Вищі симетрії та парасуперсиметрії еволюційних рівнянь

Размещено на http://www.allbest.ru/

Національна академія наук України

Інститут математики

УДК 517.9

ВИЩІ СИМЕТРІЇ ТА ПАРАСУПЕРСИМЕТРІЇ ЕВОЛЮЦІЙНИХ РІВНЯНЬ

01.01.03 - математична фізика

Автореферат

дисертації на здобуття наукового ступеня

кандидата фізико-математичних наук

СЕРГЄЄВ Артур Георгійович

Київ 2000

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана в Інституті математики НАН України.

Науковий керівник: доктор фіз.-мат. наук НІКІТІН Анатолій Глібович, Інститут математики НАН України, зав. відділу прикладних досліджень

Офіційні опоненти:

доктор фіз.-мат. наук, проф. СЄРОВ Микола Іванович, Полтавський державний технічний університет ім. Ю.В. Кондратюка, завідувач кафедри вищої математики

канд. фіз.-мат. наук ВЛАДІМІРОВ Всеволод Анатолійович, Інститут геофізики ім. С.І. Субботіна НАН України, провідний науковий співробітник

Провідна установа: Інститут теоретичної фізики ім. М.М. Боголюбова НАН України, м. Київ

Захист відбудеться "_4___" __липня______ 2000 р. о 15 годині на засіданні спеціалізованої вченої ради Д 26.206.01 при Інституті математики НАН України за адресою: 01601 Київ 4, МСП, вул. Терещенківська, 3.

З дисертацією можна ознайомитися в бібліотеці Інституту математики НАН України.

Автореферат розісланий ___2 __червня_________ 2000 р.

Вчений секретар спеціалізованої вченої ради РОМАНЮК А.C.

Загальна характеристика роботи

Актуальність теми. Добре відомо, що наявність вищих симетрій у системи диференціальних рівнянь з частинними похідними є ознакою її точної розв'язності. Зокрема, в роботах Н.Х. Ібрагімова, А. Фокаша, А.В. Михайлова, А.Б. Шабата, В.В. Соколова та ін. було встановлено, що коли (1+1)-вимірна еволюційна система має нескінченну кількість вищих стаціонарних симетрій, то вона або інтегровна методом оберненої задачі розсіяння або лінеаризовна.

З іншого боку, Б. Фукштайнером та його учнями, А.Ю. Орловим та Є.І. Шульманом, а також, незалежно від інших, українськими науковцями А.К. Прикарпатським, В.Г. Самойленком та ін., було показано, що наявність спадкової алгебри, утвореної поліноміальними по часу нестаціонарними симетріями, теж є характерною ознакою інтегровних еволюційних систем.

Тому актуальною є задача знаходження всіх нестаціонарних симетрій еволюційних рівнянь і систем. Вона розглядалася в роботах А.М. Виноградова, Й.С. Красільщіка, В.В. Соколова, Б. Флаха, А.Ю. Орлова і Є.І. Шульмана та ін. Однак авторам цих та інших робіт не вдалося отримати повний розв'язок цієї задачі навіть для найпростішого випадку (1+1)-вимірних скалярних еволюційних рівнянь загального вигляду за відсутності, наприклад, припущення про їх інтегровність в тому чи іншому сенсі. Зокрема, були практично відсутні скільки-небудь загальні результати про структуру алгебр Лі нестаціонарних локальних узагальнених симетрій таких рівнянь, а схема дослідження таких алгебр, запропонована А.М. Виноградовим та ін., в загальному випадку досі залишалася нереалізованою. Саме дослідженню структури цих алгебр Лі та отриманню ефективних засобів знаходження всіх їх елементів для випадку (1+1)-вимірних еволюційних рівнянь загального вигляду (не обов'язково інтегровних), а також невироджених слабко діагоналізовних систем таких рівнянь, і присвячено Розділи 1 і 2 дисертації.

Серед узагальнених симетрій важливе місце посідають суперсиметрії, що виявилися найбільш адекватним математичним виразом давньої ідеї про симетричне входження бозонів і ферміонів до майбутньої єдиної теорії поля. Суперсиметрії відіграють важливу роль не лише в квантовій теорії поля, а і в релятивістській та нерелятивістській квантовій механіці. Зокрема, було виявлено приховану суперсиметрію для рівняння Дірака в деяких зовнішніх електромагнітних полях, наприклад в полі Кулона, а використання парасуперсиметрії дозволило досягти значних успіхів в побудові задовільної теорії масивних частинок спіну 1, яка розвивалася, зокрема, у роботах Ж. Бекерса, Н. Деберг, А.Г. Нікітіна. Ними було виявлено парасуперсиметрію запропонованого ними нового рівняння для масивної частинки спіну 1 для випадку постійного однорідного магнітного поля, тому цікаво було б з'ясувати, чи існує, за аналогією з рівнянням Дірака, парасуперсиметрія для частинки спіну 1 в полі Кулона, причому в силу існування аномалії Корбена-Швінгера для частинок спіну 1 доцільно розглянути дещо змінену модель - модифіковане рівняння Штюкельберга з гіромагнітним відношенням 2. Саме цьому і присвячено Розділ 3 дисертації.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Робота проводилась згідно з загальним планом досліджень відділу прикладних досліджень Інституту математики НАН України.

