Выборочные наблюдения

2

Размещено на http://www.allbest.ru/

ВЫБОРОЧНЫЕ НАБЛЮДЕНИЯ

1. Определение необходимого объема выборки

выборка совокупность коэффициент

При проектировании выборочного наблюдения возникает вопрос о необходимой численности выборки. Эта численность может быть определена на базе допустимой ошибки при выборочном наблюдений исходя из вероятности, на основе которой можно гарантировать величину устанавливаемой ошибки, и, наконец, на базе способа отбора.

Рассмотрим вначале величину необходимой численности в общем виде.

Формула необходимой численности выборки для разных способов отбора выводится из формулы предельной ошибки выборки.

Необходимая численность выборки рассчитывается по-разному для выборочного наблюдения, в котором устанавливается средний размер признака в совокупности, и для наблюдения, в котором определяется доля единиц, обладающих данным признаком, в силу различных методов вычисления меры колеблемости для варьирующего и альтернативного признаков.

В частности, необходимая численность случайной повторной выборки определяется по формуле

, (1.1)

которая вытекает из формулы предельной ошибки:.

Эта формула показывает, что с увеличением предполагаемой ошибки выборки значительно уменьшается необходимый объем выборки. Так, увеличение допустимой ошибки выборки в раза уменьшает необходимый ее объем в раза.

На практике определение необходимого объема выборки часто составляет серьезную проблему. Она связана, в частности, с недостаточной разработанностью таких вопросов, как оценка вариации изучаемых признаков, обоснование численности выборки при изучении нескольких признаков, зависимость объема выборочной совокупности от программы разработки материалов наблюдения и др.

Трудности порождаются и тем, что кроме чисто статистических в определении необходимой численности выборочной совокупности большое значение принадлежит факторам организационного порядка, которые должны быть обязательно учтены. К ним относятся, например, обеспеченность обследования ресурсами, длительность обработки и срочность представления результатов.

Одним из наиболее важных и в то же время сложных вопросов определения необходимого объема выборки в исследованиях является расчет показателя вариации изучаемого признака ().

При подготовке выборочного наблюдения у его организаторов часто отсутствуют необходимые для этих вычислений данные. Основой оценки степени колеблемости изучаемого признака служат, как правило, материалы предыдущих обследований. Обращение к ним при отсутствии какой-либо другой информации вполне оправданно. Однако следует иметь в виду, что использование данных прошлых обследований имеет смысл только тогда, когда за прошедший до нового обследования период в генеральной совокупности не произошло значительных изменений. I

Во многих случаях более точное представление об изучаемой совокупности, в том числе о вариации интересующих исследователя признаков, может дать пробное обследование. По его данным рассчитываются среднее квадратическое отклонение и дисперсию для последующего обоснования необходимого объема выборки.

Если же мера колеблемости признака неизвестна, то ее можно найти приближенно по величине предполагаемого размаха или среднего линейного отклонения по следующим формулам:



и (1.2)

где - среднее квадратическое отклонение;

- размах вариации;

- среднее линейное отклонение.

Важным условием практического использования этих формул является близость фактического распределения к нормальному.

При статистическом исследовании социально-экономических явлений очень часто приходится сталкиваться с качественными признаками, причем именно по ним нередко проводится расчет необходимого объема выборочной совокупности.

Таблица 1.1 Необходимый объем выборки для некоторых способов формирования выборочной совокупности

Вид выборочного наблюдения	Повторный отбор	Бесповторный отбор
Собственно-случайная выборка:
А) при определении среднего размера признака
Б) при определении доли признака
Механическая выборка	То же	То же
Типическая выборка:
А) при определении среднего размера признака
Б) при определении доли признака
Серийная выборка:
А) при определении среднего размера признака
Б) при определении доли признака

Способ выражения качественных признаков не позволяет рассчитать по ним средние значения, поэтому оценка колеблемости производится, как правило, исходя из долей единиц, обладающих значениями этих признаков, т.е. выборочных долей.

Выборочная доля также называется частостью.

Если расчет проводится по качественному альтернативному признаку и неизвестна его доля в генеральной совокупности (хотя бы приблизительно), рекомендуется принять ее равной , так как дисперсия доли достигает максимума: при .

