Розв'язання задач з параметрами

Размещено на http://www.allbest.ru/

Зміст

Вступ

Основна частина

1. Рівняння з параметрами

1.1 Лінійні рівняння з параметрами

1.2 Квадратні рівняння з параметрами

1.3 Дробово-раціональні рівняння з параметрами

1.4 Ірраціональні рівняння з параметрами

1.5 Тригонометричні рівняння з параметрами

1.6 Рівняння з параметрами, які містять модулі

2. Нерівності з параметрами

2.1 Квадратні нерівності з параметрами

2.2 Дробово-раціональні нерівності з параметрами

2.3 Ірраціональні нерівності з параметрами

2.4 Тригонометричні нерівності з параметрами

3. Системи рівнянь та нерівностей з параметрами

Висновок

Література



Вступ

рівняння нерівність параметр розв'язання

Темою цієї навчально-дослідницької роботи є «Розв'язання задач з параметрами».

Як відомо, легко розв'язати таку нову задачу, яка схожа на розв'язану раніше. Однак задачі з параметрами часто не схожі одна на одну і за аналогією їх розв'язувати не можна. Тому розв'язування задач з параметрами розвиває абстрактне мислення, спонукає до пошукової діяльності, формує навички аналізу. Ці якості дуже важливі для математичного розвитку особистості - якості, що застосовується під час розв'язування прикладних задач з фізики, інформатики, економіки тощо.

Я обрав цю тему, тому що задачі з параметрами різного виду зустрічаються на вступних іспитах до багатьох навчальних закладів. А в тестах з ЗНО з математики в більшості варіантів є рівняння, або нерівності з параметрами, які пропонують розв'язати. А так як в шкільному курсі з математики розглядаються тільки основи даної теми, я вирішив поглибити знання з цієї теми.

У випадку, якщо ви не можете розв'язати елементарні задачі з параметрами, ви не будете спроможні розв'язати задачі більш складного рівня. Тому що іноді рівняння з параметрами виникають при розв'язуванні задач які, на перший погляд, не мають до них ніякого відношення. Наприклад, якщо треба знайти найменше значення деякої функції y = f(x). Зрозуміло, що відповідь можна отримати, якщо знайти множину всіх її значень і серед них вибрати найменше число. Множина значень функції y = f(x) співпадає з множиною значень параметра а рівняння f(x) = а.

Об'єктом дослідження цієї навчально-дослідницької роботи є задачі з параметрами, а предметом - методи розв'язання задач з параметрами.

Мета даної навчально-дослідницької роботи є вдосконалення вміння розв'язування задач з параметрами, поглибити знання з цієї теми для успішного складання ЗНО з математики.

Виходячи з мети роботи були сформульовані наступні задачі:

1) Розглянути та систематизувати основні типи задач з параметрами.

2) Розглянути та систематизувати теоретичний матеріал з даної теми.

3) Показати основні методи розв'язання задач з параметрами.

Тема цієї навчально-дослідницької роботи актуальна, тому що в усіх варіантах ЗНО з математики є задачі з параметрами різного виду. А щоб претендувати на найвищий бал на ЗНО, треба добре знати цю тему.



Основна частина

Якщо в рівняння, нерівність, систему рівнянь, систему нерівностей крім невідомих величин, входять числа, що позначені буквами, які хоч і не вказані, але вважаються відомими та заданими на деякій числовій множині, то вони називаються параметрами.

Параметр (від грецького parametron - той, що відміряє) - величина, значення якої слугують для встановлення відмінності між елементами деякої множини.

Основне, що потрібно засвоїти при першому знайомстві з параметром - це необхідність обережного звертання до фіксованого але невідомого числа [2. стр. 3].

Під завданнями з параметрами розуміють завдання, в яких хід рішення і результат залежать від величин, які входять до умови, чисельні значення яких не задані конкретно, але повинні вважатися відомими. Мова йде про клас задач, де за рахунок параметра на змінну накладаються якісь штучні обмеження.

Розв'язати задачу з параметром означає встановити, при якому значенні параметра рівняння, нерівність або система рівняння, нерівностей має лише один розв'язок, два, три і т.д., нескінченну множину, чи жодного.

Розв'язком рівняння, нерівності або системи рівнянь, нерівностей є якась підмножина множини [10. стр. 6].