Мета і задачі дослідження. Метою роботи є аналіз структури узагальнених симетрій нелінійних (1+1)-вимірних еволюційних рівнянь порядку не нижче двох і невироджених слабко діагоналізовних систем таких рівнянь, і зокрема отримання формул для ведучих членів похідних Фреше таких симетрій, та знаходження парасуперсиметрій і побудова точних розв'язків модифікованого рівняння Штюкельберга в полі Кулона для випадку станів дискретного спектра.

Наукова новизна одержаних результатів. Основні результати, які визначають наукову новизну і виносяться на захист, наступні:

1. Знайдено достатню умову (квазі)поліноміальності по часу узагальнених симетрій для широкого класу (1+1)-вимірних еволюційних рівнянь порядку не нижче двох, інваріантних відносно зсувів по просторовій змінній x і по часу t, зокрема для рівнянь зі сталою сепарантою.

2. Знайдено достатню умову відсутності поліноміальних по часу t (окрім стаціонарних) симетрій достатньо високого порядку для інтегровного (1+1)-вимірного еволюційного рівняння порядку не нижче двох з незалежними від t коефіцієнтами, що володіє нетривіальними канонічними щільностями законів збереження, і з її допомогою знайдено всі локальні узагальнені симетрії рівняння Гаррі Дима, модифікованого рівняння КдФ та деяких інших важливих рівнянь математичної фізики.

3. Описано загальний вигляд залежності від x узагальнених симетрій (1+1)-вимірних еволюційних рівнянь порядку не нижче двох, інваріантних відносно зсуву по x.

4. Подано узагальнення названих вище результатів на випадок невироджених слабко діагоналізовних систем (1+1)-вимірних еволюційних рівнянь порядку не нижче двох.

5. Знайдено повний набір станів дискретного енергетичного спектра в полі Кулона для модифікованого рівняння Штюкельберга і виявлено приховану парасуперсиметрію при певних значеннях параметрів моделі.

Практичне значення отриманих результатів. Дисертаційна робота носить теоретичний характер. Отримані результати є новими і можуть бути використані при розв'язуванні ряду конкретних задач математичної фізики. Результати Розділу 3 можуть бути використані в теоретичній фізиці як можлива модель опису руху масивної частинки спіну 1 у зовнішніх електромагнітних полях.

Особистий внесок здобувача. Визначення загального плану діяльності та постановка задач належать науковому керівнику - А.Г. Нікітіну. Всі результати, що увійшли до дисертації, отримані дисертантом самостійно і опубліковані без співавторів.

Апробацiя результатів дисертації. Результати дисертацiйної роботи доповідалися і об-говорювалися на семінарах відділу прикладних досліджень Інституту математики НАН України, на VI і VІІ Міжнародних конференціях ім. акад. М. Кравчука (Київ, 1997, 1998), на II і ІІІ Міжнародних конференціях "Symmetry in Nonlinear Mathematical Physics'' (Київ, 1997 і 1999), XXX i XXXI Симпозіумах з математичної фізики (Торунь, Польща, 1998, 1999).

Публiкацiї. За темою дисертації опубліковано 7 робіт, з них 6 статей - в провідних наукових фахових виданнях.

Структура та об'єм дисертації. Дисертацiйна робота складається зі вступу, трьох роздiлiв, розбитих на 11 підрозділів, та списку цитованої лiтератури з 127 назв i викладена на 130 сторiнках.

симетрія парасуперсиметрія рівняння кулон

Основний зміст роботи

У вступі обґрунтовано актуальність теми, проаналізовано сучасний стан досліджуваних проблем, сформульовано задачі дослідження та коротко викладено основні результати.

Розділ 1 присвячено аналізу загальної структури нестаціонарних узагальнених симетрій та формальних симетрій (1+1)-вимірних нелінійних еволюційних рівнянь порядку не нижче двох та невироджених слабко діагоналізовних систем таких рівнянь.

Перед тим як сформулювати отримані результати, наведемо необхідні означення і позначення.

Розглянемо скалярне (1+1)-вимірне еволюційне рівняння

¶u / ¶t = F(x, t, u, u₁,..., u _n), n і 2, ¶F/¶u_n № 0, (1)

де u_l = ¶^l u /¶x^l, l = 0,1,2,..., u₀ є u.

Узагальнене векторне поле вигляду Q = G(x,t, u,..., u_k)¶/¶u називається (локальною узагальненою) симетрією рівняння (1), якщо рівняння

¶u / ¶s = G(x,t,u, u₁,..., u_k) (2)

сумісне з (1). Ми будемо називати симетрію Q нестаціонарною (залежною від часу), якщо--¶G/¶t № 0.

Функція G(x,t, u,..., u_k) називається характеристикою симетрії Q = G ¶/¶u. Надалі ми будемо, якщо явно не вказано протилежне, ототожнювати симетрії з їх характеристиками.

Для будь-якої функції H = H(x,t,u,u₁,..., u_q) найбільше число m таке, що ¶H/¶u_m № 0, називається її порядком і позначається m = ord H. Якщо H = H(x,t), то вважаємо, що ord H = 0. Будемо називати функцію f змінних x, t, u, u₁,... локальною, якщо вона має скінченний порядок. Надалі ми вважатимемо, не повторюючи цього щоразу окремо, що всі функції, які зустрічатимуться в тексті (симетрїї, функції F і т.д.), є локально аналітичними функціями своїх аргументів.

