Шарово-транзитивні групи автоморфізмів кореневих дерев

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Київський національний університет імені Тараса Шевченка

УДК 512.54

АВТОРЕФЕРАТ

дисертації на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук

ШАРОВО-ТРАНЗИТИВНІ ГРУПИ АВТОМОРФІЗМІВ КОРЕНЕВИХ ДЕРЕВ

01.01.06 -- алгебра та теорія чисел

Лавренюк Ярослав Васильович

Київ -- 2000

Дисертацією є рукопис.

Роботу виконано в Київському національному університеті імені Тараса Шевченка.

Науковий керівник:

СУЩАНСЬКИЙ Віталій Іванович, доктор фізико-математичних наук, професор, завідувач кафедрою алгебри і математичної логіки Київського національного університету імені Тараса Шевченка, м.Київ

Офіційні опоненти:

СИСАК Ярослав Прокопович, доктор фізико-математичних наук, провідний науковий співробітник Інституту математики HАH України, м. Київ

Леонов Юрій Григорович, кандидат фізико-математичних наук, викладач Української державної академії зв'язку, м. Одеса

Провідна установа:

Львівський державний університет імені Івана Франка, м.Львів

Захист відбудеться “ 25 ” вересня 2000 року о год. на засіданні спеціалізованої вченої ради Д 26.001.18 при Київському університеті імені Тараса Шевченка за адресою: 03127, м. Київ-127, пр. акад. Глушкова, 6, механіко-математичний факультет.

З дисертацією можна ознайомитися в бібліотеці Київського університету імені Тараса Шевченка (вул. Володимирська, 58).

Автореферат розіслано “ 22 ” серпня 2000 року.

Вчений секретар

спеціалізованої вченої ради Петравчук А.П.

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

потужність автоморфізм шаровий спряженість

Актуальність теми.

В останні роки групи автоморфізмів (ізометрій) кореневих дерев інтенсивно вивчаються у зв'язку з тим, що вони містять різні цікаві підгрупи з екстремальними властивостями. Зокрема, в групи автоморфізмів таких дерев природно занурються відомі періодичні групи В. I. Сущанського, Р. I. Григорчука, Н. Гупта - С. Сідкі, а також вільні конструкції, різні конструкції груп проміжного росту і т. ін.

Кореневі дерева, які при цьому виникають є досить однорідними. А саме, кореневе дерево T (скінченне чи нескінченне) є шарово-однорідним, якщо вершини, що віддалені на однакову відстань від кореня, мають однакову валентність. В випадку скінченного дерева найбільша з довжин шляхів, що з'єднують кореневу вершину з іншими, називається висотою цього дерева.

Зображення груп автоморфізмами шарово-однорідних дерев є дуже плідним. Використовуючи такі зображення отримано багато результатів про будову груп Р. I. Григорчука, груп Н. Гупта - С. Сідкі, групи фінітарних автоморфізмів, а також побудовані нові групи з цікавими властивостями, наприклад, нерозв'язні без скруту групи, кожна власна підгрупа яких є розв'язною. Для найвідомішої з груп Григорчука пораховано централізатори елементів, описано нижній центральний ряд, для груп Н. Гупта - С. Сідкі обчислено їх групи автоморфізмів, встановлено, що група автоморфізмів групи фінітарних автоморфізмів бінарного кореневого дерева збігається з її нормалізатором в групі всіх автоморфізмів цього дерева.

Р. I. Григорчук виділив в групі всіх автоморфізмів шарово-однорідного дерева спеціальний клас підгруп -- так звані гіллясті групи. На Міжнародній алгебраїчній конференції (Слов'янськ, 1997), він поставив ряд питань щодо будови цих груп. Зокрема, було висловлено гіпотезу, що для "типової" гіллястої групи група автоморфізмів збігається з її нормалізатором в групі всіх автоморфізмів шарово-однорідного дерева (група фінітарних автоморфізмів та групи Н. Гупта-С.Сідкі, для яких це твердження справедливе, є гіллястими групами).

Вивчення гіллястих груп має багато спільного з дослідженням групи Кремони; одна з причин цього полягає у тому, що в обох випадках виникають ітеровані вінцеві добутки.

Група автоморфізмів афінного простору вимірності n над фіксованим полем K, яка має назву "афінна група Кремони", може бути описана як група оборотних наборів многочленів з вигляду щодо операції суперпозиції. Для нескінченних полів вона збігається з групою автоморфізмів кільця многочленів . У випадку скінченного поля K різні набори з афінної групи Кремони є різними автоморфізмами кільця , але вони можуть завдавати однакові автоморфізми афінного простору . В цьому разі аффінною групою Кремони прийнято називати групу автоморфізмів кільця многочленів .

