Диофантові рівняння
Життя Діофанта та його внесок у математику. Розробка найпростіших методів діофантових рівнянь: повного перебору, виділення чистої частини. Теоретичні та практичні відомості про лінійні рівняння Діофанта. Розв'язання цікавих задач за допомогою рівнянь.
| Рубрика | Математика |
| Вид | реферат |
| Язык | украинский |
| Дата добавления | 13.02.2014 |
| Размер файла | 398,2 K |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Размещено на http://www.allbest.ru/
Вступ
Життя Діофанта
Ми дуже мало знаємо про Діофанта. В одній з епіграм Палатинської антології йдеться про таке:
“Прах Диофанта гробница покоит: дивись ей - и камень
Мудрым искусством его скажет усопшего век.
Волей богов шестую часть жизни он прожил ребенком
И половину шестой встретил с пушком на щеках.
Только минула седьмая, с подругою он обручился.
С нею пять лет проведя, сына дождался мудрец.
Только полжизни отцовской возлюбленный сын его прожил.
Отнят он был у отца ранней могилой своей.
Дважды два года родитель оплакивал тяжкое горе.
Тут и увидел предел жизни печальной своей.”
Звідси неважко підрахувати, що Діофант прожив 84 роки. Але для цього зовсім не потрібно володіти “мудрым искусством его”. Достатньо вміти вирішувати рівняння 1-ого степеня з одним невідомим, а це вміли робити єгипетські писці ще за 18 століть до н.е.
Та коли ж жив Діофант? Теон Александрійський у своїх коментарях до “Альмагесту” Птолемея привів уривок з творів Діофанта. Оскільки діяльність Теона припадає на другу половину 4 століття н.е., очевидно, Діофант не міг жити пізніше середини 4 століття. Цим визначається верхня межа проміжку можливого часу життя Діофанта. З іншого боку, сам Діофант у своїй праці “О многоугольных числах” двічі згадує Гіпсікла, математика, який жив у Александрії у середині 2 століття до н.е. Отож, нижньою межею є друга половина 2 століття до н.е. Таким чином, отримуємо проміжок у 500 років.
Звузити цей проміжок намагався П. Таннери, відомий історик науки, видавець критично проаналізованого тексту творів Діофанта, який тепер прийнятий у якості канонічного. У бібліотеці Ескуріала він знайшов уривок з листа Міхаіла Пселла, візантійського вченого 11 сторіччя, текст якого був спотворений під час переписувань. Після відновлення Таннері однин з уривків листа може бути перекладений так: “Что касается этого египетского метода, то Диофант рассмотрел его более точно, и ученейший Анатолий, после того, как собрал наиболее важные части этой науки, посвятил их своему другу Диофанту”. Відомо, що Анатолій Александрійський склав “Введение в арифметику” в 10 частинах, фрагменти з якого дійшли до нас в передачі Ямбліха(4 сторіччя н.е.). Але Анатолій, знання якого в арифметиці, геометрії і астрономії звеличує Євсевій, жив у Александрії всередині 3 сторіччя , при чому у 270 році він покинув її, ставши єпископом Лаодікійським. Таким чином, якщо Таннері вірно прочитав лист Пселла, то Діофант жив у середині 3 сторіччя н.е.
Це підтверджується ще й тією обставиною, що сама “Арифметика” присвячена “достопочтеннейшему Дионисию”, який, я к це можна побачити із введення до першої книги, цікавився наукою про числа та її викладанням. Між тим з 231 по 247 р. на чолі Александрійського християнського училища для юнацтва перебував Діонісій, що в 247 р. став єпископом Александрійським. За припущенням Таннері, саме йому і була присвячена “Арифметика”.
Тому зазвичай тепер вважають, що Діофант жив близько 250 р.
Із творів Діофанта до нас дійшло два: “Арифметика” и “О многоугольных числах”, але обидва вони збереглися неповністю. З 13 книг “Арифметики”, про які говорить Діофант у введенні до цієї праці, до нас дійшло 6, а кінець другого твору втрачено. У “Арифметике”, коли мова йде про теоретично-числові припущення, Діофант зазвичай посилається на свої “Поризмы”. Невідомо,була це окрема книга, чи доведення “поризмов” були включені у саму “Арифметику”. В будь якому разі, жодного доведення теоретично-числового припущення від Діофанта до нас не дійшло.
Діофант і математика нового часу
“Арифметика” Діофанта справила такий же фундаментальний вплив на розвиток алгебри і теорії чисел, як і праці Архімеда - на формування числення нескінченно малих. Але вплив Діофанта був більш багатоступеневим і не закінчився у 17 ст., як це було з Архімедом, а продовжувався аж до початку 20 сторіччя. Перше, що було сприйнято - це алгебраїчний метод. Вже математики арабського Сходу користувалися найменуванням степенів невідомого, запропонованого Діофантом. У 15-16 сторіччях ці методи зустрічаються у Європі, куди вони могли потрапити як через Візантію, так і перейти від арабів. В той же час почали оперувати з від'ємними числами. Вирішення арифметичних та геометричних задач намагалися звести до рівняння. Що стосується правил Діофанта для оперування з многочленами та рівняннями, то вони повторювалися майже всіма, хто складав підручники з алгебри. Таким чином, у Європі склалася дещо парадоксальна ситуація: вчені користувалися алгебраїчними методами Діофанта, не будучи знайомими з його творами.
