Методы прогнозирования в научных исследованиях
Основные положения теории прогнозирования и применение ее методов для решения прикладных задач. Оценки границ интервального прогноза, доверительная вероятность и параметр нормального закона распределения. Динамика спроса в течение циклов расхода запасов.
| Рубрика | Математика |
| Вид | лекция |
| Язык | русский |
| Дата добавления | 23.02.2014 |
| Размер файла | 268,1 K |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Размещено на http://www.allbest.ru/
Методы прогнозирования в научных исследованиях
1. Основные положения теории прогнозирования
вероятность прогнозирование распределение интервальный
В снабженческой, производственной и транспортной сфере широко используются методы прогнозирования, поскольку значения прогнозных оценок развития анализируемых процессов или явлений являются основой принятия управленческих решений при оперативном, тактическом и стратегическом планировании.
Очевидно также, что точность и надежность прогноза определяет эффективность реализации различных операций и функций - от оценки вероятности дефицита продукции на складе до выбора стратегии развития фирмы.
Различным аспектам теории прогнозирования посвящено значительное количество исследований.
В большинстве работ по прогнозированию прогноз определяется как вероятностное научно обоснованное суждение о перспективах, возможных состояниях того или иного явления в будущем и (или) об альтернативных путях и сроках их осуществления.
Методологией прогнозирования - область знаний о методах, способах и системах прогнозирования.
Метод прогнозирования - способ исследования объекта, направленный на разработку прогноза.
Методика прогнозирования - совокупность одного или нескольких методов.
Система прогнозирования - упорядоченная совокупность методик и средств реализации.
Теория прогнозирования включает:
анализ объекта прогнозирования;
методы прогнозирования, подразделяющиеся на математические (формализованные) и экспертные (интуитивные);
системы прогнозирования.
При анализе объектов прогнозирования производится классификация прогнозов, при этом в качестве основных признаков указываются следующие:
масштабность, отражающая количество значащих переменных в описании объекта;
сложность, характеризующая степень взаимосвязи переменных;
детерминированность или стохастичность переменных;
информационная обеспеченность периода прогнозирования.
собственно период прогнозирования (краткосрочный прогноз - до года; среднесрочный - до лет; долгосрочный - свыше лет.
Математические методы прогнозирования подразделяются на три группы:
1. Симплексные (простые) методы экстраполяции по временным рядам.
2. Статистические методы, включающие корреляционный и регрессионный анализ и др.
3. Комбинированные методы, представляющие собой синтез различных вариантов прогнозов.
При формировании методики прогнозирования целесообразно рассматривать прогноз в узком ( прогноза) и в широком смысле ( прогноза).
В узком смысле прогноз выполняется при условии, что основные факторы, определяющие развитие прогнозируемого процесса или явления, не претерпят существенных изменений.
Прогнозы типа:
осуществляются с применением симплексных или статистических методов на основе временных рядов;
число значимых переменных включают от одного до трех параметров, т.е. по масштабности они относятся к сублокальным прогнозам;
при использовании одного параметра, например, времени, такие прогнозы считаются сверхпростыми, при двух-трех взаимосвязанных параметрах - сложными;
по степени информационной обеспеченности прогнозы этого типа могут быть отнесены к объектам с полным информационным обеспечением.
Прогноз типа подразумевает, что исходные данные для получения оценок определяются с использованием опережающих методов прогнозирования: патентного, публикационного и др.
Как правило, прогнозы типа используются для долгосрочного прогнозирования и разбиваются на два этапа:
первый - получение прогнозных оценок основных факторов;
второй - собственно прогноз развития процесса или явления.
Наибольшее распространение получили методы прогнозирования типа.
Наиболее часто для прогнозирования типа используется метод экстраполяции.
В общем случае модель прогноза включает три составляющие (рис.1.1) и записывается в виде:
, (1.1)
где - прогнозные значения временного ряда;
- среднее значение прогноза (тренд);
- составляющая, отражающая сезонные колебания (сезонная волна);
- случайная величина отклонения прогноза.
Рис.1.1. Прогнозирование на основе временных рядов: 1 - экспериментальные данные на интервале наблюдения (А); 2 - тренд; 3 - тренд и сезонная волна; 4 - значение точечного прогноза на интервале упреждения (В); 5 - интервальный прогноз
При этом может быть предложена следующая последовательность расчета:
1. На основе значений временного ряда на предпрогнозном периоде (интервале наблюдения) с использованием метода наименьших квадратов определяются коэффициенты уравнения тренда , видом которого задаются.
