x₄, x₅), чи загостреної (рис. 42, а -- точка і рис. 44 -- точка x₆).

Рис. 14.25

Для точок максимуму і мінімуму функції прийнята загальна назва -- їх називають точками екстремума. Значення функції в цих точках називають відповідно максимумами і мінімумами функції (загальна назва -- екстремум функції). Точки максимуму позначають x_max, а точки мінімуму x_min. Значення функції в цих точках позначаються відповідно y_max і y_min.

Вправи

Для функцій, графіки яких зображені на рисунку 14.26, а-г, знайдіть:

а) проміжки зростання й спадання функції;

б) точки максимуму і мінімуму функції;

в) екстремуми функції.

Рис. 14.26

Знайдіть проміжки зростання й спадання, точки максимуму і точки мінімуму функції, її максимуми і мінімуми (82--85).

1. а) ; б) ;

в) ; г) .

2. а) ; б) ;

в) ; г) .

3. а) ; б) ;

в) ; г) .

4. а) ; б) ;

в) ; г) .

Знайдіть проміжки зростання й спадання, точки екстремума і екстремуми функції (5-6).

5. а) ; б) ;

в) ; г) .

6. а) ; б) ;

в) ; г) .

2.5 Дослідження функцій

1. Побудова графіків функцій. В школі будували графіки функцій «по точках». У багатьох випадках цей метод дає гарні результати, якщо, звичайно, відзначити досить велике число точок. Однак при цьому приходиться складати великі таблиці значень функції, а головне, можна не помітити істотних особливостей функції й у підсумку помилитися при побудові графіка.

Для того щоб уникнути помилок, треба навчитися виявляти характерні риси функції, тобто попередньо провести її дослідження.

2. Схема дослідження функцій.

У загальному випадку дослідження передбачає рішення наступних задач:

1) Знайти області визначення і значень даної функції f.

2) З'ясувати, чи має функція особливости, що полегшують дослідження, тобто чи Є функція f: а) парної чи непарною; б) періодичної.

3) Обчислити координати точок перетину графіка з осями координат.

4) Знайти проміжки знакосталості функції f.

5) З'ясувати, на яких проміжках функція f зростає, а на яких спадає.

6) Знайти точки екстремума, вид екстремума (максимум чи мінімум) і обчислити значення f у цих точках.

7) Досліджувати поводження функції f в околу характерних точок, що не входять в область визначення (наприклад, точка x = 0 для функції ), і при великих (по модулі) значеннях, аргументу.

Вертикальні прямі, до яких необмежено наближається графік функції f (наприклад, пряма x = 0 для чи функції прямі для графіка функції, зображеного на рисунку 53), називають вертикальними асимптотами.

Найчастіше графік має вертикальну асимптоту x = a у випадку, якщо вираження, що задає дану функцію, має вид дробу, знаменник якої звертається в нуль у точці a, а чисельник немає. Наприклад, графік функції має вертикальну асимптоту x = 0. Для графіка функції вертикальними асимптотами є прямі , де .

Якщо графік функції необмежено наближається до деякої горизонтальній (у випадку функції це пряма , див. рис. 55) чи похилої (пряма для графіка функції , див. рис. 32) прямої при необмеженому зростанні (по модулі) x, то таку пряму називають горизонтальної (відповідно похилій) асимптотою.

3. «Читання» графіків. У більшості прикладів і задач на побудову графіків функцій ви зустрічалися з такою ситуацією: функція задана формулою, потрібно досліджувати її властивості і побудувати графік f. Представляє значний практичний інтерес інша задача: задан графік f, за допомогою якого потрібно перелічити основні властивості цієї функції.

Подібні задачі часто зважуються в ході експериментальних досліджень. Побудова графіків при цьому здійснюється різними методами. Наприклад, по точках, знайденим експериментально. Існують також численні прибори-самописи. Це, наприклад, осцилографи, на екранах яких електричні коливання перетворяться в наочні графічні зображення. Іншим прикладом приладу, що дозволяє одержати наочний графічний опис, служить кардіограф; «прочитуючи» отриману з його допомогою кардіограму, лікарі роблять висновки про стан серцевої діяльності.

З досить типовим прикладом труднощів, що виникають при дослідженні реальних процесів, для опису яких ще не створені точні теорії, ви можете познайомитися, розглянувши рисунок 56. Тут приведені графіки середньодобового ходу температур по Київський області в лютому 1994 р. Толстой лінією зображені «теоретичні криві» А и Б, що фіксують результати довгострокового прогнозу (оскільки прогноз дається з точністю до 5є, кривих дві). «Читаючи» цей графік, ми знаходимо, наприклад, що передбачалися три «хвилі холоду» (у період з 4 по 10, з 17 по 19 і з 23 по 26 лютого). Передбачалася також відсутність відлиг і в цілому холодна (до -17є … -22є) погода. Однак у дійсності (графік фактичного ходу температур зображений тонкою лінією В) температура була вище норми на 5--10є (кліматична норма, що є результатом багаторічних спостережень, задана лінією Г), у період з 4 по 8 лютого було потеплення, а не похолодання і т.д. Ці й інші зведення про прогноз і реальну картину ви можете одержати, «читаючи» графіків, приведені на рисунку 14.27



Рис. 14.27

Вправи

1. Проведіть за загальною схемою дослідження функції, заданої графіком (рис. 14.28).

