Теория вероятности и математической статистики

Размещено на http://www.allbest.ru/

Министерство образования и науки Российской Федерации

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования

«Оренбургский государственный университет»

Реферат

Теория вероятности и математической статистики

Проверил: В.В. Паничев

Выполнил: М.Д. Казакова

Оренбург 2013

1. Задание

статический дисперсия вероятность эмпирический

В результате проведения экспериментов с имитационной моделью системы получена выборка результатов моделирования.

Требуется произвести статический анализ данных, для чего:

1. построить статический ряд частот и относительных частот выборки

2. рассчитать оценки математического ожидания, дисперсии и среднеквадратичного отклонения

3. определить точность оценок mx и bx с надежностью y=0.95

4. определить вид закона распределения и вероятность попадания случайной величины в заданный интервал(а,B) по эмпирической функции распределения и гистограмме относительных частот

5. оценить статистическую связь рядом стоящих значений выборки.

2. Задача

Дана выборка из 40 элементов (x1 x2 … x40):

5.83060001 13.24500002 6.58470003 10.58600004 9.65800005 6.23430006 2.48800007 8.82240008 5.96810009 10.84300010 10.52300011 14.07700012 10.77400013 7.06920014 10.14100015 5.97270016 8.94150017 8.85530018 9.00010019 8.04640020 12.28500021 3.37800022 10.28500023 11.68700024 11.19300025 10.73400026 9.12090027 11.03100028 10.70700029 8.23310030 7.86760031 8.11230032 4.57460033 8.29800034 9.35530035 9.94440036 13.33100037 7.94710038 10.87000039 11.39700040

Требуется построить (вычислить):

- группированный статистический ряд абсолютных частот из 10 члена(ов);

- группированный статистический ряд относительных частот из 10 члена(ов);

- полигон абсолютных частот;

- полигон относительных частот;

- гистограмму относительных частот;

- эмпирическую функцию распределения;

- выборочное среднее (Оценку математического ожидания);

- выборочную дисперсию (Оценку дисперсии);

Решение:

1. Строим группированный статистический ряд абсолютных частот.

Группированным статистическим рядом абсолютных частот называется последовательность пар чисел

(x1*, n1*), (x2*, n2*),…, (xm*, nm*)

где xk* -- центр k-го интервала группировки и n1* -- число элементов выборки, попавших в k-й интервал.

Числа nk* ( k = 1,…,m ) называются абсолютными частотами.

Находим минимальный и максимальный элемент выборки, это 7-й и 12-й элементы соответственно, xmin = 2.48800 и xmax = 14.07700.

Находим длину интервала группировки

h = (xmax - xmin) / m = ( 14.07700 - 2.48800) / 10 = 1.15890.

Здесь m = 10 - число интервалов группировки.

Находим правые границы интервалов группировки:

xk = xmin + kh (к = 1,..., 10).

Получаем

3.64690 4.80580 5.96470 7.12360 8.28250 9.44140 10.60030 11.75920 12.91810 14.07700

Находим центры x*k интервалов группировки по формуле:

x*k = xk - h/2 (к = 1,..., 10).

Получаем

3.06745 4.22635 5.38525 6.54415 7.70305 8.86195 10.02085 11.17975 12.33865 13.49755

Для каждого интервала группировки (xk-1, xk) находим число nk* элементов выборки, попавших в этот интервал. Важно чтобы каждый элемент выборки был отнесен к одному и только к одному интервалу, а если значение элемента попадает на границу интервала, то будем относить его к интервалу с младшим номером. Минимальный элемент всегда относим к первому интервалу, максимальный к последнему. Для облегчения работы воспользуемся приведенной ниже таблицей

Убеждаемся, что сумма всех абсолютных частот nk* равна объему выборки 40.

2+1+... +3 = 40

Ответ. Группированный статистический ряд абсолютных частот имеет вид:

Группированным статистическим рядом относительных частот называется последовательность пар чисел

(x1*, n1*/n), (x2*, n2*/n),…, (xm*, nm*/n)

где nk*/n -- относительные частоты и n - объем выборки.

Вычисляем относительные частоты nk*/n, как отношения абсолютных частот к объему выборки. результат представим в виде таблицы:

Убеждаемся, что сумма всех относительных частот nk*/n равна единице. (допускается небольшое отличие от единицы в рамках погрешности вычислений)

0.05000+ 0.02500+... + 0.07500 = 1.00000

Ответ. Группированный статистический ряд относительных частот имеет вид:

Строим полигон абсолютных частот.

Полигон абсолютных частот группированного статистического ряда абсолютных частот -- это ломаная с вершинами в точках (xk*, nk* ). Полигон является одним из графических представлений выборки. Следует тщательно выбрать масштабы и начальные точки на осях, чтобы полигон был максимально наглядным.

На оси абсцисс выбираем начальную точку чуть левее точки x1* = 3.06745, и такой масштаб, чтобы на оси поместился интервал [x1*, x10* ] = [ 3.06745, 13.49755] и отчетливо различались точки xk*.

На оси ординат выбираем начало отсчета в точке 0 и такой масштаб, чтобы на оси поместился интервал

[min{n1*,…,n10* },max{n1*,…,n10* }] = [1, 9]

и отчетливо различались точки nk*.