В 1621 році Баше де Мезіріак вперше видав грецький текст “Арифметики”, забезпечивши його новим, більш досконалим перекладом на латину та коментарями. Це видання стало відомим, так як на полях одного з його екземплярів зробив свої теоретично-числові зауваження П'єр Ферма(1601-1665).
Знайомство з текстом “Арифметики” було початком нового життя методів Діофанта. Найбільш досконало його методами оволоділи Франсуа Вієт(1540-1603) і П'єр Ферма. Обидва вони вільно користувалися ними для визначеня раціональних розв'язків невизначеного рівняння другого степеня, а для рівнянь третього степеня - методами “дотичної” та “січної” але останній використовувався лише для того самого випадку, що і у Діофанта(тобто коли одна із заданих раціональних точок є кінцевою, а інша - нескінченно віддаленою). Ферма, крім того, розвинув вчення про вирішення подвійних та потрійних рівностей. Він же першим застосував метод нескінченного, або невизначеного, спуску, який і до нашого часу є одним із найсильніших при дослідженні проблем діофантового аналізу.
Після Ферма невизначеними рівняннями займався Ньютон, як це стало зрозуміло із нещодавно опублікованих його математичних рукописів. Він перший дав геометричну інтерпретацію методів Діофанта, при чому для знаходження раціональних точок кривої третього порядку він використав метод “cічної” для випадку, коли відомі дві скінченні раціональні точки кривої.
Отже, доля праць Діофанта складна і незвичайна. Тричі вони здійснили вирішальний вплив на формування науки нового часу: під час створення буквеної алгебри у математиці Середньовічного Сходу і Європи, під час становлення теорії чисел та вчення про невизначені рівняння у 17-18 ст. и, нарешті, вже опосередковано, методи Діофанта стали основою для визначення складання точок еліптичних кривих і побудови їх арифметики. І я вважаю, що цим значення “Арифметики” не вичерпано і людство ще не раз звернеться до цієї книги.
Розділ 1. Найпростіші методи розв'язування діофантових рівнянь
Діофантові рівняння(за ім'ям стародавнього математика Діофанта) - це алгебраїчні рівняння або системі алгебраїчних рівнянь з цілими коефіцієнтами, що містить число невідомих, яке перевищує число рівнянь і в яких знаходять цілі або раціональні розв'язки. Поняття діофантових рівнянь у сучасній математиці розширено: це рівняння, у яких знаходять розв'язки в алгебраїчних числах. Діофантові рівняння також називають невизначеними. І хоча на перший погляд їх вирішення здається дуже складним, існують достатньо прості методи, які дозволяють розв'язувати ці рівняння учню 7 класу. Розглянемо ці методи на прикладі вирішення конкретних задач.
1.1 Метод повного перебору
Повний перебір(метод грубої сили) - метод вирішення задачі або рівняння шляхом перебору всіх можливих варіантів розв'язку. Складність повного перебору залежить від кількості всіх можливих рішень задачі. Якщо простір рішень дуже великий, то повний перебір може не дати результату протягом декількох років або навіть століть.
Задача 1: Знайти множину усіх пар натуральних чисел, які являються розв'язками рівняння
Розв'язок: Виразимо з рівняння змінну х через змінну у
Так як х і у - натуральні числа, то
Далі перебираємо всі цілі числа, що входять до цього проміжку і підставляємо їх у початкове рівняння. Повний перебір варіантів показує, що натуральними розв'язками рівняння є пара
Відповідь:
Вміння розв'язувати діофантові рівняння може допомогти з виконанням одного нескладного математичного фокусу.
Задача 2: Запропонуйте товаришу помножити число дати його народження на 12, а номер місяця - на 31. він називає вам суму обох добутків, і ви за нею вираховуєте дату його народження.
Якщо, наприклад, ваш товариш народився 9 лютого, то ін. виконує наступні дії:
,
Це останнє число, 170, він повідомляє вам, и ви визначаєте задуману дату.
Розв'язок: Задача зводиться до вирішення невизначеного рівняння
в цілих додатних числах, при чому число місяця х не більше 31, а номер місяця у не більше 12.
Знаючи, що та , знаходимо границі для :
Отже,
Відповідь: Дата народження 9 число другого місяця, тобто 9 лютого.
1.2. Метод виділення цілої частини
Задача 1: Розв'язати рівняння в цілих числах
Розв'язок: Виразимо з даного рівняння у через х
Так як х та у - цілі числа, то дріб повинен бути цілим числом. Це можливо лише тоді, коли .
Відповідь: (0;-2),(2;-2).
Задача 2: Під час ревізії торгових книг у магазині один із записів виявився залитий чорнилами і мав такий вигляд:
За … метрів ратину, по 49р. 36коп. метр - …7р. 28коп.
