Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Гібридні гранично-скінченно-елементні апроксимації для моделювання процесів термопружності

Автореферат

дисертації на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук

Загальна характеристика роботи

Актуальність теми. У зв'язку із широким застосуванням обчислювальної техніки у всіх сферах людської діяльності особливо актуальною є проблема розробки ефективних методів проведення обчислювальних експериментів, базою яких є розв'язання крайових і початково-крайових задач математичної фізики. На даний час серед чисельних методів немає серйозної альтернативи методу скінченних елементів (МСЕ) та методу граничних елементів (МГЕ). Різноманітні аспекти їх використання розглядалися у роботах Агошкова В.І., Альтенбаха І.В., Кіта Г.С., Марчука Г.І., Підгорного О.М., Розіна Л.А., Савули Я.Г, Сахарова А.С., Сьярле Ф., Хая М.В., Цибенка А.С., Шинкаренка Г.А., Brebbia C.A., Cruse T.A., Nowak A.J., Rizzo I.J., Wendland W.L., Zienkiewicz O.C та ін. Розвиток цих методів іде в основному у напрямках підвищення ефективності реалізації, аналізу збіжності відомих схем та їх модифікацій. Поряд з тим, останнім часом появилась велика кількість досліджень, присвячених порівнянню МСЕ та МГЕ. Для кожного з цих конкуруючих методів відомі класи задач, для яких вони є оптимальними за точністю, використовуваними ресурсами та ефективністю програмної реалізації. Однак дилема, якому методу надати перевагу й досі невирішена.

Аналіз переваг і недоліків МСЕ та МГЕ зумовив раціональнішу тенденцію, що полягає у поєднанні їх достоїнств. Обидва чисельні методи в рамках об'єднаної реалізації дозволяють ефективніше врахувати багато практично важливих факторів, зокрема, таких як складна геометрія, різноманітність граничних умов. Тим більше, слід зауважити, що МСЕ та МГЕ є спорідненими та можуть трактуватись як спеціальні випадки методу зважених нев'язок.

Такі задачі, як

- врахування локальної нелінійної поведінки конструкцій;

- взаємодія між конструкцією скінченного розміру і масивним тілом;

- взаємодія між конструкцією й рідиною, в яку вона поміщена;

- врахування нескінченних областей;

- теорії тріщин;

- врахування зон із високими градієнтами

є об'єктами сучасних наукових досліджень Beer G., Chen Z.S., David J., Mang H.A., Schnack E., Zienkiewicz O.C. та інших спеціалістів, які працюють над питанням розробки алгоритмів комбінованих методів розв'язування крайових задач.

Дисертаційна робота присвячена побудові об'єднаного підходу МГЕ та МСЕ, що дозволяє звести процес розв'язання вихідної задачі до послідовності розв'язання підзадач, які розглядаються у підобластях, кожним із методів зокрема. Ідея цього підходу ґрунтується на альтернуючому методі Шварца, а точніше його частковому випадку - методі декомпозиції області (МДО), значний вклад у розвиток та становлення якого внесли роботи Абрашина В.Н., Агошкова В.І., Булеєва С.Н., Лебедєва В.І., Drіya M., Glowinski R., Widlund O.B. та ін. Такий підхід уможливлює використання стандартних комерційних програм із незначними їх модифікаціями. З точки зору вимоги використання паралельних мульти-процесорних ЕОМ, запропонований гібридний метод є особливо бажаним. Тим більше, що з появою багатопроцесорних паралельних обчислювальних систем, побудови та застосування алгоритмів, які розгалужуються, стали актуальними, перетворившись у розділ обчислювальної математики, котрий інтенсивно розвивається.

Розробка теоретичних основ гетерогенного МСЕ-МГЕ-підходу, подання результатів експериментальних досліджень у дисертаційній роботі проводиться для задач термопружності, записаних у квазістатичній постановці. Зауважимо, вивчення термопружних процесів є актуальною і надзвичайно важливою науково-технічною проблемою. Оскільки, високі вимоги щодо технічних показників міцності та надійності конструкцій на сьогоднішній день можуть бути задоволені лише при умові забезпечення процесу проектування оперативною й вірогідною інформацією про їх пружно-деформований стан.

