Знаменитые задачи древности

Размещено на http://www.allbest.ru/

Содержание

Введение

1.Задача о квадратуре круга

2. Решение Бинга

3.Задача о трисекции угла

4. Делосская задача об удвоении куба

5. Решение задачи об удвоении куба при помощи вспомогательных средств

Заключение

Список литературы

Введение

Я решил написать реферат на эту тему, потому что мне захотелось расширить кругозор, точнее в области математики. Уже в древности греческие математики встретились с тремя задачами на построение, которые не поддавались решению. Искусство построения геометрических фигур при помощи циркуля и линейки было в высокой степени развито в Древней Греции. Евклид в своей книге "Начала" строго придерживается геометрических построений, выполняемых циркулем и линейкой, хотя названий инструментов он нигде не упоминает.

В настоящее время выделяют три знаменитые задачи:

· Квадратура круга.

· Трисекция угла.

· Удвоение куба.

Первая задача: Нужно построить квадрат, площадь которого равнялась бы данному кругу.

Вторая задача: Нужно произвольный угол разделить не три равные части.

Третья задача: Нужно построить ребро куба, который по объему был бы в два раза больше данного куба. Задача состоит в построении куба, имеющий объём, вдвое больше объёма данного куба.

квадратура трисекция куб удвоение

1. Задача о квадратуре круга

Задача о квадратуре круга из всех трех задач является самой загадочной и сложной. Упоминания задачи о квадратуре круга можно усмотреть ещё в древнеегипетских и вавилонских памятниках II тысячелетия до н.э. Попытки древнегреческих ученых решить задачу о квадратуре круга путем проведения прямых и окружностей так и не кончалось успехом.

Архимед (287-212 до н.э.), вычисляя периметры вписанных и описанных 96-ти угольников, в сочинении "Измерение круга" показал, что периметр вписанного многоугольника с любым числом сторон всегда меньше, а описанного - всегда больше длины данной окружности, и что величина заключается между пределами 3,1408 <П< 3,1429.

Особенно большое распространение эта задача получила в древней Греции. Об этой задаче говорил даже человек, не относящийся к математике - древнегреческий драматург Аристофан (около 436-385 гг. до н.э.). В его комедии "Птицы" приводится любопытный в этом отношении диалог между ученым-землемером Метоном и афинянином Писфетером. Рассмотрим этот диалог:

Метон.

Я к вам пришел.

Писфетер.

Еще несчастье новое.

Зачем пришел ты? И каков твой замысел?

С какими сюда явился ты целями?

Метон.

Я землемер. Хочу отмерить каждому

Полоску воздуха.

Писфетер.

О боги правые!

Ты что за человек?

Метон.

Зовусь Метоном я,

Знаком всем грекам, и колонцам в частности.

Писфетер.

А это что?

Метон.

Орудье измеренья.

Напоминает очень воздух формою

Кастрюлю для тушенья. Здесь линейку я

Изогнутую приложу и циркулем

Отмерю расстоянье, понимаешь?

Писфетер.

Нет.

Метон.

Затем прямую, тоже по линеечке,

Я проведу, чтобы круг квадратом сделался,

Здесь, в центре, будет рынок. К рынку улицы

Пойдут прямые. Так лучи расходятся,

Сверкая, от звезды. Звезда округлая,

Лучи прямые.

Писфетер.

Ты Фалес поистине!!!...

2. Решение Бинга

Рассмотрим одно из приближенных решений задачи о квадратуре круга, очень удобное для надобностей практической жизни. Решение путем использования треугольника "Бинга". Этот удобный способ был предложен в 1886 г русским инженером Бингом, этот чертежный треугольник назван в честь автора - "Треугольник Бинга", один из острых углов которого 27° 36ґ а другой - 62° 24ґ.

Способ состоит в следующих действиях, вычисляют угол а, под которым надо провести к диаметру АВ хорду АС = х, являющуюся стороною искомого квадрата. Чтобы узнать величину этого угла, придется обратиться к тригонометрии: cos a=АС/АВ=х/2r, где r - радиус круга.

Следовательно, сторона искомого квадрата x =2r cos a, площадь же его равна 4rІcosІa. С другой стороны площадь квадрата равна рrІ = площади данного круга. Следовательно, 4rІcosІa = рrІ откуда cosІa = р/4, cos a = 0,5 = 0,886.

По таблицам находим: а= 27° 36ґ

Итак, проведя в данном круге хорду под углом 27°36' к диаметру, мы сразу получаем сторону квадрата, площадь которого равна площади данного круга.