Преимущество такого приема заключается в том, что он позволяет определить численность выборочной совокупности, не располагая данными предыдущих обследований, и не проводить пробных обследований.

Если же качественный признак, по которому определяется необходимая численность выборочной совокупности, не является альтернативным, то использовать формулу нельзя.

В ряде случаев приближенная оценка колеблемости может быть осуществлена с помощью превращения изучаемого признака в альтернативный.

Например, все категории работников предприятия можно условно разделить в зависимости от принадлежности работающих к рабочим и служащим. Однако при этом следует учитывать, что такое деление неизбежно приведет к потере некоторой части информации. Ведь существуют отдельные категории работников (МОП, охрана и др.), которые выделяются в самостоятельные группы. Поэтому применять описанный выше прием можно лишь при условии, что существует уверенность в незначительной доле неучтенных единиц во всей совокупности.

Приведем формулы необходимого объема выборки для наиболее часто используемых на практике способов формирования выборочной совокупности (табл. 1.1).

Рассмотрим несколько примеров расчета объема выборки при различных способах отбора.

Пример 1

В микрорайоне проживает семей.

В порядке случайной бесповторной выборки предполагается определить средний размер семьи при условии, что ошибка выборочной средней не должна превышать человека с вероятностью и при среднем квадратическом отклонении человека (ошибка и среднее квадратическое отклонение определены на основе пробного обследования).

При

семей

Пример 2

Для определения средней длины детали следует провести выборочное обследование методом случайного повторного отбора. Какое количество деталей надо отобрать, чтобы ошибка выборки не превышала 3 мм с вероятностью 0,997 при среднем квадратическом отклонении 6 мм?*

При t = 3 и Р = 0,997 объем выборки рассчитывается следующим образом:

деталей.

Пример 3

В фермерских хозяйствах области 10 000 коров. Из них в районе А-5000, в районе Б-3000, в районе В-2000. С целью определения средней удойности предполагается провести типическую выборку коров с пропорциональным отбором внутри групп (механическим).

Какое количество коров следует отобрать, чтобы с вероятностью 0,954 ошибка выборки не превышала 5 л, если на основе предыдущих обследований известно, что дисперсия типической выборки равна 1600?

Рассчитаем необходимую численность типической выборки:

.

Необходимо отобрать 250 коров, из них:

в районе А:;

в районе Б:;

в районе В:.

Ошибка и среднее квадратическое отклонение заданы исходя из технических нормативов.

Пример 4

На склад АО «Машиностроитель» поступило ящиков готовых изделий по шт. в каждом. Для установления среднего веса деталей следует провести серийную выборку деталей методом механического отбора так; чтобы с вероятностей ошибка выборки не превышала г. На основе предыдущих обследований известно, что дисперсия серийной выборки равна . Определить необходимый объем выборки.

.

Подробное рассмотрение вопросов определения дисперсии для нахождения объема выборки не исключает использования в этих целях других показателей вариации.

2. Оценка результатов выборочного наблюдения

Заключительным этапом выборочного наблюдения является распространение его результатов на генеральную совокупность. Однако часто при статистическом изучении социально-экономических явлений этому процессу предшествует оценка результатов наблюдения с точки зрения самой возможности распространения.

Вывод о возможности распространения в значительной степени зависит от качества основы выборки, прежде всего от полноты.

Под полнотой подразумевается наличие или представленность всех типов или групп данной генеральной совокупности в основе выборки.

Неполнота основы может привести к нарушению представительности выборки и, как следствие, к неправильным выводам при анализе данных наблюдения.

Более точной основой суждения о возможности распространения представляется расчет относительной ошибки:

- для средней; (2.1)

- для доли, (2.2)

где - относительная предельная ошибка выборки;

и - предельная ошибка для среднего значения или доли признака;

и - генеральная средняя и доля соответственно.

Суждение о возможности распространения выборочных данных можно составить, если в формулах (2.1) и (2.2) заменить и соответствующими выборочными характеристиками.

Необходимым условием при этом является соответствие плановой и фактической численности и структуры выборочной совокупности. При больших расхождениях использование этого приема может привести к ошибочным суждениям.

Если величина относительной ошибки не превышает заранее установленного для данного обследования предельного значения, то данные выборочного наблюдения являются представительными и могут быть распространены на генеральную совокупность. В противном случае следует попытаться восстановить исходные пропорции генеральной совокупности.