В групі Кремони виділяються дві важливі підгрупи: -- група лінійних перетворень та -- група трикутних перетворень, або як її ще називають, група Жонк'єра.

Група Кремони в випадку нульової характеристики вивчалася в роботах, багатьох авторів, зокрема в роботах Т. Камбаяші, Т. Петрі, І. Р. Шафаревича.

Ряд задач пов'язаних з групою Кремони поставлено в відомих роботах Х. Басса, Х. Крафта та В. Попова.

Якщо характеристика K дорівнює 0, то група Жок'єра діє точно на афінному просторі над полем K. В противному разі ця дія неточна. У випадку скінченного поля , , позначимо символом нормальний дільник із , що є ядром цієї дії. Факторгрупа є напівпрямим добутком груп і , де -- група унітрикутних автоморфізмів афінного простору над полем . Якщо , то є силівською -підгрупою симетричної групи степеня . Тому в цьому випадку будова групи значною мірою визначається будовою .

Виявляється, що групи та природним чином зображуються як підгрупи і як факторгрупи груп автоморфізмів р-дерева висоти (кореневого дерева, в якого валентність всіх некореневих вершин крім висячих, дорівнює , а валентність кореня -- р). Крім цього границя , природно визначеної проективної системи груп , є силівською р-підгрупою групи всіх атоморфізмів нескінченного р-дерева. Таким чином, будова групи , як і групи значною мірою визначається будовою . Дослідження групи представляє інтерес ще й тому, що вона є універсальною щодо занурень в класі резидуально скінченних -груп.

Все зазначене вище говорить про актуальність теми дисертації.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами.

Тематика дисертації пов'язана з дослідженнями кафедри алгебри і математичної логіки Київського університету імені Тараса Шевченка, а також по темі “Теорія алгебраїчних систем та їх зображень і її застосування” (номер державної реєстрації 0197U003160).

Мета і задачі дослідження.

- дослідити будову класів спряженості максимальної потужності силівської р-підгрупи та її нормалізатора в групі всіх автоморфізмів скінченного р-дерева висоти n.

- описати нормальну та характеристичну будову нормалізатора силівської р-підгрупи в групі всіх автоморфізмів довільного р-дерева.

- охарактеризувати групи автоморфізмів довільних вінцево-гіллястих підгруп в групі всіх автоморфізмів шарово-однорідного дерева.

Наукова новизна одержаних результатів.

Усі одержані наукові результати є новими. В дисертаційній роботі:

- повністю описано класи спряженості максимальної потужності силівської р-підгрупи групи всіх автоморфізмів скінченного р-дерева висоти n та її нормалізатора в групі автоморфізмів.

- за допомогою поняття “паралелотопічної підгрупи” описано нормальні та характеристичні підгрупи нормалізатора силівської р-підгрупи в групі всіх автоморфізмів скінченного р-дерева, а також замкнені нормальні та характеристичні підгрупи нормалізатора силівської р-підгрупи в групі всіх автоморфізмів нескінченного р-дерева.

- доведено, що група автоморфізмів довільної вінцево-гіллястої підгрупи в групі всіх автоморфізмів шарово-однорідного дерева збігається з її нормалізатором; зокрема група всіх автоморфізмів нескінченного шарово-однорідного дерева є досконалою. Встановлено вінцеву гіллястість і охарактеризовано групи автоморфізмів ряду природних підгруп в групі всіх автоморфізмів шарово-однорідного дерева: підгруп фінітарних та скінченно станових автоморфізмів, силівської р-підгрупи, її нормалізатора.

Практичне значення одержаних результатів.

Результати дисертації є внеском в геометричну теорію груп. Запропоновані методи обчислень можуть бути використані для подальших досліджень різних типів ітерованих вінцевих добутків, групи Кремони та груп ізометрій кореневих і некореневих дерев.

Апробація результатів дисертації.

Результати, отримані в дисертації, доповідалися: на семінарі "Теорія груп та напівгруп" у Київському Університеті імені Тараса Шевченка; на Київському алгебраїчному семінарі, на П'ятій Міжнародній конференції імені академіка М. Кравчука (Київ, 1996), на Третій міжнародній конференції "Групи і групові кільця" (Великий Любінь, Львівська обл., 1996), а також на Першій Міжнародній алгебраїчній конференції, присвяченій пам'яті професора Л. М. Глускіна (Слов'янськ, 1997).

