Нестандартні бази в гільбертовому просторі

Размещено на http://www.allbest.ru/

Львівський національний університет імені Івана Франка

УДК 517.518.34

(01.01.01 математичний аналіз)

Автореферат

дисертації на здобуття наукового ступеня

кандидата фізико-математичних наук

Нестандартні бази в гільбертовому просторі

Карабин Оксана Олександрівна

Львів 2000

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана у Львівському національному університеті імені Івана Франка на кафедрі математичного і функціонального аналізу.

Науковий керівник:

доктор фізико-математичних наук, професор Лянце Владислав Елійович, професор кафедри математичного і функціонального аналізу Львівського національного університету імені Івана Франка.

Офіційні опоненти:

доктор фізико-математичних наук Горбачук Валентина Іванівна, провідний науковий співробітник відділу диференціальних рівнянь в частинних похідних Інституту математики НАН України,

доктор фізико-математичних наук, старший науковий співробітник Боднар Дмитро Ількович, професор кафедри прикладної математики Державного університету "Львівська політехніка".

Провідна установа Інститут низьких температур ім. Б.І. Вєркіна, відділ математичної фізики.

Захист відбудеться 28 вересня 2000 р. о 15.20 год. на засіданні спеціалізованої вченої ради Д 35.051.07 у Львівському національному університеті імені Івана Франка за адресою: 79000, м. Львів, вул. Університетська 1, ауд. 377.

З дисертацією можна ознайомитися у бібліотеці Львівського національного університету імені Івана Франка за адресою: м. Львів, вул. Драгоманова, 5.

Автореферат розіслано 16 серпня 2000 р.

Вчений секретар спеціалізованої вченої ради Я.В. Микитюк

Анотації

Карабин О.О. Нестандартні бази в гільбертовому просторі. - Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.01.01. - математичний аналіз. Львівський національний університет імені Івана Франка, Львів, 2000.

В роботі досліджуються певні аспекти теорії баз в гільбертовому просторі із застосуванням методів нестандартного аналізу. Введено поняття колостандартної бази і її тіні. Це дало змогу встановити критерій колостандартності вектора і оператора в термінах їхніх координат і, відповідно, матриць. В якості застосування, отримані умови сильної і рівномірної колостандартності, а також s-компактності діагонального оператора.

Ключові слова: колостандартність, колостандартна еквівалентність, тінь вектора, тінь оператора, тінь бази.

Karabyn O.O. Nonstandard basis in Hilbert space. - Manuscript.

The thesis for obtaining the Candidate of Phisical and Mathematical degreeon the speciality 01.01.01. - Mathematical Analysis, Lviv National University named after Ivan Franko, Lviv, 2000.

A fragment of the nonstandard theory of bases in Hilbert space is developped.

A conception of nearstandard basis and shadow is proposed. This allows to define a criterion of nearstandardness of a vector and operator in terms of theirs corresponding coordinates and matrices.

As examples, the condition of strong and uniform nearstandardness and also s-compactness of diagonal operator is obtained.

Key words: nearstandardness, nearstandard equivalency, shadow of vector, shadow of operator, shadow of basis.

Карабин О.О. Нестандартные базисы в гильбертовом прострастве. - Рукопись.

Диссертация на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.01.01. - математический анализ. Львовский национальный университет имени Ивана Франко, Львов, 2000.

В работе исследуются определённые аспекты теории базисов в гильбертовом пространстве с применением методов нестандартного анализа. Работа начинается с обзора литературы по исследуемой теме и краткого обзора принципов нестандартного анализа, используемых в работе. В разделе, посвящённом векторным базисам, вводится понятие околостандартной эквивалентности нестандартных базисов (в основе лежит требование околостандартности эквиваленции базисов в смысле операторной нормы). Бесконечная близость нестандартных базисов определяется условием, что эквиваленция этих базисов является оператором, бесконечно близким по норме к оператору тождественного преобразования. Это позволяет естественным образом определить понятие околостандартного базиса и его тени. На этом основании найдена формула для тени вектора в терминах его координат относительно околостандартного базиса. В случае околостандартного базиса Рисса (базиса, nst-эквивалентного некоторому ортонормированному базису) подаётся критерий сильной околостандартности вектора. Доказывается, что понятие околостандартности базиса Рисса является инвариантным относительно бесконечно малых возмущений. Найдены условия для того, чтобы последовательность векторов в гильбертовом пространстве образовывала нестандартный базис Бари.