Введемо наступні позначення: S_F^(k) - простір симетрій порядку не вище k рівняння (1), S_F = И_{j = 0}^Ґ S_F^(j), Q_F = { H(x,t)|H(x,t) О S_F}, S_{F, k} = S_F^(k)/S_F^(k-1) для k = 1,2,..., S_F,0 = S_F⁽⁰⁾/Q_F, Ann_F = {G О S_F|¶G/¶t = 0}.

Надалі ми завжди розглядатимемо залежні від часу симетрії рівняння (1) з ?F/?t = 0 як елементи фактор-простору S_F/Ann_F. Інакше кажучи, ми завжди будемо виключати з залежних від часу симетрій члени, що є лінійними комбінаціями стаціонарних симетрій.

S_F є алгеброю Лі відносно дужки Лі

{ g, h } = h_* (g) - g_* (h)

оператори повних похідних по змінних x і t. ImD позначатиме нижче образ простору локальних функцій під дією D.

Нагадаємо, що формальний ряд по степенях D (надалі - просто формальний ряд) - це вираз вигляду H = е_{j = -Ґ}^m h_j (x,t,u, u₁,...)D^j. Найбільше ціле число m таке, що h_m № 0, називається степенем формального ряду H і позначається degH.

Формальною симетрією рангу p рівняння (1) називається такий формальний ряд R, що

deg(¶R/¶t + С_F(R) - [F_*, R]) Ј degF_* +degR - p. (3)

Аналогічно, формальна симетрія нескінченного рангу рівняння (1) - це такий формальний ряд R, що

¶R/¶t + С_F(R) - [F_*, R] = 0.(4)

В підрозділі 1 Розділу 1 досліджено структуру розв'язку визначальних рівнянь для похідної Фреше G_* узагальненої симетрії G, і зокрема показано, що для будь-якої симетрії G, ord G = k і

n₀, маємо

¶G/¶u_k = c_k(t)F^k/n,

де c_k(t) - деяка функція t, F = ¶F/¶u_n,

м max (1-j,0), коли F така, що ¶F/¶u_n-i= f_i(x,t), i = 0,...,j,

n₀ =н о--2 в інших випадках

В підрозділі 2 Розділу 1 отримано наступні результати:

Твердження 1.2.1. Будь-яку формальну симетрію R рівняння (1) можна представити у вигляді

де d_j(t) - деякі функції t, R - деякий формальний ряд, deg R--<--r-n+1.

Точка над літерою тут і далі позначатиме частинну похідну по часу t.

Наслідок 1.2.1. Для будь-якої симетрії G О S_F порядку k-->--n+n₀-2

де c_j(t) - деякі функції t, а N - деякий формальний ряд, degN--<--k-n+1.
Для n₀ Ј k Ј n+n₀-2

Теорема 1.2.1. Якщо F^-1/n ImD, а С_F(F^-1/n) О ImD, то рівняння (1) з ¶F/¶t = 0 не має залежних від часу симетрій порядку вище n.

Використовуючи Теорему 1.2.1, було доведено, що рівняння Гаррі Дима u_t = u³u₃ і рівняння Кавальканте-Тененблат u_t = D²(u₁^-1/2)+u₁^3/2 мають лише по одній залежній від часу узагальненій симетрії: D_HD = x u₁+ 3 tu³u₃ і D_CT = x u₁/3 + t (D²(u₁^-1/2)+u₁^3/2) відповідно.

Крім того, на основі (1.13) проаналізовано структуру симетрій рівнянь (1) з ¶F/¶t = 0 і С_F(F^--1/n) ImD, і зокрема показано, що всі узагальнені симетрії рівняння u_t = u u₂+u₁² еквівалентні точковим симетріям Лі.

В підрозділі 3 Розділу 1 з використанням Твердження 1.2.1 і Наслідку 1.2.1 доведено наступні

Твердження 1.3.1. Нехай P, Q - формальні симетрії рівняння (1), degP = p, degQ = q, і ~ ~ ранги P і Q вище n. В силу Твердження 1.2.1 P = c_p(t)F_*^p/n+P і Q = d_q(t) F_*^q/n + Q,

degP--<--p, degQ <--q.

Тоді deg[ P, Q ] Ј p+q-n і

~ ~

де R - деякий формальний ряд, degR<--p+q-n.

Твердження 1.3.2. Нехай P, Q - симетрії рівняння (1), ordP = p, ordQ = q, p,q >--n+n₀-2. В силу (1.5) маємо ¶P/¶u_p = c_p(t) F^p/n, ¶Q/¶u_q = d_q(t) F^q/n.

Тоді ord {P, Q } Ј p+q-n і

~ ~

де R - деяка локальна функція, ordR <--p+q-n. Твердження 1.3.3. S_F^(k), k = 0,...,n, є підалгебрами алгебри Лі S_F.

Як приклад застосування Твердження 1.3.2 знайдено достатню умову, за виконання якої всі стаціонарні узагальнені симетрії K_j порядків k_j >--n+n₀-2 рівняння (1) з ¶F/¶t = 0 і n₀--<--2, що допускає дилатацію D = t F + h(x,u,u₁), є однорідними відносно D з точністю до додавання до них стаціонарних симетрій нижчих порядків, тобто {D, K_j } = (k_j/n) K_j.

Розглянемо тепер систему еволюційних рівнянь вигляду

¶u^a/¶t = F^a(x,t,u,...,u_n), n і 2, a = 1,...,s (5)

коли u,u₁,... і F, а також симетрії G є s-компонентними векторами.