Процесс восстановления пропорций выборки на основе исходной информации о таких пропорциях в генеральной совокупности принято называть корректировкой выборки.

При обработке данных выборочного наблюдения целесообразно использовать два наиболее часто применяемых способа корректировки.

Первый способ ориентирован на группу единиц, которые оказались недостаточно представлены в выборочной совокупности после наблюдения. Формуляры с данными об этих единицах, пригодные для обработки, следует сохранять в полном объеме. На основе сведений о количестве таких формуляров проводятся дополнительные расчеты. Их целью является определение числа хорошо представленных в фактической выборке формуляров остальных групп, часть которых необходимо исключить из обработки для сохранения пропорций генеральной совокупности.

Данный способ корректировки, называется методом «отсечения».

Рассмотрим условный пример.

С целью изучения общественного мнения из генеральной совокупности численностью человек было отобрано в порядке типической пропорциональной выборки человек, принадлежащих к различным социальным группам: рабочие, служащие, студенты. При этом в генеральной совокупности было рабочих, служащих и студентов, т.е. пропорция по группам населения составила примерно .

Следовательно, для обеспечения представительности выборки по признаку социального положения требовалось бы получить данные о рабочих, служащих и студентах.

Однако по тем или иным причинам часть анкет не была получена, а другая часть была забракована. В результате пригодными для дальнейшей обработки оказались анкет, заполненных рабочими, - служащими и - студентами. Таким образом, пропорции по различным группам в массиве для обработки составили , что свидетельствует о нарушении структуры генеральной совокупности.

Для проведения корректировки необходимо определить, анкеты какой социальной группы респондентов должны быть сохранены в процессе обработки полностью.

Это можно сделать с помощью относительных величин, вычисляемых для каждой социальной категории как отношение числа пригодных для обработки анкет к общему количеству анкет по данной группе. Результат выражается в долях или процентах.

Расчеты показывают, что наименьшая относительная величина получается по студентам (приблизительно ). Следовательно, формуляры, относящиеся к данной группе населения, необходимо сохранить полностью. Чтобы восстановить реальные пропорции генеральной совокупности, нужно вновь обратиться к ее структуре, выраженной соотношением .

Несложные вычисления показывают, что для сохранения представительности выборки в массиве анкет для дальнейшей обработки должны быть анкеты, заполненные рабочими, -служащими и - студентами.

Таким образом, из дальнейшей обработки следует «отсечь» по анкет, относящихся к рабочим и служащим. Для «отсечения» возможно, пользоваться процедурой случайной выборки.

После «отсечения» следует проверить, как исключение некоторого числа формуляров повлияло на обобщающие показатели фактической выборки.

Для этого вначале следует найти средние по важнейшим показателям в совокупности пригодных для обработки формуляров, включая те, которые затем предполагается «отсечь» Затем те же средние рассчитать по совокупности формуляров, оставшихся после «отсечения», и сравнить полученные результаты.

Для оценки различий средних можно воспользоваться принципами оценки точности выборки.

Если расхождения между средними, рассчитанными до и после «отсечения», не превышают , итоги корректировки считаются вполне удовлетворительными. В противном случае ее целесообразно повторить, исключив из обработки другие формуляры.

Основным достоинством метода «отсечения» является то, что он дает возможность сохранить пропорции генеральной совокупности в массиве данных, на основе которого будут делаться обобщения. Это позволяет формулировать выводы на базе представительных данных.

В то же время корректировка способом «отсечения» имеет существенные недостатки.

Во-первых, «отсечение» приводит к еще большему, если учитывать невозвращенные и забракованные формуляры, уменьшению объема выборки.

Во-вторых, из обработки и анализа исключаются вполне пригодные для исследования формуляры.

В нашем примере «отсекаются» собранных формуляров по группе рабочих и примерно -по группе служащих. Сами по себе эти показатели весьма значительны. Однако и они могут возрасти, если для обработки окажутся пригодными не 10, а, скажем, анкет студентов. Тогда из обработки потребуется исключить из анкет рабочих () и из анкет служащих (около ).

В таких случаях целесообразнее пользоваться способом «взвешивания».

