Основы теории случайных ошибок и методов оценки случайных погрешностей в измерениях
Анализ случайных погрешностей, дающих возможность с определенной гарантией вычислить действительное значение измеренной величины и оценить ее ошибки. Интервальная оценка с помощью доверительной вероятности. Определение минимального количества измерений.
| Рубрика | Математика |
| Вид | лекция |
| Язык | русский |
| Дата добавления | 23.02.2014 |
| Размер файла | 183,8 K |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
18
Размещено на http://www.allbest.ru/
Основы теории случайных ошибок и методов оценки случайных погрешностей в измерениях
Введение
Анализ случайных погрешностей основывается на теории случайных ошибок, дающей возможность с определенной гарантией вычислить действительное значение измеренной величины и оценить возможные ошибки.
Основу теории случайных ошибок составляют следующие предположения:
при большом числе измерений случайные погрешности одинаковой величины, но разного знака встречаются одинаково часто;
большие погрешности встречаются реже, чем малые (вероятность появления погрешности уменьшается с ростом ее величины);
при бесконечно большом числе измерении истинное значение измеряемой величины равно среднеарифметическому значению всех результатов измерений;
появление того или иного результата измерения как случайного события описывается нормальным законом распределения.
На практике различают генеральную и выборочную совокупность измерений.
Под генеральной совокупностью подразумевают все множество возможных значений измерений или возможных значений погрешностей .
Для выборочной совокупности число измерений ограничено, и в каждом конкретном случае строго определяется. Считают, что, если , то среднее значение данной совокупности измерений достаточно приближается к его истинному значению.
1. Интервальная оценка с помощью доверительной вероятности
Для большой выборки и нормального закона распределения общей оценочной характеристикой измерения являются дисперсия и коэффициент вариации :
; . (1.1)
Дисперсия характеризует однородность измерения. Чем выше , тем больше разброс измерений.
Коэффициент вариации характеризует изменчивость. Чем выше , тем больше изменчивость измерений относительно средних значений.
Для оценки достоверности результатов измерений вводятся в рассмотрение понятия доверительного интервала и доверительной вероятности.
Доверительным называется интервал значений , в который попадает истинное значение измеряемой величины с заданной вероятностью.
Доверительной вероятностью (достоверностью) измерения называется вероятность того, что истинное значение измеряемой величины попадает в данный доверительный интервал, т.е. в зону . Эта величина определяется в долях единицы или в процентах
,
где - интегральная функция Лапласа (табл.1.1)
Интегральная функция Лапласа определяется следующим выражением:
.
Аргументом этой функции является гарантийный коэффициент:
. (1.2)
Таблица 1.1 Интегральная функция Лапласа
|
t |
PД |
t |
PД |
t |
PД |
t |
PД |
T |
PД |
|
0,000,050,100,150,200,250,300,350,40 |
0,00000,03990,07970,11920,15850,19740,23570,27370,3408 |
0,450,500,550,600,650,700,750,800,85 |
0,34730,38290,41770,45150,48430,51610,54670,57630,6074 |
0,900,951,001,051,101,151,201,251,30 |
0,63190,65790,68270,70630,72870,74190,76990,78870,8064 |
1,351,401,451,501,551,601,651,701,75 |
0,82300,83850,85290,86640,87890,89040,90110,91090,9199 |
1,801,851,901,952,002,252,503,004,00 |
0,92810,93570,94260,94880,95450,97560,98760,99730,9999 |
Если же на основе определенных данных установлена доверительная вероятность (часто ее принимают равной ), то устанавливается точность измерений (доверительный интервал ) на основе соотношения
.
Половина доверительного интервала равна
, (1.3)
где - аргумент функции Лапласа, если (табл.1.1);
- функции Стьюдента, если (табл.1.2).
Таким образом, доверительный интервал характеризует точность измерения данной выборки, а доверительная вероятность - достоверность измерения.
Пример
Выполнено измерений прочности дорожного покрытия участка автомобильной дороги при среднем модуле упругости и вычисленном значении среднеквадратического отклонения .
Необходимо определить требуемую точность измерений для разных уровней доверительной вероятности , приняв значения по табл.1.1.
В этом случае соответственно |
Следовательно, для данного средства и метода измерений доверительный интервал возрастает примерно в раза, если увеличить только на .