Якщо матрицю F = ¶F/¶u_n можна діагоналізувати за допомогою деякої матриці W = W(x,t,u, u₁,...), тобто матриця L = WFW^-1 діагональна, L = diag (l₁,..., l_s), і, крім того, всі власні значення матриці F невироджені, тобто l_i № l_j при i № j, будемо називати систему (5) слабко діагоналізовною, а якщо виконується додаткова умова detF № 0, ми будемо називати відповідні системи (5) невиродженими слабко діагоналізовними. Цю термінологію введено на підставі наступного

Твердження 1. Нехай система (5) слабко діагоналізовна і W - матриця, що діагоналізує F. Тоді існує єдиний формальний ряд T = W+Wе_{j = -1}^-ҐW_jD^j з властивістю diag W_j = 0, j = -1,-2,... і такий, що всі коефіцієнти формального ряду V = T F_*T^-1 + (D_t(T)) T^-1 діагональні.

Цей результат є очевидним узагальненням Твердження 3.1 статті А.В. Михайлова та ін. (Михайлов А.В., Шабат А.Б., Ямилов Р.И. Симметрийный подход к классификации нелинейных уравнений. Полные списки интегрируемых систем // Успехи мат. наук. - 1987. - Т.42, вып. 4. - С.3-53), на випадок, коли ¶F/¶t № 0.

В підрозділі 4 Розділу 1 отримано узагальнення результатів двох попередніх підрозділів на випадок невироджених слабко діагоналізовних систем. Сформулюємо найважливіші з цих результатів:

Твердження 1.4.1. Будь-яку формальну симетрію R степеня r і рангу p >--n слабко діагоналізовної системи (5) з detF № 0 можна представити у вигляді

Размещено на http://www.allbest.ru/

де d_j(t) - деякі діагональні s x s матриці, а R - деякий формальний ряд, deg R--<--r-n+1.

Наслідок 1.4.1. Для будь-якої симетрії G порядку k >--n+n₀-2 слабко діагоналізовної системи (5) з detF № 0

де c_j(t) - деякі діагональні s x s матриці, а N - деякий формальний ряд, degN--<--k-n+1.

Для n₀ Ј k Ј n+n₀-2

Теорема 1.4.1. Якщо для всіх власних значень l_i матриці F l_i^-1/n ImD, а С_F(l_i^-1/n) О ImD, то невироджена слабко діагоналізовна система (5) з ¶F/¶t = 0 не має залежних від часу симетрій порядку вище n.

Як приклад застосування цієї теореми, показано, що єдиною залежною від часу узагальненою симетрією інтегровної системи Вадаті-Конно-Ішікави u_t = D²(u(1+u v)^-1/2), v_t = -D²(v(1+u v)^-1/2) є дилатація D = (x u₁ + 2tD²(u(1+u v)^-1/2))¶/¶u + (x v₁ - 2tD²(v(1+u v)^-1/2))¶/¶v, яка еквівалентна точковій симетрії Лі.

Твердження 1.4.2. Нехай P, Q - формальні симетрії невиродженої слабко діагоналізовної системи (5), degP = p, degQ = q, і ранги P і Q вище n. З Твердження 1.4.1 випливає, що P =

~ ~ ~ ~

T^-1 c_p(t) V^p/nT+P і Q = T^-1 d_q(t) V^p/nT + Q, degP--<--p, degQ <--q.

Тоді deg[ P, Q ] Ј p+q-n і

~ ~

де R - деякий формальний ряд, degR<--p+q-n.

Твердження 1.4.3. Нехай P, Q - симетрії невиродженої слабко діагоналізовної системи (5), ordP = p, ord Q = q, p,q >--n+n₀-2. В силу Наслідку 1.4.1 маємо ¶P/¶u_p = W^-1 c_p(t) L^p/n W, ¶Q/¶u_q = W^-1d_q(t) L^q/n W..

Тоді ord{P, Q} Ј p+q-n і

~ ~

де R - деяка локальна вектор-функція, ord R <--p+q-n.

Доведено також, що Твердження 1.3.3 виконується для довільних невироджених слабко діагоналізовних систем при n₀--<--2.

В Розділі 2 розглядаються узагальнені симетрії рівнянь (1) та слабко діагоналізовних систем (5), інваріантних відносно зсувів по t або x.

В підрозділі 1 Розділу 2 вперше в літературі наведено строге і коректне доведення Теорем 3.1 і 3.2 зі статті А.В. Шаповалова та И.В. Широкова (Шаповалов А.В., Широков И.В. Об алгебре симметрий линейного дифференциального уравнения // Теорет. и мат. физика. - 1992. - Т.92, №1. - С.3-12), і зазначено, що допоміжне твердження про можливість одночасного зведення кількох комутуючих матриць до жорданової нормальної форми, на яке спирались оригінальні доведення цих теорем, - хибне. В підрозділі 2 цього розділу отримано наступні результати:

Теорема 2.2.1. Якщо dimS_F⁽¹⁾ <--Ґ і ¶F/¶t = 0, то для всіх k і n₀

Тут m_F - це кількість лінійно незалежних (над довільним полем функцій часу t) розв'язків системи ¶{F,K}/¶u_j = 0, ¶{F,{F,K}}/¶u_j = 0, ¶K/¶u_j = 0, j і n₀.

Наслідок 2.2.1. Якщо dimS_F⁽¹⁾ <--Ґ і ¶F/¶t = 0, то будь-яка симетрія G О S_F^(k) рівняння (1) є лінійною комбінацією симетрій вигляду

де l О , q Ј dimS_F^(k)-1.