В отличие от первого способа корректировки «взвешивание» дает возможность сохранить в обрабатываемом массиве все или почти все полученные формуляры. Достигается это путем многократного использования при обработке части формуляров. При этом несколько раз используются, как правило, те формуляры, число которых настолько мало, что вызывает необходимость исключения из дальнейшей обработки большого числа для исследования формуляров, относящихся к другим группам. Многократное применение формуляров проводится на основе специально рассчитанных для этой цели «весов».

Метод «взвешивания» наиболее удобно применять при обработке материалов выборочных обследований в случаях высокого процента невозвращенных или забракованных формуляров. Это характерно прежде для почтовых опросов.

Собранные в результате выборочного наблюдения и при необходимости откорректированные данные распространяются на генеральную совокупность.

Существуют два основных метода распространения - прямой пересчет и способ коэффициентов.

Прямой пересчет

Способ прямого пересчета заключается в умножении среднего значения признака, найденного в результате выборочного наблюдения, на объем генеральной совокупности.

Например, на основании выборочного обследования молодых семей требуется оценить потребность в местах в детских яслях.

Известно, что ясли могут посещать дети в возрасте до трех лет. По материалам выборочного обследования следует вычислить среднее число детей этого возраста. Предположим, что оно составляет человека.

Умножив это число на численность генеральной совокупности, получим, что в детских яслях потребуется выделить мест.

Производя такие расчеты, мы считаем, что были обследованы все единицы, попавшие в выборочную совокупность.

Однако в социальных исследованиях объемы фактической и запланированной выборки часто не совпадают, что всегда следует учитывать. Как правило, несоответствие фактической и запланированной выборки приводит, естественно, к неадекватному отражению в выборочных характеристиках, полученных по фактическим данным соответствующих характеристик генеральной совокупности.

Предположим, в нашем примере некоторое число семей по тем или иным причинам не было обследовано. Это привело к снижению объема фактической выборки по сравнению с запланированной.

Среднее число детей, вычисленное по этой «неполной» выборке, составило не , а . Тогда прямой пересчет выборочной характеристики на объем генеральной совокупности даст результат мест.

Абсолютное отклонение от необходимого количества мест при условии охвата обследованием всей выборочной совокупности составит мест, а относительное - приблизительно .

Если же объем генеральной совокупности был бы в раз больше, т.е. семей, то абсолютное отклонение также увеличится в раз и при сохранении тех же различий среднего числа детей составит мест, относительное отклонение при этом не изменится.

Таким образом, размер абсолютного отклонения находится в прямой зависимости от объема генеральной совокупности.

Данный пример показывает: недоучет обстоятельства, при котором на практике объемы фактической и запланированной выборок часто не совпадают, приводит к серьезным ошибкам при использовании распространенных на генеральную совокупность результатов таких исследований.

Руководствуясь данными, рассчитанными на условном примере, пришлось бы принимать ошибочное решение о строительстве дополнительного числа детских учреждений, мест в которых не хватило бы на (или на - в зависимости от объема генеральной совокупности) детей. Но могла возникнуть и обратная ситуация, когда вычисленное по «неполной» выборочной совокупности среднее число детей оказалось бы больше «истинного». В этом случае появились бы «лишние» места.

Данный пример показывает, что результатами выборочного наблюдения необходимо пользоваться осторожно, особенно в случаях, когда их использование связано с большими материальными затратами.

Способ коэффициентов

Данный способ целесообразно использовать в случаях, когда выборочное наблюдение проводится с целью проверки и уточнения данных сплошного наблюдения, в частности численности учтенных единиц совокупности.

При этом следует использовать следующую формулу:

, (2.3)

где - численность совокупности с поправкой на недоучет;

- численность совокупности без этой поправки;

- численность совокупности в контрольные точках по первоначальным

данным;

- численность совокупности в тех же точках по данным контрольных

мероприятий.

Отметим, что цели исследования многих явлений могут быть достигнуты только путем сплошного наблюдения. Поэтому способ проверки результатов сплошного наблюдения на основе коэффициентов успешно применяется в социальной и экономической статистике.

При уточнении данных сплошного наблюдения на основе контрольных выборочных мероприятий определяется так называемая поправка на недоучет.