Неможливо було визначити число проданих метрів, але не підлягало сумнівам, що це число не дріб; у вирученій сумі можна було розібрати тільки останні три цифри, и ще встановити, що перед ними були три якісь інші цифри.
Чи може ревізійна комісія по цим слідам встановити запис?
Розв'язок: Позначимо число метрів через х. Зароблена сума виразиться в копійках через .
Число, що виражається трьома залитими цифрами у запису грошової суми, позначимо через у. Це, очевидно, число тисяч копійок, а уся сума в копійках виразиться так:
.
Маємо рівняння
або, після скорочення на 8,
У цьому рівнянні х і у - числа цілі і при цьому, не більше 999, так як більш ніж з трьох цифр воно складатися не може. Розв'язуємо рівняння:
(Тут ми прийняли , так як нам вигідно мати як можливо менші остачі. Дріб є ціле число, а так як 2 не ділиться на 125, то повинно бути цілим числом, яке ми і позначили через t.)
Далі із рівняння
Маємо:
Де
і, отже
Ми знаємо, що
Звідки
і
Очевидно, для t1 існує тільки одне ціле значення і тоді ,
Тобто було відпущено 98 метрів на суму 4837 р. 28 коп. Запис відновлено.
Розділ2. Розв'язування лінійних діофантових рівнянь
2.1 Загальні теоретичні відомості
Лінійним діофантовим рівнянням називається рівняння виду:
(1),
Де всі коефіцієнти і невідомі - цілі числа, і хоча б одне
Розв'язком діофантового рівняння (1) називається комплекс цілих чисел , які задовольняють цьому рівнянню.
Якщо рівняння (1) однорідне, то відмінний від (0;…;0) розв'язок називається нетривіальним. Розв'язок рівняння (1) в раціональних числах називається раціональним.
Теорема 1.
При взаємно простих коефіцієнтах діофантове рівняння
(2)
має роз'вязки в цілих чилах.
Доведення:
Позначимо через М множину тих додатних чисел b, для яких рівняння
має розв'язок в цілих числах. Множина М очевидно не порожня, оскільки при заданих можна підібрати цілі значення , так щоб було додатним числом.
В множині М існує найменше число, яке ми позначимо через .
Позначимо через цілі числа, такі що .
Нехай , де ; тоді
Ми підібрали такі цілі значення такі що
але , а d - найменше додатне число в множині М, тобто r не може бути додатним,
Аналогічно отримуємо .
Ми бачимо, що d - спільний дільник чисел . Отже, оскільки
, то рівняння (2) розв'язне в цілих числах.
Теорему доведено.
Теорема 2.
Нехай d - найбільший спільний дільник коефіцієнтів .
Діофантове рівняння с має розв'язки тоді і тільки тоді, коли . Кількість розв'язків дорівнює нулю або безкінечності.
Доведення:
Доведемо послідовно три твердження теореми.
1)Нехай . Для рівняння
де існують такі цілі числа , які задовольняють його, тобто такі, що Тоді
Тобто - розв'язок рівняння (2).
2) Нехай тепер d b. Тоді ліва частина рівняння (2) при будь яких цілих значеннях ділиться на d, а права частина на d не ділиться. Отже, рівність (2) при цілих значеннях неможлива.
3) Якщо - набір чисел, які задовольняють рівняння (2), то , наприклад, всі набори при також задовольняють дане рівняння, і, таким чином, у нас або узагалі не буде розв'язків, або їх буде безліч.
Якщо хоча б одна пара коефіцієнтів - взаємно прості числа, то d=1, і рівняння (2) має нескінченну кількість розв'язків.
Приклад.
1. Діофантове рівняння не має розв'язків, бо у даному випадку d=3 і 100 не ділиться на 3.
2. Діофантове рівняння має нескінченну кількість розв'язків, оскільки d=1.
Теорема 3.
Якщо задовольняє конгруенцію
є розв'язком діофантового рівняння
.
Доведення:
Із випливає, що - ціле число, і безпосередня підстановка показує, що
Теорему доведено.
Теорема 4.
Нехай d - найбільший спільний дільник чисел a і b, де і - деякий розв'язок діофантового рівняння (4).
Тоді множина розв'язків рівняння (4) в цілих числах співпадає з множиною пар чисел , де
а t - будь яке ціле число.
Доведення:
Нехай - довільний розв'язок діамантового рівняння (4), тобто. За умовою задовольняють рівняння (4), тобто . Віднявши від рівності (5) останню рівність і поділивши все на d, отримаємо , де - цілі числа. Тоді , при чому маємо:
,
де t - деяке ціле число. Підставляючи знайдене значення в (5), отримаємо:
звідки .
Таким чином, будь-який розв'язок рівняння (4) буде мати вигляд:
,
,
де t - деяке ціле число. Обернене твердження також правильне. Нехай такий набір пар чисел, що
,
.
Безпосередня перевірка показує, що
Тобто - розв'язок діофантового рівняння (4).
Зауваження.