Важливим етапом розв'язування задач з параметрами є запис отриманої відповіді. Особливо це відноситься до тих прикладів, де розв'язки змінюються в залежності від значення параметра. В подібних випадках складання відповіді - це збір одержаних результатів. І тут дуже важливо не забути відобразити у відповіді всі етапи розв'язку.

Також важливо відмітити, що рівняння з параметрами розв'язують як звичайні рівняння до тих пір, поки всі перетворення або міркування, необхідні для розв'язання, можна виконувати однозначно. Коли перетворення не можна виконувати однозначно, розв'язування необхідно розбити на декілька випадків, щоб у кожному з них відповідь через параметр записалася однозначно [10. стр.17].

Зараз декілька слів про основні типи задач з параметрами, їх чотири:

Тип 1. Рівняння, нерівності, їх системи і сукупності, які необхідно вирішити або для будь-якого значення параметра (параметрів), або для значень параметра, що належать заздалегідь обумовленій множині.

Тип 2. Рівняння, нерівності, їх системи і сукупності, для яких потрібно визначити кількість рішень в залежності від значення параметра (параметрів).

Тип 3. Рівняння, нерівності, їх системи і сукупності, для яких потрібно знайти всі ті значення параметра, при яких зазначені рівняння, нерівності, їх системи і сукупності мають задане число рішень.

Тип 4. Рівняння, нерівності, їх системи і сукупності, для яких при шуканих значеннях параметра безліч рішень задовольняє заданим умовам в області визначення.

В роботі розглянуто три способи розв'язання задач з параметрами:

1) Аналітичний.

2) Графічний.

3) Графічно-аналітичний [2. стр. 23].



1. Рівняння з параметрами

Рівняння з параметром - це таке рівняння, яке містять крім змінної (невідомого) інші букви, що називаються параметрами. Що таке параметр, було оговорено раніше.

Важливо пам'ятати, що рівняння з параметром це не одне рівняння, а нескінченна їх множина. Всі рівняння можна одержати замінивши параметр конкретним числом.

Для успішного розв'язання рівнянь з параметром треба пам'ятати, що:

Ш У будь-якій частині рівняння можна звести подібні доданки або розкрити дужки.

Ш Будь-який член рівняння можна переносити з однієї частини рівняння в іншу, змінивши його знак на протилежний.

Ш Обидві частини рівняння можна помножити або поділити на одне й те саме число, відмінне від нуля.

Тобто усі прийнятні перетворення, які можуть бути зроблені для вирішення звичайного рівнянні, можуть бути зроблені і для вирішення рівнянні з параметром.

1.1 Лінійні рівняння з параметрами

Лінійне рівняння з параметрами - це алгебраїчне рівняння, у якого повна ступінь складових його многочленів дорівнює 1 і воно має у своєму складі один або декілька параметрів.

В загальній формі це рівняння має вигляд

a?x + a?x + … + a?x + b = 0.

Також воно приводиться до вигляду ax + b = 0 (де х - змінна, а a, b - параметри).

Розв'язати рівняння з параметрами означає знайти для довільного припустимого значення параметра множину усіх коренів заданого рівняння.

Для зручності надалі параметр ми будемо позначати літерою а [7. стр. 39].

Наочний приклад розв'язання типового лінійного рівняння з параметром у вигляді схеми:

Відповідь: при а ?0 х=- , при а=0, в=0 x ? R, при а=0, в?0 х ?.

Приклад 2. Розв'язати рівняння (a +1) x = aІ ?1.

Розв'язання:

Аналізуючи рівняння, приходимо до висновку, що треба розглянути дві множини значень а: а = -1 і а ? -1.

Коли а = -1, то рівняння приймає вигляд: 0•х=0. Цьому рівняння задовольняє довільне значення х (x ? R).

Коли а ? - 1, то після скорочення на вираз (a +1) дістанемо рівняння, яке має єдиний розв'язок х = а-1.

Відповідь: При а = - 1 розв'язком є довільне число (x ? R), коли а ? - 1, то х = а-1.

Приклад 3. При яких значеннях параметра а рівняння 6(ах-1)- а = 2(а+х)-7 має безліч коренів?

Розв'язання:

6ах-6-а-2а-2х+7=0

х(6а-2)-3а+1=0

х(6а-2)=3а-1

Щоб рівняння мало безліч коренів необхідно, щоб виконувались умови:

Відповідь: якщо а=1/3, то рівняння має безліч розв'язків [9. стр. 4].

