Интеграл Римана

Размещено на http://www.allbest.ru/

Введение

Интеграл Римана -- одно из важнейших понятий математического анализа. Введён Бернхардом Риманом в 1854 году, и является одной из первых формализаций понятия интеграла. Математик формализовал понятие интеграла, разработанное Ньютоном и Лейбницем, как площади подграфика (фигуры, заключенной между графиком функции и осью абсцисс). Для этого он рассмотрел фигуры, состоящие из нескольких вертикальных прямоугольников и получающиеся при разбиении отрезка. Если при «размельчении» разбиения существует предел, к которому сходятся площади таких фигур (интегральные суммы), этот предел называется интегралом Римана функции на отрезке.

Интеграл Римана обычно определяют, через интегральные суммы, следующим образом: пусть на отрезке [a,b] определена вещественнозначная функция f. Рассмотрим разбиение отрезка

a=

конечное множество попарно различных точек отрезка. Это разбиение делит отрезок [a,b] на n отрезков [], i=1…n. Длина наибольшего из отрезков называется шагом разбиения, где - длина элементарного отрезка. Отметим на каждом отрезке разбиения по точке . Интегральной суммой называется выражение: Если при стремлении шага разбиения к нулю интегральные суммы стремятся к одному и тому же числу, независимо от выбора то это число называется интегралом функции f на отрезке [a, b], т.е. .

В этом случае, сама функция f называется интегрируемой (по Риману) на [a, b]; в противном случае f является неинтегрируемой (по Риману) на отрезке [a, b].

Понятие интеграла Римана, применимо лишь к таким функциям, которые или непрерывны или имеют «не слишком много» точек разрыва. Для измеримых функций, которые могут быть разрывны всюду, где они определены или вообще могут быть заданы на абстрактном множестве, так что для них понятие непрерывности просто не имеет смысла, римановская конструкция интеграла становиться не пригодной. Вместе с тем для таких функций имеется более совершенное и более гибкое понятие интеграла, которое было введено Лебегом и является обобщением понятия определённого интеграла.

Кроме того при построении интеграла Римана точки x группируются по признаку их близости на оси абсцисс, а не по признаку значений функций, в этих точках, что не позволяет распространить понятие интеграла на весьма широкий класс функций.

К «недостаткам» определенного интеграла требующим обобщения, можно также отнести то, что он водится сначала для функций одного переменного, а затем уже с соответствующими изменениями переноситься на случай нескольких переменных. Что же касается, функций на абстрактных пространствах с мерой интеграл Римана вообще не имеет смысла.

лебег интеграл сходимость



1. Пространства

Рассмотрим теперь множество числовых последовательностей вещественных чисел x={} таких, что и обозначим его через lp.

Рассмотрим основные свойства этого пространства.

Свойство -1. Пусть даны три последовательности x={} и y={}lp и z={. Тогда zlp.

Свойство -2. Пусть даны две последовательности x={} и Тогда также принадлежит .

Для элементов имеет место неравенства Гельдера и Минковского, а именно:

,

где 1/p+1/q=1 и

,

соответственно.

Пусть X - множество последовательностей вещественных чисел x={, ,…,,…}, принадлежащих . Тогда, если x={} и y={}lp, то расстояние определим по следующей формуле:=. Не трудно показать, что аксиомы метрики здесь выполняются.

Действительно, пусть =0. Тогда по свойству суммы, это равенство возможно только, если выражение под знаком суммы равняется нулю, т. е. =0. А отсюда по свойству степеней следует, что и =0. Тогда по свойству модуля следует, что =0 и следовательно . Что и требовалось доказать.

Пусть теперь . Тогда . Таким образом мы доказали выполнение аксиомы тождества.

Проверим теперь аксиому симметрии.

Пусть нам дано:=. Тогда по свойству модуля имеем: ==. Таким образом, мы доказали аксиому симметрии.

Аксиома треугольника следует из рассмотренного выше неравенства Минаковского.

Таким образом, выполняются все три аксиомы метрики, следовательно расстояние определено корректно.

Полученное пространство называется пространством lp. Пространство l2 называется координатным гильбертовым пространством.

Сходимость последовательностей xn={} к элементу x={} в пространстве lp означает, что: 1) при n для всех i; 2) Для любого найдётся такое число m0 (, что < для любого mm0 и всех n. Из рассмотренных выше свойств, следует, что пространство lp.- линейное пространство.

Итак, мы ввели метрику в пространстве lp, введём теперь понятие нормы.

Норма в рассмотренном нами пространстве определяется по следующей формуле:

(x=()lp)

Две первые аксиомы нормы, не отрицательности и линейной однородности (постоянный множитель можно вынести за знак нормы) следует из свойств модуля и свойств суммы. А третья аксиома - аксиома треугольника следует из рассмотренного выше неравенства Минаковского. Таким образом выполняются все аксиомы, следовательно мы корректно определили норму.

Таким образом, мы установили, что пространство lp- линейное, метрическое, нормированное пространство.

Пространство lp- полно.

Итак, мы рассмотрели пространство lp. Рассмотрим теперь пространство .

Пусть нам дано X -арифметическое n - мерное пространство, т. е. множество всевозможных упорядоченных систем из n вещественных чисел, и пусть x={, ,…,} и y={, ,…,}. Полагаем:

=.

Полученное пространство называется пространством . В частности пространство есть n - мерное евклидово пространство .

Замечание.

Если каждый элемент , ,…,} отождествить с элементом , ,…,lp, то можно считать, что lp. А отсюда сразу следует выполнение аксиом метрики для пространства .

Сходимость в - есть сходимость по координатам.

Норма в рассмотренном нами пространстве вводиться аналогично пространству lp.

2. Интеграл Лебега и его свойства

Прежде, чем перейти к рассмотрению интеграла Лебега, введём понятие простой функции.

Определение -1. Функция f(x) определённая на некотором пространстве X с заданной на нём мерой, называется простой, если она измерима и принимает не более чем счётное число значений.

Структура простых функций характеризуется следующей теоремой.

