Интегралы от функции и числовой ряд
Определение предела числовой последовательности. Расчет суммы числового ряда. Частичные суммы и закономерность их вычисления. Исследование ряда на сходимость. Условие непрерывности функции и односторонние пределы. Вычисление производной в любой точке.
| Рубрика | Математика |
| Вид | контрольная работа |
| Язык | русский |
| Дата добавления | 24.01.2014 |
| Размер файла | 105,9 K |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Размещено на http://www.allbest.ru/
Министерство образования и науки РФ
Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования
"Челябинский государственный университет"
Контрольная работа
Математический анализ
Челябинск 2013
Задание 1
числовой ряд сходимость предел
Исходя из определения предела числовой последовательности показать, что
an =A,
an =,
A=
Решение
=
< ==
<2n+3>n> -
Из последнего неравенства следует, что можно выбрать
N()=[ - ]
И при любых n> N() будет выполняться неравенство <. Значит по определению =
Задание 2
числовой ряд интеграл предел
Найти сумму числового ряда , если
аn =.
Решение.
Суммой ряда S является предел последовательности его частичных сумм S1, S2, …, Sn, ….
Для того, чтобы получить формулу для Sn, найдем сначала несколько частичных сумм и установим закономерность их вычисления. Рассмотрим
S1 = ;
S2 = + = ;
S3 = + = ;
S4 = + = ;
S5 = + = .
Очевидно, что n-ая частичная сумма
Sn = ,
тогда сумма ряда
S = Sn = () = .
Ответ: S = .
Задание 3
Исследовать на сходимость числовой ряд.
Решение.
Имеем
= .
Данный ряд является знакоположительным. Исследуем его на сходимость по признаку Даламбера, т.е. найдем предел отношения (n+1)-го члена ряда к n-му.
Здесь
un = , un+1 = ,
следовательно,
= = = = = = < 1.
Значит, по признаку Даламбера, данный ряд сходится.
Задание 4
Для функции y = f (x), которая при x 0 задается формулой, приведенной ниже
a) доопределить её по непрерывности при x = 0;
b) вычислить её производную в точке х = 0;
с) вычислить её производную в любой точке x 0
f(x) = .
Решение.
а) Для непрерывности функции f(x) в точке х0 необходимо и достаточно, чтобы односторонние пределы функции в точке существовали, были конечными и равными между собой, а также совпадали со значением функции в данной точке, т.е.
f(x0) = f(x0 - 0) = f(x0 + 0).
Найдем односторонние пределы функции в точке х = 0:
f(+0) = () = ++= 0+1+1=2;
f(- 0) = () = ++= =0+1+1=2.
Таким образом, для того, чтобы функция f(x) была непрерывна в точке х=0, доопределим ее следующим образом: f(0) = 2.
Итак, непрерывная функция
b) Вычислим односторонние производные данной функции в точке х = 0.
Левосторонняя производная:
= = = = =() == 0+ () = ()= = = = = = 0.
Аналогично вычислим правостороннюю производную в точке х=0:
= = = () == 0+ () =
= ()= = = = = 0.
Следовательно,
.
с) вычислим производную в любой точке 0.
= =
= =
= = , при 0.
Задание 5
Вычислить неопределенный интеграл от функции
Решение
= 3 (cos(x)-2 - 2 sin (x)-2)
Получим
dx
Задание 6
Вычислить определённый интеграл
cosщxd x,
где с=3, =2
Решение
cos2xd x = - (())cos2=18,4467
Задание 7
Вычислить площадь фигуры, ограниченной следующими кривыми:
у + х3= 2028х, у + 2028 = х2.
Построить на плоскости данную фигуру.
Решение.
Для построения фигуры найдем точки пересечения графиков данных функций:
у = 2028х- х3, у = х2 - 2028,
2028х- х3 = х2 - 2028,
х3 + х2 - 2028х - 2028 = 0 ,
х(х2 - 2028) + х2 - 2028 = 0,
(х2 - 2028)•( х + 1) = 0,
отсюда
х1,2 = , х3= - 1.
Тогда площадь
S = +=
= +=
= + =
==
= = ед2.
Построим графики функций и данную фигуру:
Размещено на http://www.allbest.ru/
Размещено на Allbest.ru
...Подобные документы
Изучение понятия числового ряда и его суммы. Особенности сходящихся и расходящихся рядов. Число e, как сумма ряда. Критерий Коши сходимости ряда. Алгебраические операции и сходимость. Ряды с неотрицательными членами. Интегральный признак Коши-Маклорена.
методичка [514,1 K], добавлен 26.06.2010Члены последовательности и их изображение на числовой оси. Виды последовательностей (ограниченная, возрастающая, убывающая, сходящаяся, расходящаяся), их практические примеры. Определение и геометрический смысл предела числовой последовательности.
презентация [78,9 K], добавлен 21.09.2013Определение числового ряда, его основные свойства. Ряды геометрической прогрессии. Исследование на сходимость гармонического ряда. Ряды с положительными членами. Признаки сходимости. Знакочередующиеся и знакопеременные ряды. Признак сходимости Лейбница.