3. Задача о трисекции угла

Трисекция угла в общем случае невыполнима с помощью циркуля и линейки, существуют кривые, с помощью которых это построение можно выполнить. Улитка Паскаля или трисектриса, квадратриса (в древности тоже называлась трисектрисой), Конхоида Никомеда, Конические сечения, Спираль Архимеда.

Одним из приемов, применявшимся еще древними для ее решения, являлось механическое, с помощью вставки. Правда, оно не считалось строгим. Под вставкой понимают вообще построение отрезка, концы которого лежат на данных линиях и который проходит через некоторую данную точку. Его можно получить механически с помощью линейки, на которой предварительно нанесены две метки на расстоянии, равном длине заданного отрезка. Эту линейку вращают вокруг неподвижной точки, перемещая в то же время таким образом, чтобы одна из меток двигалась по одной из заданных линий. Это продолжается до тех пор, пока вторая метка не окажется на второй заданной линии.

Вторая древнейшая знаменитая геометрическая задача - это задача о трисекции угла. Задача о делении угла на три равные части. Гиппократ, внес первый крупный вклад в решение задачи о трисекции угла. Существует довольно простой способ разделить на три равные части любой угол, который был известен Гиппократу. Сейчас рассмотрим этот метод.

Решение:

Этот способ состоит в следующем. Для данного угла проведем прямую перпендикулярно прямой , пересекающую ее в точке . Построим четырехугольник . Продлим до точки , пересекает в точке . Следовательно, точка выбрана так, что , то составляет 1/3 ,что и требовалось доказать.

4. Делосская задача об удвоении куба

На острове Делос (в Эгейском море) распространилась эпидемия чумы. Когда жители острова обратились к оракулу за советом, как избавиться от чумы, они получили ответ: "Удвойте жертвенник храма Аполлона". Сначала они считали, что задача легка. Так как жертвенник имел форму куба, они построили новый жертвенник, ребро которого было в два раза больше ребра старого жертвенника. Делосцы не знали, что таким образом они увеличили объем не в 2 раза, а в 8 раз. Чума еще больше усилилась, и в ответ на вторичное обращение к оракулу последний посоветовал: "Получше изучайте геометрию..." Согласно другой легенде, бог приписал удвоение жертвенника не потому, что ему нужен вдвое больший жертвенник, а потому, что хотел упрекнуть греков, "которые не думают о математике и не дорожат геометрией".

С тех пор делийской задачей занимались лучшие математики античного мира, было предложено несколько решений, однако никто не смог выполнить такое построение, используя только циркуль и линейку. Древние греки сравнительно легко решили задачу на удвоение квадрата. Для этого надо было уметь строить при помощи циркуля и линейки корень квадратный из двух. Рассмотрим легенду.

Легенда. Царь Минос повелел воздвигнуть памятник своему сыну Главку. Архитекторы дали памятнику форму куба, ребро которого равнялось 100 локтям. Но Минос нашел этот памятник слишком малым и приказал его удвоить. Чувствуя свое бессилие в решении поставленной задачи, архитекторы обратились за помощью к ученым-геометрам, но и они не могли решить указанной задачи. Оказалось, что решение задачи об удвоении куба переводится к геометрическому построению корня кубического из двух. В 1837 г. тот же П. Ванцель доказал, что невозможно построить с помощью только циркуля и линейки отрезок, в 1/2 раз больший данного, т.е. подтвердил неразрешимость задачи удвоения куба.

Гиппократ Хиосский (конец V в. до н. э.) показал, что задача сводится к нахождению двух средних пропорциональных между одним отрезком и другим, вдвое большим его.

Архит Тарентский (начало IV в. до н. э.) предложил решение, основанное на пересечении тора, конуса и кругового цилиндра.

Платон (первая половина IV в. до н. э.) предложил механическое решение, основанное на построении трёх прямоугольных треугольников с нужным соотношением сторон.

Менехм (середина IV в. до н. э.) нашёл два решения этой задачи, основанные на использовании конических сечений. В первом решении отыскивается точка пересечения двух парабол, а во втором -- параболы и гиперболы.

Эратосфен (III в. до н. э.) предложил ещё одно решение, в котором используется специальный механический инструмент -- мезолябия, а также описал решения своих предшественников.

Никомед (II в. до н. э.) использовал для решения этой задачи метод вставки, выполняемой с помощью специальной кривой -- конхоиды.

Попытка решить задачу об удвоении куба при помощи циркуля и линейки.