Публікації.

Основні результати дисертації опубліковано в роботах [1-6], з яких 4 статті в фахових виданнях і 2 -- тези конференцій.

Особистий внесок здобувача.

Основні результати викладені в дисертації отримані автором самостійно. Результати спільної статті [1] викладено в підрозділі 3.1. Леми 3.1 і 3.2 з цього підрозділу належать автору, лему 3.3 встановлено співавтором, доцентом Ю. В. Боднарчуком, а доведення теореми 3.4 отримане при рівному вкладі співавторів.

Структура і об'єм роботи.

Дисертаційна робота складається зі вступу, трьох розділів, висновків і списку літератури, викладених на 114 сторінках машинописного тексту. Список літератури містить 46 найменувань.

Автор висловлює щиру подяку своєму науковому керівнику професору Сущанському Віталію Івановичу за постійну увагу і підтримку в роботі.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ

В першому розділі вводяться необхідні поняття та доводяться допоміжні твердження.

В підрозділі 1.1 наводяться необхідні теоретичні відомості про вінцеві добутки груп підстановок та про будову силівських р-підгруп симетричних груп скінченного степеня.

Означення 1. Вінцевим добутком груп підстановок називається напівпрямий добуток групи G на групу F всіх функцій з множини X в H, що задаємься вкладенням , при якому кожному ставимо у відповідність автоморфізм: групи F. Група F називається базисною групою або базою вінцевого добутку W.

Наводяться потрібні для подальшого властивості вінцевого добутку двох груп підстановок. Описується конструкція вінцевого добутку за послідовністю (скінченною або нескінченною) груп підстановок.

Як відомо М. Холл. Теория групп. - Москва: Изд. иностр. лит., 1962. - 468 с. , будь-яка силівська р-підгрупа симетричної групи скінченного степеня розкладається в прямий добуток силівських р-підгруп симетричних груп степенів для деяких n.

Для зображення силівської р-підгрупи симетричної групи степеня використовується запропоноване Л. А. Калужніним Калужнин Л. А. Избранные главы теории групп. - Киев, 1979. - 52 с. табличне зображення, при якому кожен елемент зображується таблицею

В підрозділі 1.2 визначаються група Кремони та група Жонк'єра над скінченним полем. Вводиться до розгляду факторгрупа групи Жонк'єра за ядром дії на афінному просторі вимірності .

Факторгрупу над можна ототожнити з групою наборів вигляду

Група розкладається у напівпрямий добуток підгруп, одна з яких ізоморфна друга -- групі унітрикутних автоморфізмів афінного простору над полем . Остання складається з найможливіших наборів редукованих многочленів вигляду

В випадку маємо і група є нормалізатором в симетричній групі степеня .

На групі визначається передпорядок: для -- висота і-ої координати елемента у сенсі Л. А. Калужніна³.

Означення 9. Підгрупа K групи називається паралелотопічною, якщо для будь-яких з і випливає, що .

Так введене поняття паралелотопічності є узагальненням поняття паралелотопічної підгрупи у випадку , яке відіграє центральну роль при вивченні характеристичних підгруп цієї групи.

В підрозділі 1.3 наводяться необхідні відомості про шарово-однорідні дерева та групи ізометрій цих дерев.

Рівнем (або шаром) номер n називається множина вершин кореневого дерева визначена рівністю

де -- відстань між вершинами та v, що дорівнює довжині з'єднуючого їх шляху.

Рівень номер 0 містить лише корінь дерева.

Будемо говорити, що група автоморфізмів є шарово-транзитивною, якщо вона діє транзитивно на всіх рівнях. Кореневе дерево T називається шарово-однорідним, якщо група всіх автоморфізмів (ізометрій) цього дерева є шарово-транзитивною. Воно називається однорідним, якщо існує таке число k, що для всіх .

Далі в цьому підрозділі наводиться визначення класу гіллястих груп автоморфізмів, введеного до розгляду Р. І. Григорчуком, і розглядаються певні модифікації поняття гіллястості. А саме, вводяться визначення слабо гіллястих та та вінцево-гіллястих груп автоморфізмів невиродженого нескінченного шарово-однорідного кореневого дерева (тобто такого дерева T, що -- нескінченна). Наводяться основні приклади таких груп. Зокрема встановлюється, що вінцево-гіллястими будуть: однорідного дерева T .

Крім цього, в групі природним чином виділяються паралелотопічні підгрупи.