1.2 Квадратні рівняння з параметрами

Квадратне рівняння з параметрами - це рівняння виду axІ + bx+ c = 0, де х - змінна, а а, b, c - параметри.

Наочний приклад розв'язання типового квадратного рівняння з параметром у вигляді схеми:

Відповідь: при а = 0 x = -c/; якщо a ? 0, D > 0 то x = ; якщо a ? 0, D = 0 то x = -b/2a;і якщо a ? 0, D < 0 то x ? Ш.

Приклад 2. Знайти усі значення параметра а, при кожному з яких один корінь рівняння x² + ax + a + 2 = 0 дорівнює подвійному значенню другого кореня.

Розв'язання:

У цьому прикладі доцільно не розв'язувати задане рівняння, а за допомогою теореми Вієта і умови задачі скласти наступну систему рівнянь:

де х?, х? - корені квадратного тричлена. Із цієї системи знаходимо значення

x? = -a, x? = - a

x? = ? a +x? = ? a

і дістанемо рівняння відносно параметра а: 2aІ ? 9a ?18 = 0. Розв'язуючи це рівняння, отримаємо шукані значення a? = -a? = 6. Перевіряємо ці значення. Коли a =-1,5, то задане рівняння приймає вигляд

xІ ?1,5x + 0,5 = 0, корені якого 1; 0,5. Якщо а = 6, то маємо рівняння

xІ + 6x + 8 = 0, корені якого x? = ?4, x? = ?2.

Бачимо, що отримані значення a задовольняють умови задачі.

Відповідь: а = -1,5; а = 6 [3. стр. 16].

Приклад 3. Знайти усі значення параметра а, при кожному з яких корені квадратного тричлена xІ + ax +1= 0 різні і належать проміжку [0;2].

Розв'язання:

Позначимо корені тричлена через х? і х?. Визначаємо, які умови повинен задовольняти параметр а, щоб виконувались усі вимоги задачі. Корені тричлена будуть різними, коли його дискримінант буде додатним, тобто значення а задовольняють нерівності D = > 0. Згідно з теоремою Вієта, маємо х? + х?. = - а. Із умови задачі випливає, що разом з коренями на проміжку [0;2] повинна знаходитися абсциса вершини параболи - середина відрізка з кінцями х? і х?, тобто число - .

Таким чином, дістаємо наступну нерівність 0 < - < 2. Коефіцієнт перед хІ додатній, тому корені тричлена будуть належать проміжку [0;2] при наступних умовах:

f (0) ? 0 і f (2) ? 0. Обчислюємо f (0) = 1, f (2) = 5 + 2a. Таким чином, для

знаходження а дістали наступну систему нерівностей:

=> => -2,5 ? a < -2

Відповідь: a?[? 2,5;?2) [9. стр. 9].

В наступному прикладі особливе те, що в виразі на місті коефіцієнта змінної є параметр. Такі рівняння треба вирішувати з особливим підходом - розглядати вираз при змінній (при якому значенні параметра цей вираз дорівнює нулю). Розв'язання цього приклада для наочності подано у вигляді схеми:

Відповідь: при a = -1 x = - 1,5; якщо a < - 2 то x ? Ш; при a = - 2 x = -2; якщо a >- 2 x = .

Приклад 4. При яких значеннях параметра а, рівняння

а(а+3)хІ+(2а+6)х-3а-9= 0 має більше одного кореня?

Розв'язання:

Треба почати з випадків а = 0 і а = -3. При а = 0 рівняння має один корінь. Цікаво, що при а = -3 коренем рівняння є будь-яке число. Дискримінант відповідного квадратного рівняння дорівнює 4(а+3)І(3а+1) і очевидно додатній при а >- 1/3. Вийшов проміжок (- 1/3; ?), але з нього треба ще виключити точку а = 0, тому що при а = 0 рівняння має лише один корінь, а у відповідь включити а= - 3, тому що при а = -3 х ? R.

Відповідь: а= - 3, або - 1/3<a<0, або а>0 [6. стр. 45].

Приклад 5. При яких значеннях параметра а корені квадратного тричлена (2 ? a) xІ ? 3ax + 2a дійсні і обидва більше 0,5? До відповіді занести найбільше ціле значення а.

Розв'язання:

Таким чином, параметр a приймає значення з проміжку , а його найбільше ціле значення 1.

Відповідь: а=1.