лекция [137,2 K], добавлен 27.05.2010Исследование сходимости числового ряда. Использование признака Даламбера. Исследование на сходимость знакочередующегося ряда. Сходимость рядов по признаку Лейбница. Определение области сходимости степенного ряда. Сходимость ряда на концах интервала.
контрольная работа [131,9 K], добавлен 14.12.2012Числовой ряд - бесконечная последовательность чисел, соединенных знаком сложения. Сумма n первых членов ряда. Функция натурального аргумента. Свойства сходящихся и расходящихся рядов. Понятие и формула расчета n-ного остатка. Поиск суммы исходного ряда.
презентация [123,7 K], добавлен 18.09.2013История развития теории пределов. Сущность и виды числовой последовательности, методика вычисления и определение свойств ее предела. Доказательство теоремы Штольца. Практическое применение предела последовательности в экономике, геометрии и физике.
курсовая работа [407,2 K], добавлен 16.12.2013Первое упоминание и использование числового ряда, его понятие и структура, этапы и направления дальнейшего исследования. Задачи, приводящие к понятию числового ряда и те, в которых он использовался. Признак Даламбера и Коши, Маклорена и сравнения.
курсовая работа [114,2 K], добавлен 01.10.2014Определение производной, понятие интеграла и определение предела функции. Дифференцирование и применение производной к решению задач. Исследование функции, вычисление интегралов и доказательство неравенств. Порядок вычисления пределов, Правило Лопиталя.
курсовая работа [612,2 K], добавлен 01.06.2014Вычисление математических последовательностей и определение числа, которое называется пределом последовательности. Методы расчетов предела функции. Произведение бесконечно малой функции и ограниченной функции. Определение предела последовательности.
контрольная работа [114,0 K], добавлен 17.12.2010Основные понятия числового и знакопеременного ряда. Необходимые и достаточные признаки сходимости. Признак Лейбница. Исследование на абсолютную и условную сходимость ряда. Действия с суммой бесконечного числа слагаемых, расстановка скобок. Формула Эйлера.
курсовая работа [501,8 K], добавлен 12.06.2014Исследование числовых рядов на сходимость. Область сходимости для разных степенных рядов. Разложение функции в ряд Тейлора. Нормы сеточной функции. Исследование устойчивости разностной схемы для однородного уравнения. Совокупность разностных уравнений.
курсовая работа [586,9 K], добавлен 19.04.2011Понятие и история формирования категории "последовательность", ее значение в современной математике. Свойства и аналитическое задание последовательности, роль в развитии других областей знания. Решение задач на вычисление пределов последовательностей.
презентация [665,0 K], добавлен 17.03.2017Предел числовой последовательности. Сравнение бесконечно малых величин. Второй замечательный предел. Теорема Коши о сходимости числовой последовательности. Использование бинома Ньютона. Замена сомножителей на эквивалентные им более простые величины.
контрольная работа [152,1 K], добавлен 11.08.2009Определение числовых характеристик производной случайной функции. Расчет корреляционной функции и дисперсии спектральной плотности. Группировка заданной выборки, построение выборочной функции распределения и гистограммы, доверительного интервала.
контрольная работа [681,0 K], добавлен 02.06.2010Вычисление производной функции и ее критических точек. Определение знака производной на каждом из интервалов методом частных значений. Нахождение промежутков монотонности и экстремумов функции. Разложение подынтегральной функции на простейшие дроби.
контрольная работа [134,7 K], добавлен 09.04.2015Неопределенный интеграл. Объем тела вращения. Эмпирическая формула. Сходимость ряда. Вычисление объема тела, образованного вращением вокруг оси ОХ фигуры, ограниченной линиями. Исследование на условную сходимость по признаку Лейбница.
контрольная работа [25,8 K], добавлен 27.05.2004Определение производной функции, геометрический смысл ее приращения. Геометрический смысл заданного отношения. Физический смысл производной функции в данной точке. Число, к которому стремится заданное отношение. Анализ примеров вычисления производной.
презентация [696,5 K], добавлен 18.12.2014Пределы функции, ее полное исследование с использованием дифференциального исчисления. Вычисление неопределенных интегралов с использованием методов интегрирования. Определенный и несобственный интегралы. Числовые ряды, их исследование на сходимость.
контрольная работа [713,2 K], добавлен 07.04.2013Алгоритм вычисления интегральной суммы для функции нескольких переменных по кривой АВ. Определение понятия криволинейного интеграла второго рода. Представление суммы интегралов двух функций вдоль кривой АВ как криволинейного интеграла общего вида.
презентация [69,4 K], добавлен 17.09.2013Определение числа гармоник разложения функций в ряд Фурье, содержащих в сумме не менее 90% энергии. Построение амплитудного и фазового спектров функции, графика суммы ряда. Расчет среднеквадратичной ошибки между исходной функцией и частичной суммой Фурье.
контрольная работа [348,5 K], добавлен 13.12.2011