Теорема -1.Функция f(x), принимающая не более чем счётное число различных значений: y1, y2,.., yn,…, измерима в том и только в том случае, если все множества An={x:f(x)=yn} измеримы.

Доказательство. Необходимость условия ясна, так как каждое An есть прообраз одноточечного множества , а всякое одноточечное множество является борелевским (множество, которое может быть получено в результате не более чем счетной совокупности операций объединения и пересечения открытых и замкнутых множеств.). Достаточность следует из того, что в условиях теоремы прообраз любого борелевского множества есть объединение не более чем счётного числа измеримых множеств An, т. е. измерим. (Пусть X -множество, на котором задана на нём аддитивная мера , определённая на алгебре . Действительная функция f(x) на X называется - измеримой, если для всякого борелевского множества A числовой прямой . Аналогично комплексная функция , определённая на X называется - измеримой, если для всякого борелевского подмножества A комплексной плоскости.)

Использование простых функций для построения интеграла Лебега основано на следующей теореме.

Теорема -2. Для измеримости функций f(x) необходимо и достаточно, чтобы она могла быть представлена в виде предела равномерно сходящихся последовательностей простых измеримых функций.

Прежде чем доказать это утверждение рассмотрим следующую теорему.

Теорема -3. Предел, сходящейся последовательности при каждом x последовательности измеримых функций измерим.

Теперь, докажем нашу теорему.

Доказательство. Достаточность ясна из теоремы -3.

Для доказательства необходимости рассмотрим произвольную измеримую функцию f(x) и положим fn(x)=m/n, если m/nf(x)<(m+1)/n, где m-целые, а n-целые положительные числа. Из построения ясно, что функции fn(x)-простые; при n они равномерно сходятся к f(x), так как

|f(x)-fn(x)|1/n.

Введем теперь понятие интеграла Лебега для рассмотренных выше простых функций, т. е. для измеримых функций, (Пусть X и Y -два произвольных множества и пусть в них выделены две системы подмножеств и соответственно. Абстрактная функция y=f(x) с областью определения X, принимающей значение на Y, называется (, ) - измеримой, если из A вытекает, что .), принимающих конечное и счётное число значений.

Пусть f -некоторая простая функция, принимающая значения y1, y2,…,yn…; yiyj при i, и пусть A - некоторое измеримое подмножество множества X.

Тогда естественно определить интеграл от функции f по множеству A равенством

,

где An={x: x f(x)=yn}, (1) если ряд справа сходится.

Таким образом, мы приходим к следующему определению.

Определение - 2. Простая функция f называется интегрируемой или суммируемой по мере на множестве A, если ряд (1) абсолютно сходиться. (Сходящийся ряд называется сходящимся абсолютно, если сходится ряд из модулей , иначе -- сходящимся условно.) Если f - интегрируема, то сумма ряда (1) называется интегралом от f по множеству A.

Замечание. В этом определении предполагается, что все yn различны. Однако можно представить значение интеграла от простой функции в виде суммы произведений вида ck и не предполагая, что все ck различны. Это позволит сделать следующая лемма.

Лемма. Пусть A= при i и пусть на каждом множестве функция f принимает только одно значение ck; тогда

(2),

причём функция f интегрируема на A в том и только в том случае, когда ряд (2) абсолютно сходится.

Доказательство. Легко видеть, что каждое множество

An={x: x f(x)=yn} является объединением тех , для которых ck=yn. Поэтому

Так как мера неотрицательна, то

,

т. е. ряды и абсолютно сходятся или расходятся одновременно. Лемма доказана.

Рассмотрим теперь некоторые свойства интеграла Лебега от простых функций.

Свойство- 1. , причём из существования интегралов в правой части равенства следует существование интегралов в левой.

Для доказательства предположим, что f, принимает значения fi на множествах FiA, а g - значения gj на множествах GiA, так что:

J1= =) (3), J2= =) (4).

Тогда в силу предыдущей леммы:



J== (5);

)=, )=,

так что из абсолютной сходимости рядов (3) и (4) следует и абсолютная сходимость ряда (5); при этом J=J1+J2. Ч. Т. Д.

Свойство -2. Для любого постоянного k: , причём из существования интеграла в правой части равенства следует существование интегралов в левой.

Свойство - 3. Ограниченная на множестве A простая функция f интегрируема на A, причём, если на A, то .

Дадим теперь общее определение интеграла Лебега.

Определение -4. Назовём функцию f интегрируемой (суммируемой на множестве A, если существует последовательность простых интегрируемых на множестве A функций {fn}, сходящаяся равномерно к f. Предел I= обозначим и назовём интегралом функции f на множестве A.

Замечание. Это определение корректно, если выполнены следующие условия: 1) предел (6) для любой равномерно сходящейся последовательности простых интегрируемых на A функций существует; 2) этот предел при заданной функции f не зависит от выбора последовательности {fn}; 3) для простых функций определение интегрируемости и интеграла равносильно определению (2).

Все эти условия действительно выполнены.

Для доказательства выполнения первого достаточно заметить, что в силу рассмотренных выше свойств - 1), 2), 3) интеграла Лебега от простых функций,

(7).

Для доказательства второго условия надо рассмотреть две последовательности, {fn} и, сходящиеся к f. Если бы предел (6) для этих двух последовательностей принимал различные значения, то для последовательности, полученной объединением этих двух последовательностей, не существовал бы, что противоречит первому условию. Наконец, для доказательства справедливости третьего условия достаточно рассмотреть последовательность, в которой fn=f для всех n.

Таким образом, в построении интеграла Лебега имеются два существенных этапа. Первый - непосредственное определение интеграла (как суммы ряда) для некоторого класса функций (простых суммируемых функций), достаточно простого и в тоже время достаточно обширного, второй - распространение определения интеграла на существенно более широкий класс функций с помощью предельного перехода.

Установим теперь основные свойства интеграла Лебега. Непосредственно из определения следует, что 1).

(8)

2). Для любого постоянного k:

(9),

причём из существования интеграла в правой части равенства следует существование интегралов в левой.