1.3 Дробово-раціональні рівняння з параметрами

Дробово-раціональні рівняння з параметрами - це рівняння, у яких ліва або права частина, або обидві частини - дробові вирази, і які мають у своєму складі один або декілька параметрів.

При розв'язанні рівнянь такого типу дуже важливо пам'ятати про ОВ (область визначення) даного рівняння.

Приклад 1. Розв'язати рівняння

Розв'язання:

У цьому рівнянні треба розглянути наступні значення параметра а:

а = 1 і а ? 1.

1. Якщо а = 1, то отримаємо рівняння , яке не має змісту.

2. Коли а ? 1, треба спочатку знайти область визначення рівняння, яке залежить від а. Область визначення рівняння (ОВ): 2ax + 3 ? 0. Якщо а = 0, то ця умова виконується при усіх дійсних значеннях х. Для усіх х із ОВ х задане рівняння має розв'язок: х. Треба обов'язково знайти розв'язок рівняння при а = 0. Підставляючи це значення у задане рівняння, отримуємо , тобто при а = 0 рівняння розв'язків не має.

Відповідь: При а = 0 і а = 1 рівняння розв'язків не має, коли а ? 0; а ? 1 x= [9. стр. 13].

1.4 Ірраціональні рівняння з параметрами

Ірраціональним рівнянням з параметром називають таке рівняння, ліва і права частини якого є алгебраїчними виразами, хоча б один із яких ірраціональний, а в лівій, або в правій, або в обох частих якого є параметр, або параметри.

Ірраціональними називають такі алгебраїчні вирази, які крім дій додавання, віднімання, множення, ділення та піднесення до степеня з натуральним показником містять також і дії добування кореня n-го степеня.

Важливо відмітити, що в таких типах рівнянь, як і в дробово-раціональних рівняннях, важливо не забувати про ОВ.

Приклад 1. Розв'язати рівняння ? = x.

Розв'язання:

Маємо ірраціональне рівняння, тому припустимі значення параметра а і змінної х визначаються із наступних умов:

ОВ: => -1.

Таким чином, необхідно дослідити, коли добуток ах має додатне і від'ємне значення.

1. Якщо ах > 0, то вираз ? > 0, тобто додатній. Згідно з заданим рівнянням змінна х >0. Відповідно параметр а > 0 (бо ах > 0).

2. Якщо ах < 0, то вираз ? < 0,тому х < 0 і відповідно а > 0.

3. Коли а = 0, то із заданого рівняння знаходимо розв'язок х = 0.

Таким чином, задане рівняння має розв'язок тільки при а ? 0. Перетворимо рівняння до виразу: = x + . Після доведення до квадрата і відповідних перетворень дістаємо:

x(x + 2 ? 2a) = 0.

Отримуємо, що рівняння має розв'язок x?= 0 для усіх дійсних значень а.

Друге рівняння 2 = 2a ? x має розв'язок, коли 2a ? x ? 0, 1? ax ? 0. Після доведення до квадрата маємо xІ = 4(1? aІ). Це рівняння має корені при

? 1: x? = ?2 ; x? = 2 .

Таким чином, значення х? і х? є розв'язками заданого рівняння при виконанні наступних умов:

Із цієї системи нерівностей, підставляючи значення х? і х?, дістаємо інтервал зміни параметра а:

=> =>

=> =>

Відповідь: Розв'язки: х? =0 для a?R, x? = ?2 , x? = 2 при 0,5 ? a ?1 [9. стр. 14].

Наступне рівняння особливе тим що, під коренем в лівій частині є ще один корінь, а тільки під ним х. Таке рівняння слід вирішувати, піднісши обидві частини до квадрату.

Приклад 2. Розв'язати рівняння

Розв'язання:

Проаналізуємо спочатку можливі значення параметра a. Безпосередньо бачимо, що рівняння не має розв'язків при a < 0, оскільки в цьому випадку ліва його частина не визначена при жодному значенні x (під знаком квадратного кореня від'ємне число). Коли а = 0, маємо єдиний розв'язок х = 0.Таким чином, треба дослідити рівняння для значень а > 0. Із початкового рівняння визначаємо - якщо при деякому a рівняння має розв'язок, то він невід'ємний, тому що ліва частина рівняння невід'ємна. Розв'язуємо задане ірраціональне рівняння, вважаючи, що х + а > 0 для визначених значень х і а:

=> a - = xІ => a - xІ - => (x+

Беручи до уваги, що при х > 0 і а > 0 вираз x+ > 0, отримуємо рівняння

xІ+x+(1-a) = 0, x?=; x?=.