Наслідок 2.2.2. Якщо dimS_F⁽¹⁾ <--Ґ і рівняння (1) з ¶F/¶t = 0 має симетрію вигляду K = t F + h(x,u,u₁), то усі симетрії рівняння (1) є поліномами по t.

Твердження 2.2.1. Якщо dimS_F,k--<--Ґ, k і n₀, і ¶F/¶t = 0, будь-яка симетрія G О S_F,k є лінійною комбінацією симетрій вигляду

де l О , s Ј dim S_F,k-1.

В підрозділі 3 досліджувалась структура симетрій рівнянь (1) з ¶F/¶x = 0 і отримано наступні результати:

Теорема 2.3.1. Будь-яку симетрію G порядку k рівняння (1) з ¶F/¶x = 0 можна представити у вигляді

причому при n₀ Ј 1

¶y/¶u_r = 0, r = n₀,..., 1.

Тут r_k,n,-1 = [k/( n-1)] і для q = 0,1

м[k/( n-1)] для k 0,..., q mod n-1,

r_k,n,q = н

о max(0, [k/( n-1)] -1) для k є 0,...,q mod n-1.

Нехай

мQ_F, якщо n₀ = 0,

B_F = н (6)

о S_F⁽ⁿ₀^-1) в іншому випадку.--

Теорема 2.3.2. Якщо для рівняння (1) з ¶F/¶t = 0, ¶F/¶x = 0, (¶F/¶u_n)^-1/n = a + K(u,..., u_n),

~ ~

де a О , a № 0, K О ImD, С_F(K) О ImD, і всі симетрії з простору S_F^(n-2+n₀⁾/B_F є поліномами (або лінійними комбінаціями квазіполіномів) по t, то таку ж властивість мають усі симетрії цього рівняння з простору S_F/B_F.

Нагадаємо, що квазіполіномами називаються вирази вигляду exp(lt) P(t), де l О , а P - поліном. Тут і нижче використано позначення D = D-¶/¶x та ImD - образ простору незалежних від x локальних функцій під дією D. В цьому ж підрозділі показано, що Теорема 2.3.1 виконується для довільних невироджених слабко діагоналізовних систем (5), і узагальнено Теорему 2.3.2 для таких систем:

Теорема 2.3.3. Якщо для невиродженої слабко діагоналізовної системи (5) з ¶F/¶t = 0,

~ ~

¶F/¶x = 0, l_i^-1/n = a_i + K_i(u,..., u_n), де a_i О , a_i № 0, K_i О ImD, С_F(K_i) О ImD, i = 1,..., s, і всі

симетрії з простору S_F^(n-2+n₀⁾/B_F є поліномами або лінійними комбінаціями квазіполіномів по t, то таку ж властивість мають усі симетрії цієї системи з простору S_F/B_F.

В п. 2.3.1 цього підрозділу також показано, що у випадку b = dim B_F <--Ґ для симетрій з простору S_F/B_F у Теоремі 2.3.1 y без втрати загальності можна вважати поліномом по x степеня не вище b+r_k,n,n0-1.

В п. 2.3.2 досліджено залежність від x стаціонарних симетрій рівняння (1) з ¶F/¶x = 0 і дещо уточнено для них результат Теореми 2.3.1.

Крім того, показано, що коли для деякого m О { -1,0,1,2,3,...} D_t(r_m^a) ImD, a = 1,...,s, де r_m^a - щільність канонічного закону збереження невиродженої слабко діагоналізовної системи (5) з ¶F/¶t = 0 (аналогічно, D_t(r_m) ImD для випадку рівняння (1)), то розглядувана система (або рівняння) не мають поліноміальних по t узагальнених симетрій порядку вище n+m+n₀-1. Цим узагальнено відомий аналогічний результат, що стосувався незалежних від t узагальнених симетрій.

З використанням отриманих результатів показано, що система Бакірова u_t = u₄+v², v_t = v₄/5 має лише одну узагальнену симетрію, яка нееквівалентна точковій симетрії Лі, чим посилено аналогічний результат Бойкерса, Сандерса і Ванг для незалежних від x і t узагальнених симетрій.

В підрозділі 4 Розділу 2 розглянуто інтегровне еволюційне рівняння (1) з ¶F/¶t = 0, причому в якості критерія інтегровності вибрано наявність незалежної від часу формальної симетрії L, degL № 0, нескінченного рангу.

Відомо, що може існувати щонайбільше одна (з точністю до додавання лінійної комбінації симетрій Z О Ann_F, для яких [ С_Z - Z_*, L ] = 0) така симетрія Y О Ann_F, що [ С_Y - Y_*, L ] № 0. Виберемо Y так, щоб вона мала найменший можливий порядок r, додаючи до неї, якщо потрібно, підходящу лінійну комбінацію елементів Z О Ann_F, для яких [ С_Z - Z_*, L ] = 0. Без втрати загальності вважатимемо надалі, що "P О (Ann_F ЗS_F/S_F^(r))

[ С_P - P_*, L ] = 0. (7)

мm+n+1, якщо (7) виконується "P О Ann_F,

Нехай p _F(m) = н

о-- max(r,m+n+1) в іншому випадку.