Рис. 14.28

Проведіть за загальною схемою дослідження кожної з функцій і побудуйте її графік (2-4).

2. а) ; б) ;

в) ; г) .

3. а) ; б) ;

в) ; г) .

4. а) ; б) ;

в) ; г) .

2.6 Ознака зростання і спадання функції

Одна з основних задач дослідження функції -- це знаходження проміжків її зростання й спадання. Таке дослідження легке провести за допомогою похідної. Сформулюємо відповідні твердження.

Достатня ознака зростання функції. Якщо в кожній точці інтервалу I, то функція зростає на I.

Достатня ознака спадання функції. Якщо в кожній точці інтервалу I, то функція спадає на I.

Приклад 3. Знайдемо проміжки зростання (спадання )функції

.

Функція визначена на всій числовій прямій. Похідна її така:

.

Оскільки , легко одержуємо, що для всіх дійсних . Це значить, що функція убуває на всій числовій прямій.

Вправи

Знайти проміжки зростання й спадання функцій (1-3).

1. а) ; б) ;

в) ; г) .

2. а) ; б) ;

в) ; г) .

3. а) ; б) ;

в) ; г) .

Знайти проміжки зростання й спадання і побудуйте графіки функцій

4. а) ; б) ;

в) ; г) .

5. а) ; б) ;

в) ; г) .

6. Довести, що функція зростає на R, а функція убуває на R.

а) ; б) ;

в) ; г) .

7. Довести, що рівняння має єдиний корінь на кожнім з даних проміжків P₁ і P₂:

а) ;

б) ;

в) ;

г) .

2.7 Критичні точки функції, максимуми і мінімуми

Внутрішні точки області визначення функції, у яких її похідна дорівнює нулю або не існує, називаються критичними точками цієї функції. Ці точки відіграють важливу роль при побудові графіка функції, оскільки тільки вони можуть бути точками екстремуму функції (мал. 103 і 104). Сформулюємо відповідне твердження, його називають теоремою Ферма (на честь французького математика Пьера Ферма).

Необхідна умова екстремуму. Якщо точка x₀ є точкою екстремуму функції й у цій точці існує похідна , то вона дорівнює нулю: .

Важливо відзначити, що теорема Ферма є лише необхідну умову екстремуму: з того, що похідна в точці звертається в нуль, необов'язково випливає, що в цій точці функція має екстремум. Наприклад, похідна функції звертається в нуль у точці 0, але екстремуму в цій точці функція не має (рис. 105).

Рис. 105

Дотепер ми розглядали критичні точки, у яких похідна дорівнює нулю. Розглянемо тепер критичні точки, у яких похідна не існує. (Відзначимо, що, наприклад, точка 0 для функції не є критичної: у ній похідна не існує, але вона не внутрішня точка області визначення.) У цих точках функція також може чи мати не мати екстремум.

З теореми Ферма випливає, що при знаходженні точок екстремумів функції потрібно в першу чергу знайти її критичні точки. Але, як видно з розглянутих прикладів, питання про тім, чи дійсно дана критична точка є точкою екстремуму, вимагає додаткового дослідження. При цьому часто допомагають такі достатні умови існування екстремуму в точці.

Ознака максимуму функції. Якщо функція неперервна в точці , а на інтервалі на інтервалі , то точка є точкою максимуму функції .

Зручно користатися спрощеним формулюванням цієї ознаки:

Якщо в точці похідна змінює знак із плюса на мінус, тобто точка максимуму.

Ознака мінімуму функції. Якщо функція неперервна в точці , а на інтервалі на інтервалі , то точка є точкою мінімуму функції .

Зручно користатися спрощеним формулюванням цієї ознаки:

Якщо в точці похідна змінює знак з мінуса на плюс, тобто точка мінімуму.

Приклад 3. Знайдемо точки екстремуму функції .

Похідна цієї функції, рівна , визначена у всіх точках і звертається в нуль у точках -1 і 1. У точці -1 похідна змінює знак з мінуса на плюс ( при і при ). У точці 1 похідна змінює знак із плюса на мінус. Користаючись ознаками максимуму і мінімуму, одержуємо, що точка -1 є точкою мінімуму, а точка 1 -- точкою максимуму функції . Графік функції зображений на рисунку 108.

Рис. 108

Вправи

1.Знайти критичні точки функції, графік якої зображений на рисунку

Рис. 109

2.Знайти критичні точки функції:

а) ; б) ;

в) 4 г) .

3. Знайти критичні точки функції. Визначите, які з них є точками максимуму, а які -- точками мінімуму:

а) ; б) ;

в) ; г) .

4. Довести, що функція не має критичних точок:

а) ; б) ;

в) ; г) .

Знайти критичні точки функції .

5.а) ; б) ;

в) ; г) .

6.а) ; б) а)

в) ; г)

7. Дослідити функцію на зростання, спадання і екстремуми. Побудуйте графік функції:

а) ; б) ;

в) ; г) .

Размещено на Allbest.ru

...