В качестве приложений, получены условия сильной и равномерной околостандартности, а также s-компактности оператора, собственные векторы которого образуют околостандартный базис Рисса. Используя концепцию граф-околостандартности, получено формулу для тени неограниченногодиагонального оператора.

В заключительном разделе диссертации предыдущие результаты обобщены на случай базисов из подпространств.

Ключевые слова: околостандартность, околостандартная эквивалентность, тень вектора, тень оператора, тень базиса.

Загальна характеристика роботи

Актуальність теми. З часів відкриття Рене Декартом методу координат поняття бази (координатного репера) стало однією з фундаментальних концепцій геометрії, алгебри, аналізу. Воно лежить в основі алгебри і лінійного функціонального аналізу. Перелік прізвищ видатних учених, які займались цими дослідженнями (Ю. Шаудер, С. Банах, Н. Барі, І. Гельфанд, М. Крейн, М. Фаге та ін.) свідчить про велику вагу теорії баз, зокрема, у функціональних просторах.

З виникненням нестандартного аналізу (друга половина ХХ сторіччя) в теорії баз виникли нові проблеми, дослідження яких є природньою необхідністю. До таких проблем належить, наприклад, визначення еквівалентності баз в нестандартному універсумі, визначення колостандартності бази та її тіні, отримання ознак коло стандартності і тіні вектора в термінах його координат щодо нестандартної бази, а також його тіні. При цьому важливо було включити в коло досліджень необмежені оператори, а також бази з підпросторів.

Саме відповідям на ці та деякі інші природні запитання, наприклад вивченню взаїмозв'язків між базами різних типів, зокрема, баз Рісса, Барі, присвячена ця робота. гільбертовий колостандартний координата матриця

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Тематика дисертаційної роботи пов'язана з науково-дослідницькими роботами кафедри математичного і функціонального аналізу Львівського національного університету ім. І. Франка "Деякі проблеми теорії несамоспряжених операторів та нестандартний аналіз" (шифр МА 400-Д) та "Властивості операторів у гільбертових просторах " (шифр МА-378Б).

Мета і задачі дослідження:

Метою дисертації є дослідження нестандартних аспектів теорії баз. Зокрема:

ввести природнє поняття колостандартності для бази і оперуючи ним, знайти формулу тіні і критерій сильної колостандартності вектора в гільбертовому просторі з колостандартною векторною базою;

осмислити з точки зору нестандартного аналізу відомі результати М.Г. Крейна, що стосуються баз, квадратично близьких до ортонормованої;

дослідити поведінку бази Рісса при нескінчено малому збуренні;

дослідити діагональні оператори, власними векторами яких є елементи колостандартної бази Рісса.

дослідити подібні питання для нестандартних баз з підпросторів.

Наукова новизна одержаних результатів. У дисертації вперше розглянуто елементи теорії баз в гільбертовому просторі з точки зору нестандартного аналізу. Досліджуються властивості нововведеного класу баз колостандартних баз Рісса, і в гільбертовому просторі з такою базою встановлено критерій сильної колостандартності вектора, а також знайдено формулу тіні вектора і оператора. Отримані результати узагальнено на випадок баз з підпросторів, а також застосовано при дослідженні нестандартних властивостей діагонального оператора. Нестандартний аналіз дав змогу замість поняття квадратично близьких баз, яке існує в класичній теорії, ввести поняття квадратично скінченно і квадратично нескінчено близьких баз і отримати доповнення до результатів МКрейна, що стосуються необхідних і достатніх умов, за якими послідовність векторів є базою гільбертового простору, квадратично близькою до його ортонормованої бази.

Практичне значення одержаних результатів. Результати дисертаційної роботи мають теоретичне значення. Одержані результати можуть знайти застосування в теорії операторів в гільбертовому просторі, а також в дослідженнях, в яких застосовується нестандартний аналіз (математична фізика, стохастичний аналіз).

Особистий внесок здобувача. У праці [1] В.Е. Лянце належить попереднє формулювання очікуваних результатів досліджень. Остаточне формулювання результатів та їх фактична реалізація належить автору дисертації.