Древние греки сравнительно легко решили задачу об удвоении квадрата. Для этого надо было уметь строить при помощи циркуля и линейки корень квадратный из двух. Если сторона определенного квадрата равняется a, а сторона искомого квадрата x, то, согласно условию задачи, будем иметь:

Откуда

Чтобы построить , надо провести гипотенузу равнобедренного прямоугольного треугольника, у которого каждый катет равен единице. Далее отрезок, равный , увеличить в a раз. Если ребро данного куба положить равным a, а ребро искомого куба - x, то, согласно условию задачи будем иметь:

Откуда

Однако все старания построить циркулем и линейкой не увенчались успехом.

5. Решение задачи об удвоении куба при помощи вспомогательных средств

Решение Гиппократа Хиосского при помощи "вставок"

Одним из первых древнегреческих геометров, сделавшим значительный шаг в решении задачи об удвоении куба, был Гиппократ Хиосский (5 в. До н.э.). Решение стереометрической задачи, каковой является делосская задача об удвоении куба. Гиппократ Хиосский свел к рассмотрению планиметрической задачи, заключающейся в нахождении двух средних пропорциональных между двумя данными отрезками, из которых второй в два раза больше первого, т.е. к нахождению таких двух отрезков xи y . Поскольку a, x, y, 2a -геометрическая прогрессия, то a/x=x/y=y2a. Откуда

и . Следовательно, , или . Выходит, что xи есть ребро искомого куба, превосходящего по объему данный куб с ребром aв два раза. Однако, как и следовало ожидать, Гиппократу не удалось отыскать ребро удвоенного куба xс помощью геометрического построения, прибегая только к циркулю и линейке, но ему вполне удалось, как мы убедились выше, стереометрическую задачу свести к плоской задаче на отыскание двух "вставок" xи y между aи 2а, причем a-ребро данного куба, а x- искомое ребро удвоенного куба.

Решение Платона

Рассмотрим решение делосской задачи, приписываемое Платону. Это решение основано на следующей лемме:

Во всякой прямоугольной трапеции с перпендикулярными диагоналями отрезки диагоналей образуют геометрическую прогрессию:

Доказательство: Пусть ABCD- прямоугольная трапеция, у которой и . В этом случае докажем, что .

Из того, что и прямоугольные, а OBи OA соответственно их высоты, получаем:

(1)

и

(2)

Из (1) и (2), как следствие, получаем:

.

Что и требовалось доказать.

Решение Буонфальче (приближенное решение)

Буонфальче дает одно из самых простых приближенных решений задачи об удвоении куба при помощи циркуля и линейки (точного решения этой задачи при помощи циркуля и линейки, как известно, дать нельзя).

Пусть дан куб с ребром aи требуется найти ребро x удвоенного куба. Решение выполним приближенно при помощи только циркуля и линейки. Строим прямоугольный равнобедренный треугольник ABCс боковой стороной, равной a. Сторону AC=делим на 6 равных частей и находим на катете BCот точки Cк точке В точкуD с таким расчетом, чтобы выполнялось равенство

.

Соединив Aс D, получим отрезок AD, который для кратности обозначим через x. Теперь подсчитаем, чему равен x.

По теореме Пифагора будем иметь:

Итак,

, где

Следовательно, ребро удвоенного куба приблизительно равно ,

Если ребро данного куба равно a. Таким образом, если данный куб имеет ребро а, равное отрезкуAB, то x- искомое ребро удвоенного куба - будет приблизительно равняться отрезку AD, который отличается от истинного значения искомого ребра меньше, ем на .

Заключение

Математика обладает чудесной особенностью, выделяющей её из других наук: если в ней потянуть за какое-то звено, то можно вытянуть всю цепь её фактов, причём как такие её части, которые предшествуют выбранному звену, так и такие, которые за ним следуют. Происходит это потому, что математика развивается по своим внутренним законам, и именно эти законы с железной необходимостью заставляют нас говорить "Б" всякий раз, когда сказано "А". Роль одного из звеньев в развитии математики сыграли и великие задачи. Взяв это звено, можно усмотреть генетическую связь между ним и очень многими областями как старой, так и новой математики.

Поэтому применение данной работы заключается в возбуждении интереса к древним геометрическим задачам, которые могут подтолкнуть к решению каких-либо задач наших дней и помочь найти ответы на вопросы современной геометрии.

Список литературы

1. Чистяков В.Д. Три знаменитые задачи древности - М., 1963.

2. Рудио Ф. О квадратуре круга М.-Л., 1936.

3. Лебедев В.И. Знаменитые геометрические задачи древности. 1920.

4. Манин Ю.И. О разрешимости задач на построение с помощью циркуля и линейки //ЭЭМ 1963. Книга 4 с.205-229.

Размещено на Allbest.ru