Значний внесок у розробку класичних методів розв'язування задач термопружності внесли фундаментальні роботи Зарубіна В.С., Коваленка А.Д., Коляна Ю.М., Коренєва В.Г., Купрадзе В.Д., Кутателадзе С.С., Підстригача Я.С., Goodier J.N., Timoshenko S.P., Boley B.A., Weiner H.J., Parkus H. та ін. Однак, розвиток методик визначення термопружних параметрів конструкцій на аналітичному рівні стримується труднощами математичного характеру, що вимагає високої кваліфікації виконавця. Таким чином, ефективне моделювання процесів термопружності можливе при використанні в процесі проектування досконалих розрахункових схем, які при цьому повинні бути максимально наближеними до реальних об'єктів, враховувати складність їх конструктивних форм, структури, характер навантаження й взаємодії з оточуючим середовищем, механічні та теплофізичні властивості матеріалів конструкцій і т.д.

Виходячи з вище сказаного, можна стверджувати, що проблема побудови адекватних реаліям розв'язків початково-крайових задач термопружності є актуальною задачею.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Праця виконувалась згідно наукової тематики кафедри прикладної математики Львівського національного університету імені Івана Франка, а саме:

Плану робіт за темою ПП-536Б «Розробка схем, алгоритмів і пакетів програм для розв'язування початково-крайових задач математичної фізики на основі комбінованих методів граничних і скінченних елементів», № держреєстрації 0193U041998.

Плану робіт за темою ПП-114Б «Математичне моделювання і чисельне дослідження фізико-механічних полів у середовищах із малими неоднорідностями», яка виконується згідно координаційного плану «44. Створення теорії, методів математичного моделювання і чисельного аналізу процесів деформування твердих тіл та складних механічних систем» затвердженого наказом МО України №37 від 13.02.97 у пріоритетному напрямку «Перспективні інформаційні технології, прилади комплексної автоматизації, системи зв'язку», № держреєстрації 0197U018116.

Внесок здобувача у виконання цих науково-дослідних робіт полягає в участі у розробці та реалізації числово-експериментальної методики розв'язування задач плоскої теорії пружності та задач нестаціонарної теплопровідності.

Крім того, проведення досліджень у рамках даної дисертаційної роботи були частково підтримані Міжнародною Соросівською програмою підтримки освіти в галузі точних наук (ISEEP), грант №PSU061028.

Мета і задачі дослідження. Метою даної роботи є розробка та реалізація ефективного підходу для чисельного розв'язання двовимірних задач квазістатичної термопружності.

Досягнення поставленої мети включає:

постановку початково-крайових задач термопружності та теорії пружності, формулювання відповідних до них варіаційних задач;

побудову чисельної схеми гібридного скінченно-гранично-елементного методу розв'язання задач термопружності на основі застосування методу декомпозиції області та побудову апріорних оцінок швидкості її збіжності;

розробку обчислювальних алгоритмів прямого МГЕ для задач нестаціонарної теплопровідності зі залученням схеми методу колокації та задач теорії термопружності на основі процедури Бубнова-Гальоркіна;

чисельну реалізацію вище запропонованого підходу й створення на його основі програмного забезпечення, що дозволяє проводити дослідження пружно-деформованого стану інженерних конструкцій;

апробацію згаданих схем та програмного забезпечення шляхом розв'язання модельних задач та задач з інженерної практики, аналіз збіжності одержаних чисельних розв'язків.

Наукова новизна одержаних результатів:

розроблено та теоретично обґрунтовано нову методику синтезу МСЕ та МГЕ, ефективність застосування якої досліджено на прикладі розв'язання двовимірних незв'язних задач квазістатичної термопружності. Запропонований гетерогенний підхід реалізовано на основі методу декомпозиції області із залученням об'єднаної схеми гранично-скінченно-елементних апроксимацій;

удосконалено чисельну схему прямого МГЕ, побудовану для розв'язування задач теорії пружності, шляхом використання базових функцій Лежандра високих порядків. Чисельні переваги розглянутої модифікації аргументують її розповсюдження на інші задачі математичної фізики та підтверджують доцільність розробки алгоритму p-адаптивної версії МГЕ;

проведено порівняльний аналіз результатів різних підходів інтегрування за часом елементів матриць МГЕ для задачі нестаціонарної теплопровідності;

розвинутий гранично-елементний алгоритм врахування теплових деформацій на випадок нестаціонарного температурного поля;

запропоновані алгоритми реалізовано у вигляді комплексу прикладних програм на ПЕОМ, досліджені питання точності та межі застосовності побудованої схеми комбінованого методу граничних та скінченних елементів при розв'язанні тестових та інженерних задач.