Другий розділ присвячено вивченню будови силівської р-підгрупи групи ізометрій р-дерева та її нормалізатора в цій групі для .

В підрозділі 2.1 описуються класи спряженості максимальної потужності силівської р-підгрупи групи ізометрій скінченного р-дерева висоти n (тобто дерева, в якого рівно n рівнів).

Теорема 2.4. 1. Множина таблиць вигляду містять одночлена , утворює клас спряженості групи найбільшої потужності.

2. Всі класи спряженості найбільшої потужності мають вигляд (1).

Ця теорема дає змогу охарактеризувати класи спряженості максимальної потужності для силівських р-підгруп довільних скінченних симетричних груп. А саме, нехай м -- довільне натуральне число, -- його розклад за основою р. Тоді силівська р-підгрупа симетричної групи має вигляд

Наслідок 2.5. Кожен клас спряженості найбільшої потужності в силівській р-підгрупі симетричної групи має вигляд

В підрозділі 2.2 описуються класи спряженості максимальної потужності нормалізатора силівської р-підгрупи групи автоморфізмів для скінченного р-дерева висоти n (в ). Для цього вводиться поняття рангу кортежа над =.

Означення 20. Рангом кортежа називатимемо найбільше число , для якого існує множина індексів така що для довільного виконується співвідношення Ранг кортежа вважатимемо рівним 0. Рангом групи називатимемо число Ранг легко обчислюється за розкладом числа на прості множники.

Лема 2.6. Нехай розклад числа на прості множники. Тоді

Далі доводиться

Теорема 2.10. 1. Потужність довільного класу спряженості в задовольняє нерівність

2. В групі існують класи спряженості потужності.

Основним результатом цього підрозділу є така теорема

Теорема 2.11. Множина елементів вигляду

для -- довільні многочлени найбільшої висотиутворює клас спряженості найбільшої потужності.

При всі класи спряженості найбільшої потужності мають вигляд (2).

В підрозділі 2.3 описуються нормальні дільники нормалізатора силівської р-підгрупи групи ізометрій скінченного р-дерева висоти n.

Теорема 2.18. Будь-яка нормальна підгрупа групи -- паралелотопічна.

Теорема 2.19. Будь-яка нормальна підгрупа групи розкладається в напівпрямий добуток деякої підгрупи групи та паралелотопічної підгрупи групи .

Нехай . Побудуємо підгрупу , таку що тоді і тільки тоді, коли . Нехай також Глибиною підгрупи K називатимемо найбільше число r таке, що всі елементи з K мають на перших r координатах тотожні перетворення.

Теорема 2.20. Підгрупа K групи глибини r нормальна тоді і тільки тоді, коли K -- паралелотопічна, причому якщо

Нормальна будова групи Жонк'єра в випадку нульової характеристики поля описана Іваненком Н. Л. Iваненко Н.Л. Нормальна будова групи Жонк'єра над полем нульової характеристики// Укр. мат. журнал. - 1994. №6 (46). - с.304-312.

В підрозділі 2.4 узагальнюються результати підрозділу 2.3 на випадок нескінченного р-дерева. Отримане тут твердження є наслідком з попередніх результатів, оскільки легко доводиться, що будь-яка замкнена нормальна підгрупа групи є паралелотопічною і розкладається в напівпрямий добуток деякої підгрупи групи та паралелотопічної підгрупи групи .

Теорема 2.27. Підгрупа K групи глибини r є замкненою нормальною тоді і тільки тоді, коли K -- паралелотопічна.

Третій розділ присвячено вивченню автоморфізмів вінцево-гіллястих груп. В підрозділі 3.1 знайдено групу автоморфізмів нормалізатора силівської р-підгрупи групи ізометрій скінченного р-дерева висоти n для .

Теорема 3.4. Група автоморфізмів є напівпрямим добутком групи внутрішніх автоморфізмів і декартового степеня циклічної групи порядку р Зовнішні автоморфізми з діють на елементах і ,де -- базисна група вінцевого добутку таким чином: причому дія на многочленах з визначається рівністю

Зауважимо, що Боднарчуком Ю. В. Yu. Bodnаrсhuk On аutoмorрhіsмs of bloсk-trіаngulаr рolуnoміаl trаnslаtіon grouрs// Journаl of Pure аnd Aррlіed Algebrа. - 1999. - 137. - р.103-123. встановлено, що всі регулярні автоморфізми групи Жонк'єра, в випадку нульової характеристики поля, є внутрішніми. В підрозділі 3.2 досліджуються вінцево-гіллясті підгрупи групи ізометрій невиродженого нескінченного шарово-однорідного дерева. Сформульована нижче теорема є основним результатом підрозділу.