Это свойство выводится при помощи предельного перехода из свойства 2) интеграла от простых функций.

3). Аддитивность:

(10),

причём из существования интегралов в правой части равенства следует существование интегралов в левой.

Доказательство получается предельным переходом из свойства 1). интеграла от простых функций.

4). Ограниченная на множестве A функция f интегрируема на A.

Доказательство получается предельным переходом из свойства 2) интеграла от простых функций, с использованием теоремы (2).

5). Монотонность: если f(x), то интеграл (I) (в предположении, что интеграл существует).

Для простых функций это утверждение следует прямо из определения, а в общем случае его можно вывести, заметив, что если f измерима и неотрицательна, то найдётся равномерно сходящаяся к ней последовательность по теореме (2) неотрицательных простых функций.

Из последнего свойства сразу следует, что если f(x), то

, (II),

а поэтому, если mf(x) для всех (или почти для всех) xA, то m(A)(A) (III).

6). Если (A)=0, то =0.

6)'. Если f(x)=g(x) почти всюду, то причём оба интеграла одновременно существуют или не существуют одновременно.

Эти два утверждения непосредственно вытекают из определения интеграла Лебега.

7). Если функция интегрируема на A и почти всюду (x), то f также интегрируема на A .

Действительно, если f и - простые функции, то удалив из множества A некоторое множество меры нуль, оставшиеся множество A' можно представить как объединение конечного или счётного числа множеств, на каждом из которых f и постоянны: f(x)=an, bn, причём |anbn. Из интегрируемости вытекает, что

= =.

Поэтому f тоже интегрируема, и

== =.

В общем случае это утверждение доказывается предельным переходом с использованием теоремы (2).

8). Интегралы I1=, I2= (IV),существуют или не существуют одновременно.

В самом деле, из существования интеграла I2 вытекает существование интеграла I1 в силу свойства 7).

Обратное, для случая простой функции вытекает из определения интеграла, а для общего случая доказывается предельным переходом с использованием теоремы (2); при этом нужно воспользоваться неравенством:

.

Установим теперь некоторые свойства интеграла F(A)=, как функцию множества, определённую на совокупности измеримых функций. Установим, прежде всего, следующее свойство:

Теорема -4. Если A=, при i, то

= (V),

причём из существования интеграла в левой части равенства следует существование, и абсолютная сходимость ряда в правой части.

Доказательство.

Сначала проверим утверждение теоремы для простой функции f, принимающей значения: y1, y2,.., yn,… Пусть Bk={x:xA, f(x)=yk}, ={x:xAn, f(x)=yk}. Тогда

=(VI).

Так как ряд , в предположении интегрируемости f на A, абсолютно сходится, а меры всех множеств неотрицательны, то сходятся абсолютно и все остальные ряды в цепочке равенств (VI).

В случае произвольной функции f из её интегрируемости на A вытекает, что для любого существует простая интегрируемая на A функция g, удовлетворяющая условию . (11)

Для g имеем = (VII), причём g интегрируема на каждом множестве An и ряд (VII) абсолютно сходится.

Из этого последнего обстоятельства и из оценки (11) вытекает, что f тоже интегрируема на каждом An и

,

,

что вместе с (VII) приводит к абсолютной сходимости ряда и к оценке

.

Так как произвольно, то

=.

Следствие. Если f интегрируема на A, то f интегрируема и на любом измеримом множестве A'A.

Итак мы показали, что из интегрируемости f по множеству A следует, что если A=, при iто f интегрируема по каждому и интеграл по A равен сумме интегралов по множествам . Это утверждение можно записать в следующем виде. Теорема -5. Если A=, при i и ряд (12) сходится, то функция f интегрируема на A и

=.

Замечание. Новым по отношению к предыдущей теоремы здесь является утверждение, что из сходимости ряда (12) следует интегрируемость функции f на A.

Доказательство. Сначала проведём доказательство для случая простой функции f, принимающей значение fi. Положив, Bi={x:xA, f(x)=fi.}, Ani=AnBi, имеем

=Bi и =.

Из сходимости ряда (12) вытекает, что сходятся ряды

.

Сходимость последнего ряда означает, что существует интеграл

=.

В общем случае заменим f простой функцией так, что

(VIII). Тогда + и так как ряд = сходится, из сходимости ряда (VIII) вытекает сходимость ряда , т. е. по только что доказанному, интегрируемость на A простой функции .

Но тогда в силу (VIII) исходная функция f также интегрируема на A. Теорема доказана.

Неравенство Чебышева. Если на A и c>0, то

(13).

Действительно, пусть A'= Тогда

=+ +A').

Следствие. Если =0, то f(x)=0 почти всюду.

В самом деле, в силу неравенства Чебышева, имеем:

=0 для всех n.

Поэтому

Ч. Т. Д.

Ранее мы установили, что интеграл Лебега по множеству нулевой меры равен нулю для любой функции f. Это утверждение можно рассматривать как предельный случай следующей теоремы.

Теорема -6. (Абсолютная непрерывность интеграла Лебега.) Если

f(x) - суммируемая на множестве A функция, то для каждого существует, такое , что , что для всякого измеримого eA такого, что .

Доказательство. Заметим, прежде всего, что наше утверждение, если f ограничена, верно.

Пусть теперь f - произвольная суммируемая на A функция. Положим An={x:xA, n} и BN=, CN=A\BN. Тогда в силу теоремы -4:

=.

Выберем теперь N таким образом, что

=,

и пусть 0<.

Теперь, если , то

=+.

Первый из стоящих справа интегралов не превосходит /2 (свойство 5), а второй не больше, чем интеграл, взятый по всему множеству CN, т. е. также не превосходит /2; таким образом, получаем . Теорема доказана.

Установленные свойства интеграла как функции множества приводят к следующему результату. Пусть f -неотрицательная функция, суммируемая на пространстве X по мере . Тогда функция F(A)= определена для всех измеримых множеств AX, неотрицательна и аддитивна, т. е. удовлетворяет условию: если A=, , то F(A)=. Иными словами интеграл от неотрицательной функции обладает свойствами аддитивной меры. Эта мера определена на той же алгебре, что и исходная мера , и связана с условием: если , то и F(A)=0.