Теорема правильна і тоді, коли a і b дорівнюють нулю. Наприклад, при а=0, тобто у випадку рівняння , отримуємо d=(0;b)=b і при для у існує єдине значення , а х - довільне ціле. Будь який розв'язок цього рівняння можна представити у вигляді і при будь якому t такі задовольняють рівняння .
Приклад.
Розв'язати рівняння
У цьому рівнянні
(50,42)=2
Розглянувши конгруенцію знаходимо:
так що .
Будь який розв'язок даного діофантового рівняння має вигляд
2.2 Невизначені рівняння вищих порядків
Рівняння
Розв'язок невизначеного рівняння в цілих числах.
Можна взяти x, y, z такими, що вони не мають спільного дільника, більшого за одиницю, інакше можна було б скоротити обидві частини рівняння на квадрат цього множника. Із таких міркувань випливає, що x, y, z є попарно взаємно простими, бо якщо, наприклад x, y ділились на d>1 то і z ділилось би на d. Таким чином одне з чисел x, y повинно бути непарним. Легко бачити, що інше має бути парним. Інакше в протилежному в протилежному випадку, якщо б , то ділилось на 2, але не ділилось би на 4 і тому не було б квадратом.(Якщо -парне, то і a парне, а=2b і тобто ділиться на 4. Таким чином квадрат не може ділитися на 2 і не ділитися на 4 одночасно).
Нехай х - парне, у - непарне, тоді z - непарне. Візьмемо
і отримаємо
де t і u - взаємно прості. Дійсно, якщо б t i u мали б спільний множник d>1, то d містився б в , а це неможливо, бо y i z є взаємно простими. Тому t i u повинні бути по-різну точними квадратами. Для цього скористаємося теоремою про розклад чисел на прості множники. Маємо
Таким чином, в силу наслідків з теореми про розклад отримуємо
,
де .
Але так як t i u взаємно прості, то для кожного і одне із чисел дорівнює нулю і тому інше дорівнюватиме . Отже, всі показники в розкладах чисел t i u парні, звідки випливає, що кожне із цих чисел є точним квадратом . Звідси випливає
.
Таким чином, розв'язок рівняння у взаємно простих числах повинен представлятись у вигляді (5), де u1 і t1 - взаємно прості цілі числа, одне з яких парне, а інше не парне (інакше y і z були б парними одночасно). І, навпаки, якими б не були взаємно пості цілі числа u1 і t1 різної парності, числа x, y, z - складені з них по формулам (5) дають розв'язки рівняння у взаємно простих числах. Дійсно, перш за все
Крім того, якщо б y і z ділились на просте число d, то також ділились би на d, і так як d не може дорівнювати 2 (бо в силу різної парності u1 і t1 , y і z - непарні), внаслідок того, що добуток двох чисел ділиться на просте число, то одне із чисел обов'язково ділиться на цей простий дільник, випливає, що u1 і t1 повинні ділитися на d, а це суперечить тому, що числа u1 і t1 є взаємно простими. Отже, y і z, а також і вся трійка x, y, z - взаємно прості.
Таким чином, формули (5) при взаємно простих u1 і t1 різної парності, дають всі розв'язки рівняння у взаємно простих цілих числах.
2.3 Піфагорові трійки
Кожний трикутник , сторонни сторони якого відносяться, як 3 : 4 : 5, згідно із загальновідомою теоремою Піфагора - прямокутний, оскільки
.
Крім чисел 3, 4, 5, існує як відомо, безліч цілих додатних чисел ??, ??, ??, які задовольняють відношення:
Числа ??, ??, ?? називаються піфагоровими числами. Згідно з теоремою Піфагора такі числа можуть служити довжинами сторін деякого прямокутного трикутника, тому ?? і ?? називають катетами, ?? - гіпотенузою.
Зрозуміло, що якщо ??, ??, ?? є трійкою піфагорових чисел, то і ????, ????, ????, де ?? - цілий множник, - піфагорові числа. І навпаки, якщо піфагорові числа мають спільний множник, то на цей множник можна скоротити, і знову отримаємо трійку піфагорових чисел.
Тому спочатку будемо досліджувати лише трійки взаємно простих піфагорових чисел (решта отримається із їх множення на цілий множник ??).
Покажемо, що в кожній із таких трійок ??, ??, ?? один із катетів повинен бути парним, а другий непарним.
Міркування проводитимемо від супротивного. Якщо два катета ?? та ?? парні, то парним буде і число , а значить і гіпотенуза ??. Це, суперечить тому, що числа ??, ??, ?? не мають спільних множників, так, як три парні числа мають спільний множник 2. Таким чином принаймні один із катетів повинен бути непарним. Дійсно, якщо катети мають вигляд 2??+1 та 2??+1, то сума їх квадратів рівна
тобто представляє собою число, яке при діленні на 4 дає в остачі 2. Між іншим квадрат всякого парного числа повинен ділитися на 4 без остачі. Значить, сума квадратів двох непарних чисел не може бути квадратом парного числа, інакше кажучи, наші три числа не піфагорові.
Отже із катетів ??, ?? один парний, а інший непарний. Тому число непарне, а значить непарна і гіпотенуза ??.