Теорема 3.7. Нехай R -- вінцево-гілляста підгрупа групи всіх автоморфізмів нескінченного шарово-однорідного дерева T. Тоді В підрозділі 3.3 наведено деякі застосування отриманих вище результатів. З теорем 2.20 та 3.4 як наслідок отримуємо опис характеристичних підгруп групи .

Теорема 3.8. В групі клас характеристичних підгруп збігається з класом нормальних підгруп. Тобто підгрупа K групи глибини r характеристична тоді і тільки тоді, коли K -- паралелотопічна, причому якщо

Подальші результати є прикладами застосування теореми 3.7.

Теорема 3.9. Група всіх автоморфізмів довільного невиродженого нескінченного шарово-однорідного дерева T є досконалою.

Зазначимо, що досконалість групи всіх автоморфізмів однорідного (не кореневого) дерева була встановлена Знойком Д. В. Знойко Д.В. Группы автоморфизмов регулярных деревьев// Мат. СССР Сб. - 1977. - 32. - с.109-115.

Теорема 3.10. Група автоморфізмів групи фінітарних автоморфізмів FA збігається з нормалізатором цієї групи в групі всіх автоморфізмів невиродженого нескінченого шарово-однорідного дерева.

Ця теорема є узагальненням результату Браннера та Сідкі A.M. Brunner, S. Sіdkі On the Autoмorрhіsм Grouр of the One-Rooted Bіnаrу Tree. - Journаl of Algebrа. - 1997. - 195. - р.465-486., які розглянули лише випадок бінарного дерева.

Теорема 3.11. Група автоморфізмів групи скінченно станових автоморфізмів FGA збігається з нормалізатором цієї групи в групі всіх автоморфізмів нескінченного однорідного дерева.

З теореми 3.7 отримується і такий наслідок.

Теорема 3.12. Група збігається з групою автоморфізмів , і є досконалою.

ВИСНОВКИ

В даній роботі вивчається будова груп автоморфізмів скінченних і нескінченних шарово-однорідних дерев, зокрема нормалізатора силівської р-підгрупи групи автоморфізмів скінченного р-дерева.

Описано класи спряженості максимальної потужності, нормальні підгрупи та групу автоморфізмів нормалізатора силівської р-підгрупи групи ізометрій скінченного р-дерева.

Розвинено технічний апарат для дослідження груп ізометрій шарово-однорідних дерев, завдяки чому вдалося довести, що для довільної вінцево-гіллястої групи її група автоморфізмів збігається з нормалізатором цієї групи в групі всіх ізометрій шарово-однорідного дерева, і як наслідок, отримати, що група всіх ізометрій шарово-однорідного дерева є досконалою.

Застосовані в дисертаційній роботі методи обчислень можуть бути використані для подальших досліджень різних типів ітерованих вінцевих добутків, групи Кремони та груп автоморфізмів кореневих і некореневих дерев.

СПИСОК ОПУБЛІКОВАНИХ РОБІТ ЗА ТЕМОЮ ДИСЕРТАЦІЇ

1. Боднарчук Ю.В., Лавренюк Я.В. Група автоморфізмів нормалізатора силівської р-підгрупи симетричної групи // Доповіді НАН України. - 1999. - №7. - с.7-11.

2. Лавренюк Я.В. Автоморфізми вінцево-гіллястих груп// Вісник Київського університету. - 1999. - №1. - с.50-57.

3. Лавренюк Я.В. Класи спряженості групи трикутних автоморфізмів афінного простору над простим скінченним полем// Вісник Київського університету. - 1997. №3. - с.28-36.

4. Lаvrenіuk Yа. On norмаl subgrouрs of Jonkіer grouр// Математичні Студії. - 1997. - Т.8, №2. - с.143-146.

5. Лавренюк Я.В. Класи спряженості в силівських підгрупах симетричних груп//П'ята Міжнародна конференція імені академіка М.Кравчука. - Київ. - 1996. - Тези доповідей. - с.231.

6. Lаvrenіuk Yа. On сonjugасу сlаsses of grouр of аutoмorрhіsмs of the Affіne sрасe over рrімe fіnіte fіeld ()// Міжнародна алгебраїчна конференція, присвячена пам'яті професора Л.М.Глускіна (1922-1985). - Слов'янськ. - 1997. - Тези доповідей. - с.72.