Вірогідність отриманих результатів забезпечується математичною строгістю й коректністю постановки та розв'язання розглянутих у роботі задач, фізичною інтерпретацією отриманих чисельних результатів та їх узгодженням із відомими у літературі теоретичними та експериментальними даними; аналізом поведінки наближених розв'язків на послідовно згущуваних сітках як за просторовими змінними, так і в часі.

Практичне значення одержаних результатів полягає у МГЕ-МСЕ-аналізі пружно-деформованого стану конструкцій; розробці гранично-елементної методики розв'язання задач теорії пружності при нестаціонарному термічному впливові. Особливий інтерес має використання створеного комплексу програм для розв'язання задач в областях із зонами великих градієнтів напружень.

Розроблені у роботі методи можуть бути застосовані до розв'язання початково-крайових та крайових задач розрахунку процесів різноманітної фізичної природи, що описуються подібними математичними моделями.

Результати, одержані в дисертаційній роботі, мають перспективу бути використаними в розрахунковій практиці науково-дослідних та проектно-конструкторських установ. Запропоновані підходи застосовуються при читанні спецкурсу на факультеті прикладної математики та інформатики Львівського національного університету імені Івана Франка, при виконанні курсових та дипломних робіт.

Особистий внесок здобувача у роботах, виконаних у співавторстві, полягає в участі у постановці математичних задач, розробці чисельних алгоритмів, програмній реалізації проблемних модулів, інтерпретації отриманих чисельних результатів.

Апробація результатів дисертації. Основні результати дисертаційної роботи доповідалися та обговорювалися на:

Всеукраїнських конференціях «Застосування обчислювальної техніки, математичного моделювання та математичних методів у наукових дослідженнях» (м. Львів, 1995, 1996, 1997, 1998);

Українській школі-семінарі «Прикладні проблеми математики та інформатики» (м. Рівне, 1995);

Українських конференціях «Моделювання та дослідження стійкості систем» (м. Київ, 1995, 1996);

звітній конференції Львівського національного університету імені Івана Франка (2000);

розширеному засіданні наукового семінару відділу математичних методів механіки руйнування та контактних явищ Інституту прикладних проблем механіки і математики ім.Я.С.Підстригача НАН України (2000),

а також наукових семінарах кафедри прикладної математики Львівського національного університету імені Івана Франка.

Публікації. За матеріалами дисертаційної роботи опубліковано 11 статей і тез доповідей наукових конференцій, з них 5 статей у фахових виданнях.

Структура та обсяг праці. Дисертаційна робота складається із вступу, п'ятьох розділів, висновків та списку використаної літератури. Загальний обсяг роботи складає 155 сторінки машинописного тексту. Бібліографія містить 207 найменувань літературних джерел. Текст дисертації включає 35 рисунків та 11 таблиць.

Основний зміст роботи

термопружність програмний гібридний чисельний

У вступі обґрунтовуються важливість та актуальність питань, які розглядаються у дисертаційній роботі. Формулюються цілі дослідження, наукова новизна, а також виділяються основні задачі роботи.

У першому розділі коротко характеризується сучасний стан проблеми дослідження квазістатичних задач незв'язної термопружності, здійснюється порівняльний аналіз можливостей МСЕ та МГЕ, вказується на доцільність розробки комбінованого скінченно-гранично-елементного підходу для розв'язання певних класів задач, представляється огляд робіт за темою дисертації.

У другому розділі подається математична постановка двовимірної задачі незв'язної термопружності, на основі різних формулювань методу зважених нев'язок розглядаються варіаційні постановки, на яких базуються МСЕ та МГЕ.

Зауважимо, що співвідношення Дюгамеля-Неймана наведені для плоского деформованого стану. У випадку плоского напруженого стану замість коефіцієнта Пуассона, модуля Юнга та коефіцієнта розглядають відповідно.

Підставивши співвідношення (8) у формулу (10), а потім у рівняння (5), отримують рівняння рівноваги, аналогічні рівнянням Ламе, де роль додаткових об'ємних сил буде відігравати градієнт температури.

У третьому розділі викладаються результати з теорії МДО із застосуванням граничних та скінченних апроксимацій для розв'язування квазістатичних задач термопружності. Формулюється один із алгоритмів МДО - однокроковий лінійний ітераційний метод у термінах класичних постановок.