Апробація результатів дисертації. Результати роботи доповідались на Львівському міжвузівському семінарі з функціонального аналізу (кер. проф. Лянце В.Е.), на Львівському регіональному семінарі з математичного аналізу (кер. проф. Шеремета М.М.) на міжнародній науковій конференції "Сучасні проблеми механіки і математики", присвяченій 70-річчю Я.С. Підстригача (Львів, травень 24-26, 1998), на міжнародній науковій конференції, присвяченій Ю.П. Шаудеру (Львів, серпень 23-29, 1999).

Публікації. Основні результати дисертації опубліковані в п'яти працях, з яких чотири надруковано у виданнях з переліку, затвердженого ВАК України.

Структура та об'єм дисертації. Дисертація складається із вступу, трьох розділів, розбитих на підрозділи, висновків і списку використаних джерел. Обсяг дисертації 114 сторінок. Список використаних джерел займає 5 сторінок і включає 52 найменування.

Зміст роботи

Дисертаційна робота присвячена дослідженню властивостей нестандартних баз гільбертовому просторі і складається із вступу і трьох розділів.

У вступі обгрунтовано актуальність вибраної теми досліджень, визначена мета і задачі дослідження, а також подано коротку анотацію нових наукових положень, викладених у дисертації.

У розділі 1 викладено огляд літератури зa темою, наведено основні поняття з теорії баз і твердження, які використовувались при дослідженні, викладено потрібні факти з нестандартного аналізу, а також подано короткий виклад результатів дисертації.

Розділ 2 присвячено дослідженню нестандартних векторних баз в стандартному гільбертовому просторі . Вводиться наступна основа для класифікації баз:

Означення 2.1.1. Еквівалентні бази i в назвемо nst-еквівалентними, якщо їх еквіваленція і рівномірно колостандартні оператори.

Для послідовності векторів в , які задовольняють умову:

(2.2)

визначається послідовність ( є стандартним продовженням зовнішньої послідовності , яка є тінню і вводиться означення колостандартної бази.

Означення 2.1.2. База , для якої виконується умова (2.2) називається колостандартною, якщо її тінь є базою і якщо i є nst-еквівалентними з еквіваленцією такою, що .

Отримано наступні властивості колостандартних баз.

Твердження 2.1.1. Нехай -колостандартна база в , а -база, біортогональна до неї. Тоді база також є колостандартною.

Твердження 2.1.2. Нехай i є nst-еквівалентними базами в . є колостан-дартною тоді і тільки тоді, коли є колостандартною. Тінь еквіваленції баз i є еквіваленцією їх тіней: .

На основі цих властивостей колостандартних баз, отримано наступну теорему, яка задає формулу тіні вектора.

Теорема 2.1.1. Нехай -колостандартна база в . Розглянемо довільний вектор , і поначимо через послідовність його координат в базі :

.

Припустимо, що (зазначимо, що такий вектор є колостандартним в слабкому сенсі). Тоді

де -стандартне продовження (зовнішньої) послідовності , а -тінь бази .

Н.К. Барі ввела поняття бази, еквівалентної деякій ортонормованій базі гільбертового простору (бази Рісса) і встановила ряд характеристичних властивостей баз, еквівалентних ортонормованій. (Бари Н.К. О базисах в гильбертовом пространстве // ДАН СССР. - 1946. - T.54. - С.383-386.; Бари Н.К. Биортогональные системы и базисы в гильбертовом пространстве // Учён. зап МГУ, серия матем., - 1951 - N 4. - Bып.148. - С.69-107.

В підрозділі 2.2. вводиться поняття колостандартної бази Рісса і наведено критерій того, коли база в гільбертовому просторі є nst - базою Рісса, а також критерій сильної колостандартності вектора.

Означення 2.2.1. База гільбертового простору називається nst-базою Рісса, якщо вона є nst-еквівалентною до стандартної бази Рісса.

Твердження 2.2.1.

(i). База в гільбертовому просторі є nst-базою Рісса, якщо і тільки якщо, вона є колостандартною і її тінь є базою Рісса.

(iі). База в гільбертовому просторі є nst-базою Рісса, якщо і тільки якщо, вона є nst-еквівалентною стандартній ортонормованій базі.

Теорема 2.2.1. Нехай є nst-базою Рісса в , а -біортогональна до неї база. Вектор такий, що є сильно колостандартний тоді і тільки тоді, коли для довільного нескінчено великого натурального

,

де -послідовність координат вектора :

.

Властивість послідовності в гільбертовому просторі бути базою Рісса є стійкою в тому сенсі, що кожна послідовність "достатньо близька" до бази Рісса, є базою Рісса. Однією з теорем про стійкість є теорема Пелі-Вінера.