Теорема 2.4.1. Якщо рівняння (1) з ¶F/¶t= 0 має стаціонарну формальну симетрію нескінченного рангу L, degL № 0, і для деякого m О r_m ImD, причому для j = -1,1,..., m-1, j № 0, r_j О ImD, то (1) не має поліноміальних по t симетрій (крім, можливо, стаціонарних) з простору S_F/S_F^(p_F⁾.

Всюди далі ми вважатимемо, що старші коефіцієнти стаціонарних формальних симетрій невироджених слабко діагоналізовних систем є невиродженими матрицями.

Теорема 2.4.2. Якщо слабко діагоналізовна система (5) з detF № 0 і ¶F/¶t = 0 має незалежну від часу формальну симетрію L, degL № 0, нескінченного рангу, для всіх P О Ann_F виконується (7), і існує таке m О , що r_m^l ImD для всіх l = 1,...,s в той час як для j = -1,1,...,m-1, j № 0, r_j^a О ImD для всіх a = 1,...,s, то система (5) не має поліноміальних по часу локальних узагальнених симетрій (крім, можливо, стаціонарних) з простору S_F/S_F^(m+n+1).

Твердження Теореми 2.4.2 залишається справедливим, якщо серед щільностей r_j^a, j--<--m, j № 0, є нетривіальні, але вони лінійно незалежні від щільності r_m^a з тим же a. Визначення щільностей r_j, r_k^l див. на с.244-249 у статті А.В. Михайлова та ін. (Михайлов А.В., Шабат А.Б., Соколов В.В. Симметрийный подход к классификации интегрируемых уравнений//Интегрируемость и кинетические уравнения для солитонов/Под ред. В.Г. Барьяхтара и др. - К.: Наукова думка, 1990. - С.213-279).

На підставі отриманих результатів запропоновано досить просту і ефективну схему знаходження всіх залежних від часу узагальнених симетрій інтегровних еволюційних рівнянь, яка полягає в наступному:

Знаючи вигляд формальної симетрії розглядуваного рівняння, треба спершу знайти таке найменше m О {-1,1,2,...}, що щільність r_m нетривіальна. Якщо m № -1, слід перевірити, чи всі симетрії з простору S_F/S_F^(p_F⁾ вичерпуються поліномами по t, користуючись Наслідком 2.2.2 та Теоремою 2.3.3 або іншими методами. Якщо m = -1 або поліноміальність по t справді має місце, то за Теоремою 1.2.1 або 2.4.1 не існує залежних від часу симетрій порядку вище n або p_F. Нарешті, всі залежні від часу симетрії порядків 0,..., n або 0,..., p_F можна знайти шляхом безпосереднього обчислення (з використанням при потребі програм символьних обчислень).

Розглянуто також узагальнення описаної вище схеми на випадок інтегровних невироджених слабко діагоналізовних систем (5).

Ефективність запропонованої схеми проілюстровано на прикладах рівняння мКдФ, і потенціальних рівнянь КдФ і мКдФ, рівняння Калоджеро-Дегасперіса-Фокаша, а також системи Хіроти-Сацуми, для яких знайдено всі залежні від t узагальнені симетрії. Крім того, показано, що коли рівняння (1) з dim S_F⁽¹⁾--<--Ґ задовольняє умови Теореми 1.2.1 або 2.4.1 і володіє спадковою алгеброю, то ця алгебра обов'язково містить нескінченну кількість мастерсиметрій t_j, що залежать від нелокальних змінних.

В Розділі 3 розглянуто наступне узагальнення модифікованого рівняння Штюкельберга, запропонованого Бекерсом, Деберг і Нікітіним:

(D_mD^m+m_eff²) Bⁿ+i e g F_rⁿ B^r = 0, (8)

де m_eff² = M² +k₂ |e² F_mn F^mn/2|^1/2, A^m - потенціали зовнішнього електромагнітного поля, F_mn = ¶_m A_n -¶_n A_m, D_m = ¶_m +ieA_m - т.зв. ``видовжені'' похідні, e,g,M - відповідно заряд, гіромагнітне відношення і маса частинки (частинок), що описуються рівнянням (8).

Тут використовується ``природна'' система одиниць, в якій = c = 1, метричний тензор в 4-вимірному просторі Мінковського має вигляд g_?? = diag[1,-1,-1,-1], індекси, асоційовані з цим простором, позначаються малими грецькими літерами і пробігають значення від 0 до 3, ¶_m = ¶/¶x^m, 4-вектори записуються у вигляді J^m = (J⁰,J), де жирна літера позначає тривимірний вектор (зокрема, x^m = (t,r)). Роль хвильової функції відіграє 4-вектор B^m.

У Вступі до Розділу 3 подано короткий огляд і вмотивовано необхідність розгляду модифікованого рівняння Штюкельберга в якості ``іграшкової'' моделі, що описує поведінку релятивістської масивної частинки спіну 1 в полі Кулона. У підрозділі 1 Розділу 3 наведено модифіковане за Бекерсом - Деберг - Нікітіним рівняння Штюкельберга і подано узагальнення (8) цієї модифікації на випадок частинок з довільним гіромагнітним відношенням g. В цьому узагальненні також дещо змінено вигляд доданка, що описує нелінійну взаємодію частинки з електромагнітним полем, щоб уникнути появи комплексних власних значень енергії для випадку поля Кулона.