Припустимо, для визначеності, що непарним є катет ??, а парним ??. Із рівності
.
Ми легко отримаємо:
.
Множники, та правої частини рівності, взаємно прості. Дійсно, якщо б ці числа мали спільний множник, відмінний від одиниці, то на цей множник ділилась би і сума
І різниця
І добуток
Тобто числа 2??, 2??, і ?? мали б спільний множник. Так як ?? непарне, то цей множник відмінний від двійки, і тому цей же множник мають числа ??, ??, ??, чого бути не може.
Отримана суперечність показує, що числа та взаємно прості.
Але якщо добуток взаємно простих чисел є точним квадратом, то кожне із них є квадратом, тобто
Розв'язавши цю систему, знайдемо:
Отже розглядувані піфагорові числа мають вигляд
Де ?? та ?? - деякі взаємно прості непарні числа. Легко впевнитись в тому, що при будь яких таких ??, ?? ми отримаємо трійки піфагорових чисел. Розглянемо деякі піфагорові трійки, отримані при певних значеннях ?? та ??:
Всі інші трійки піфагорових чисел або мають спільні множники, або містять числа більше ста.
2.4 Розв'язування лінійних діофантових рівнянь за допомогою
теорії конгруенцій
2.4.1 Загальні теоретичні відомості
Одним із способів роз'язання лінійних діофантових рівнянь є застосування теорії конгруенцій. Але для використання цього методу необхідно ознайомитися з означенням терміну “конгруенція” та з її основними властивостями.
Означення 1. Цілі числа a і b називаються конгруентними за модулем m, де т - ціле число, якщо їхня різниця a-b ділиться на т. позначення:
.
Якщо a і b не конгруентні за модулем т, то пишуть
.
Означення 2. Цілі числа a і b називаються конгруентними за модулем m, де т - ціле число, якщо вони при діленні на т дають однакові остачі.
Означення 3. Цілі числа a і b називаються конгруентними за модулем m, де т - ціле число, якщо існує таке ціле число q, що
Означення 1, 2, 3 - рівносильні.
Основні властивості конгруенцій
1. Відношення конгруентності за даним модулем є бінарне відношення еквівалентності на множині цілих чисел. Класи еквівалентності називають класами лишків за даним модулем.
2. Конгруенції за одним модулем можна почленно додавати, віднімати і множити.
3. До обох частин конгруенції можна додати будь-яке ціле число (це дає змогу переносити будь який доданок з однієї сторони в іншу з протилежним знаком).
4. До будь-якої частини конгруенції можна додати довільне ціле число, кратне модулю.
5. Обидві частини конгруенції можна помножити на те саме ціле число.
6. Обидві частини конгруенції можна поділити на їх спільний дільник, якщо він взаємно простий з модулем.
7. Якщо у виразі
усі коефіцієнти А і числа а1,а2,…,ак замінити на конгруентні їм за модулем т коефіцієнти B і числа b1,b2,…bk відповідно, то вираз
Буде конгруентний заданому за модулем т:
8. Обидві частини конгруенції і модуль можна множити на те саме ціле число.
9. Обидві частини конгруенції і модуль можна скорочувати на їхній спільний дільник.
10. Якщо конгруенція має місце за кількома модулями, то вона має місце і за модулем, який дорівнює найменшому спільному кратному цих модулів.
11. Якщо конгруенція має місце за модулем т, то вона має місце за модулем d, де d - довільний дільник числа т.
12. Якщо одна частина конгруенції і модуль діляться на деяке число, то й друга частина конгруенції ділиться на те саме число.
13. Якщо , то
Теорема Лежандра
Розглянемо невизначене рівняння
(6).
Вперше знайшов розв'язки рівняння (11) Лежандр, довівши наступну теорему:
Теорема 5.
Якщо ??, ?? і ?? - попарно взаємно прості додатні цілі числа, вільні від квадратів, то невизначене рівняння
Має нетривіальні розв'язки в цілих числах ??, ?? і ??, тоді і тільки тоді, коли мають розв'язки конгруенції
(7)
Доведення.
Необхідність умов (7) очевидна. Доведемо їх достатність.
Нехай ?? - довільний непарний простий дільник числа ??. Тоді із (7) випливає, що конгруенція маж нетривіальний розв'язок, наприклад, . В такому випадку форма розкладається по модулю ?? на лінійні множники:
.
Такий же розклад правильний для форми , тобто має місце рівність
, (8)
де - цілочисельні лінійні форми. Аналогічні рівності мають місці і для непарних простих дільників ?? коефіцієнтів ?? і ??, а також ?? = 2, так, як
.