Вопрос о предельном переходе под знаком интеграла Лебега или что, то же самое, о почленном интегрировании сходящегося ряда, часто возникает в различных задачах.

В рамках математического анализа устанавливается, что достаточным условием такого предельного перехода является равномерная сходимость соответствующей последовательности (ряда).

Сейчас мы установим теоремы о предельном переходе под знаком интеграла Лебега, представляющие собой обобщения соответствующих теорем математического анализа.

Теорема -7. (Лебег). Если последовательность {fn} на A сходится к f и при всех n: , где - интегрируема на А, то предельная функция f интегрируема на А и

.

Доказательство. Из условий теоремы легко следует, что . Поэтому fинтегрируема (по свойству 7). Пусть произвольно. Тогда по теореме -6 ( об абсолютной непрерывности интеграла) найдётся такое , что, если , то <

В силу теоремы Егорова (пусть E - множество конечной меры так, и последовательность измеримых функций , сходиться почти всюду к f(x). Тогда для любого такое, что и последовательность {fn(x)} равномерно сходится к f(x) на ) множество B, удовлетворяющие условию , можно выбирать так, чтобы последовательность {fn} сходиться равномерно на C=A\B равномерно. Следовательно, найдётся такое N,что при nи xC выполнено неравенство: .

Тогда -=+-, и так как и , то в силу <получаем

.

Следствие. Если =const и f, то

.

Замечание. Поскольку значения, принимаемые функцией на множестве меры 0, не влияют на величину интеграла, в теореме - 7 предположить, что {fn} сходиться к f почти всюду и что каждое из неравенств также выполняется лишь почти всюду.

Теорема -8. (Б. Леви). Пусть на множестве A f1(x) причём функции интегрируемы и их интегралы ограничены в совокупности . Тогда почти всюду на A существует конечный предел: f(x)= функция f интегрируема на A и

.

При этом на множестве, на котором указанный в теореме предел не существует, функцию f можно задать произвольно, например, положив на этом множестве f(x)=0.

Доказательство. Предположим, что f1(x), так как общий случай легко сводится к этому путём перехода к функциям .

Рассмотрим теперь множество

.

Множество можно представить в следующем виде:

,

.

В силу рассмотренного выше неравенства Чебышева:

.

Так как то при , но при любом r поэтому . Ввиду произвольности r отсюда следует, что .

Таким образом мы доказали, что монотонная последовательность {fn(x)} почти всюду на A имеет конечный предел f(x).

Обозначим через Ar множество тех точек xA, для которых

r-1r,

где r=1,2,…, и положим r на Ar.

Если будет доказана интегрируемость на A, то утверждение нашей теоремы сделается следствием теоремы Лебега.

Положим Bs=, так как на Bs функции fn и f ограниченны и всегда , то

=.

Но . Ограниченность же этих сумм означает сходимость ряда

=.

Таким образом, интегрируемость на A доказана. Условие монотонного неубывания функций fn(x) можно заменить условием монотонного невозрастания.

Следствие. Если и , то почти всюду на A ряд сходится и

.

Теорема - 9. (Фату). Если измеримых неотрицательных функций {fn} сходится почти всюду на A к f и , то f интегрируема на A и .

Доказательство. Положим = измерима, так как рассмотреть множества {x:(x)c} и , то будет выполняться следующее равенство{x:(x)c}=.

Более того, 0(x)), поэтому интегрируема, и

;

наконец, 1(x) и почти всюду. Поэтому, применяя теорему к {}, получаем требуемые результаты. Теорема доказана.

Замечание. Мы рассматривали ранее интеграл Лебега и его свойства, считая, что рассматриваются функции, заданные на том или ином измеримом множестве конечной меры.

Однако часто приходиться иметь дело с функциями, заданными на множестве, мера которого бесконечна, например, на прямой с Лебеговой меры на ней. Поэтому важно распространить понятие интеграла и на этот случай. Мы ограничимся при этом случаем, когда множество X может быть представлено как сумма счётного числа множеств конечной меры:

, .

Если пространство X, на котором задана меры , представимо как сумма счётного числа множеств конечной меры, то мера называется

- конечной. Примерами - конечных мер служат меры Лебега на прямой, плоскости, в n - мерном пространстве. Меру, не удовлетворяющую условию

- конечности, можно получить, например, приписав каждой точке на прямой вес 1. Тогда все подмножества прямой можно считать измеримыми, причём конечные множества будут иметь конечную меру, а остальные бесконечную.

Назовём исчерпывающей последовательностью всякую монотонно возрастающую последовательность {Xn} измеримых подмножеств множества X, удовлетворяющую условию , .

Введём теперь, следующее определение.

Определение -4. Измеримая функция f, определённая на множестве X c - конечной мерой , называется суммируемой на X, если она суммируема на каждом измеримом подмножестве AX конечной меры и если для каждой исчерпывающей последовательности {Xn} придел: существует и не зависит от выбора этой последовательности. Этот придел называется интегралом от f по множеству X и обозначается символом: .

Замечание. Если функция f равна нулю вне некоторого множества конечной меры, то для ней только что сформулированное определение интеграла равносильно тому которое было дано ранее для функций, заданных на измеримых множествах конечной меры.

Замечание. Ранее данное определение интеграла от простой функции можно дословно перевести на случай бесконечной меры. При этом для суммируемости простой функции необходимо, чтобы каждое отличное от нуля значение она принимала только на множестве конечной меры. Определение -3 суммируемости связано с предположением конечности меры множества X. Действительно, если , то из равномерной сходимости последовательности простых суммируемых функций {} не следует, вообще говоря, сходимость последовательности их интегралов.

Результаты, полученные нами ранее для интегралов по множеству с конечной мерой, в основном переносится на интегралы по множеству бесконечной меры. Отличие же состоит в том, что в случае , ограниченная измеримая функция на X не обязана быть суммируемой. В частности, если , то никакая отличная от нуля константа не интегрируема на X.