Для випадку притягуючого поля Кулона

A = 0, A⁰ = - Z e /r, Z >--0 (9)

у підрозділі 2 Розділу 3 знайдено рівні дискретного енергетичного спектра

E^inj = M/ Ц1+b²/(n+ m_i+1)² (10)

де n = 0,1,2,..., j = 0,1,2,..., i = 0,1,2,3,

m_i = -1/2+Ц(j+1/2)² - b² + 2 l_i + k₂ b,

l_1,2 = 1/2 ±Ц(j+1/2)² - (bg / 2)², l₃ = 0.

Знайдено також власні функції відповідних зв'язаних станів і показано, що коли k₂ = 0, j >--0,g = 2, рівні (10) чотирикратно вироджені при n >--1, і це виродження пояснюється наявністю компонент зі спінами 0 і 1, причому трикратне виродження станів зі спіном 1, котре залишається після виключення компоненти зі спіном 0 шляхом накладання умови D _m B^m = 0, зумовлене наявністю прихованої парасуперсиметрії в розглядуваній задачі.

Показано, що у випадку k₂ = 0, g = 2 рівнянням для радіальних функцій станів дискретного спектра з повним моментом j-->--1, отриманим внаслідок розділення змінних, після накладання умови D _m B^m = 0 можна надати форму рівняння на власні значення гамільтоніана парасуперсиметричної квантової механіки Рубакова - Спірідонова, і побудовано узагальнені симетрії цих рівнянь - парасуперзаряди.

Встановлено також відсутність аномалії Корбена - Швінгера в розглядуваній моделі для випадку k₂ = 0,j-->--0,g = 2.

Зазначимо, що, наскільки відомо автору, запропонована модель при k₂ = 0, g = 2 є першим прикладом парасуперсиметричної релятивістської системи з неосциляторною взаємодією.

У висновках коротко сформульовано результати дисертаційної роботи.

Висновки

1. Знайдено достатню умову (квазі)поліноміальності по часу узагальнених симетрій для широкого класу (1+1)-вимірних еволюційних рівнянь порядку не нижче двох, інваріантних відносно зсувів по просторовій змінній x і по часу t, зокрема для рівнянь зі сталою сепарантою.

2. Знайдено достатню умову відсутності поліноміальних по часу симетрій (крім стаціонарних) достатньо високого порядку для інтегровного (1+1)-вимірного еволюційного рівняння порядку не нижче двох з незалежними від часу t коефіцієнтами, що володіє нетривіальними канонічними щільностями законів збереження, і з її допомогою знайдено всі локальні узагальнені симетрії рівняння Гаррі Дима, модифікованого рівняння КдФ та деяких інших важливих рівнянь математичної фізики.

3. Описано загальний вигляд залежності від x узагальнених симетрій (1+1)-вимірних еволюційних рівнянь порядку не нижче двох, інваріантних відносно зсуву по x.

4. Подано узагальнення названих вище результатів на випадок невироджених слабко діагоналізовних систем (1+1)-вимірних еволюційних рівнянь порядку не нижче двох.

5. Знайдено повний набір станів дискретного енергетичного спектра в полі Кулона для модифікованого рівняння Штюкельберга і виявлено приховану парасуперсиметрію при певних значеннях параметрів моделі.

Основні результати дисертації опубліковано в наступних роботах

1. Sergheyev A.G. A relativistic Coulomb problem for the modified Stueckelberg equation // Укр. фіз. журн. 1997. Т. 42, № 10. С. 1171-1174.

2. Sergheyev A.G. On time-dependent symmetries of evolution equations // Симетрійні та аналітичні методи в математичній фізиці: Праці Інституту математики НАНУ. 1998. Т. 19. С. 216-220.

3. Sergheyev A. Generalized symmetries of partial differential equations and quasiexact solvability // Rep. Math. Phys. 1998. V. 41, № 3. P. 279-286.

4. Sergyeyev A. On symmetries of KdV-like evolution equations // Rep. Math. Phys. 1999. V. 44, № 1/2. P. 183-190.

5. Сергєєв А.Г. Про структуру узагальнених симетрій нелінійних еволюційних рівнянь // Вісн. Київ. ун-ту. Сер. фіз.-мат. науки. 1999. № 3. C. 61-70.

6. Sergyeyev A. On local time-dependent symmetries of integrable evolution equations // Symmetry in Nonlinear Mathematical Physics: Праці Інституту математики НАНУ. 2000. Т. 30, Ч.1. С. 196-203.

7. Sergeyev A.G. On parasupersymmetries in a relativistic Coulomb problem for the modified Stueckelberg equation // Proc. 2nd Int. Conf. ``Symmetry in Nonlinear Mathematical Physics''. Kyiv. 1997. Vol.2. P. 331-335.

Анотація

СЕРГЄЄВ А.Г. Вищі симетрії та парасуперсиметрії еволюційних рівнянь. - Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук зі спеціальності 01.01.03 - математична фізика. - Інститут математики НАН України, Київ, 2000.

Дисертацію в основному присвячено аналізу структури алгебр Лі узагальнених симетрій (УС) (1+1)-вимірних еволюційних рівнянь (ЕР) порядку n і 2 та невироджених слабко діагоналізовних систем таких ЕР.

Отримано достатні умови відсутності поліноміальних по часу (окрім стаціонарних) УС достатньо високого порядку для інтегровних (1+1)-вимірних ЕР порядку n і 2 з незалежними від часу t коефіцієнтами, що володіють нетривіальними канонічними щільностями законів збереження, а також для неінтегровних ЕР, і знайдено всі УС рівняння Гаррі Дима, модифікованого рівняння КдФ та деяких інших рівнянь.

