Свойства замечательных кривых

Размещено на http://www.allbest.ru/

Министерство образования и науки РФ

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

Набережночелнинский институт социально-педагогических технологий и ресурсов

факультет математики и информатики

Курсовая работа

Свойства замечательных кривых

Специальность 050102.65

Математика с дополнительной специальностью информатика

Выполнила студентка

021 группы 2курса

Шадрина Кристина

Николаевна

Научный руководитель

Набережные Челны 2013

Оглавление

Введение

1. Декартов лист

2. Лемниската Бернулли

3. Логарифмическая спираль

4. Спираль Архимеда

5. Циклоида

6. Эпициклоида

7. Гипоциклоида

8. Дельтоида

9. Астроида

10. Овал Кассини

11. Строфоида

12. Улитка Паскаля

13. Трактриса

14. Кардиоида

Введение

Сами по себе кривые очень разнообразны и имеют богатую историю. Ещё с древних времён они представляют огромный интерес для учёных. В своё время кривые изучал Декарт, Архимед, Аристотель. Самые простые из них - прямая и окружность встречаются в природе. Если уже созданы сферы, то отбрасываемые ими тени имеют очертания конических сечений, поэтому и учение о конических сечениях можно считать вполне естественным.

Интерес к коническим сечениям возрастал по мере того, как увеличивалось количество решаемых с их помощью задач. Свойства конических сечений стали предметом специального теоретического исследования. Коническим сечениям был посвящен ряд сочинений, но все эти сочинения были забыты, когда появился труд Аполлония о конических сечениях. Он не имеет себе равных по полноте, общности и систематичности изложения теории конических сечений.

Данную работу я также посвятила кривым, так как считаю эту тему очень занимательной и интересной. Столкнувшись с данной темой, я была поражена многообразием кривых. В школе изучаются лишь плоские кривые второго порядка, такие как окружность, гипербола, парабола и одна из кривых третьего порядка - кубическая парабола, даже эллипсу не уделено должного внимания, хотя у него имеются очень интересные свойства, и окружность мы получаем как раз как предельный случай эллипса, если сближать его фокусы. Изучая данную тему я впервые столкнулась с изображением таких замечательных кривых как астроида (что в переводе с греческого означает «звездообразная»), дельтоида (свое название она получила из-за сходства с прописной греческой буквой ) или еще её называют кривой Штейнера, кардиоида (сердцевидная кривая), улитка Паскаля, нефроида (что означает - напоминающая очертаниями почку), лемниската Бернулли, овалы Кассини, локон Аньези, конхоида Никомеда, Декартов лист, трех - и четырехлепестковая розы, спирали: Архимеда и Галилея, гиперболическая и логарифмическая. Каждая из этих кривых имеет присущий только ей вид и свойства. Даже со многими из этих названий до написания данной курсовой работы я раньше не встречалась, не говоря уже о том, как и при помощи чего они могут быть построены (например, все гипоциклоиды могут быть построены при помощи специального приспособления называемого спирографом) Все вышеперечисленные кривые каким-либо образом затрагиваются в представленной курсовой работе.

1. Декартов лист

Исторические сведения

В 1638 г. Р. Декарт, чтобы опровергнуть (неверно им понятое) правило П. Ферма для нахождения касательных. Он предложил Ферма найти касательную к линии

При обычном для нас толковании отрицательных координат эта линия, которую в 18 веке стали называть декартовым листом, состоит из петли OBAC (рис.4) и двух бесконечных ветвей (OI, OL).

Но в таком виде ее представил впервые Х. Гюйгенс (в 1692 г.). До этого линию

представляли в виде четырех лепестков (один из них OBAC), симметрично расположенных в четырех координатных углах. Поэтому ее называли «цветком жасмина».

Чтобы построить декартов лист с диаметром петли l проведем окружность A радиуса AO=l и какую-либо прямую GH, параллельную AO. Далее проведем прямые AA? и OE, перпендикулярные AO, и отметим точки A?, E их пересечения с GH. Наконец, отложим на луче OA отрезок OF = 3OA и проведем прямую FE. Теперь искомая линия строится по точкам следующим образом.