Знайдемо тепер такі лінійні форми , щоб виконувались рівності
Для всіх простих дільників ?? коефіцієнтів ??, ?? і ??. Тоді із рівності (8) отримаємо
, (9)
Будемо надавати змінним цілі значення, які задовольняють умови
(10)
Якщо виключити із розгляду тривіальний випадок (для нього твердження теореми очевидне), то із того, що числа ??, ?? і ?? є взаємно простими, випливає що не всі числа , , будуть цілими. Значить, число наборів (??, ??, ??), що задовольняють умови (10), строго більше, ніж . Розглянемо значення, які приймає лінійна форма при цих значеннях змінних. Так, як число наборів (??, ??, ??) з умовою (10) більше числа лишків по модулю ??????, то для двох різних наборів (, , ) і (, , ) маємо
??(, , )
Звідси, в силу лінійності форми , отримаємо, що при , , виконується конгруенція
??(, , ).
Відповідно до (9),
(11)
Оскільки для наборів (, , ) і (, , ) виконується (10), то
,
Значить,
Остання нерівність сумісна із конгруенцією (11) лише в тому випадку, коли
або коли
Перший випадок дає нетривіальний розв'язок, (, , ). У другому випадку існування нетривіального цілочисельного розв'язку рівняння (6) випливає із тотожності
Вище доведене дає ефективний алгоритм для знаходження нетривіального цілочисельного розв'язку рівняння (6).
2.4.1 Практичне використання
Розв'язати рівняння:
2x+5y=21.
Розв'язок: Із заданого рівняння отримуємо 2x=21-5y. Ця рівність означає, що 2x?21(mod 5). Остання конгруенція залишиться вірною, якщо коефіцієнт 2 (або число 21) замінити конгруентним за модулем 5 числом (так щоб ліва і права частина нової конгруенції мали спільний множник). Оскільки 2?7(mod 5), то вірною буде також конгруенція 7x?21(mod 5) Зважаючи, що числа 7 і 5 взаємно прості, обидві частини останньої конгруенції можна поділити на 7 і отримати правильну конгруенцію x?3(mod 5) Тоді x=3+5t (де t - ціле число). Підставляючи у початкове рівняння, отримуємо:
2•(3+5t)+5y=21.
Звідси y=3-2t. Отже, всі цілі розв'язки початкового рівняння задаються формулами:
x=3+5t, y=3-2t.
Розділ 3. Деякі цікаві задачі на використання діофантових рівняннь
Задача 1. Продаж курей (старовинна задача).
Три сестри прийшли на ринок з курами. Одна принесла на продаж 10 курей, друга 16, третя 26. До обіду вони продали частину своїх курей по одній і тій самій ціні. Після обіду, боячись, що не всі кури будуть продані, вони знизили ціну і розпродали усіх курей знову за однаковою ціною. Додому усі троє повернулися з однаковою виручкою: кожна сестра отримала від продажу 35 монет.рівняння діофант задача
За якою ціною вони продавали курей до і після обіду?
Розв'язок.
Позначимо число курей, проданих кожною сестрою до обіду x, y, z. Другої половини дня вони продали 10-x, 16-y, 26-z курей. Ціну до обіду позначимо через т, після обіду - п.
Перша сестра виручила:
отже,
Друга:
отже,
Третя:
отже,
Перетворимо ці рівняння:
Віднявши від третього рівняння перше, а потім друге, отримаємо послідовно:
Ділимо перше з цих рівнянь на друге:
Так як x, y, z - цілі числа, то і різниці x-z, y-z - теж цілі числа. Тому для існування рівності необхідно, щоб x-z ділилось на 8,а y-z на 5. Отже
Звідки
Зауважимо, що число t - не тільки ціле, а й додатне, так як x>z ( в іншому випадку перша сестра не змогла б виручити стільки ж, скільки третя.
Так як x<10, то
При цілих і додатних z і t остання нерівність задовольняється тільки в одному випадку: коли z=1, t=1. Підставивши ці значення у рівняння
Знаходимо: x=9, y=6.
Тепер, повертаючись до початкової системи рівнянь і підставляючи знайдені значення x, y, z дізнаємось, за якою ціною продавалися кури:
Отже, кури продавалися до обіду по 3м. 75 коп., а після обіду - по 1м. 75коп.
Задача 2. Який прямокутник?
Сторони прямокутника виражаються цілими числами. Якої довжини вони повинні бути, щоб периметр прямокутника чисельно дорівнював його площі?
Розв'язок:
Позначивши сторони прямокутника через х і у, складаємо рівняння:
Так як х і у повинні бути додатними, то додатним повинно бути і число у-2, тобто у повинен бути більше 2.
Зауважимо тепер, що
Так як х повинно бути цілим числом, то вираз повинен бути цілим числом. Але при у>2 це можливо лише, якщо у дорівнює 3, 4 або 6. Відповідні значення х будуть 6, 4 і 3.
Отже, шукана фігура є або прямокутником зі сторонами 3 і 6, або квадрат із стороною 4.
Задача 3. Цілі точки на прямій.
Скільки точок з цілими координатами, які задовольняють умові x<0, y>0 лежить на прямій
Розв'язок:
Після заміни змінної отримаємо рівняння
в натуральних числах, яке вирішимо методами загального і частинного вирішення лінійних діофантових рівнянь(ознайомитися з цими методами можна І. Н. Сєргєєва “Примени математику”).