Область розбивається на дві підобласті та, такі що (рис. 1). Дослідження в здійснюється на основі використання скінченних елементів, а в-граничних. Загалом вибір того чи іншого методу розв'язання в кожній із двох областей залежить від специфіки конкретної задачі. У такому підході, відзначимо, і полягає оригінальність використання МДО у даній роботі. До сих пір відомі використання одного й того ж методу дискретизації підзадач у підобластях.

Ввівши простори вектор-функцій та, виділяється у підпростір функцій, значення яких на границі дорівнюють нулю.

Далі математично обґрунтовується застосування МДО. Для його збіжності достатньо, щоб оператор задачі був симетричним та додатно визначеним, а області - однозв'язними областями з ліпшицевими границями. Відомо, що диференціальний оператор квазістатичної задачі теорії термопружності з однорідними головними граничними умовами володіє цими властивостями.

Записується обчислювальний алгоритм МДО, що полягає у послідовному розв'язанні наступних задач

обчислюючи за формулою,

де ,

розв'язується задача

Після цього повертаються до етапу (13) для нового значення індекса і продовжують процес до тих пір, поки не виконається умова завершення ітераційного процесу

,

де - норма, у нашому випадкові, у просторі . Зауважимо, можливі, звичайно, й інші критерії завершення ітераційного процесу. Тут - початкове наближення вектора функцій поверхневих зусиль; - послідовність додатних параметрів релаксації, які забезпечують та прискорюють збіжність ітераційного процесу; - задані на границі вектори-функції.

Розглядається проблема вибору параметрів . Приводиться формула оптимального однакового для всіх ітерацій значення параметра , де

, .

Тут - енергетичні норми у відповідних просторах, - функції, що є розв'язками задач

де - компоненти одиничного вектора зовнішньої нормалі до .

Досліджується питання збіжності ітераційного процесу (13) - (15), записаного для першої крайової задачі квазістатичної термопружності.

Нехай середовище в підобласті характеризується сталими Ламе , , а у - , відповідно. У виділяється ще підпростір , до якого відносяться усі функції , що задовольняють умові гармонійності, тобто майже всюди на .

Використовуються граничні оператори Стєклова-Пуанкаре , що вводяться за допомогою задач

; ; ,

де , - простір спряжений до - простору слідів на функцій із . Таким чином, оператори є розширенням операторів нормальних складових напружень на границі від узагальненого розв'язку , що задовольняє рівнянню Ламе при . Доведені у роботі властивості симетричності та додатної визначеності на операторів дозволяють ввести відповідні скалярні добутки та норми, породжені ними.

Формулюються наступні твердження, які будуть необхідними для подальшого аналізу збіжності ітераційного процесу (13) - (15).

Лема 1. Нехай для інтегралів Діріхле , де розв'язок задачі , , має місце оцінка

,

де . Тоді значення співвідношення

,

належить відрізку , де

, .

Тут - сталі нерівності Корна.

Теорема 1. Для спектра оператора має місце включення .

Тоді оцінка швидкості збіжності запишеться у вигляді теореми.

Теорема 2. Якщо - наближення до розв'язку крайової задачі теорії пружності, побудоване за алгоритмом (13) - (15), де , то швидкість збіжності до характеризується оцінкою

,

де стала не залежить від , , а .

У цьому розділі приводяться результати чисельних експериментів та зроблені на їх основі висновки. Подані результати досліджень підтверджують достовірність розрахунків та застосовність описаного алгоритму для розв'язування реальних задач.

Перший параграф четвертого розділу містить виклад чисельної схеми ПМГЕ стосовно до задач нестаціонарної теплопровідності. У випадку розгляду незв'язних задач термопружності визначення температурних полів уявляє собою самостійну технічну задачу, на фоні розв'язання якої проблема визначення напружень відіграє підпорядковану роль.

На основі методу зважених нев'язок співвідношення початково-крайової задачі нестаціонарної теплопровідності зводяться до еквівалентного граничного інтегрального рівняння Фредгольма за просторовими координатами та Вольтера за часовою змінною. Далі проводиться дискретизація даного рівняння. При цьому границя досліджуваної області розбивається на скінченне число ізопараметричних лінійних або параболічних елементів, а проміжок часу, достатній для спостереження за температурним процесом, дробиться на рівномірні кроки. Для розв'язання отриманого інтегрального співвідношення застосовується метод колокації із залученням кусково-постійних апроксимацій шуканих функцій на часовій півосі. В результаті вихідна задача зводиться до послідовності систем лінійних алгебраїчних рівнянь (СЛАР). За рахунок рівномірного розбиття за часом у всіх цих СЛАР матриця одна і та ж, перераховуються лише праві частини, у яких міститься інформація про розв'язки, отримані на попередніх кроках.