Описано загальний вигляд залежності від просторової змінної x УС (1+1)-вимірних ЕР порядку n і 2, інваріантних відносно зсуву по x. Для широкого класу таких ЕР (зокрема, для ЕР зі сталою сепарантою) з незалежними від t коефіцієнтами знайдено достатню умову (квазі)поліноміальності по t їх УС.

Всі ці результати узагальнено на випадок невироджених слабко діагоналізовних систем (1+1)-вимірних ЕР порядку n і 2.

В Розділі 3 розглянуто узагальнене модифіковане рівняння Штюкельберга для випадку поля Кулона, знайдено рівні і стани дискретного енергетичного спектра і виявлено приховану парасуперсиметрію цієї задачі при певних значеннях параметрів.

Ключові слова: симетрії, узагальнені симетрії, формальні симетрії, парасуперсиметрії, алгебра Лі, еволюційні рівняння, рівняння Штюкельберга.

Аннотация

СЕРГЕЕВ А.Г. Высшие симметрии и парасуперсимметрии эволюционных уравнений. - Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.01.03 - математическая физика. - Институт математики НАН Украины, Киев, 2000.

Диссертация в основном посвящена анализу структуры алгебр Ли обобщенных симметрий (ОС) (1+1)-мерных эволюционных уравнений (ЭУ) порядка n і 2 и невырожденных слабо диагонализуемых систем таких ЭУ.

Получены достаточные условия отсутствия полиномиальных по времени (кроме стационарных) ОС достаточно высокого порядка для интегрируемых (1+1)-мерных ЭУ порядка n і 2 с независимыми от времени t коэффициентами, обладающих нетривиальными каноническими плотностями законов сохранения, а также для неинтегрируемых ЭУ, и найдены все локальные ОС уравнения Гарри Дима, модифицированного уравнения КдФ и некоторых других уравнений.

Описан общий вид зависимости от пространственной переменной x ОС (1+1)-мерных ЭУ порядка n і 2. Для широкого класса таких ЭУ (в частности, ЭУ с постоянной сепарантой) с независимыми от t коэффициентами найдено достаточное условие (квази)полиномиальности по t их ОС.

Все эти результаты обобщены на случай невырожденных слабо диагонализуемых систем (1+1)-мерных ЭУ порядка n і 2.

В Главе 3 рассмотрено обобщенное модифицированное уравнение Штюкельберга для случая поля Кулона, найдены уровни и состояния дискретного энергетического спектра и выявлена скрытая парасуперсимметрия этой задачи при определенных значениях параметров.

Ключевые слова: симметрии, обобщенные симметрии, формальные симметрии, парасуперсимметрии, алгебра Ли, эволюционные уравнения, уравнение Штюкельберга.

Annotation

SERGYEYEV A.G. Higher symmetries and parasupersymmetries of evolution equations. - Manuscript.

Thesis for the degree of candidate of physical and mathematical sciences by speciality 01.01.03 - mathematical physics. - Institute of Mathematics, National Academy of Sciences of Ukraine, Kyiv, 2000.

The thesis is mainly devoted to the analysis of structure of Lie algebras of generalized symmetries of scalar (1+1)-dimensional evolution equations of order n і 2 and nondegenerate weakly diagonalizable systems of such equations.

The technique used is that of formal series in powers of the operator of total derivative with respect to spatial variable x, extended to the case when the coefficients of these series are allowed to depend explicitly on time t.

The application of this technique enabled the author to obtain the explicit formulae for the leading terms of formal symmetries of scalar (1+1)-dimensional evolution equations of order not lower than two. In turn, this allowed to find the formulae for the leading terms of the commutator of two formal symmetries and of the Lie bracket of two symmetries (provided the ranks of formal symmetries and the orders of symmetries are sufficiently high) of the equation in question. This result provides, in particular, the solution of the problem of ``evaluation from the top'' of Lie algebra of generalized symmetries for the generic scalar (1+1)-dimensional evolution equation of order not lower than two, posed by A.M. Vinogradov et al. Using the above-mentioned formulae for the leading terms of formal symmetries, the author obtained the following results:

The sufficient condition of (quasi)polynomiality in time t of generalized symmetries for the large class of scalar (1+1)-dimensional evolution equations of order n і 2, invariant under the translations with respect to x and t, is found. This class includes e.g. the equations with constant separant. The sufficient conditions of absence of polynomial in time (except time-independent ones) generalized symmetries of integrable scalar (1+1)-dimensional evolution equations of order n і 2 with time-independent coefficients, possessing nontrivial canonical conserved densities, and for nonintegrable equations as well, are obtained. Using them, all time-dependent generalized symmetries of Harry Dym equation, modified KdV equation and of some other equations are found.

It is proved that all generalized symmetries of scalar (1+1)-dimensional evolution equation of order n і 2 with time-independent coefficients are linear combinations of quasipolynomials in time, provided the equation in question cannot be linearized by means of contact transformation. All the above results, except the last one, are generalized to the case of nondegenerate weakly diagonalizable systems of (1+1)-dimensional evolution equations of order n і 2.

In Chapter 3 we consider the generalized modified Stueckelberg equation for the case of Coulomb field, find the eigenvalues and eigenfunctions of discrete spectrum and reveal the hidden parasupersymmetry of this problem for some values of parameters.

Key words: symmetries, generalized symmetries, formal symmetries, parasupersymmetries, Lie algebra, evolution equations, Stueckelberg equation.

Размещено на Allbest.ru

...