Обычно для описания тренда используются полиномы различных порядков, экспоненциальные, степенные функции и т.п.
2. Для исследования сезонной волны значения тренда исключаются из исходного временного ряда. При наличии сезонной волны определяют коэффициенты уравнения, выбранного для аппроксимации .
3. Случайные величины отклонения определяются после исключения из временного ряда значений тренда и сезонной волны на предпрогнозном периоде.
Как правило, для описания случайной величины используется нормальный закон распределения.
4. Для повышения точности прогноза применяются различные методы (дисконтирование, адаптация и др.). Наибольшее распространение в практике расчетов получил метод экспоненциального сглаживания, позволяющий повысить значимость последних уровней временного ряда по сравнению с начальными.
2. Применение методов прогнозирования для решения прикладных задач
Рассмотрим применение методов прогнозирования на основе данных расхода деталей на складе. В табл.2.1 приведены три реализации текущего расхода. Для каждой реализации даны величины расхода за день и интегральные характеристики, представляющие собой расход деталей со склада за соответствующий цикл.
Таблица 2.1 Динамика спроса в течение трех циклов расхода запасов
|
1-й цикл |
2-й цикл |
3-й цикл |
|||||||
|
день |
спрос, ед. |
Всего с начала цикла |
день |
спрос, ед. |
всего с начала цикла |
день |
спрос, ед. |
всего с начала цикла |
|
12345678910 |
9213754865 |
91112152227313950 |
11121314151617181920 |
065710769** |
061118283541505050 |
21222324252627282930 |
5543412834 |
5101417212224323539 |
Проиллюстрируем возможные варианты прогнозов для одной реализации и для ансамбля из трех реализаций.
Воспользуемся первой реализацией. Допустим, что нам известны значения расхода деталей со склада за пять дней работы (табл.2.2). Выберем уравнение тренда в виде линейной зависимости:
. (2.1)
Расчет коэффициентов уравнения и производится по формулам:
; (2.2)
. (2.3)
Формулы (2.2) и (2.3) получены на основе метода наименьших квадратов.
Входящие в формулы значения сумм рассчитаны в табл.2.2. Подставляя их значения, находим
.
Таким образом, уравнение прогноза пишется в виде:
.
Таблица 2.2 Исходные данные и результаты расчета коэффициентов уравнения (2.1) при
|
ti, дн |
yi, ед |
ti2 |
yi ti |
Прогноз yi* |
(yt - yi)2 |
|
|
1 2 3 4 5 |
41 39 38 35 28 |
1 4 9 16 25 |
41 78 114 140 140 |
42 39 36 33 30 |
1 0 4 4 4 |
|
|
Суммы У=15 |
У=181 |
У=55 |
У=513 |
У=13 |
Для оценки границ интервального прогноза необходимо рассчитать среднее квадратичное отклонение:
. (2.4)
Вспомогательные расчеты приведены в табл.2.2. Подставляя значения в формулу (2.4), находим :
.
На основании полученных зависимостей и рассчитываются прогнозные оценки:
среднего времени расхода текущего запаса ;
страхового запаса с заданной доверительной вероятностью ;
вероятности отсутствия дефицита деталей на складе в течение прогнозируемого периода.
Приняв , находим:
.
Для расчета страхового запаса воспользуемся формулой:
, (2.5)
где - среднее квадратичное отклонение, формула (2.4);
- параметр нормального закона распределения, соответствующий
доверительной вероятности .
Параметр определяет для нормального закона число средних квадратических отклонений, которые нужно отложить от центра рассеивания (влево и вправо) для того, чтобы вероятность попадания в полученный участок была равна .
В нашем случае доверительные интервалы откладывают вверх и вниз от среднего значения .
В табл.2.3 приведены наиболее часто встречающиеся в практических расчетах значения вероятности и параметра для нормального закона распределения.
Таблица 2.3 Доверительная вероятность и параметр нормального закона распределения
|
|
|
|
||
|
0,80 |
1,282 |
0,92 |
1,750 |
|
|
0,82 |
1,340 |
0,94 |
1,880 |
|
|
0,84 |
1,404 |
0,95 |
1,960 |
|
|
0,86 |
1,475 |
0,96 |
2,053 |
|
|
0,88 |
1,554 |
0,98 |
2,325 |
|
|
0,90 |
1,643 |
0,99 |
2,576 |
|
|
0,91 |
1,694 |
0,999 |
3,290 |
Для рассматриваемого примера для доверительной вероятности по табл.2.3 находим и по формуле (2.5) величину страхового запаса:
.