Через O проводим любую прямую ON и через точку N, где эта прямая пересекает (вторично) окружность, проводим NQAA?. Точку Q, где NQ пересекает прямую OF соединяем с A? и отмечаем точку K, где QA? пересекает FE. Проводим прямую AK до пересечения с прямой GH в точке Q?. Наконец, откладываем на прямой OA отрезок OP, равный и равнонаправленный с отрезком A?Q?. Прямая M1M2, проведенная через P параллельно AA?, пересечет прямую ON в точке M1. Эта точка. Когда точка N, исходя из O, описывает окружность A против часовой стрелки, точка M1 описывает траекторию LOCABOI.

Точка O - узловая. Касательные, проходящие через O, совпадают с осями координат. Прямая

OA (y=x)

есть ось симметрии. Точка

наиболее удаленная от узловой точки, называется вершиной сторона которого равна наибольшей хорде OA петли, так что

Прямая

UV (x+y+a=0)

асимптота обеих бесконечных ветвей.

2. Лемниската Бернулли

Лемнискаты с тремя фиксированными фокусами.

Лемниската (от лат. lemniscatus -- украшенный лентами) -- плоская алгебраическая кривая порядка 2n, у которой произведение расстояний от каждой точки до n заданных точек (фокусов) постоянно.

Примеры

· Лемнискатой с одним фокусом (n = 1) является окружность радиуса r, а с двумя фокусами -- овал Кассини.

· Частным случаем овала Кассини является лемниската Бернулли, по имени швейцарского математика Якоба Бернулли, положившего начало изучению лемнискат.

Беря разное число фокусов, располагая их по-разному и назначая ту или иную величину для произведения расстояний, можно получать лемнискаты самых причудливых очертаний, например, очертания человеческой головы или птицы. Имея такую произвольную кривую, можно так подобрать число фокусов, их расположение и назначить такую величину p для неизменного произведения расстояний, что соответствующая лемниската на глаз не будет отличаться от этой кривой. Иными словами, произвольную кривую можно приблизить последовательностью лемнискат.

Лемниската Бута -- плоская алгебраическая кривая четвёртого порядка, частный случай кривой Персея. Названа в честь Джеймса Бута.

Уравнение в прямоугольных декартовых координатах:

(x² + y²)² ? (2m² + c)x² + (2m² ? c)y² = 0.

Форма кривой зависит от соотношения между параметрами m и c. Если c > 2m², то уравнение лемнискаты принимает вид

(x² + y²)² = a²x² + b²y², где a² = 2m² + c и b² = c ? 2m².

В этом случае лемниската Бута является подерой эллипса относительно его центра и называется эллиптической. Её уравнение

с² = a²cos²ц + b²sin²ц.

В этом случае лемниската Бута является подерой гиперболы относительно её центра и называется гиперболической.

Частные случаи

· При c = 2m² лемниската Бута вырождается в две окружности

· При c = 0 лемниската Бута вырождется в лемнискату Бернулли.

Свойства

· Лемниската Бута -- ортогональная проекция на плоскость xOy линии пересечения поверхности параболоида с поверхностью конуса

a²x² + b²y² = c²z²

· Лемнискату Бута можно получить инверсией кривой второго порядка

с центром в начале координат.

Лемниската Бернулли -- геометрическое место точек, произведение расстояний от которых до двух заданных точек (фокусов) постоянно и равно квадрату половины расстояния между фокусами.

Лемниската по форме напоминает восьмёрку. Её название восходит к античному Риму, где «лемнискатой» называли бантик, с помощью которого прикрепляли венок к голове победителя на спортивных играх. Эту лемнискату называют в честь швейцарского математика Якоба Бернулли, положившего начало её изучению.

Уравнения

Рассмотрим простейший случай: если расстояние между фокусами 2c, расположены они на оси OX, и начало координат делит отрезок между ними пополам, то следующие уравнения задают лемнискату:

· в прямоугольных координатах:

· Параметрическое уравнение в прямоугольной системе:

, где

Чтобы задать лемнискату по двум произвольным точкам, можно не выводить уравнение заново, а определить преобразование координат, при котором старый (данный) фокусный отрезок переходит в новый, и воздействовать на представленные уравнения этим преобразованием.

Свойства

· Лемниската -- кривая четвёртого порядка.