У цьому ж параграфі здійснюється виділення методом заміни змінних логарифмічної особливості та особливості порядку у діагональних коефіцієнтах системи.

Дослідження збіжності чисельних результатів проводиться на тестових прикладах із відомими аналітичними розв'язками. На основі чисельних експериментів робиться висновок про ефективність різних підходів чисельного інтегрування за часом елементів системи.

Другий параграф присвячений дослідженню МГЕ квазістатичних двовимірних задач незв'язної термопружності. Записуються фундаментальні розв'язки для переміщень, зусиль, деформацій та напружень на границі області та у довільній внутрішній точці. На основі схеми Бубнова-Гальоркіна МГЕ формулюється дискретна постановка задачі. Чисельні експерименти проводяться як із використанням ізопараметричної (лінійної та квадратичної) техніки, так і на основі застосування для апроксимування шуканих функцій поліномів Лежандра.

Детально розглядається схема обчислення сильно та слабо сингулярних інтегралів, яка передбачає використання лише стандартних квадратурних формул Гаусса. Ефективність методики апробовано на тестових прикладах.

Одержані також формули для обчислення інтеграла, за допомогою якого враховується дія температурних напружень.

Далі викладається ряд прикладів, в яких на основі аналізу чисельних результатів установлюється ефективність розробленої методики в цілому, використовуваних гранично-елементних апроксимацій зокрема. Приводиться порівняння отриманих результатів із розв'язками, опублікованими іншими авторами.

У третьому параграфі подається обчислювальний алгоритм розв'язування задач термопружності МСЕ. Досліджувана область представляється ансамблем чотирикутників сирендипового сімейства. Вводяться біквадратичні ізопараметричні апроксимації на них. У матричному вигляді записуються співвідношення для обчислення елементів матриць жорсткості та мас.

У п'ятому розділі розглядаються питання програмної реалізації розроблених чисельних схем. Подаються деякі характеристики і описуються можливості окремих програмних модулів.

Висновки

У дисертаційній роботі запропоновано новий підхід до чисельного моделювання фізико-механічних процесів, що ґрунтується на поєднанні переваг методу скінченних елементів та методу граничних елементів. Отримані в дисертації результати теоретичних розробок можуть бути використані при розв'язанні конкретних практичних задач, зв'язаних з визначенням параметрів термопружного стану досліджуваного тіла. Здобуті результати напрямлені на вирішення важливого завдання математичного моделювання - розробити і теоретично обґрунтувати ефективний чисельний алгоритм розв'язування задач, в основі постановки яких лежать диференціальні оператори параболічного та еліптичного типів.

Основні результати виконаної роботи полягають у наступному:

На основі запропонованого підходу синтезу методу скінченних елементів та методу граничних елементів розроблена схема побудови розв'язків сформульованих у дисертаційній роботі крайових задач. У її основу покладено ітераційний лінійний алгоритм методу декомпозиції області. Для обґрунтування збіжності і побудови апріорних оцінок швидкості збіжності використовуються оператори Стєклова-Пуанкаре та обернені до них. Числові розрахунки й аналіз результатів досліджень незв'язних задач квазістатичної термопружності підтверджують перспективність використання запропонованої методики для розв'язування крайових та початково-крайових задач математичної фізики.

Подальший розвиток розглянутої схеми комбінування методу скінченних елементів та методу граничних елементів бачиться у розробці відповідного математичного забезпечення для аналізу задач із врахуванням локальної нелінійної поведінки матеріалу досліджуваного об'єкту.

Побудована методика розв'язання двовимірних початково-крайових задач для параболічних рівнянь, що базується на використанні залежних від просторових і часової координат фундаментальних розв'язків, ізопараметричних (лінійних та квадратичних) граничних елементів та методу колокацій. Різноманітні аспекти її застосування розглянуто на прикладі розв'язування задач нестаціонарної теплопровідності. Для одновимірного випадку реалізовані різні схеми дискретизації за часом інтегрального граничного рівняння та проведений порівняльний їх аналіз. Вироблені рекомендації з раціонального вибору методу інтегрування за часом. Апробована методика врахування ненульової початкової умови.