Таблица 1.2 Коэффициент Стьюдента
|
n |
сД |
||||||
|
0,80 |
0,90 |
0,95 |
0,99 |
0,995 |
0,969 |
||
2345678910121416182030405060? |
3,0801,8861,6381,5331,4761,4401,4151,3971,3831,3631,3501,3411,3331,3281,3161,3061,2981,2901,282 |
6,312,922,352,132,021,941,901,861,831,801,771,751,741,731,701,681,681,671,64 |
12,714,3003,1882,772,572,452,362,312,262,202,162,132,112,092,042,022,012,001,96 |
63,709,925,844,604,033,713,503,363,253,113,012,952,902,862,752,702,682,662,58 |
127,3014,107,505,604,774,324,033,833,693,503,373,293,223,173,203,123,093,062,81 |
637,2031,6012,948,616,869,965,405,044,784,494,224,073,963,883,653,553,503,463,29 |
Пример
Определить достоверность измерений для установленного доверительного интервала .
По формуле (1.2) имеем:
.
По табл.1.1 для определяем .
Это означает, что в заданный доверительный интервал из измерений не попадают только .
Значение называют уровнем значимости. Из него следует, что при нормальном законе распределения погрешность, превышающая доверительный интервал, будет встречаться один раз из измерений, где
. (1.4)
Это означает, что приходится браковать одно из измерений.
По данным приведенных выше примеров можно вычислить количество измерений, из которых одно измерение превышает доверительный интервал.
Если , то по формуле (1.4) определяется измерений.
Если равна и , соответственно и измерений.
2. Определение минимального количества измерений
Для проведения опытов с заданной точностью и достоверностью необходимо знать то количество измерений, при котором экспериментатор уверен в положительном исходе.
В связи с этим одной из первоочередных задач при статистических методах оценки является установление минимального, но достаточного числа измерении для данных условий.
Задача сводится к установлению минимального объема выборки (числа измерении) при заданных значениях доверительного интервала и доверительной вероятности .
При выполнении измерений необходимо знать их точность:
, (2.1)
где - среднеарифметическое значение среднеквадратического отклонения .
Значение часто называют средней ошибкой.
Доверительный интервал ошибки измерения определяется выражением
.
С помощью легко определить доверительную вероятность ошибки измерений по табл.1.1.
В исследованиях часто по заданной точности и доверительной вероятности измерения определяют минимальное количество измерений, гарантирующих требуемые значения и .
При получаем
, (2.2)
Для определения может быть принята такая последовательность вычислений.
1. Проводится предварительный эксперимент с количеством измерений , которое составляет в зависимости от трудоемкости опыта от до .
2. Вычисляется среднеквадратическое отклонение по формуле (1.1).
3. В соответствии с поставленными задачами эксперимента устанавливается требуемая точность измерений , которая не должна превышать точности прибора.
4. Устанавливается нормированное отклонение , значение которого обычно задается (зависит также от точности метода).
5. По формуле (2.2) определяют и в дальнейшем в процессе эксперимента число измерений не должно быть меньше .
Пример
При приемке сооружений комиссия в качестве одного из параметров замеряет их ширину. Согласно инструкции требуется выполнять измерений. Допускаемое отклонение параметра . Если предварительно вычисленное значение , то можно определить, с какой достоверностью комиссия оценивает данный параметр.
Из формулы (2.2) можно записать
.
В соответствии с табл.10.1 доверительная вероятность для .
Это низкая вероятность.
Погрешность, превышающая доверительный интервал , согласно выражению (1.4) будет встречаться один раз из , т.е. из четырех измерений. Это недопустимо.
В связи с этим необходимо вычислить минимальное количество измерений с доверительной вероятностью , равной и .
По формуле (2.2) имеем измерения при и измерения при , что значительно превышает установленные измерений.
Для нахождения границы доверительного интервала при малых значениях () применяют метод, предложенный в 1908 г. английским математиком Госсетом В.С. (псевдоним Стьюдент).
Кривые распределения Стьюдента в случае (практически при ) переходят в кривые нормального распределения (рис.10.1).
Рис.2.1. Кривые распределения Стьюдента для различных значений: 1 - при ; 2 - при ; 3 - при
Для малой выборки доверительный интервал
, (2.3)
где - коэффициент Стьюдента, принимаемый по табл.1.2
в зависимости от значения доверительной вероятности .