Другий корінь сторонній, тому що не задовольняє умові х > 0. Враховуючи умову х>0, перший корінь існує, коли

=> a ? 1

Відповідь: x? =; якщо а ? 1; х = 0, коли а = 0; x?? при 0 < a <1 [9. стр. 16].

1.5 Тригонометричні рівняння з параметрами

Тригонометричне рівняння з параметром - це такий тип рівнянь, коли невідома величина знаходиться під знаком тригонометричних функцій, а в лівій, або правій, або в обох частинах якого є параметр, або параметри.

Найпростішими тригонометричними рівняннями називаються рівняння sinx = a; cosx = a; tgx = a; ctgx = a. Розв'язати найпростіше тригонометричне рівняння - означає знайти множину всіх кутів, що мають дане значення a тригонометричної функції. Якщо рівняння не э найпростішим, то його треба звести до найпростішого.

Для успішного вирішення тригонометричного рівняння з параметром, слід пам'ятати наступне:

1) Всі тригонометричні формули (основні тригонометричні формули, формули подвійних кутів, формули зниження степеню, формули перетворення добуту в суму, формули перетворення суми в добуток, універсальні тригонометричні підстановки тощо);

2) Періоди тригонометричних функцій (у функцій sin x, cos x період 2П, у tg x, ctg x період П;

3) Обмеженість функцій (cos x, sin x за модулем одиницею);

4) Формули зведення;

5) Метод заміни змінної;

6) Метод введення допоміжного кута;

7) Метод вирішення однорідних тригонометричних рівнянь (поділити обидві частини рівняння на старших аргумент, який не дорівнює нулю).

Приклад 1. Розв'язати рівняння (arctgx)(arcctgx) = .

Розв'язання:

Маємо рівняння з аркфункціями. Але рівняння має параметр а, тому визначаємо, що треба розглянути два можливих значення параметра:

а = 0 і а ? 0. Коли а = 0, то (arctgx)(arcctgx) = 0, ?arctgx = 0,? x = 0.

Тут врахована властивість оберненої функції 0 < arcctgx <р, тобто

arcctg x ? 0, враховуючи, що arctgx + arcctgx = р/2.

Звідки arcctgx = р/2 - arctgx, після підстановки отримуємо квадратне рівняння відносно arctgx = y:

,

.

Отже, значення y дійсні, коли

.

Коли , то і . Звідси , => x=1.

Коли , маємо => .

Відповідь: Якщо a=0, то; коли , x=1; при,

1.7 Рівняння з параметрами, які містять модулі

Рівняння з параметром, яке містить модуль - це таке рівнянь з параметром, у якому у лівій, або у правій, або в обох частинах цього рівняння міститься модуль.

Такий підрозділ рівнянь з параметрами відрізняється від інших особливою тяжкістю вирішування.

Приклад 1. Розв'язати рівняння і дослідити його розв'язки для різних значень т: + = mx.

Розв'язання:

Ліва частина рівняння (позначимо її f(x)) записується різними аналітичними виразами в проміжках (??,?2],[?2,?1);[?1,1);[1,2),[2,?).

Функція f(x) невід'ємна і f(x) = f(-x), тобто парна. Права частина вихідного рівняння - непарна функція mх. Отже, якщо m ? 0, то досить розглянути тільки додатні х, тобто провести дослідження в проміжках (0,1],(1,2),[2,?)

А) Нехай m > 0.

1. На проміжку x?[0,1] рівняння має вигляд 5 ? 2xІ = mx;

= . Додатний корінь х? = , він повинен бути не більший від одиниці:

? 1 => => =>

Отже, m ? 3. Знаходимо, якщо m = 3, то х = 1.

2. Нехай 1< x < 2. Тоді дане рівняння матиме вигляд: 3 = mх. Корінь m x = 3/m - єдиний. Він задовольняє дане рівняння, якщо, тобто 1,5 < m < 3.

3. На проміжку [2,?) дістаємо рівняння 2xІ ? 5 = mx, звідси = . Додатний корінь x = . Далі розв'язуємо нерівність ? 2, звідки маємо m ? 3/2. Якщо m =3/2, то х = 2.