Передостанній підхідний дріб до ланцюгового дробу
Дорівнює
Звідки
тобто , що неможливо. Отже, на прямій немає жодної точки з цілими координатами, які задовольняють умові x<0, y>0.
Задача 4. Поїзд з вугіллям.
На станцію привезли 420 т вугілля у вагонах місткістю по 15 т, по 20 т і по 25 т. Скільки яких вагонів було використано, якщо відомо, що всього було 27 вагонів?
Розв'язок:
Нехай було використаноx, y, z вагонів місткістю по 15 т, 20 т і 25 т відповідно. Тоді маємо
тобто числа y і z повинні задовольняти рівнянню
у натуральних числах. Перетворюючи це рівняння, отримуємо , тобто Отже, було використано 25 вагонів по 15 т, 1 вагон в 20 т і один вагон в 25 т.
ВИСНОВКИ
У даній курсовій роботі розглядалися діофантові рівняння. Таких рівнянь є надзвичайно багато, тому основною метою роботи було розглянути деякі з таких рівнянь та показати різні методи їх розв'язання.
Для окремих невизначених рівнянь існують відомі алгоритми знаходження всіх цілочисельних розв'язків, або алгоритми, що показують їх відсутність. Саме на такі рівняння акцентувалась увага у курсовій роботі.
У роботі подано як теоретичні відомості з даної проблеми, так і практичні задачі разом із їх детальними розв'язками, що допоможе кращому розумінню теми.
У вступі приведені історичні відомості з життя математика Діофанта та ролі діофантових рівнянь у розвитку математики та інших наук. Також підібрано цікаві задачі, для розв'язку яких використовуються діофантові рівняння. Ці задачі можуть бути використані у подальшій педагогічній практиці. Вони показують, що, хоча математика і є точною наукою, але до неї можна відноситися з гумором.
При написанні курсової роботи я дізнався про різні методи знаходження розв'язків невизначених рівнянь. Розглянув діофантові рівняння для яких існують розв'язки в цілих числах, навчилась знаходити ці розв'язки, або показувати, що їх не існує.
Вміння розв'язувати діофантові рівняння дає змогу набагато простіше і швидше доводити існування чи не існування розв'язку деяких задач, а також при наявності розв'язків визначати їх кількість.
Список використаної літератури
1. Виноградов И.М. Основы теории чисел. - М.: Наука, 1972
2. Гельфонд А.О. Решение уравнений в целых числах. Популярные лекции по математике. Вып. 8. - М.: Наука, 1978
3. Глейзер Г.И. История математики в средней школе. 7-8 кл. Пособие для учителей. - М.: Просвещение, 1982
4. Ленінградські математичні гуртки: посібник для позакласної роботи / Генкін С.А., Ітенберг І.В., Фомін Д.В. Частина 1,2
5. Математическая энциклопедия: Гл. ред. И. М. Виноградов, Т.2. - М.: Советская энциклопедия, 1979
6. Особенности подготовки учащихся к решению олимпиадных задач. Часть 1, 2 / Сост. Нелин Е.П., Парцирный В.Д., Коротина А.И. - Харьков: ХГПИ, 1987
7. Перельман Я.И. Занимательная алгебра. - М.: Наука, 1970
8. Сергеев Н.Н., Олехник С.Н., Гашков С.Б. Примени математику. - М.: Наука, 1989
9. Башмакова И.Г. Диофант и диофантовы уравнения. - М., 1972
10. Алгебра и теория чисел: Практикум. Часть 2 / Завало С. Т., Левищенко С.С., Пылаев В.В., Рокицкий И.А. - К.: Вища шк. Головное издатедьство, 1986. - 264 с. - Яз. укр.
Размещено на Allbest.ru
...Подобные документы
Лінійні діофантові рівняння. Невизначені рівняння вищих порядків. Невизначене рівняння Ферма. Приклади розв’язання лінійних діофантових рівнянь та системи лінійних діофантових рівнянь. Алгоритми знаходження всіх цілочисельних розв’язків рівнянь.
курсовая работа [1,7 M], добавлен 29.12.2010Чисельні методи розв’язання систем нелінійних рівнянь: лінійні і нелінійні рівняння, метод простих ітерацій, метод Ньютона. Практичне використання методів та особливості розв’язання систем нелінійних рівнянь у пакеті Mathcad, Excel та на мові С++.
курсовая работа [2,0 M], добавлен 30.11.2010Умова існування цілих розв’язків лінійних діофантових рівнянь, алгоритм Евкліда. Розв’язування лінійних рівнянь з двома змінними в цілих числах. Методика вивчення діофантових рівнянь в загальноосвітніх школах. Діофантові рівняння вищих порядків.
курсовая работа [758,4 K], добавлен 15.05.2019Прийоми розв’язання задач в першому і другому степені на Далекому Сході та Греції. Досягнення арабських математиків в області алгебраїчних рівнянь. Розв'язання похідного кубічного рівняння. Найвидатніші теореми про радикали вищих степенів, їх розв’язання.