Теоремы Лебега, Б. Леви Фату остаются справедливыми также и в случае с бесконечной меры.

Выясним теперь связь между интегралами Лебега и Римана. При этом мы ограничимся простейшим случаем линейной мерой Лебега на прямой.

Теорема -10. Если существует интеграл Римана: I=(R), то f интегрируема на отрезке [a, b] по Лебегу и.

Доказательство. Рассмотрим разбиение отрезка [a, b] на 2n частей точками xk=a+ и соответствующие этому суммы Дарбу:

, ,

где -верхняя грань f на отрезке xk-1 а -нижняя грань f на том же самом отрезке. Тогда по определению интеграла Римана, I==.

Положим (x)= при xk-1, а= при xk-1

В точке x=b функции и можно доопределить произвольно.

При этом , (по определению сумм Дарбу).

Так как последовательность не возрастает, а последовательность не убывает, то почти всюду и

.

Тогда по теореме Б. Леви имеем: ==I= =. Поэтому: ==0, и следовательно, почти всюду =0, т. е. =f(x) и . Теорема доказана.

Замечание. Обратное утверждение к теореме -10, вообще говоря, не верно. В этом легко убедится. Достаточно привести пример ограниченных функций на некотором отрезке, интегрируемых по Лебегу, но не интегрируемых по Риману. К таким примерам относится, например функция Дирихле, на отрезке [0,1], принимающая значение - 1 для рациональных и значение - 0 для иррациональных x. Что касается неограниченных функций, то такие функции вообще не могут быть интегрируемы по Риману, но многие из них интегрируемы по Лебегу.

В частности любая функция f(x), которой интеграл Римана существует при каждом и имеет конечный придел I при , интегрируема по Лебегу на [a, b], причём

.

Несобственный интеграл в случае, когда , не существует в лебеговом смысле, поскольку, согласно свойству -8, из суммируемости функции f(x) следует, что и функция

тоже суммируема. Например, интеграл: dx существует, как условно сходящийся несобственный интеграл Римана, но не существует, как интеграл Лебега.

Если рассматривается функция на всей прямой или полупрямой, то интеграл Римана для такой функции может существовать, лишь в несобственном смысле. Но если, этот интеграл сходиться абсолютно, то соответствующий лебегов интеграл существует и имеет то же самое значение. Если же этот интеграл сходится лишь условно, то в лебеговом смысле функция не интегрируема. Например, функция не интегрируема по Лебегу на всей прямой, поскольку . Однако несобственный интеграл существует и равен .

3. Пространства и

Рассмотрим теперь один из важнейших классов нормированных пространств (пространств, на которых задана норма. Нормой - функционал, заданный на пространстве X и удовлетворяющий, следующим аксиомам: 1). ; 2)причём x=0; 3)) - пространства суммированных функций или пространства Лебега.

Сначала введём понятие пространства всех суммируемых функций L1 и изучим его свойства.

Пусть X- некоторое пространство с мерой; при этом мера самого X может быть конечной или бесконечной. Меру будем считать полной, т. е. любое подмножество любого множества меры нуль измеримо. Рассмотрим совокупность всех функций f суммируемых на X. Поскольку линейная комбинация суммируемых функций суммируема, эта совокупность с обычными операциями сложения и умножения их на число образуют линейное пространство. Обозначим его L1() или L1 и введём в нём норму следующим образом.. (14)

По свойствам интеграла и модуля имеем:

и

Однако, чтобы выполнялось последнее свойство нормы, а именно , если f, нужно считать, что функции эквивалентные друг другу на X (Отношение эквивалентности (~) на множестве X- это бинарное отношение, для которого выполнены следующие условия: 1) рефлективность:(f`~f, для любого f в X); 2) симметричность: (если f1~f2, то f2~f1); 3)транзитивность: (если f1~f2 и f2~f3 ,то f1~f3). Запись вида «f1~f2» читается как «f1эквивалентно f2». Говорят, что функция f1(x) эквивалентна функции f2(x) при x, если она допускает представление вида f1(x)=, где при x. В этом случае пишут - f1(x)~f2(x)) не различаются, а считаются за один и тот же элемент пространства L1. В частности, ненулевой элемент в L1 -это совокупность всех функций равных нулю почти всюду.

Определение -5. Функция называется равно нулю почти всюду, если она равна нулю всюду за исключением множества меры ноль.

Так вот, если считать функции эквивалентные друг другу на X за один элемент пространства L1, то выражение (14) будет удовлетворять всем указанным выше аксиомам нормы.

Введём следующее определение.

Определение -6. Пространством L1 называется нормированное пространство, элементами которого служат классы эквивалентных между собой суммируемых функций; сложение элементов в L1 и умножение их на числа определяются как обычное сложение и умножение функций. А норма задаётся формулой .

В L1 расстояние вводиться, следующим образом (f, g)=. Сходимость последовательности в смысле этого расстояния называют сходимостью в среднем.

Замечание. Рассмотренное нами пространство можно считать состоящим из комплексных функций (комплексное L1) или из одних действительных (действительное L1).

Рассмотрим теорему, выражающую одно из важнейших свойств пространства . L1.

Теорема -11. Пространство L1 полно.

Доказательство. Согласно определению пространство называется полным, если любая его фундаментальная последовательность сходиться. Докажем, теперь этот факт для пространства L1.

Пусть{fn}-фундаментальная последовательность в L1. Тогда по определению фундаментальной последовательности следует, что

при n, m.

Тогда можно найти такую возрастающую последовательность индексов (Последовательность {nk}элементов множества X называется возрастающей, если каждый следующий элемент этой последовательности превышает предыдущий или другими словами {nk}- возрастающая ), что

d1/2k.

Из этого неравенства и из теоремы Б Леви, рассмотренной выше вытекает, что ряд сходиться почти всюду на X. (Последовательность функций сходится почти всюду к предельной функции, если множество точек, для которых сходимость отсутствует, имеет нулевую меру.) Но тогда и ряд сходиться почти всюду на X к некоторой функции f(x)=.