Примем .
На рис.2.1 приведены границы интервального прогноза при .
Для учета возможных нарушений срока поставки необходимо оценить влияние задержки, связанной с выполнением заказа, в частности с транспортировкой.
По одной реализации невозможно оценить вероятностный характер длительности функциональных циклов поставки.
Рис.2.1. Прогноз текущего расхода деталей на складе (): 1 - исходные данные; 2 - уравнение тренда; 3,3- границы интервального прогноза; 4 - время расхода запаса
Однако можно предположить, что выявленная тенденция расхода запаса, формула (1.2), сохранится. В этом случае для оценки прогнозной величины страхового запаса можно воспользоваться формулой:
, (2.6)
где - параметр, характеризующий количество дней задержки поставки заказа.
Рассчитаем величину страхового запаса при условии задержки на один день по сравнению с прогнозной оценкой дней, т.е. на день.
По формуле (2.6) находим:
.
Аналогично при ( день) .
Допустим, что отклонения ежедневного расхода деталей от среднего значения (тренда) подчиняются нормальному закону распределения.
Определим вероятность отсутствия дефицита по формуле:
, (2.7)
где - уравнение тренда, формула (2.1);
- среднее квадратическое отклонение, формула (2.4).
Сделаем в интеграле замену переменной:
(2.8)
и приведем его к виду:
. (2.9)
Для расчетов данного интеграла можно воспользоваться численными методами и ЭВМ или специальными таблицами.
Для нормальной функции распределения с параметрами и
. (2.10)
Очевидно, что:
.
В табл.2.4 приведен ряд значений функции и .
Таблица 2.4 Значения нормальной функции распределения Ф(х), вероятности Р(х) и параметра х
|
0,00 |
0,50 |
0,50 |
-1,280 |
0,10 |
0,90 |
|
|
-0,125 |
0,45 |
0,55 |
-1,405 |
0,08 |
0,92 |
|
|
-0,253 |
0,40 |
0,60 |
-1,555 |
0,06 |
0,94 |
|
|
-0,385 |
0,35 |
0,65 |
-1,645 |
0,05 |
0,95 |
|
|
-0,525 |
0,30 |
0,70 |
-1,75 |
0,04 |
0,96 |
|
|
-0,675 |
0,25 |
0,75 |
-2,05 |
0,02 |
0,98 |
|
|
-0,842 |
0,20 |
0,80 |
-2,30 |
0,01 |
0,99 |
|
|
-1,037 |
0,15 |
0,85 |
-3,10 |
0,001 |
0,999 |
Между параметрами и , а также и существует соотношение:
. (2.11)
На рис.2.2 приведены графики нормальной функции распределения и плотности нормального распределения.
Появление дефицита означает, что текущая величина запаса на складе равна нулю, т.е. .
Для определения вероятности отсутствия дефицита необходимо:
по формуле (2.8) рассчитать
;
по табл.2.4 с помощью найти .
Рис.2.2. Нормальный закон распределения: а) - плотность распределения; б) - функция распределения
Для рассматриваемого примера рассчитаем вероятности отсутствия дефицита деталей на складе на , и дни.
Для получаем: ; .
По табл.2.4 находим , т.е. вероятность дефицита ничтожно мала.
Для получаем: ; ; .
Для получаем: .
Определим ошибку прогноза среднего времени , поскольку имеются реальные данные о текущем расходе в табл.2.1:
, (2.12)
где - соответственно фактическая и прогнозная продолжительность цикла.
Подставив значения в (2.12), находим:
.
Ошибка прогноза велика, но это закономерно, так как нарушено одно из эмпирических правил экстраполяционного прогнозирования: между предпрогнозным периодом и периодом упреждения (прогноза) должно соблюдаться соотношение:
. (2.13)
Если следовать соотношению (2.13), то при допустимая величина времени прогноза:
. (2.14)
Следовательно, величина надежного прогноза соответствует дней и период упреждения составляет дня.
Рассмотрим ансамбль из трех реализаций расхода деталей на складе.
Как и в предыдущем примере, допустим, что информация ограничена 7 днями. Рассчитаем средние значения и дисперсии для каждого дня прогнозного периода по формулам
; (2.15)
. (2.16)
;
.