· Она имеет две оси симметрии: прямая, на которой лежит F₁F₂, и серединный перпендикуляр этого отрезка, в простейшем (данном) случае -- ось OY.

· Точка, где лемниската пересекает саму себя, называется узловой или двойной точкой.

· Кривая имеет 2 максимума и 2 минимума. Их координаты:

· Расстояние от максимума до минимума, находящихся по одну сторону от серединного перпендикуляра (оси OY в данном случае) равно расстоянию от максимума (или от минимума) до двойной точки.

· Касательные в двойной точке составляют с отрезком F₁F₂ углы .

· Лемнискату описывает окружность радиуса , поэтому иногда в уравнениях производят эту замену.

· Инверсия относительно окружности с центром в двойной точке, переводит лемнискату Бернулли в равнобочную гиперболу.

3. Логарифмическая спираль

Кривую эту можно было бы назвать по имени Декарта, так как впервые о ней говорится в одном из его писем (1638 г.). Однако подробное изучение ее свойств было проведено только полвека спустя Якобом Бернулли. На современных ему математиков эти свойства произвели сильное впечатление. На каменной плите, водруженной на могиле этого знаменитого математика, изображены витки логарифмической спирали.

Архимедову спираль описывает точка, движущаяся вдоль луча («бесконечной стрелки») так, что расстояние от начала луча возрастает пропорционально углу его поворота: r = ka. Логарифмическая спираль получится, если потребовать, чтобы не само расстояние, а его логарифм возрастал прямо пропорционально углу поворота. Обычно уравнение логарифмической спирали записывают, пользуясь в качестве основания системы логарифмов непаровым числом е (п. 25). Такой логарифм числа r называют натуральным логарифмом и обозначают In r. Итак, уравнение логарифмической спирали записывается в виде ln r = ka

Конечно, угол поворота а можно измерять по-прежнему в градусах. Но математики предпочитают измерять его в радианах, т. е. принимать за меру угла отношение длины дуги окружности между сторонами центрального угла к радиусу этой окружности. Тогда поворот стрелки на прямой угол будет измеряться числом л 1,57, поворот на величину развернутого угла - числом л 3,14, а полный поворот, измеряемый в градусах числом 360, в радианах будет измеряться числом 2 л 6,28.

Из многих свойств логарифмической спирали, отметим одно: любой луч, выходящий из начала, пересекает любой виток спирали под одним и тем же углом. Величина этого угла зависит только от числа k в уравнении спирали.

4. Спираль Архимеда

Вообразим бесконечно длинную секундную стрелку, по которой, начиная от центра циферблата, неутомимо бежит маленький жучок с постоянной скоростью v см/с. Через минуту жучок будет на расстоянии 60v см от центра, через две - 120v и т.д. Вообще, через t секунд после начала пробега расстояние жучка от центра будет равно vt см. За это время стрелка повернется на угол, содержащий 6 t° (ведь за одну секунду она успевает повернуться на угол 360°:60 = 6°). Поэтому положение жучка на плоскости циферблата через любое число t секунд после начала движения находится так. Нужно отложить от начального положения стрелки в направлении ее вращения угол а, содержащий 6t°, и отмерить от центра вдоль нового положения стрелки расстояние r = vt см. Тут мы и настигнем жучка.

Очевидно, что соотношение между углом поворота a стрелки (в градусах) и пройденным расстоянием r (в сантиметрах) будет такое:

r = (va)/6

Иными словами, r прямо пропорционально a, причем коэффициент пропорциональности k = v/6.

Приладим к нашему бегуну маленькую, но неистощимую баночку с черной краской и допустим, что краска, вытекая через крошечное отверстие, оставляет на бумаге след от уносимого вместе со стрелкой жучка. Тогда на бумаге будет постепенно вырисовываться кривая, впервые изученная Архимедом (287 - 212 до н.э.). В его честь она называется спиралью Архимеда. Нужно только сказать, что у Архимеда не было речи ни о секундной стрелке (тогда и часов с пружиной не было: их изобрели только в XVII в.), ни о жучке. Мы ввели их здесь для наглядности.