Таким образом, фундаментальная последовательность в L1 содержит подпоследовательность, сходящуюся почти всюду.

Покажем теперь, что подпоследовательность сходится к тойже функции f и в среднем. В силу фундаментальности последовательности {fn}, при любом фиксированном для всех достаточно больших k и l имеем.

Cгласно рассмотренной выше теоремы Фату, в этом неравенстве можно перейти к пределу под знаком интеграла при , получаем

,

откуда следует, что f и что . Но из того, что фундаментальная последовательность содержит подпоследовательность, сходящуюся к некоторому пределу, следует, что и сама она сходиться к тому же пределу.

Теорема доказана.

Для всякой функции f суммируемой на X, и любого существует такая простая суммируемая функция , что .

Поскольку для простой суммируемой функции, принимающей значения y1, y2, на некоторых множествах E1, E2, интеграл определяется как сумма ряда (при условии его абсолютной сходимости, т .е. при условии, что сходится ряд ), ясно, что всякую простую суммируемую функцию можно представить как предел (в среднем) последовательности простых функций, принимающих лишь конечное число значений. Итак в пространстве L1 всюду плотны функции, каждая из которых принимает лишь конечное число значений, т. е. представляют собой конечную линейную комбинацию индикаторов (Линейной комбинацией векторов называют вектор:

,

где коэффициенты линейной комбинации.)

Пусть R - метрическое пространство с введенной в нём мерой, удовлетворяющей такому условию: все открытые и все замкнутые множества в R измеримы, и для любого измеримого множества MR и любого найдётся такое открытое GM, что . Тогда верна следующая теорема:

Теорема-12. Множество всех непрерывных функций всюду плотно в L1().

Доказательство. В силу выше сказанного достаточно доказать, что всякая простая функция, принимающая конечное число значений, является пределом, в смысле сходимости в среднем, последовательности непрерывных функций. Более того, так как всякая суммируемая простая функция, принимающая конечное число значений, есть линейная комбинация индикаторов измеримых множеств конечной меры, то достаточно провести доказательство для этих последних. Пусть M - измеримое множество в метрическом пространстве R и M)<. Тогда из условия сразу следует, что для любого найдутся замкнутое и открытое FM и GM множества соответственно, такие что FMMGM и )). Определим теперь функцию , следующим образом:

.

Эта функцию равна 0 при x и равна 1 при xОна непрерывна, так как каждая из функций и непрерывна и их сумма нигде не обращается в 0. Функция не превосходит 1 на и равна 0 вне этого множества. Следовательно,, откуда и вытекает утверждение теоремы -12.

Замечание. Пространство L1() зависит и от выбора и от выбора меры в нём. Если мера сосредоточена в конечном числе точек, то L1() будет конечно мерным пространством.

Охарактеризуем, теперь пространства L1, бесконечной размерности, но содержащие счётное всюду плотные подмножество. Для этого ввёдём следующие понятие.

Определение -7. Мера называется мерой со счётным базисом, если существует такая счётная система ={An} {n=1,2,…} измеримых подмножеств пространства X (счётный базис меры ), что для всякого измеримого MX и всякого найдётся такое Ak, что .

В частности, мера имеет счётный базис, если её можно представить как лебегово продолжение меры m, определённой на некотором счётном полукольце . В самом, в этом случае кольцо R() (Счетное) и представляет собой искомый базис. Отсюда видно, например, что мера Лебега имеет счётный базис на отрезке, поскольку для неё за исходное полукольцо можно принять совокупность полуинтервалов с рациональными концами

(Полукольцо -- система S, для которой выполнены следующие условия:

1) ; 3)

).

Произведение двух мер со счётным базисами также обладает счётным базисом, ибо конечные суммы произведений элементов из базиса меры на элементы из базиса меры образует базис меры . Поэтому мера Лебега на плоскости (а также и в n - мерном пространстве) имеет счётный базис

Пусть есть счётный базис меры . Если его теперь, расширить, то можно получить новый счётный базис этой меры ,…, замкнутый по отношению к операциям вычитания и взятия конечных сумм и пересечений, т. е. являющийся кольцом.

Теорема- 13. Если мера имеет счётный базис, то в L1(X, существует счётное всюду плотное множество функций.

Доказательство. Покажем, что счётное всюду плотное множество в L1(X, образует конечные суммы: (15.), где - рациональные числа, а -индикаторы элементов счётного базиса меры

Такое множество счётно. Покажем оно всюду плотно в L1(X, . Как мы показали ранее множество ступенчатых функций, принимающих лишь конечное число значений, всюду плотно в L1. Так как любую такую функцию можно сколь угодно точно заменить функцией такого же вида, но принимающую лишь рациональные значения, достаточно показать, что любую ступенчатую функцию f, принимающую значения y1,y2,…,yn, (все yi -рациональны) на множествах E1, E2,…, En (= при i), можно сколь угодно точно заменить в смысле метрики L1 функциями вида (15.). Согласно сделанному замечанию можно без ограничений общности считать, что базис меры , является кольцом.

По определению счётного базиса меры , при любом в нём существуют такие множества A1, A2,…, An, что что .

Положим теперь, что A'k=Ak\ (k=1,2,…, n) и определим , следующим образом:

Легко видеть, что при достаточно малом мера {x:f(x)} сколь угодно мала и, следовательно, интеграл

{x:f(x)} сколь угодно мал при достаточно малом

В силу сделанных предположений относительно базиса меры , функция и есть функция вида (15.). Что и требовалось доказать.

Замечание. Для частного случая, когда X есть отрезок числовой прямой, а -мера Лебега, счётное всюду плотное множество в L1 можно получить проще, например, взяв множество всех многочленов с рациональными коэффициентами. Оно всюду плотно в множестве непрерывных функций, которые образуют всюду плотное множество в L1().