Метод ее расчета наиболее широко применяется в обследованиях относительно небольших совокупностей, когда их объем не превышает нескольких сотен или тысяч единиц.

Пример

При проведении учета коммерческих палаток в городе было зарегистрировано следующее их количество в районах: . С целью проверки данных сплошного учета проведены контрольные обходы части обследованных районов. Их результаты содержатся в табл. 2.1.

Рассчитанный по каждой категории работников коэффициент недоучета является основой уточнения при распространении данных, полученных при выборочных контрольных мероприятиях, на всю совокупность.

Таблица 2.1 Количество коммерческих палаток в районах города до и после контрольных обходов

Район	Зарегистрировано при сплошном учете	Установлено при контрольном обходе	Коэффициент недоучета
А Б В	400 300 150	420 310 160	1,050 1,033 1,067

В нашем примере количество коммерческих палаток (по данным сплошного учета) следует умножить на рассчитанный для каждого района коэффициент недоучета. В итоге получим результаты, представленные в табл. 2.2.

Таблица 2.2 Уточненные данные учета коммерческих палаток в 13 районах города

	Количество коммерческих палаток в районах города
	А	Б	В
Данные сплошного наблюдения Численность с поправкой на недоучет*	2000 2100	1500 1550	750 800
* Для практических расчетов использовалась формула (8.25)

Применение метода коэффициентов связано, как правило, с использованием выборочного наблюдения с целью проверки данных сплошного наблюдения. Однако это приводит к сознательному ограничению области применения данного метода.

Метод коэффициентов можно использовать для проверки данных выборочного наблюдения, когда необходима очень высокая точность результатов и выборочная совокупность имеет большой объем - порядка нескольких тысяч или десятков тысяч единиц. В таких случаях списки единиц обследованной выборочной совокупности служат основой для отбора единиц в «контрольную» выборку, т.е. производителя выборка из выборки.

Контроль и, если это необходимо, уточнение данных основного обследования проводятся по методике, описанной выше на условном примере. Способ поправочных коэффициентов целесообразно использовать для распространения данных выборочного наблюдения в случаях, если его результаты значительно уступают в точности данным статистической отчетности или точность собранного статистического материала вызывает сомнение.

3. Малая выборка

В процессе оценки степени представительности данных выборочного наблюдения важное значение приобретает вопрос об объеме выборочной совокупности .

От него зависит не только величина пределов, которые с данной вероятностью не превзойдет ошибка выборки, но и способы определения этих пределов.

При большом числе единиц выборочной совокупности () распределение случайных ошибок выборочной средней в соответствии с теоремой Ляпунова нормально или приближается к нормальному по мере увеличения числа наблюдений.

Вероятность выхода ошибки за определенные пределы оценивается на основе таблиц интеграла Лапласа. Расчет ошибки выборки базируется на величине генеральной дисперсии , так как при больших коэффициент n/(n-1), на который для получения генеральной умножается выборочная дисперсия, большой роли не играет.

В практике статистического исследования часто приходится сталкиваться с небольшими по объему так называемыми малыми выборками.

Под малой выборкой понимается такое выборочное наблюдение, численность единиц которого не превышает 30.

Разработка теории малой выборки была начата английским статистиком В.С. Госсетом (печатавшимся под псевдонимом Стьюдент) в 1908 г. Он доказал, что оценка расхождения между средней малой выборки и генеральной средней имеет особый закон распределения.

Для определения возможных пределов ошибки пользуются так называемым критерием Стьюдента, определяемым по формуле

, (3.1)

где - мера случайных колебаний выборочной средней в малой выборке.

Величина вычисляется на основе данных выборочного наблюдения:

. (3.2)

Данная величина используется лишь для исследуемой совокупности, а не в качестве приближенной оценки в генеральной совокупности.

При небольшой численности выборки распределение Стьюдента отличается от нормального: большие величины критерия имеют здесь большую вероятность, чем при нормальном распределении.

Предельная ошибка малой выборки в зависимости от средней ошибки представлена как



.

Но в данном случае величина иначе связана с вероятной оценкой, чем при большой выборке.

Согласно распределению Стьюдента, вероятная оценка зависит как от величины , так и от объема выборки в случае, если предельная ошибка не превысит среднюю ошибку в малых выборках.