Б) Нехай m < 0. У цьому випадку на додатній півосі розв'язків немає, тому досліджуємо від'ємні х.

1. Коли x?(??,?2), то маємо рівняння 2xІ ? 5 = mx; = Найбільший корінь = повинен задовольняти умові

=> => => => m??

Таким чином, на цьому проміжку розв'язків рівняння немає.

2. Коли x?[?2,?1), то дістанемо рівняння 3 = тх, звідки x = 3/m. Цей корінь повинен задовольняти умові -2 ? 3/m < -1, або -3< m ? -3/2.

Якщо m = -3/2, то х = - 2.

Коли x?[?1,0), то рівняння приймає вигляд 5 ? 2xІ = mx; корені його = Від'ємний корінь повинен задовольняти нерівностям:

-1 ? < 0 => =>

Відповідь:

1) x? = при m ? 3;

2) x? =3/m при 1,5 < m < 3 і ?3 < m < ?1,5;

3) x?= при m ?3/2;

4) x? = при ?? ? m < ?3.

Приклад 2. Знайти значення параметра а, при яких усі розв'язки рівняння 2+ a ? 4 + x = 0 задовольняють нерівності 0 ? x ? 4.

Розв'язання: Використовуючи ознаку модуля, отримуємо наступні розв'язки заданого рівняння:

x = 3a - 4 при x?(??,a) та 1/3 (a+ 4), при x?[a,?). Згідно умови приклада дістаємо наступні дві системи нерівностей відносно параметра а:

i

Розв'язок першої системи a ? [4/3, 2), а другої системи a ? [?4,2]. Розв'язком первісного рівняння є об'єднання цих множин.

Відповідь: a?[?4,2] [9. стр. 23].

З приклада 1 та 2 зробимо висновок:

Задачі з параметрами, в яких точно та чітко поставлене питання вирішуються набагато легше та швидше, ніж ті задачі з параметрами в яких треба просто “розв'язати рівняння”. Приклад 1 цьому підтвердження. Якщо його порівнювати з прикладом 2, то за об'ємом вирішування це очевидно.



2. Нерівності з параметрами

Нерівності з параметром - це такий підрозділ нерівностей, в лівій, або в правій, або в обох частинах яких є параметр, або параметри.

При розв'язанні нерівності, яка містить параметр, застосовують ті ж методи, що і при розв'язуванні рівнянь з параметром. Тобто спочатку треба знайти інтервали зміни параметра а, на яких нерівність має однаковий вираз, а потім знайти розв'язок нерівності на кожному отриманому відрізку.

Для успішного розв'язання нерівностей з параметром треба пам'ятати, що:

Ш У будь-якій частині нерівності можна звести подібні доданки або розкрити дужки.

Ш Будь-який член нерівності можна переносити з однієї частини рівняння в іншу, змінивши його знак на протилежний.

Ш Обидві частини рівняння можна помножити або поділити на одне й те саме число, відмінне від нуля (для випадку якщо це число від'ємне, треба змінити знак нерівності на протилежний).

Тобто усі прийнятні перетворення, які можуть бути зроблені для вирішення звичайних нерівностей, можуть бути зроблені і для вирішення нерівностей з параметрами.

2.1 Квадратні нерівності з параметрами

Квадратну нерівність, яка містить в лівій, або в правій, або в обох частинах параметр називають квадратною нерівністю з параметром, або параметрами.

Приклад 2. (Типовий приклад з даної теми). Розв'язати нерівність

xІ + ax + a > 0.

Розв'язання:

Визначаємо, що маємо квадратну нерівність, розв'язок якої залежить від дискримінанта D =, який, в свою чергу, залежить від параметра а. Тому треба спочатку знайти інтервали для а, при яких D має певне значення. Маємо наступні випадки:

1. D <0, тобто < 0, або 0 < a < 4. Враховуючи, що коефіцієнт при хІ у заданої нерівності додатний, то при D <0 її ліва частина додатна при усіх дійсних значеннях х. Таким чином, розв'язком нерівності при 0 < a < 4 є значення x?(? ?,?).

2. Коли D = 0, тобто а = 0 і а = 4, то відповідне квадратне рівняння xІ + ax + a = 0 має корені = ? a/2 і нерівність приймає вигляд:

> 0.

Вона виконується при усіх значеннях х, окрім х? і х?.