Таким образом, пространство L1 является полным нормированным пространствам. Однако оно не является евклидовым, т. е. определённую в нем норму нельзя задать с помощью какого - либо скалярного произведения. Это вытекает из теоремы параллелограмма: для того, чтобы нормированное пространство было евклидовым, необходимо и достаточно, чтобы для любых двух элементов, f и g, выполнялось равенство . Например, для интегрируемых на отрезке [0, 2] функций f, g=sinx соотношение 16. в L1 не выполняется.

Функциональное пространство не только нормированное, но и евклидово, можно поострить, взяв совокупность функций м интегрируемым квадратом. Рассмотрим такое пространство.

Будем сперва рассматривать действительную функции f, определённых на некотором пространстве X, почти всюду. Эквивалентные между собой функции не различаются.

Определение - 8. Функция f называется функцией с интегрируемым квадратом на X, если интеграл существует (конечен). Совокупность всех таких функций мы обозначим L2() или L2.

К основным свойствам функций с интегрируемым квадратом относятся, следующие утверждения:

Свойство - 1. Произведение двух функций с интегрируемым квадратом есть интегрируемая функция.

Это непосредственно вытекает из неравенства: и рассмотренных выше свойств интеграла Лебега.

Следствие. Всякая функция f с интегрируемым квадратом на пространстве с конечной мерой интегрируема.

Для доказательства достаточно, положив g(x), воспользоваться свойством 1.

Свойство - 2. Сумма двух функций из L2 также принадлежит L2.

Действительно, (f(x)+g(x))2=f2(x)+2f(x)g(x)+g2(x); в силу свойства 1 каждая из трёх функций, стоящих справа, интегрируема.

Свойство - 3. Если fL2 и - произвольное число, то .

Действительно, если fL2, то =.

Последние два свойства означают, что линейные комбинации функций из снова принадлежат и умножение их на числа удовлетворяют всем свойствам линейного пространства. Таким образом, совокупность функций с интегрируемым квадратом есть линейное пространство.

Определим теперь в скалярное произведение, положив: (f,g)=. Ясно, что при этом выполняются все свойства, входящие в определения скалярного произведения, а именно 1) (f,g)=(g,f); 2) (f1+f2,g)=(f1,g)+(f2,g); 3) (, g)=; 4) (f,f)>0, f. В частности свойство 4 -обеспечивается, тем, что по нашему предположению эквивалентные между собой функции не чем не различаются. (За нулевой элемент, таким образом, принимается совокупность всех функций на X, эквивалентных f0.)

Введём теперь точное определение пространства L2

Определение - 9. Евклидовым пространством L2 называется линейное пространство, состоящее из классов эквивалентных между собой функций с интегрируемым квадратом, в котором скалярное произведение определено формулой: (f,g)=.

В L2, как и во всяком евклидовом пространстве, выполнены неравенства Коши - Буняковского и треугольника, которые в данном случае имеют вид: и соответственно.

В частности, при и неравенство Коши - Буняковского принимает следующий вид: .

В пространстве суммируемых функций интегрируемым квадратом можно ввести норму следующим образом: . Расстояние в рассматриваемом нами пространстве между элементами f и g определяется формулой .

Замечание. Последнее утверждение называют также средним квадратичным уклонением функций и друг от друга.

Сходимость функциональной последовательности в смысле метрики пространства L2 называют сходимостью в среднем квадратичном.

Теорема -14. Пространство L2() при полно.

Доказательство. Пусть{fn}-фундаментальная последовательность в L2, т. е. при n, m. Тогда в силу выражения получаем

,

т. е. последовательность {fn}-фундаментальна и в метрике пространства L1. Повторяя рассуждения, которые были проведены при доказательстве полноты пространства L1 выберем из {fn} подпоследовательность {}, сходящуюся почти всюду к некоторой точке f. В неравенстве справедливом для членов этой подпоследовательности при всех достаточно больших k и l, можно, используя рассмотренную выше теорему Фату, перейти к пределу при l. Тогда получим , откуда следует, что и что . Для завершения доказательства остаётся лишь, как и в теореме -11. воспользоваться тем, что, если фундаментальная последовательность содержит сходящуюся подпоследовательность, то сама она сходиться к тому же пределу. Ч. т. д.

Итак, мы рассмотрели функции с интегрируемым квадратом определенные на некотором пространстве X конечной меры. При этом условие использовалось довольно нами существенно. Именно, сначала мы прибегали к нему, доказывая, что всякая функция с суммируемым квадратом суммируема и в первой степени, а затем - при выводе неравенства , на которое опиралось наше доказательство полноты пространства L2. Если рассмотреть функции на множестве бесконечной меры ( например, на всей прямой с лебеговой мерой на ней), то не всякая функция из L2 будет содержаться в L1. Например, функция не интегрируема на все й прямой, а её квадрат интегрируем. Более того в случае когда имеет место неравенство , означающие, что из сходимости последовательности функций в L2 следует их сходимость в L1. В случае, когда это так же неверно: например, последовательность функций на прямой сходится к нулю в пространстве L2(-, функций с суммируемым квадратом, но не сходиться к ни какому приделу в L1(-,. Однако теорема о полноте пространства L2 остаётся справедливой и при

Докажем это утверждение. Предположим, что всё пространство X можно представить как счётную сумму множеств конечной меры. Пусть X=, , при - такое представление и пусть {fn}-фундаментальная последовательность в L2(X,). Таким образом для каждого существует такое N, что для всех , N.

Введём обозначение Тогда в силу аддитивности интеграла Лебега, имеем

.

Для каждого конечного M и подавно

.

Совокупность функций с интегрируемым квадратом на каждом представляет собой полное пространство. Положив (где сходимость понимается как сходимость в пространстве L2(X,)), мы можем перейти к приделу при в неравенстве

.

Тогда мы получаем

Так как это неравенство выполнено для всех M, то в нём можно перейти к пределу при M. Таким образом, имеем

.

Положив f(x)= при мы можем переписать последнее неравенство в виде . Отсюда вытекает как принадлежность f к L2(X,), так и сходимость последовательности {fn} к f. Ч. Т. Д.