Підрозділ 2.5. ілюструє застосування отриманих результатів в теорії операторів. Зокрема, розглядається оператор вигляду:

(2.31)

де i -біортогональні бази гільбертового простору , а -деяка послідовність комплексних чисел. Отримано такі теореми.

Теорема 2.5.1. Припустимо, що власні вектори оператора вигляду (2.31) утворюють nst-базу Рісса стандартного гільбертового простору . Такий оператор є сильно колостандартний тоді і тільки тоді, коли

Позначимо через -стандартну послідовність в таку, що

Оператор є рівномірно колостандартним тоді і тільки тоді, коли

Теорема 2.5.2. Припустимо, що власні вектори оператора вигляду (2.31) утворюють nst-базу Рісса стандартного гільбертового простору . Оператор є s-компактним тоді і тільки тоді, коли

(2.38)

Якщо виконується умова (2.38), то тінь оператора є компактним оператором (у стандартному розумінні).

В подальшій теоремі подано формулу тіні для оператора вигляду (2.31), коли деякі з є нескінчено великими.

Теорема 2.5.3. Якщо для оператора вигляду (2.31) виконується

умова: , то такий оператор є графколостандартним, його тінь є замкненим відображенням ізвтаким, що

збіжний (2.41)

, (2.42)

де -стандартне продовження послідовності

, а , -тіні відповідно баз i стандартного гільбертового простору .

В підрозділі 2.6. знайдено тінь і досліджується спектр оператора вигляду:

(2.45)

де -стандартний простір із -адитивною мірою, а -деяка -вимірна,-обмежена функція. Такий оператор є нормальним і якщо , то є самоспряженим. Спектром такого оператора є , де . Для цього оператора в теоремі 2.6.2. отримано результат типу "спектр тіні дорівнює тіні спектра".

В Розділі 3 дисертаційної роботи досліджуються нестандартні бази з підпросторів.

Аналогічно як в розділі 2, вводиться означення nst-еквівалентних баз з підпросторів, а також отримано аналоги теорем 2.1.1. і 2.2.1.

Висновки

Дисертація присвячена висвітленню деяких аспектів теорії векторних баз і баз з підпросторів в стандартному гільбертовому просторі з точки зору нестандартного аналізу.

Ввівши поняття колостандартної бази, отримано критерій того, коли база в гільбертовому просторі є колостандартною базою Рісса (nst-базою Рісса) і знайдено критерій сильної колостандартності вектора в гільбертовому просторі з nst-базою Рісса, а також знайдено формулу розвинення тіні вектора і оператора за базою, що є тінню колостандартної бази Рісса. Виявилось, що тіні вектора і оператора виражаються в термінах координат.

Показано, що при нескінчено малому збуренні колостандартна база Рісса залишається колостандартною базою Рісса.

Отримано нестандартний додаток до результатів М.Крейна і А.Маркуса, що стосуються баз Барі.

Як застосування отриманих результатів, знайдено необхідні і достатні умови сильної і рівномірної колостандартності і s-компактності діагонального оператора власними векторами якого є елементи nst-бази Рісса, а також оператора вигляду

де для кожного -nst-база Рісса з підпросторів в гільбертовому просторі i -проектори на.

Отримані результати можуть знайти застосування при дослідженнях в теорії операторів в гільбертовому просторі, а також в дослідженнях, в яких застосовується нестандартний аналіз (математична фізика, стохастичний аналіз).Основнi результати дисертацiйної роботи опублiкованi в наступних статтях

1. Lyantse V.E., Karabyn O.O. On operator of multiplication by theindependent variable // Вісник Львівського університету, серія механіко-математична. - 1998. - Вип. 51. - С.128-133.

2. Карабин О.О. Нестандартні бази з підпросторів // Матем. методи та фіз-мех поля. - 1999. - T.42, N 4. - C.38-45.

3. Карабин О.О. До поняття бази з підпросторів // Вол. матем. вісник. - 1999. - Вип.6. - С.81-84.

4. Karabyn O. Nst-Riesz basis in a Hilbert Space // Вісник Львівського університету, серія механіко-математична. - 1999. - Вип. 54.

С.96-101.

5. Lyantse W., Karabyn O. Nearstandard bases in Hilbert space // Book of abstracts International conf. ded. to J.P. Schauder. - Lviv. - 1999. - P.133.

Размещено на Allbest.ru