Спираль Архимеда состоит из бесконечно многих витков. Она начинается в центре циферблата, и все более и более удаляется от него по мере того, как растет число оборотов. Вы, наверное, слышали, что с помощью циркуля и линейки невозможно разделить на три равные части наудачу взятый угол (в частных случаях, когда угол содержит, например, 180°, 135° или 90°, эта задача легко решается). А вот если пользоваться аккуратно начерченной архимедовой спиралью, то любой угол можно разделить на какое угодно число равных частей.

Разделим, например, угол АОВ на три равные части. Если считать, что стрелка повернулась как раз на этот угол, то жучок, будет находиться в точке N на стороне угла. Но когда угол поворота был втрое меньше, то и жучок был втрое ближе к центру О. Чтобы найти это его положение, разделим сначала отрезок ON на три равные части. Это можно сделать с помощью циркуля и линейки. Получим отрезок ON₁, длина которого втрое меньше, чем ON. Чтобы вернуть жучка на спираль, нужно сделать засечку этой кривой радиусом ON₁ (снова циркуль!). Получим точку М. Угол АОМ и будет втрое меньше угла AON.

Самого Архимеда занимали, однако, другие, более трудные задачи, которые он сам поставил и решил: 1) найти площадь фигуры, ограниченной первым витком спирали (на рис. 11. она заштрихована); 2) получить способ построения касательной к спирали в какой-либо ее точке N.

Замечательно, что обе задачи представляют собой самые ранние примеры задач, относящихся к математическому анализу. Начиная с XVII в., площади фигур вычисляются математиками с Помощью интеграла, а касательные проводятся с помощью производных. Поэтому Архимеда можно назвать предшественником математического анализа.

Для первой из названных задач мы просто укажем результат, полученный Архимедом: площадь фигуры составляет точно 1/3 площади круга радиуса О А. Для второй задачи можно показать ход ее решения, несколько упростив при этом рассуждения самого Архимеда. Все дело в том, что скорость, с которой жучок описывает спираль, в каждой точке N направлена по касательной к спирали в этой точке. Если будем знать, как направлена эта скорость, то и касательную построим.

Но движение жучка в точке N складывается из двух различных движений (рис. 13.): одно - по направлению стрелки со скоростью v см/с, а другое - вращательное по окружности с центром в О и радиусом ОN. Чтобы представить последнее, допустим, что жучок замер на мгновенье в точке N. Тогда он будет уноситься вместе со стрелкой по окружности радиуса ON. Скорость последнего вращательного движения направлена по касательной к окружности. А какова ее величина? Если бы жучок мог описать полную окружность радиуса ON, то за 60 секунд он проделал бы путь, равный 2л ON [см]. Так как скорость при этом оставалась бы постоянной по величине, то для ее отыскания нужно разделить путь на время. Получим:

(2 л ON)/60 = ( л ON)/30

Теперь, когда мы знаем обе составляющие скорости в точке N: одну по направлению ON, равную v см/с, и другую, к ней перпендикулярную, равную

( л ON)/30 см/с, остается сложить их по правилу параллелограмма. Диагональ представит скорость составного движения к вместе с тем определит направление касательной NT к спирали в данной точке.

5. Циклоида

Приложим к нижнему краю классной доски линейку и будем катить по ней обруч или круг (картонный или деревянный), прижимая его к линейке и к доске. Если прикрепить к обручу или кругу кусок мела (в точке соприкосновения его с линейкой), то мел будет вычерчивать кривую (рис. 37), называемую циклоидой (что по-гречески значит «кругообразная»). Одному обороту обруча соответствует одна «арка» циклоиды MM'M''N', если обруч будет катиться дальше, то будут получаться еще и еще арки той же циклоиды.

Чтобы построить на бумаге приближенно одну арку циклоиды, описанную при качении обруча диаметром, равным, например, трем сантиметрам, отложим на прямой отрезок, равный 3х3,14 = 9,42 см.

Получим отрезок, длина которого равна длине обода обруча, т. е. длине окружности диаметром в три сантиметра. Разделим далее этот отрезок на некоторое число равных частей, например на 6, и для каждой точки деления изобразим наш обруч в том его положении, когда он опирается именно на данную точку (рис. 38), занумеровав эти положения цифрами: О, 1, 2, 3, 4, 5, 6.