Зная , можно вычислить действительное значение изучаемой величины для малой выборки
. (2.4)
Возможна и иная постановка задачи.
По известных измерений малой выборки необходимо определить доверительную вероятность при условии, что погрешность среднего значения не выйдет за пределы .
Задачу решают в такой последовательности:
1. Вначале вычисляется среднее значение , и .
2. С помощью величины , известного и табл.1.2 определяют доверительную вероятность.
В процессе обработки экспериментальных данных следует исключить грубые ошибки ряда. Появление этих ошибок вполне вероятно, а наличие их ощутимо влияет на результат измерений. Однако прежде чем исключить то или иное измерение, необходимо убедиться, что это действительно грубая ошибка, а не отклонение вследствие статистического разброса.
Известно несколько методов определения грубых ошибок статистического ряда. Наиболее простым способом исключения из ряда резко выделяющегося измерения является правило "трех сигм": разброс случайных величин от среднего значения не должен превышать
. (2.5)
Более достоверными являются методы, базируемые на использовании доверительного интервала.
Пусть имеется статистический ряд малой выборки, подчиняющийся закону нормального распределения. При наличии грубых ошибок критерии их появления вычисляются по формулам
; , (2.6)
где - наибольшее и наименьшее значения из измерений.
В табл.2.1 приведены максимальные значения , возникающие вследствие статистического разброса, в зависимости от доверительной вероятности.
Если , то значение необходимо исключить из статистического ряда как грубую погрешность.
Если исключается величина .
После исключения грубых ошибок определяют новые значения и из или измерений.
Таблица 2.1 Критерий появления грубых ошибок
|
n |
вmax при сд |
n |
вmax при сд |
n |
вmax при сд |
|||||||
|
0.90 |
0.95 |
0,99 |
0,90 |
0,95 |
0,99 |
0,90 |
0,95 |
0,99 |
||||
|
3 4 5 6 7 8 9 10 |
1,41 1,64 1,79 1,89 1,97 2,04 2,10 2,15 |
1,41 1,69 1,87 2,00 2,09 2,17 2,24 2,29 |
1,41 1,72 1,96 2,13 2,26 2,37 2,46 2,54 |
11 12 13 14 15 16 17 18 |
2,19 2,23 2,26 2,30 2,33 2,35 2,38 2,40 |
2,34 2,39 2,43 2,46 2,49 2,52 2,55 2,58 |
2,61 2,66 2,71 2,76 2,80 2,84 2,87 2,90 |
19 20 25 30 35 40 45 50 |
2,43 2,45 2,54 2,61 2,67 2,72 2,76 2,80 |
2,60 2,62 2,72 2,79 2,85 2,90 2,95 2,99 |
2,93 2,96 3,07 3,16 3,22 3,28 3,33 3,37 |
Второй метод установления грубых ошибок основан на использовании критерия Романовского В.И. и применим также для малой выборки.
Методика выявления грубых ошибок сводится к следующему.
1. Задаются доверительной вероятностью и по табл.2.2 в зависимости от находится коэффициент .
2. Вычисляют предельно допустимую абсолютную ошибку отдельного измерения
. (2.7)
Если , то измерение исключают из ряда наблюдений.
В случае более глубокого анализа экспериментальных данных рекомендуется такая последовательность:
1. После получения экспериментальных данных в виде статистического ряда его анализируют и исключают систематические ошибки.
2. Анализируют ряд в целях обнаружения грубых ошибок и промахов:
устанавливают подозрительные значения или ;
определяют среднеквадратичное отклонение ;
вычисляют по (2.6) критерии и сопоставляют с , исключают при необходимости из статистического ряда или и получают новый ряд из новых членов.
3. Вычисляют среднеарифметическое , погрешности отдельных измерений и среднеквадратичное очищенного ряда .
4. Находят среднеквадратичное серии измерений, коэффициент вариации .
5. При большой выборке задаются доверительной вероятностью или уравнением значимости и по табл.1.1 определяют .
6. При малой выборке () в зависимости от принятой доверительной вероятности и числа членов ряда принимают коэффициент Стьюдента ; с помощью формулы (1.2) для большой выборки или (2.3) для малой выборки определяют доверительный интервал.