На оси абсцисс размещаем значения xk*, а на оси ординат значения nk*.

Наносим точки (x1*, n1* ), (x2*, n2* ),…,(x10*, n10* ) на координатную плоскость и последовательно соединяем их отрезками. Получаем полигон, изображенный на рисунке ниже.

Строим полигон относительных частот.

Полигон относительных частот группированного статистического ряда относительных частот -- это ломаная с вершинами в точках (xk*, nk*/n ). Полигон является одним из графических представлений выборки. Следует тщательно выбрать масштабы и начальные точки на осях, чтобы полигон был максимально наглядным.

На оси ординат выбираем начало отсчета в точке 0 и такой масштаб, чтобы на оси поместился интервал

[min{n1*/n,…,n10*/n},max{n1*/n,…,n10*/n}] = [ 0.02500, 0.22500]

и отчетливо различались точки nk*/n.

На оси абсцисс размещаем значения xk*, а на оси ординат значения nk*/n.

Наносим точки (x1*, n1*/n ), (x2*, n2*/n ),…,(x10*, n10*/n ) на координатную плоскость и последовательно соединяем их отрезками. Получаем полигон, изображенный на рисунке ниже.

Строим гистограмму относительных частот.

Гистограмма относительных частот -- это фигура, состоящая из m прямоугольников, опирающихся на интервалы группировки. Площадь к-ro прямоугольника полагают равной nk*/n, т.е. относительной частоте данного интервала.

Для построения гистограммы заполним таблицу (см. ниже). Для ее заполнения воспользуемся уже известными значениями границ интервалов и относительных частот представленных в предыдущих двух таблицах, а значения для нового столбца Hk (высота k-го прямоугольника) рассчитаем по формуле:

Hk = (nk*/n)/h

Убеждаемся, что сумма всех высот Hk, умноженная на h, равна единице. (допускается небольшое отличие от единицы в рамках погрешности вычислений)

0.04314+ 0.02157+... + 0.06472 = 0.86289; 0.86289* 1.15890 = 1.00000

На оси ординат выбираем начало отсчета в точке 0 и такой масштаб, чтобы отчетливо различались Hk

Получаем гистограмму, изображенную на рисунке ниже.

Для построения гистограммы относительных частот на ось абсцисс наносим интервалы [xk-1, xk] и, используя каждый из них как основание, строим прямоугольник с соответствующей высотой Hk.

Строим эмпирическую функцию распределения.

Эмпирической функцией распределения называется функция F*(x), определенная для всех х от -- ? до + ?; таких, что:

1) F*(x) = 0, для всех x < x*1;.

2) F*(x) = (n1*/n)+(n2*/n)+…+(nk*/n) для всех x удовлетворяющих условию: хk*? x < х*k+1;

3) F*(x) = 1, для всех x ? x*m;.

6.1. Для построения функции заполним таблицу (см.ниже), в колонку F*(x) будем записывать накопленные относительные частоты

F*(x1*) = n1*/n

F*(x2*) = (n1*/n)+(n2*/n)

F*(x3*) = (n1*/n)+(n2*/n)+(n3*/n) и т.д.

На оси абсцисс выбираем начальную точку чуть левее точки x1* = 3.06745, и такой масштаб, чтобы на оси поместился интервал и отчетливо различались точки xk*.

На оси ординат выбираем начало отсчета в точке 0 и такой масштаб, чтобы на оси поместился интервал [0, 1] и отчетливо различались точки nk*/n.

Для построения графика эмпирической функции распределения наносим на ось абсцисс интервалы [xk*, xk+1*] и над каждым из них на высоте F*(xk* ) строим горизонтальные отрезки. В правом конце отрезка помещаем стрелку, чтобы показать, что F*(xk* ) в точке x*k+1 делает прыжок в высоту на

F*(x*k+1 ) -- F*(xk* ) = n*k+1 /n.

Получаем график эмпирической функции распределения, изображенный на рисунке ниже.

Вычислим оценку математического ожидания (выборочное среднее) исходной выборки.

Оценка математического ожидания (выборочное среднее) не сгруппированной выборки (x1 x2 … x40) вычисляется по формуле:

M* = x1 + x2 +... + xn

Сложим последовательно все элементы выборки

x1 + x2 + … + x40 = 5.83060 + 13.24500 +... + 11.39700 = 364.01160000

7.2. Разделим полученную сумму на число элементов выборки

364.01160000 / 40=9.10029

Ответ.

Оценка математического ожидания (выборочное среднее) исходной выборки составляет: 9.100290

Вычислим оценку дисперсии (выборочную дисперсию) исходной выборки.

Оценка дисперсии, не сгруппированной выборки (x1 x2 … x40) вычисляется по формуле:

D* = (x1- M* )2 + (x2- M* )2 +... + (xn- M* )2

где M*-- оценка математического ожидания (выборочное среднее).

Вычисляем выборочную дисперсию по указанной формуле с n = 40. Получаем

D* = (5.8306- 9.100290)2 + (13.245- 9.100290)2 +... + (11.397- 9.100290)2

Ответ.

Оценка дисперсии исходной выборки составляет: 6.781854

Размещено на Allbest.ru