курсовая работа [536,1 K], добавлен 23.02.2014Етапи розв'язування задачі дослідження певного фізичного явища чи процесу, зведення її до диференціального рівняння. Методика та схема складання диференціальних рівнянь. Приклади розв'язування прикладних задач за допомогою диференціального рівняння.
контрольная работа [723,3 K], добавлен 07.01.2016Аналіз найвідоміших методів розв’язування звичайних диференціальних рівнянь і їх систем, користуючись рекомендованою літературою. Розробка відповідної схеми алгоритму. Розв’язання системи звичайних диференціальних рівнянь в за допомогою MathCAD.
лабораторная работа [412,4 K], добавлен 21.10.2014Системи лінійних рівнянь з двома змінними з параметром. Тригонометричні рівняння та системи тригонометричних рівнянь з параметрами. Лінійні та квадратні нерівності. Застосування графічних методів паралельного переносу в розв’язанні задач з параметрами.
дипломная работа [1,3 M], добавлен 16.06.2013Визначення поняття "рівняння з параметрами", розгляд принципів рішення даних рівнянь на загальних випадках. Особливості методів розв'язання рівнянь із параметрами, зв'язаних із властивостями показовою, логарифмічною й тригонометричною функціями.
реферат [68,3 K], добавлен 15.02.2011Розв’язання систем лінійних рівнянь методом Жордана-Гауса. Еквівалентні перетворення системи, їх виконання як елемент методів розв’язування системи рівнянь. Базисні та вільні змінні. Лінійна та фундаментальна комбінації розв’язків, таблиці коефіцієнтів.
контрольная работа [170,2 K], добавлен 16.05.2010Вивчення методів розв'язання лінійної крайової задачі комбінуванням двох задач Коші. Переваги та недоліки інших методів: прицілювання, колокацій, Гальоркіна, найменших квадратів та ін. Пошук єдиного розв'язку звичайного диференціального рівняння.
курсовая работа [419,2 K], добавлен 29.08.2010Класичні та сучасні наближені методи розв'язання диференціальних рівнянь та їх систем. Класифікація наближених методів розв'язування. Розв'язування трансцендентних, алгебраїчних і диференціальних рівнянь, методи чисельного інтегрування і диференціювання.
отчет по практике [143,9 K], добавлен 02.03.2010Історія створення теорії алгебраїчних рівнянь. Сутність системи лінійних алгебраїчних рівнянь в лінійній алгебрі. Повна характеристика методів розв'язання рівнянь: точні, ітераційні та ймовірнісні. Особливості теорем Гауса-Жордана та Габріеля Крамера.
реферат [543,7 K], добавлен 23.04.2015Теоретичні основи розв’язування рівнянь з параметрами. Функція пряма пропорційність. Загальне поняття про аналітичний та графічний метод. Дробово-раціональні рівняння з параметрами, що зводяться до лінійних. Система розв’язування задач для 9 класу.
курсовая работа [596,8 K], добавлен 21.03.2013Запис системи рівнянь та їх розв'язання за допомогою методів оберненої матриці та Гауса. Поняття вектора-стовпця з невідомих та вільних членів. Пошук оберненої матриці до даної. Послідовне виключення невідомих за допомогою елементарних перетворень.
контрольная работа [115,2 K], добавлен 16.07.2010Основні поняття теорії диференціальних рівнянь. Лінійні диференціальні рівняння I порядку. Рівняння з відокремлюваними змінними. Розв’язування задачі Коші. Зведення до рівняння з відокремлюваними змінними шляхом введення нової залежної змінної.
лекция [126,9 K], добавлен 30.04.2014Графічний спосіб розв'язку рівнянь. Комбінований метод пошуку та відокремлення коренів. Метод Ньютона (метод дотичних або лінеаризації). Процедура Ейткена прискорення збіжності. Метод половинного поділу та простих ітерацій уточнення коренів рівняння.
лекция [1,9 M], добавлен 27.07.2013Ознайомлення з нестандартними методами рішення рівнянь і нерівностей. Відомості з історії математики про рішення рівнянь. Розгляд та застосування на практиці методів рішення рівнянь і нерівностей, заснованих на використанні властивостей функції.
дипломная работа [1,4 M], добавлен 26.01.2011Розгляд теоретичних основ рівнянь з параметрами. Основні види даних рівнянь. Аналітичний та графічний методи розв’язування задач із використанням формул, властивостей функцій. Ознайомлення із системою розв’язування задач з параметрами для 9 класу.
курсовая работа [605,9 K], добавлен 29.04.2014Розгляд крайової задачі для нелінійного рівняння другого порядку. Вивчення різницевого методу розв'язання крайових задач для звичайних диференціальних рівнянь. Метод прогонки - окремий випадок методу Гауса. Програма на алгоритмічній мові Turbo Pascal.
курсовая работа [49,7 K], добавлен 10.04.2011Лінійні різницеві рівняння зі сталими коефіцієнтами. Теоретичне дослідження основних теорій інваріантних тороїдальних многовидів для зліченних систем лінійних і нелінійних різницевих рівнянь, що визначені на скінченновимірних та нескінченновимірних торах.
курсовая работа [1,3 M], добавлен 18.12.2013