Результаты расчетов приведены в таблице на рис.2.3.
Рис.2.3. Зависимость средних значений и средних квадратических отклонений от времени для трех реализаций
Для аппроксимации средних значений выберем линейную зависимость
. (2.17)
Таблица 2.5
|
ti |
y1i |
y2i |
y3i |
myi |
(my-y1i)2 |
(my-y2i)2 |
(my-y3i)2 |
У((my-y3i)2/(n-1)) |
уi |
|
|
1 |
41 |
50 |
45 |
45,3 |
17,64 |
22,09 |
0,09 |
19,91 |
4,46 |
|
|
2 |
39 |
44 |
40 |
41,0 |
4,0 |
9,00 |
1,0 |
7,0 |
2,64 |
|
|
3 |
38 |
39 |
36 |
37,7 |
0,09 |
1,69 |
2,89 |
2,33 |
1,52 |
|
|
4 |
35 |
32 |
33 |
33,3 |
2,89 |
1,69 |
0,09 |
2,33 |
1,52 |
|
|
5 |
28 |
22 |
29 |
26,3 |
2,89 |
18,49 |
7,29 |
14,33 |
3,79 |
|
|
6 |
23 |
15 |
28 |
22,0 |
1,0 |
49,0 |
36 |
43, |
6,55 |
|
|
7 |
19 |
9 |
26 |
18,0 |
1,0 |
81,0 |
64 |
73 |
8,54 |
|
|
Суммы |
161,9 |
Воспользовавшись методом наименьших квадратов, найдем коэффициенты и .
Спрогнозируем среднюю величину времени расхода запаса:
.
Зависимости и имеют явно нелинейный характер и для точных прогнозов они могут быть аппроксимированы полиномами различных порядков, например в виде параболы:
(2.18)
В первом приближении ограничимся средними значениями дисперсии и среднего квадратического отклонения , которое рассчитывается по формуле:
. (2.19)
При подстановке значений из табл.2.5 находим:
.
Рассчитаем величину страхового запаса.
В первом случае расчет производится по формуле (2.5). Например, при находим:
.
Во втором случае расчет производится по формуле (2.6).
Особенность расчета для ансамбля реализаций состоит в том, что имеется возможность оценки величины - среднего количества дней, в которые наблюдается дефицит деталей.
В общем случае можно рассчитать по формуле:
, (2.20)
где - число дней дефицита в -й реализации,
- количество -x реализаций.
Например, в рассматриваемом примере в первой реализации не наблюдается дефицита, т.е. ; у второй - два дня дефицита ; а у третьей нет дефицита.
Тогда по формуле (2.20):
.
При подстановке в (2.6) находим:
В заключение следует сделать следующие замечания:
1. Рассчитанные величины среднего запаса получены при условии, что наблюдающая величина дефицита и вариация ежедневного расхода - независимые величины. Несомненно, это допущение требует проверки.
2. При наличии большого количества реализаций расчет величины должен быть выполнен до проведения прогнозных расчетов.
Проверка формул (2.6) и (2.20) может быть осуществлена с использованием имитационного моделирования.
Размещено на Allbest.ru
...Подобные документы
Оценивание параметров закона распределения случайной величины. Точечная и интервальная оценки параметров распределения. Проверка статистической гипотезы о виде закона распределения, нахождение параметров системы. График оценки плотности вероятности.
курсовая работа [570,4 K], добавлен 28.09.2014Обзор адаптивных методов прогнозирования. Построение модели Брауна. Применение методов прогнозирования на примере СПК колхоза "Новоалексеевский" в рамках модели авторегрессии и проинтегрированного скользящего среднего, предложенной Боксом и Дженкинсом.
дипломная работа [9,0 M], добавлен 28.06.2011История открытия нормального закона, его применение в науке и технике. Вероятность попадания случайной величины, подчиненной нормальному закону, на заданный участок. Нормальная функция распределения. Геометрическая интерпретация вероятного отклонения.
контрольная работа [506,3 K], добавлен 21.04.2019Правила выполнения и оформления контрольных работ для заочного отделения. Задания и примеры решения задач по математической статистике и теории вероятности. Таблицы справочных данных распределений, плотность стандартного нормального распределения.