Розроблена чисельна схема прямого варіанту методу граничних елементів у постановці Бубнова-Гальоркіна, яка застосована для розв'язування задач, що описуються системою еліптичних рівнянь, зокрема для розв'язування квазістатичних задач термопружності. На підставі результатів чисельних експериментів зроблений висновок про те, що використання апроксимацій на основі поліномів Лежандра високих порядків суттєво пришвидшує збіжність гранично-елементних розв'язків, дозволяє вже на порівняно рідких сітках отримати числові розв'язки необхідної точності. Показано, що метод скінченних елементів поступається методу граничних елементів у дослідженні задач із наявністю зон високих градієнтів шуканих функцій. Експериментально встановлена ефективність реалізації методу граничних елементів з нерегулярним гранично-елементним поділом, вказано на доступність побудови таких нерівномірних сіток. Розвинута спеціальна методика обчислення сильно й слабо сингулярних інтегралів кінцевої системи алгебраїчних рівнянь, використання якої дозволило значно скоротити час розрахунків.

Створений проблемно-орієнтований комплекс програм на алгоритмічних мовах високого рівня С++ та Fortran-77 дозволяє розв'язувати широке коло проблем, що описуються системами еліптичного типу та параболічними рівняннями, із достатньою для практичних цілей точністю. У рамках розробленого програмного забезпечення представляється можливим здійснювати апостеріорний контроль точності обчислень за рахунок p-збіжності.

Список опублікованих праць за темою дисертації

Головач Н.П., Дияк І.І. Чисельне дослідження задачі теплопровідності прямим методом граничних елементів // Вісник Львівського університету. Сер. мех.-мат. - 1993. - Вип.39. - C. 46-52.

Головач Н.П. Застосування прямого методу граничних елементів для чисельного розв'язання задачі нестаціонарної теплопровідності // Вісник Львівського університету. Сер.мех.-мат. - 1995. - Вип.42. - С. 96-101.

Дияк І.І., Головач Н.П. Застосування прямого методу граничних елементів для чисельного дослідження деяких прикладних задач // Волинський математичний вісник. - 1995. - Вип. 2. - С. 67-70.

Головач Н.П., Дияк І.І. Прямий метод граничних елементів чисельного розв'язування задачі термопружності // Вісник Львівського університету. Сер.мех.-мат. - 1996. - Вип.44. - С. 57-62.

Головач Н.П., Дияк І.І. Алгоритм обчислення температурних деформацій у задачі термопружності ПМГЕ // Вісник Львівського університету. Сер. мех.-мат. - 1998. - Вип.50. - С. 59-62.

Головач Н.П., Дияк І.І. Метод декомпозиції області та комбінований скінчено-гранично-елементний аналіз задач пружності // Фізико-хімічна механіка матеріалів. - 2000. - №1. - С. 115-117.

Головач Н.П., Дияк І.І. Математичне моделювання теплофізичних процесів на основі методу граничних елементів для ПЕОМ // Тез. докладов конф. «Моделирование и исследование устойчивости систем». - Киев. - 1995. - С. 37.

Головач Н.П., Дияк І.І., Кухарчук Ю.А., Макар В.М., Паук Н.М. Розв'язування задач математичної фізики на основі чисельних схем комбінування методів скінченних і граничних елементів // Тези допов. Всеукр. конф. «Застосування обчислювальної техніки, математичного моделювання та математичних методів у наукових дослідженнях.» - Львів. - 1995. - С. 20.

Головач Н.П. Про застосування гранично-елементних апроксимацій для розв'язування задач термопружності // Тези доп. Всеукр. конф. «Застосування обчислювальної техніки, математичного моделювання та математичних методів у наукових дослідженнях.» - Львів. - 1996. - С. 21.

Головач Н.П., Дияк І.І. Чисельне моделювання задач квазістатичної термопружності // Тез. докладов конф. «Моделирование и исследование устойчивости систем». - Киев. - 1996. - С. 45.

Головач Н.П., Дудаш О.І. Чисельне моделювання неізотермічного пластичного деформування гібридним скінченно-гранично-елементним методом // Тези доп. Всеукр. конф. «Застосування обчислювальної техніки, математичного моделювання та математичних методів у наукових дослідженнях.» - Львів. - 1997. - С. 25.

Размещено на Allbest.ru