Таблица 2.2
|
n |
Значение q при сд |
n |
Значение q при сд |
|||||||
|
0,95 |
0,98 |
0,99 |
0,995 |
0,95 |
0,98 |
0,99 |
0,995 |
|||
|
2 3 4 5 6 7 8 9 |
15,56 4,97 3,56 3,04 2,78 2,62 2,51 2,43 |
38,97 8,04 5,08 4,10 3,64 3,36 3,18 3,06 |
77,96 11,46 6,58 5,08 4,36 3,96 3,71 3,54 |
779,7 36,5 14,46 9,43 7,41 6,37 5,73 5,31 |
10 12 14 16 18 20 22 |
2,37 2,29 2,24 2,20 2,17 2,15 1,96 |
2,96 2,83 2,74 2,68 2,64 2,60 2,33 |
3,41 3,23 3,12 3,04 3,00 2,93 2,58 |
5,01 4,62 4,37 4,20 4,07 3,98 3,29 |
Таблица 2.3
|
xi |
xi-? |
xi-?' |
(xi-?')2 |
xi |
xi-? |
xi-?' |
(xi-?')2 |
|
|
67 67 68 68 69 70 71 73 74 75 |
-8 -8 -7 -7 -6 -5 -4 -2 -1 0 |
-7.83 -7.83 -6.83 -6.83 -5.83 -4.83 -3.83 -1.83 -0.83 +0.17 |
64 64 49 49 36 25 16 4 1 0 |
76 77 78 79 80 81 82 92 ?=74.83 |
+1 +2 +3 +4 +5 +6 +7 +17 У=-3 |
+1.17 +2.17 +3.17 +4.17 +5.17 +6.17 +7.17 +17.27 Проверка -46,5+46,5 |
1 4 9 16 25 36 49 283 У=737 |
7. Устанавливают по (2.4) действительное значение исследуемой величины.
8. Оценивают относительную погрешность () результатов серии измерений при заданной доверительной вероятности :
. (2.8)
Если погрешность серии измерений соизмерима с погрешностью прибора , то границы доверительного интервала
. (2.9)
Формулой (2.9) следует пользоваться при .
Если же , то доверительный интервал вычисляют с помощью (1.1) или (2.4).
Пример
Пусть имеется измерений (табл.2.3). Анализ средств и результатов измерений показал, что систематических ошибок в эксперименте не обнаружено. Необходимо выяснить, не содержат ли измерения грубых ошибок.
Если воспользоваться первым методом (критерий ), то надо вычислить среднеарифметическое и отклонение .
При этом удобно пользоваться формулой
,
где - среднее произвольное число.
Если принять то .
В формуле (1.1) значение можно найти упрощенным методом:
.
Используя (1.1), получим
; .
Следовательно
.
Как видно из табл.2.1, при доверительной вероятности и .
Поскольку измерение не является грубым промахом.
Если , то значение следует исключить.
Если применить правило , то
т.е. измерение следует оставить.
В случае, когда измерение исключается,
;
Среднеквадратичное отклонение для всей серии измерений
при .
При очищенном ряде
.
Поскольку , ряд следует отнести к малой выборке, и доверительный интервал вычисляется с применением коэффициента Стьюдента .
По табл.1.2 принимается доверительная вероятность и тогда
при ;
при .
Доверительный интервал
при ;
при .
Действительное значение измеряемой величины:
при ;
при .
Относительная погрешность результатов серии измерений:
при ;
при .
Таким образом, если принять за грубый промах, то погрешность измерения уменьшается с до т.е. на .
Если необходимо вычислить минимальное количество измерений при заданной точности, проводят серию опытов, вычисляют , затем с помощью формулы (2.2) определяют .
В рассмотренном случае .
Пусть задана точность и при доверительной вероятности и .
Тогда
при ;
при .
Таким образом, требование повышения точности измерения (но не выше точности прибора) приводит к значительному увеличению повторяемости опытов.
Выше были рассмотрены общие методы проверки экспериментальных измерений на точность и достоверность.
Ответственные эксперименты должны быть проверены и на воспроизводимость результатов, т.е. на их повторяемость в определенных пределах измерений с заданной| доверительной достоверностью.
Суть такой проверки сводится к следующему.
1. Для каждой серии вычисляется среднеарифметическое значение ( - число измерений одной серии, принимаемое обычно равным ).
2. Далее вычисляют дисперсию .