3. Якщо D > 0, тобто aІ ? 4a > 0, a?(??,0)?(4,?), то задана нерівність приймає вигляд:

)(x-) > 0.

Її розв'язок

.

Відповідь:

1) При a?(? ?,0)? (4,?) розв'язок нерівності:

;

2) Для 0 < a < 4 розв'язок x?(??,?);

3) Якщо а = 0, x?(??,0)?(0,?);

4) Коли а = 4, x?(??,?2)?(?2,?) [1. стр. 66].

2.2 Дробово-раціональні нерівності з параметрами

Дробово-раціональні нерівності з параметрами - це різновид дробово-раціональних нерівностей, які включають у себе в лівій, або в правій, або в обох частинах нерівності параметр, або параметри.

Приклад 1. Розв'язати нерівність

< 1 -

Розв'язання: Область визначення нерівності а ? 1. Доводимо ліву і праву частини нерівності до спільного множника:

< => < .

Треба розглянути наступні два випадки відносно параметра а:

1. Якщо a < 1 (1-a > 0), то дістаємо наступну нерівність:

x(1? a) ? a < x ? a, або ах > 0. Звідси визначаємо, що, коли a < 0, то і х < 0, при a > 0 і х > 0, коли a = 0. Нерівність розв'язку не має.

2. Коли a > 1 (1-a < 0), отримуємо x(1? a) ? a > x ? a => ах < 0. Ця нерівність виконується при х < 0.

Відповідь: nри a > 1 і a < 1 x?(??,0); при 0 < a < 1 x?(0,?) і x?? при a = 0 [9. стр. 24].

Зауваження: Відкидати знаменник дробу у прикладі 1 не можна, бо він залежить від параметра а і тому приймає як додатні, так і від'ємні значення!

2.3 Ірраціональні нерівності з параметрами

Ірраціональні нерівності з параметрами - це такий різновид ірраціональних нерівностей, в лівій, або в правій, або в обох частинах яких є параметр, або параметри.

Приклад 1. Розв'язати нерівність ? x +1.

Розв'язання:

Доцільно розглянути наступні три випадки відносно значень параметра а:

а = 0; а > 0; а < 0:

1. Коли а = 0, маємо розв'язок нерівності: x?(??,?1].

2. Якщо а > 0, то згідно з ОВ (ах ? 0) змінна х невід'ємна. У цьому випадку обидві частини нерівності невід'ємні і для розв'язування нерівності можна їх піднести до квадрата:

ax ? (x +1)І => xІ + (2 ? a) x +1? 0.

Дискримінант цього квадратного тричлена D = a(a ? 4). Тому множину значень а > 0 треба розбити на три частини і розглянути наступні випадки:

а) Якщо 0 < а < 4, то D < 0 і ця нерівність розв'язку не має.

б) При а = 4 дискримінант D = 0, отже нерівність має розв'язок х=1.

в) Для значень а > 4 квадратний тричлен має корені x?;

x?= .

Треба визначити, які корені належать інтервалу х > 0. Для значень а > 4 дискримінант D = (a-2)І - 4 < (a-2)І. Тому < a ? 2, тобто

х? > 0 і х? > 0. Тоді розв'язок нерівності має вигляд х? ? х ? х?.

3. Коли а < 0, то згідно з ОВ змінна х ? 0. Тоді початкові нерівності задовольняють усі значення х < -1. Отже, ще потрібно розглянути випадок -1 < х ? 0. На цьому відрізку задана нерівність рівносильна квадратній нерівності. Дискримінант D = a(a ? 4) > 0 при а < 0 і нерівність має розв'язок х1 ? х ? х2, де x? =; x? = . Знову треба з'ясувати, які з цих значень належать проміжку -1 ? х ? 0. Зробимо оцінку дискримінанта при а<0: D = (a - 2)І ? 4 < (a - 2)І. D = aІ ? 4a > a?. Тоді < => => < 2 - a => > => > ?a. Це визначає, що х?< 0 і х? >-1.

Розв'язок x? = <<-1 і не належить проміжку [-1,0]. Таким чином, при а < 0 розв'язком початкової нерівності є множина х ? х?.

Об'єднуючи розв'язки усіх трьох випадків, дістанемо наступну

Відповідь:

при а < 0 x ?; при а = 0 х ? -1; при 0 < а < 4 розв'язків не існує; при а > 4 x =? x ?; при а = 4, х = 1.