Итак пространство L2(X,) функций с интегрируемым квадратом есть полное евклидово пространство. За исключением вырожденных случаев, размерность этого пространства бесконечна.

Замечание: С точки зрения различных применений в анализе важно выяснить, когда пространство L2(X,) сепарабельно, т. е. содержит счётное всюду плотное множество. Рассматривая пространство L1(X,), мы установили, что для его сепарабельность вытекает из существования у меры счётного базиса. Нетрудно убедиться, что это же условие гарантирует и сепарабельность L2(X,. Действительно, каждую функцию из L2(X,) можно приблизить с любой точностью, функциями, каждая из которых равна 0 вне некоторого множества конечной меры (если то этот шаг отпадает). Далее те же рассуждения, которые мы привили при доказательстве теоремы - 13, показывают, что в совокупности таких функций можно выбрать счётное всюду плотное множество.

Таким образом, если мера имеет счётный базис, то пространство L2(X, есть полное сепарабельное евклидово пространство. Другими словами, оставляя в стороне тот случай, когда L2(X, имеет конечную размерность, мы получаем следующий результат: если мера имеет счётный базис, то L2(X, есть сепарабельное гильбертово пространство.

В силу теоремы об изоморфизме гильбертовых пространств, это означает, что все такие L2(X,) изоморфны между собой (Два Гильбертовых пространства. H и называются изоморфными, если между их элементами можно установить взаимно однозначное соответствие, так, что если

x(x, y , , то x+y=; и (x, y)=(, )

В частности, каждое такое L2(X,) изоморфно, пространству l2 числовых последовательностей с сходящейся суммой квадратов. Последнее можно рассматривать как L2(X,), когда X -счётно, а определена на всех его подмножествах и равна 1 для каждой точки.

Замечание. Будем в дальнейшем рассматривать только L2(X,), отвечающие мерам со счётным базисом и обозначать каждое такое пространство L2.

Поскольку пространство L2 является гильбертовым пространством, то на него можно перенести все те понятия и факты, которые справедливы для абстрактного гильбертового пространства.

В частности, согласно теореме Рисса всякий линейный функционал в гильбертовом пространстве H записывается в виде скалярного произведения: F(h)=(h, a), где a -фиксированный вектор из H. Поэтому всякий линейный функционал в L2 имеет вид: F(f)=, где - фиксированная функция с интегрируемым квадратом на X.

Замечание. До сих пор мы рассматривали только действительное пространство L2. Однако же все нами полученные результаты легко можно перенести на комплексный случай.

Определение -10. Комплексная функция f, определённая на некотором пространстве X с заданной на нём мерой , называется функцией с интегрируемым квадратом, если интеграл: конечен. Определив, сложение таких функций и умножение их на числа обычным образом и введя скалярное произведение по формуле (f, g)=, мы получаем евклидово пространство, называемое комплексным пространством L2. ( При этом, как и в действительном случае, мы считаем эквивалентными между собой функции одним и тем же элементом пространства). Это пространство полно, а если мера имеет счётный базис, то и сепарабельно.

Таким образом, отбрасывая конечномерный случай, мы получаем, что комплексное пространство L2 отвечающее мере со счётным базисом, есть комплексное сепарабельное гильбертово пространство. Все такие пространства изоморфны между собой.

Ранее мы ввели в пространстве функций с интегрируемым квадратом понятие нормы, мы определили тем самым для таких функций следующие понятие сходимости: fn f, если =0. Мы назвали такую сходимость сходимостью в среднем квадратичном. Посмотрим теперь, как такая сходимость связана с другими типами сходимости функциональных последовательностей.

Предположим сначала, что мера пространства - «носителя» X конечна. Тогда: 1) если последовательность {fn} функций из L2(X,) сходится в метрике L2(X,), то она сходиться и в метрике L1(X,).

Действительно, в силу неравенства:

имеем

,

откуда и следует наше утверждение.

2). Если последовательность {fn} сходиться равномерно, то она сходиться и в среднем квадратичном.

Действительно, при каждом при всех достаточно больших n имеем и, следовательно, откуда вытекает наше утверждение.

3). Если последовательность суммируемых функций {fn} сходиться в среднем, то она сходиться на X и по мере.

Это утверждение сразу следует из рассмотренного выше неравенства Чебышева.

4). Если последовательность {fn} сходиться в среднем, то из неё можно выбрать подпоследовательность {}, сходящуюся почти всюду.

5). Это утверждение непосредственно следует из предыдущего утверждения и из следующей теоремы.

Теорема - 15. Пусть последовательность измеримых функций {fn(x)} сходиться по мере к f(x). Тогда из этой последовательности можно выбрать подпоследовательность {, сходящуюся к f(x) почти всюду.

Нетрудно убедиться, что из сходимости некоторой последовательности в среднем (и даже в среднем квадратичном) не вытекает, вообще говоря, её сходимость почти всюду.

Действительно, последовательность {fn} функций, определенных следующим образом: fi(n)(x)=, сходится к f в среднем (и даже среднем квадратичном), но при этом она не сходится к 0 не в одной точке.

Обратно последовательность {fn} может сходиться почти всюду (и даже всюду) и не сходиться при этом среднем. Рассмотрим, например, на отрезке [0,1] последовательность функций: fn(x)= Очевидно, что fn(x)0 при всех x[0,1]. Но в то же время при всех .

Связь между различными типами сходимости в случае можно изобразить следующей схемой:

В случае, когда (например для функций на всей числовой прямой с мерой Лебега на ней) установленные выше связи уже не имеют места. Например, последовательность fn(x)= сходится равномерно на всей прямой к функции f,однако она не сходиться ни в среднем, ни в средним квадратичном. Далее, при , как мы отмечали раннее, сходимость в среднем квадратичном (т. е. в L2) не влечёт за собой сходимости той же последовательности в среднем ( т. е. в L1).

Замечание. Из сходимости в среднем ни при , ни тем более при не следует, вообще говоря, сходимость в среднем квадратичном.

Размещено на Allbest.ru

...