3. Чтобы оценить воспроизводимость, рассчитывают критерий Кохрена (расчетный):
, (2.10)
случайный погрешность доверительный вероятность
где - наибольшее значение дисперсий из числа рассматриваемых
параллельных серий ;
- сумма дисперсий серий.
Опыты считаются воспроизводимыми при
, (2.11)
где - табличное значение критерия Кохрена (табл.2.4).
Таблица 2.4 Критерий Кохрена при
|
m |
q=n-1 |
||||||||||
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
8 |
10 |
16 |
36 |
||
|
2 3 4 5 6 7 8 9 10 12 15 20 24 30 40 60 120 |
0.99 0.97 0.90 0.84 0.78 0.72 0.68 0.64 0.60 0.57 0.47 0.39 0.34 0.29 0.24 0.17 0.09 |
0.97 0.93 0.76 0.68 0.61 0.56 0.51 0.47 0.44 0.39 0.33 0.27 0.29 0.20 0.16 0.11 0.06 |
0.93 0.79 0.68 0.60 0.53 0.48 0.43 0.40 0.37 0.32 0.27 0.22 0.19 0.16 01.2 0.08 0.04 |
0.90 0.74 0.62 0.54 0.48 0.43 0.39 0.35 0.33 0.29 0.24 0.19 0.16 0.14 0.10 0.07 0.04 |
0.87 0.70 0.59 0.50 0.44 0.39 0.36 0.33 0.30 0.26 0.22 0.17 0.15 0.12 0.09 0.06 0.03 |
0.85 0.76 0.56 0.48 0.42 0.37 0.33 0.30 0.28 0.24 0.20 0.16 0.14 0.11 0.08 0.06 0.03 |
0.81 0.63 0.51 0.44 0.38 0.34 0.30 0.28 0.25 0.22 0.18 0.14 0.12 0.10 0.07 0.05 0.02 |
0.78 0.60 0.48 0.41 0.35 0.31 0.28 0.25 0.23 0.20 0.17 0.13 0.11 0.09 0.07 0.05 0.02 |
0.73 0.54 0.43 0.36 0.31 0.27 0.24 0.22 0.20 0.17 0.14 0.11 0.09 0.07 0.06 0.04 0.02 |
0.66 0.47 0.36 0.26 0.25 0.23 0.20 0.18 0.16 0.14 0.11 0.08 0.07 0.06 0.04 0.02 0.01 |
Здесь - число серий опытов;
- число измерений в серии;
- число степеней свободы.
Таблица 2.5 Результаты измерений прочности грунта
|
Серии опытов |
Измерение величины и повторности |
Вычисленные |
||||||
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
Di |
|||
123 |
798 |
978 |
687 |
869 |
458 |
6.87.08.0 |
2.962.00.4 |
Пример
Пусть проведено три серии опытов по измерению прочности грунта (табл.2.5).
В каждой серии выполнялось по пять измерений (повторностей).
Тогда по формуле (2.10)
.
Вычислим число степеней свободы
.
Для и согласно табл.2.4 значение критерия Кохрена .
Так как , то измерения в эксперименте следует считать воспроизводимыми. Если бы оказалось наоборот, т.е. , то необходимо было бы увеличить число серий или число измерений .
Размещено на Allbest.ru
...Подобные документы
Характеристика и особенности основных типов погрешностей, возникающих при численном решении математических и прикладных задач: задачи, метода, округлений. Понятие и причины возникновения погрешностей измерений. Описание случайных погрешностей, моменты.
контрольная работа [143,9 K], добавлен 13.01.2012Описание случайных ошибок методами теории вероятностей. Непрерывные случайные величины. Числовые характеристики случайных величин. Нормальный закон распределения. Понятие функции случайной величины. Центральная предельная теорема. Закон больших чисел.
реферат [146,5 K], добавлен 19.08.2015Обоснование оценок прямых и косвенных измерений и их погрешностей. Введение доверительного интервала в асимптотическом приближении бесконечно большого числа экспериментов. Вычисление коэффициента корреляции для оценки зависимости случайных величин.
реферат [151,5 K], добавлен 19.08.2015Дискретные системы двух случайных величин. Композиция законов распределения, входящих в систему. Определение вероятности попадания случайной величины в интервал; числовые характеристики функции; математическое ожидание и дисперсия случайной величины.