Таблица 3.1 Распределение вероятности в малых выборках в зависимости от коэффициента доверия и объема выборки

t\n	4	5	6	7	8	9	10	15	20	?
0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0	348 608 770 860 933 942	356 626 792 884 946 960	362 636 806 908 955 970	366 644 816 908 959 976	368 650 832 914 963 980	370 654 828 920 966 938	372 656 832 924 968 984	376 666 846 936 975* 992	378 670 850 940 978 992	383 683 865 954 988 977
* При n=? в таблице даны вероятности нормального распределения. Для определения вероятности соответствующие табличные значения следует разделить на 1000

Как видно из табл. 3.1, при увеличении это распределение стремится к нормальному и при уже мало от него отличается.

Покажем, как пользоваться таблицей распределения Стьюдента.

Пример

Предположим, что выборочное обследование рабочих малого предприятия показало, что на выполнение одной из производственных операций рабочие затрачивали времени (мин.): . Найдем выборочные средние затраты:

.

Выборочная дисперсия

.

Отсюда средняя ошибка малой выборки

.

По табл. 3.1 находим, что для коэффициента доверия и объема малой выборки вероятность равна .

Таким образом, с вероятностью можно утверждать, что расхождение между выборкой и генеральной средней лежит в пределах от до , т.е. разность не превысит по абсолютной величине ().

Следовательно, средние затраты времени во всей совокупности будут находиться в пределах от до .

Вероятность того, что это предположение в действительности неверно и ошибка по случайным причинам будет больше, чем , равна: .

Таблица вероятностей Стьюдента часто приводится в иной форме, нежели в табл.3.1. Считается, что в ряде случаев такая форма более удобна для практического использования (табл. 3.2).

Из табл. 3.2 следует, что для каждого числа степеней свободы указана предельная величина , которая с данной вероятностью не будет превышена в силу случайных колебаний результатов выборки.

На основе указанной в табл. 3.2 величины определяются доверительные интервалы: и .

Это область тех значений генеральной средней, выход за пределы которой имеет весьма малую вероятность, равную:

.

В качестве доверительной вероятности при двусторонней проверке используют как правило, или , что не исключает, однако, выбора и других , не приведенных в табл. 3.2.

Таблица 3.2 Некоторые значения -распределения Стьюдента

Число степеней свободы	tp
	Для одностороннего интервала	Для двустороннего интервала
	Р=0,95	Р=0,99	Р=0,95	Р=0,99
3 4 5 6 7 8 9 10 15 20 30 60 ?	2,35 2,13 2,01 1,94 1,89 1,86 1,83 1,81 1,75 1,73 1,70 1,67 1,64	4,54 3,75 3,37 3,14 3,00 2,90 2,82 2,76 2,60 2,53 2,46 2,39 2,33	3,18 2,78 2,57 2,45 2,36 2,31 2,26 2,23 2,13 2,09 2,04 2,00 1,96	5,84 4,60 4,03 3,71 3,50 3,36 3,35 3,17 2,95 2,85 2,75 2,66 2,58

Вероятности случайного выхода оцениваемой средней величины за пределы доверительного интервала соответственно будут равны и , т.е. весьма малы.

Выбор между вероятностями и является до известной степени произвольным. Этот выбор во многом определяется содержанием тех задач, для решения которых применяется малая выборка.

В заключение отметим, что расчет ошибок в малой выборке мало отличается от аналогичных вычислений большой выборке. Различие заключается в том, что при малой выборки вероятность нашего утверждения несколько меньше, чем при больше выборке (в частности, в приведенном ранее примере и соответственно).

Однако все это не означает, что можно использовать малую выборку тогда, когда нужна большая выборка. Во многих случаях расхождения между найденными пределами могут достигать значительных размеров, что вряд ли удовлетворяет исследователей. Поэтому малую выборку следует применять в статистическом исследовании социально-экономических явлений с большой осторожностью, при соответствующем теоретическом и практическом обосновании.

Итак, выводы по результатам малой выборки имеют практическое значение лишь при условии, что распределение признака в генеральной совокупности является нормальным или асимптотически нормальным. Необходимо также принимать во внимание и то, что точность результатов выборки малого объема все же ниже, чем при большой выборке.

Размещено на Allbest.ru

...