Чтобы перейти из одного положения в соседнее, обруч должен повернуться на одну шестую полного оборота так как расстояние между соседними точками деления равно шестой части окружности). Поэтому если в положении 0 мел будет находиться в точке М₀, то в положении 1 он будет лежать в точке M₁ - на одной шестой окружности от точки касания, в положении 2 - в точке М₂ - на две шестых от точки касания и т. д. Чтобы получить точки M₁, M₂, М₃ и т.д., нужно лишь производить засечки соответствующей окружности, начиная от точки касания, радиусом, равным

1,5 см, причем в положении 1 нужна одна засечка, в положении 2 - две засечки, выполненные одна за другой, в положении 3 - три засечки и т. д. Теперь для вычерчивания циклоиды остается соединить точки

М0, M1, М2, М3, M4, M5, M6 плавной кривой (на глаз). Циклоида

Циклоида (от греч. кхклпейдЮт -- круглый) -- плоская трансцендентная кривая. Циклоида определяется кинематической как траектория фиксированной точки производящей окружности радиуса r, катящейся без скольжения по прямой.

Свойства:

· Циклоида -- периодическая функция по оси абсцисс, с периодом 2рr. За границы периода удобно принять особые точки (точки возврата) вида t = 2рk, где k -- произвольное целое число.

· Для проведения касательной к циклоиде в произвольной её точке A достаточно соединить эту точку с верхней точкой производящей окружности. Соединив A с нижней точкой производящей окружности, мы получим нормаль.

· Длина арки циклоиды равна 8r. Это свойство открыл Кристофер Рен (1658).

· Площадь под каждой аркой циклоиды втрое больше, чем площадь порождающего круга. Торричелли уверяет, что этот факт был открыт Галилеем.

· Радиус кривизны у первой арки циклоиды равен

.

· «Перевёрнутая» циклоида является кривой скорейшего спуска (брахистохроной). Более того, она имеет также свойство таутохронности: тяжёлое тело, помещённое в любую точку арки циклоиды, достигает горизонтали за одно и то же время.

· Период колебаний материальной точки, скользящей по перевёрнутой циклоиде, не зависит от амплитуды, этот факт был использован Гюйгенсом для создания точных механических часов.

· Эволюта циклоиды является циклоидой, конгруэнтной исходной, а именно -- параллельно сдвинутой так, что вершины переходят в «острия».

6. Эпициклоида

Эпициклоида (от греч. ?рЯ -- на, над, при и кхклпт -- круг, окружность) -- плоская кривая, образуемая фиксированной точкой окружности, катящейся по другой окружности.

Уравнения:

Если центр неподвижной окружности находится в начале координат, её радиус равен R, радиус катящейся по ней окружности равен r, то эпициклоида описывается параметрическими уравнениями относительно :

где б -- угол поворота эпициклоиды относительно центра неподвижной окружности, -- параметр, но фактически это угол наклона отрезка между центрами к оси OX.

Можно ввести величину , тогда уравнения предстанут в виде

Величина k определяет форму эпициклоиды. При k = 1 эпициклоида образует кардиоиду, а при k = 2 -- нефроида.

7. Гипоциклоида

Красная кривая -- гипоциклоида: r = 1,0, R = 3,0.

Гипоциклоида (от греческих слов ?рь -- под, внизу и кэклпт -- круг, окружность) -- плоская кривая, образуемая точкой окружности, катящейся по внутренней стороне другой окружности без скольжения.

Уравнения

Описывается параметрическими уравнениями



где , где R -- радиус неподвижной окружности, r -- радиус катящейся окружности.

Модуль величины k определяет форму гипоциклоиды. При k = 2 гипоциклоида представляет собой диаметр неподвижной окружности, при k = 4 является астроидой.

8. Дельтоида

Дельтоида (кривая Штейнера) -- плоская кривая, описываемая фиксированной точкой окружности, катящейся по внутренней стороне другой окружности, радиус которой втрое больше радиуса первой.

Название кривая получила за сходство с греческой буквой Д. Её свойства впервые изучались Л. Эйлером в XVIII веке, а затем Я. Штейнером в XIX.

Дельтоида является частным случаем гипоциклоиды при k = 3.