контрольная работа [705,1 K], добавлен 22.11.2013Исследование методов определения погрешностей и статистической оценки распределений. Построение эмпирической функции, определяющей частность события для каждого значения случайной величины. Расчеты по заданной выборке, ее анализ и определение параметров.
курсовая работа [323,0 K], добавлен 13.01.2011Классическое, статистическое и геометрическое определения вероятности. Дискретные случайные величины и законы их распределения. Числовые характеристики системы случайных величин. Законы равномерного и нормального распределения систем случайных величин.
дипломная работа [797,0 K], добавлен 25.02.2011Понятие корреляционного момента двух случайных величин. Математическое ожидание произведения независимых случайных величин Х и У. Степень тесноты линейной зависимости между ними. Абсолютное значение коэффициента корреляции, его расчет и показатель.
презентация [92,4 K], добавлен 01.11.2013Сходимость последовательностей случайных величин. Центральная предельная теорема для независимых одинаково распределенных случайных величин. Основные задачи математической статистики, их характеристика. Проверка гипотез по критерию однородности Смирнова.
курсовая работа [1,6 M], добавлен 13.11.2012События и случайные величины. Функция распределения и ее характерные свойства. Сущность и определение основных числовых характеристик случайных величин: математическое ожидание, дисперсия, моменты. Критерии и факторы, влияющие на их формирование.
контрольная работа [118,5 K], добавлен 30.01.2015Решение задач по определению вероятностных и числовых характеристик случайных явлений с обоснованием и анализом полученных результатов. Определение вероятности, среднего значения числа, надежности системы, функции распределения, математического ожидания.
курсовая работа [227,6 K], добавлен 06.12.2010Построение гистограммы и полигона по данным измерений. Статистический ряд распределения температур. Проверка нормальности распределения по критерию Пирсона. Определение погрешности средства измерений. Отсев аномальных значений. Интервальная оценка.
курсовая работа [150,5 K], добавлен 25.02.2012Классификация случайных событий. Функция распределения. Числовые характеристики дискретных случайных величин. Закон равномерного распределения вероятностей. Распределение Стьюдента. Задачи математической статистики. Оценки параметров совокупности.
лекция [387,7 K], добавлен 12.12.2011Математическое ожидание случайной величины. Свойства математического ожидания, дисперсия случайной величины, их суммы. Функция от случайных величин, ее математическое ожидание. Коэффициент корреляции, виды сходимости последовательности случайных величин.
лекция [285,3 K], добавлен 17.12.2010Понятие и направления исследования случайных величин в математике, их классификация и типы: дискретные и непрерывные. Их основные числовые характеристики, отличительные признаки и свойства. Законы распределения случайных величин, их содержание и роль.
презентация [1,4 M], добавлен 19.07.2015Теория вероятностей — раздел математики, изучающий закономерности случайных явлений: случайные события, случайные величины, их свойства и операции над ними. Методы решения задач по теории вероятности, определение математического ожидания и дисперсии.
контрольная работа [157,5 K], добавлен 04.02.2012Бесконечное число возможных значений непрерывных случайных величин. Рассмотрение непрерывной случайной величины Х с функцией распределения F(x). Кривая, изображающая плотность вероятности. Определение вероятности попадания на участок a до b через f(x).
презентация [64,0 K], добавлен 01.11.2013Алгебраический расчет плотности случайных величин, математических ожиданий, дисперсии и коэффициента корреляции. Распределение вероятностей одномерной случайной величины. Составление выборочных уравнений прямой регрессии, основанное на исходных данных.
задача [143,4 K], добавлен 31.01.2011Понятие доверительной вероятности и доверительного интервала и его границ. Закон распределения оценки. Построение доверительного интервала, соответствующего доверительной вероятности для математического ожидания. Доверительный интервал для дисперсии.
презентация [124,9 K], добавлен 01.11.2013Основные понятия, действия над случайными событиями. Классическое определение, свойства вероятностей. Правила вычисления вероятностей случайных событий. Построение законов распределения вероятностей случайных величин, вычисление числовых характеристик.
задача [82,0 K], добавлен 12.02.2011Вероятность совместного выполнения двух неравенств в системе двух случайных величин. Свойства функции распределения. Определение плотности вероятности системы через производную от соответствующей функции распределения. Условия закона распределения.
презентация [57,9 K], добавлен 01.11.2013