методичка [250,6 K], добавлен 29.11.2009Определение вероятность срабатывания устройств при аварии. Расчет математического ожидания, дисперсии и функции распределения по заданному ряду распределения. Построение интервального статистического ряда распределения значений статистических данных.
контрольная работа [148,8 K], добавлен 12.02.2012Нормальное распределение на прямой, нормальная кривая. Влияние параметров нормального распределения на форму нормальной кривой. Вероятность отклонения в заданный интервал нормальной случайной величины. Вычисление вероятности заданного отклонения.
курсовая работа [1,7 M], добавлен 06.12.2012Принципы решения задач по основным разделам теории вероятностей: случайные события и их допустимость, непроизвольные величины, распределения и числовые характеристики градировки, основные предельные теоремы для сумм независимых вероятностных величин.
контрольная работа [129,1 K], добавлен 03.12.2010Способы вычисления наступления некоторого события. Решение задач, связанных с теорией вероятности. Использование таблицы функции Лапласа для определения теоретических частот нормального закона распределения. Определение исправленной выборочной дисперсии.
контрольная работа [225,3 K], добавлен 14.03.2015Теоретические основы решения уравнений, содержащих параметр. Анализ школьных учебников по алгебре и началам анализа. Основные виды уравнений, содержащих параметр. Основные методы решения уравнений, содержащих параметр.
дипломная работа [486,8 K], добавлен 08.08.2007Разработка простого метода для решения сложных задач вычислительной и прикладной математики. Построение гибкого сеточного аппарата для решения практических задач. Квазирешетки в прикладных задачах течения жидкости, а также применение полиномов Бернштейна.
дипломная работа [1,9 M], добавлен 25.06.2011Сущность вероятностной задачи-схемы независимых испытаний швейцарского профессора математики Я. Бернулли. Пример решения задачи по формуле Бернулли. Применение методов теории вероятностей в различных отраслях естествознания, техники и прикладных науках.
презентация [301,3 K], добавлен 10.03.2011Плотность распределения непрерывной случайной величины. Характеристика особенностей равномерного и нормального распределения. Вероятность попадания случайной величины в интервал. Свойства функции распределения. Общее понятие о регрессионном анализе.
контрольная работа [318,9 K], добавлен 26.04.2013Некоторые сведения теории вероятностей. Математическое ожидание, дисперсия. Точность оценки, доверительная вероятность. Доверительный интервал. Нормальное распределение. Метод Монте-Карло. Вычисление интегралов методом Монте-Карло. Алгоритмы метода.
курсовая работа [112,9 K], добавлен 20.12.2002Классическое, статистическое и геометрическое определения вероятности. Дискретные случайные величины и законы их распределения. Числовые характеристики системы случайных величин. Законы равномерного и нормального распределения систем случайных величин.
дипломная работа [797,0 K], добавлен 25.02.2011Методика решения задач высшей математики с помощью теории графов, ее сущность и порядок разрешения. Основная идея метода ветвей и границ, ее практическое применение к задаче. Разбиение множества маршрутов на подмножества и его графическое представление.
задача [53,0 K], добавлен 24.07.2009Выполнение алгебраических преобразований, логическая культура и техника исследования. Основные типы задач с параметрами, нахождение количества решений в зависимости от значения параметра. Основные методы решения задач, методы построения графиков функций.
методичка [88,2 K], добавлен 19.04.2010Нахождение полинома Жегалкина методом неопределенных коэффициентов. Практическое применение жадного алгоритма. Венгерский метод решения задачи коммивояжера. Применение теории нечетких множеств для решения экономических задач в условиях неопределённости.
курсовая работа [644,4 K], добавлен 16.05.2010Изучение сути и выдвижение предположения о законе распределения вероятности экспериментальных данных. Понятие и оценка асимметрии. Принятие решения о виде закона распределения вероятности результата. Переход от случайного значения к неслучайной величине.
курсовая работа [126,0 K], добавлен 27.04.2013Основные понятия теории марковских цепей, их использование в теории массового обслуживания для расчета распределения вероятностей числа занятых приборов в системе. Методика решения задачи о наилучшем выборе. Понятие возвратных и невозвратных состояний.
курсовая работа [107,2 K], добавлен 06.11.2011Понятие вероятности, математического ожидания, закона больших чисел, динамика их развития. Введение аксиоматического определения понятия вероятности математического ожидания. Теоремы Бернулли и Пуассона как простейшие формы закона больших чисел.
дипломная работа [388,7 K], добавлен 23.08.2009