Уравнения:

· Неявное уравнение в прямоугольной системе:

· Параметрическое:

, где -- треть полярного угла.

Свойства:

· Длина кривой

где R -- радиус неподвижной окружности.

9. Астроида

Астроида -- плоская кривая, описываемая точкой M окружности радиуса r, катящейся по внутренней стороне окружности радиуса R = 4r. Иначе говоря, астроида -- это гипоциклоида с модулем m = 4.

Уравнения:

Уравнение в декартовых прямоугольных координатах:

| x | ^{2 / 3} + | y | ^{2 / 3} = R^{2 / 3}

параметрическое уравнение:

x = Rcos³t y = Rsin³t

Свойства:

· Длина дуги от точки с 0 до

· Астроида является огибающей семейства отрезков постоянной длины, концы которых расположены на двух взаимно перпендикулярных прямых.

· Астроида является алгебраической кривой 6-го порядка.

10. Овал Кассини

Овал Кассини -- геометрическое место точек, произведение расстояний от которых до двух заданных точек (фокусов) постоянно и равно квадрату некоторого числа a.

Частным случаем овала Кассини при фокусном расстоянии равном 2a является Лемниската Бернулли. Сам овал является лемнискатой с двумя фокусами.

Кривая была придумана астрономом и инженером Кассини. Он ошибочно считал, что она точнее определяет орбиту Земли, чем эллипс^[1].

Свойства:

Чёрная окружность -- множество максимумов и минимумов; синяя лемниската -- множество точек перегиба

· Овал Кассини -- алгебраическая кривая четвёртого порядка.

· Она симметрична относительно середины отрезка между фокусами.

Геометрическое место точек абсолютных максимумов и минимумов -- окружность радиуса c с центром в середине отрезка между фокусами.

11. Строфоида

Строфоида (от греч. уфспцЮ -- поворот) -- алгебраическая кривая 3-го порядка.

В декартовой системе координат, где ось абсцисс направлена по OX, а ось ординат по OD, задана фиксированная точка A на оси OX. Через т. А проводится произвольная прямая AL, которая пересекает ось ординат в точке P. От точки P, на расстоянии равном OP, в обе стороны вдоль прямой AL находятся точки M1 и M2. Геометрическое место точек M1 и M2 образуют строфоиду.

В прямоугольной системе координат строится прямая строфоида или просто строфоида. В косоугольной системе координат строится косая строфоида .

Точка B отстоит от центра координат O на расстоянии равном a=OA. Прямая UV, проведенная через точку B параллельно оси ординат служит асимптотой для обеих ветвей прямой строфоиды. Для косой строфоиды, прямая UV служит асимптотой для нижней ветви и касательной в точке S, причём SB = SA.

В точке O существуют две касательные, которые взаимно перпендикулярны, как для прямой, так и для косой строфоиды.

История:

Считается, что строфоида впервые была рассмотрена французским математиком Жилем Робервалем в 1645 году. Роберваль называл эту кривую -- «птероида» (от греч. рфеспн-- крыло). Название «строфоида» было введено в 1849 году.

Нахождение касательной:

В точке производная , то есть в точке существуют две перпендикулярные касательные, угол наклона которых равен

Вывод

Тангенс угла наклона касательной равен значению первой производной функции. Перепишем уравнение строфоиды (прямой) в следующем виде:

, где

Дифференцируем данное уравнение:

Отсюда:

Радиус кривизны:

в точке определяется так:

Площадь петли строфоиды и площадь между строфоидой и асимптотой:

Объём тела вращения:

12. Улитка Паскаля

Определение и построение.

Даны: Точка O (полюс), окружность K диаметра OB=a (рис.6), проходящая через полюс (основная окружность; она показана на чертеже пунктиром), и отрезок l. Из полюса O проводим произвольную прямую OP. От точки P, где прямая OP вторично пересекает окружность, откладываем в обе стороны от P отрезки Геометрическое место точек M1, M2 (жирная линия на рис.6) называется улиткой Паскаля - в честь Этьена Паскаля (1588 - 1651), отца знаменитого французского ученого Блеза Паскаля (1623 - 1662).

Исторические сведения

Термин «улитка Паскаля» предложен Ж. Робервалем, современником и другом Паскаля. Роберваль рассматривал эту линию как один из видов обобщенной конхоиды.