Приклад 2. Знайти, при якому найбільшому цілому значенні параметра а виконується нерівність > a ? x.

Даний приклад буде розв'язаний двома методами.

І. Аналітичний метод

Розв'язання:

Знаходимо ОВ: x?[?1,1].

=> =>

Розв'язок другої системи нерівностей існує, коли параметр а задовольняє умови:

=> => a [1, )

Об'єднуємо отримані розв'язки: a?(? ?, 2).

Відповідь: a?(? ?, 2).

Графічний метод.

Згідно з умовою прикладу функція більше функції (x) = a ? x при усіх значеннях х.

Критичному значенню параметра а відповідає випадок, коли пряма y = a ? x є дотичною до лінії y = 1? .

Відомо, що кутовий коефіцієнт дотичної в точці х = дорівнює kд = . В свою чергу, він дорівнює -1 згідно з = a ? x.

З цієї умови знаходимо точку M0 ():

=> =-1 =>

Значення параметра а визначаємо із рівняння прямої => a = . Такимчином дістали ту ж відповідь: a <

Відповідь: a =1.

2.4 Тригонометричні нерівності з параметрами

Тригонометричні нерівності з параметрами - це такий різновид тригонометричних нерівностей з параметрами, в лівій, або в правій, або в обох частинах яких є параметр, або параметри.

Приклад 1. Знайти найменше ціле значення параметра а, при якому нерівність виконується при усіх дійсних х.

Розв'язання:

Якщо нерівність записати у вигляді:

і зробити заміну cos x = y, то отримуємо квадратну нерівність:

Нерівність додатна, коли її дискримінант від'ємний, тобто:

Найменше ціле а = 2.

Відповідь: а = 2.



3. Системи рівнянь та нерівностей з параметрами

Система рівнянь, або нерівностей з параметрами - це система рівнянь, або нерівностей, які у своєму складі містять параметр, або параметри.

Розглянемо один з найлегших прикладів з цієї теми:

Приклад 1. Знайти єдиний розв'язок системи:

Розв'язання:

Підставляючи значення y = x + a в задану нерівність, дістаємо:

2 xІ + 2 (a + 1) x + aІ ? 1 ? 0. Ця нерівність має єдиний розв'язок тільки тоді, коли D = (a +1)І ? 2(aІ ?1) = 0. Із цього рівняння знаходимо a? = ?1, a? = 3.

Коли a? = ?1, то 2xІ ? 0 і відповідно х = 0, у = -1. Якщо a? = 3, то 2xІ + 8x + 8 ? 0, звідки х = -2 і у = 1.

Відповідь: При а = -1 х =0, у = 1, коли а = 3, то х = - 2, у=1 [9. стр. 20].



Висновок

В даній науково-дослідницькій роботі поставлену мету можна вважати досягнутою, оскільки в цій роботі детально розглянуто:

1) Основні види задач з параметрами.

2) Теоретичний матеріал з даної теми.

3) Основні методи розв'язання задач з параметрами.

Ця навчально-дослідницька робота може бути використана учнями 9, 10, 11 класів при підготовці до ДПА та ЗНО.

В даній роботі теоретичний матеріал з теми «Розв'язання задач з параметрами» викладений чітко, структурованo. Теоретичний матеріал підтверджений наочними прикладами.



Література

1. Горштейн П.І. Задачи с параметрами. Г. Київ: РИА «Текст», МП «ОКО», 1992.

2. http://repetitors.info/library.php?b=30.

3. http://mat.1september.ru/2002/23/no23_2.htm.

4. Вчитель Захар'ян А.А. Презентація «Решение задач с параметрами в итоговом повторении курса алгебры».

5. Карпова І.В. Уравнения и неравенства.

6. Гайштут О.Г., Литвененко Г.М. Розв'язування алгебраїчних задач. Київ. Радянська школа, 1991.

7. Горнштейн П.І. Задачі з параметрами. Г. Тернопіль, 2004.

8. Іщенко Г.В. Розв'язування задач з параметрами, як один із засобів реалізації наступності навчання математики, 2009.

9. Укладачі: проф. В.М. Кузнецов, доц. Ю.Р. Бредіхін, ас. О.В. Звонарьова. Рівняння і нерівності з параметрами та оберненими тригонометричними функціями. 2002.

10. http://elanschool2.narod.ru/doki/uch/Matematika/Samostoyatelnoe/1.htm.

Размещено на Allbest.ru

...