Лавренюк Я. В. Шарово-транзитивні групи автоморфізмів кореневих дерев. -- Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.01.06 -- алгебра і теорія чисел. -- Київський університет імені Тараса Шевченка, Київ, 2000.

Дисертацію присвячено дослідженню груп автоморфізмів шарово-однорідних дерев. Охарактеризовано класи спряженості максимальної потужності силівської р-підгрупи та її нормалізатора в групі всіх автоморфізмів скінченного р-дерева висоти n.

Описано нормальну та характеристичну будову нормалізатора силівської р-підгрупи в групі всіх автоморфізмів довільного (скінченного чи нескінченного) р-дерева. Описано групи автоморфізмів довільних вінцево-гіллястих підгруп групи автоморфізмів шарово-однорідного дерева. Встановлено вінцеву гіллястість і охарактеризовано групи автоморфізмів ряду природних підгруп в групі всіх автоморфізмів шарово-однорідного дерева: підгруп фінітарних та скінченно станових автоморфізмів, силівської р-підгрупи, її нормалізатора.

Ключові слова: силівська р-підгрупа, клас спряженості, нормальна будова, шарово-однорідне дерево, група автоморфізмів.

Lаvrenіuk Yа. V. Level trаnsіtіve аutoмorрhіsм grouрs of rooted trees. -- Mаnusсrірt.

Thesіs of а dіssertаtіon for obtаіnіng the degree of а саndіdаte of sсіenсes іn рhуsісs аnd маtheмаtісs, sрeсіаlіtу 01.01.06 -- аlgebrа аnd nuмber theorу. -- Kуіv Tаrаs Shevсhenko Unіversіtу, Kуіv, 2000.

The dіssertаtіon іs devoted to іnvestіgаtіon of аutoмorрhіsм grouрs of level goмogeneous trees. The сonjugасу сlаsses of маxімаl sіze of the Sуlow р-subgrouр of the full аutoмorрhіsм grouр of fіnіte р-tree of heіght n аnd іts norмаlіzer іn the аutoмorрhіsм grouр аre сhаrасterіzed. Norмаl аnd сhаrасterіstісаl subgrouрs іn norмаlіzer of subgrouр аre desсrіbed. The аutoмorрhіsм grouр of аnу wreаth brаnсh subgrouр of аutoмorрhіsм grouр of level hoмogeneous tree аre аlso desсrіbed. In раrtісulаr the аutoмorрhіsмs of the full аutoмorрhіsм grouр, іts subgrouр of fіnіte stаte аutoмorрhіsмs аnd norмаlіzer of the аre іnvestіgаted.

Keу words: Sуlow р-subgrouр, сonjugасу сlаss, norмаl subgrouр, level hoмogeneous tree, аutoмorрhіsм grouр.

Лавренюк Я. В. Слойно-транзитивные группы автоморфизмов корневых деревьев. -- Рукопись. Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.01.06 -- алгебра и теория чисел. -- Киевский университет имени Тараса Шевченко, Киев, 2000.

Диссертация посвящена изучению групп автоморфизмов слойно-однородных деревьев. Характеризированы классы сопряженности наибольшей мощности силовской р-подгруппы и её нормализатора в группе всех автоморфизмов конечного р-дерева высоты n. С помощью понятия “параллелотопической подгруппы” описаны нормальные и характеристические подгруппы нормализатора силовской р-подгруппы в группе всех автоморфизмов конечного р-дерева, а также замкнутые нормальные и характеристические подгруппы нормализатора силовской р-подгруппы в группе всех автоморфизмов бесконечного р-дерева. Установлено, что в конечном случае классы нормальных и характеристических подгрупп совпадают, хотя группа и имеет внешние автоморфизмы. В случае бесконечного р-дерева установлено, что эта группа -- совершенна. Также описаны группы автоморфизмов произвольных веночно-ветвящихся подгрупп группы автоморфизмов слойно-однородного дерева. Установлено, что все автоморфизмы любой веночно-ветвящейся подгруппы индуцируются элементами её нормализатора в группе всех автоморфизмов слойно-однородного дерева. Также установлено веночную ветвистость и описано группы автоморфизмов ряда естественных подгрупп в группе всех автоморфизмов слойно-однородного дерева: подгрупп финитарных автоморфизмов и автоморфизмов с конечным числом состояний, силовской р-подгруппы, её нормализатора.

Ключевые слова: силовская р-подгруппа, класс сопряженности, нормальная подгруппа, слойно-однородное дерево, группа автоморфизмов.

Размещено на Allbest.ru

...