Особенности формы

Улитка Паскаля симметрична относительно прямой OB. Эта прямая (ось улитки) пересекает улитку: 1) в точке O (если последняя принадлежит улитке); 2) в двух точках A, C (вершины). Форма линии зависит от соотношения между отрезками a(=OB), и l(=AB=BC)

Для построения касательных достаточно провести хорд OD, OE длины l в окружности K. Наиболее удаленным от оси точкам G, H внешней петли отвечает значение

2) Когда l: a=1 (линия 2 на рис.6), внутренняя петля стягивается к полюсу и превращается в точку возврата, где движение по направлению луча OX сменяется движением в противоположном направлении. Наиболее удаленным от оси точкам L, M отвечают значения

Линия 2 называется кардиоидой, т.е. «сердцеобразной» (термин введен Кастиллоном в 1741г.).

3) Когда 1<l: a<2 (линия 3; для неё l: a= 4: 3) улитка Паскаля - замкнутая линия без самопересечения; оторвавшись от полюса, она заключает его внутри себя. Наиболее удаленным от оси точкам L', N' отвечает значение

4) При l: a = 2 очки перегиба, сливаясь с вершиной C пропадают (причем кривизна в точке C становится равной нулю). Улитка приобретает овальную форму и сохраняет ее при всех значениях l: a > 2

Свойства нормали:

Нормаль улитки Паскаля в ее точке M (рис.7) проходит через точку N основной окружности K, диаметрально противоположную той точке P, где OM пересекается с основной окружностью.

Построение касательной

Чтобы провести касательную к улитке Паскаля в ее точке M, соединяем последнюю с полюсом O. Точку N основной окружности K, диаметрально противоположную точке P, соединяем с M. Прямая MN будет нормалью к улитке. Проводя MT MN, получим искомую касательную.

13. Трактриса

Общий вид графика

Трактриса (линия влечения) -- (от лат. trahere -- тащить) -- плоская трансцендентная кривая, для которой длина отрезка касательной от точки касания до точки пересечения с фиксированной прямой является постоянной величиной.

Такую линию описывает предмет, волочащийся на верёвке длины a за точкой, движущейся по оси абсцисс. Трактриса также является кривой погони.

Уравнения

· Параметрическое описание:

История

Открытие и первое исследование трактрисы (1670 год) принадлежит французскому инженеру, врачу и любителю математики Клоду Перро, брату знаменитого сказочника. Новая кривая заинтересовала математиков, её свойства выясняли Ньютон (1676), Гюйгенс (1692) и Лейбниц (1693).

14. Кардиоида

Кардиоида - плоская кривая, описываемая произвольной точкой М окружности радиуса r, катящейся без проскальзывания извне по другой, неподвижной, окружности того же радиуса.

Кардиоида - частный случай эпициклоиды, одна из конхоид и улиток Паскаля.

Если над параболой выполнить преобразование инверсии с центром в фокусе параболы, то парабола перейдет в кардиоиду.

В прямоугольной декартовой системе координат кардиоиду можно задать уравнением

где r - радиус окружности.

Как видно из уравнения, она является алгебраической кривой четвертого порядка и симметрична относительно оси абсцисс. Точка K(r; 0) - точка возврата первого рода. Длина l дуги кардиоиды от точки K до точки М может быть вычислена по формуле

l = 16r()

a площадь, ограниченная кардиоидой, равна 6р.

Уравнение кардиоиды в полярных координатах (с полюсом на неподвижной окружности) имеет вид:

с = 2r(1 + cos)

Параметрические уравнения кардиоиды могут выглядеть так:

x = 2rcost - rcos2t; y = 2rsint - rsin2t.

Свойства замечательная кривая спираль циклоида

Кардиоида -- алгебраическая кривая четвёртого порядка.

Кардиоида имеет один касп (англ. cusp -- заострение) или точка возврата -- точка, в которой кривая линия разделяется на две (или более) ветви, имеющие в этой точке одинаковый направляющий вектор. То есть, ветви в данной точке имеют общую касательную и движение вдоль них из данной точки изначально происходит в одном и том же направлении.).

Размещено на Allbest.ru

...