Математичне моделювання динамічних процесів у шарових армованих середовищах

розроблено ефективні алгоритми для побудови дисперсійних кривих та мод руху у шарових композитах, а також для сумісного наближеного обертання двократних інтегральних перетворень Фур'є та перетворення Лапласа, які реалізовано у вигляді пакетів прикладних програм для сучасних персональних комп'ютерів;

на основі запропонованої методики та побудованих алгоритмів і програм їх реалізації отримано розв'язки нових задач динаміки пластин та циліндричних оболонок, що взаємодіють з спрямовано армованими пружними інерційними середовищами;

з аналізу отриманих результатів зроблено висновки про час встановлення процесу у нестаціонарних задачах, про вплив кількості арміровок, а також їх механічних та геометричних параметрів на характер динамічного напружено - деформованого стану елементів конструкцій.

Обґрунтованість і достовірність наукових положень, висновків і рекомендацій. Достовірність та обґрунтованість отриманих у дисертаційній роботі наукових положень, здобутих розв'язків та висновків базується на коректній математичній постановці задач, адекватності використаних методів, підтверджується граничними переходами розв'язків нестаціонарних задач до стаціонарних результатів, значною кількістю чисельних експериментів на ЕОМ. Чисельні та графічні результати відповідають сучасним уявленням про характер динамічних процесів у подібного виду механічних системах.

Наукове значення роботи. Запропонований у дисертації підхід до математичного моделювання динамічних процесів у шарових армованих середовищах з використанням точних рівнянь теорії пружності та алгоритми для реалізації таких моделей розширюють можливості для чисельно-аналітичного аналізу стаціонарних та нестаціонарних процесів у композитних матеріалах, що є суттєвим внеском у розв'язання актуальних задач механіки деформівного твердого тіла.

Практичне значення отриманих результатів. Робота має теоретико -прикладний характер. Запропоновані методики та алгоритми можуть бути використані у практиці роботи конструкторських бюро та науково - дослідних інститутів, які займаються проектуванням та розрахунком елементів авіаційної та космічної техніки, суднобудуванням. Приведені у дисертації графіки можуть використовуватися як еталонні при побудові більш простих інженерних моделей для розрахунку динамічної поведінки пластин та оболонок, що взаємодіють з шарово - армованими композитами. Основні результати дисертації можуть бути використані при викладанні спецкурсів для студентів будівельних та машинобудівельних спеціальностей.

Особистий внесок здобувача. Особистий внесок здобувача з математичної точки зору полягає у побудові алгоритмів пошуку коренів дисперсійного рівняння для значно многошарового середовища, у розвитку раніше запропонованих науковим керівником чисельних алгоритмів сумісного обернення перетворень Фур'є та Лапласа на новий клас задач, у створенні пакету прикладних програм для сучасних персональних ЕОМ. З механічної точки зору особистий внесок здобувача полягає у побудові точної моделі динаміки шарового композита, у визначенні часу встановлення процесу у всіх розглянутих нестаціонарних задачах, в оцінюванні впливу параметрів спрямовано армованого композиту на характер динамічного напружено - деформованого стану. З дев'яти статей шість опубліковано самостійно.

Апробація результатів дисертації. Основні результати дисертаційної роботи було докладено на Міжнародній конференції з механіки оболонок , присвяченій пам'яті проф. О.В.Саченкова (Казань, 1998), на молодіжній Школі-конференції з механіки деформівних тіл (Казань, 1998), на V Міжнародній науково - практичній конференції “Сучасні проблеми геометричного моделювання” (Мелітополь, 1998). В цілому дисертація обговорювалася на міжвузівському семінарі з механіки деформівного твердого тіла в Запорізькому державному технічному університеті (1999), на науковому семінарі кафедри програмного забезпечення та математичного моделювання Запорізької державної інженерної академії (1999), на науковому семінарі відділу електропружності Інституту механіки імені С.П.Тимошенка НАН України (2000).

Публікації. За темою дисертації опубліковано 9 статей, серед яких 3 статті у наукових журналах, 6 - у збірниках наукових праць. Чотири роботи опубліковано у наукових фахових виданнях.

Структура та обсяг роботи. Дисертаційна робота складається із вступу, трьох розділів, висновків та списку використаних літературних джерел. Повний обсяг дисертації становить 148 сторінок, серед яких 34 сторінки займають 125 рисунків, література розташована на 9 сторінках і складається із 82 джерел.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ

У вступі обґрунтовано актуальність теми дисертації; зазначено її зв'язок з держбюджетними темами; сформульовано мету і задачі дослідження; подано характеристику наукової новизни, теоретичного та практичного значення отриманих результатів.

В першому розділі розглянуто стаціонарні та нестаціонарні задачі динаміки пластин, що лежать на спрямовано армованому композиті, у плоскій постановці. математичний пластина армований алгоритм

, (1)

,

c_pk, c_sk - швидкості розповсюдження хвиль розтягу - стиску та зсуву в матеріалі матриці (k=1) та арміровки (k=2) відповідно.

- для шарів матриці, k=1,3,…,n;

- для шарів арміровки, k=2,4,…,n-1.

при :

; (3)

б) на границях розділу матриці та арміровки

при :

; (4)

в) на нижній границі композиту, що склеєний з жорсткою основою

при : (5)

Розглядаючи розповсюдження плоскої гармонічної хвилі у напрямку вісі Ох, розв'язки рівнянь (1) та (2) шукаємо у вигляді

, (6)

де , - довжина та фазова швидкість хвилі.

Для інтегрування рівнянь (1) вводяться потенційні функції, а дисперсійне рівняння отримується шляхом задовільнення перетвореним за допомогою однорідних рівнянь (2) (при F=0) граничним умовам та записується у вигляді рівності нулю визначника тринадцятого (при одноармованому) або двадцять першого (при двохармованому композиті) порядка. Побудовано дисперсійні криві для кожного з цих випадків, а також для однорідного шару, досліджено моди руху (розподіл по товщині композиту переміщень та напружень) для різних фіксованих довжин хвиль.

При розгляді задачі про дію рухомого навантаження на необмежену пластину, що лежить на спрямовано армованому шарі, використовуються ті ж рівняння (1)-(2) та граничні умови, однак у даному випадку в (2) . Спочатку побудовано стаціонарне рішення задачі, коли від початку навантаження пройшло досить багато часу, процес можна прийняти встановленим і у рухомій ситстемі координат компоненти переміщення та напруження не залежать від часу. При цьому часова змінна виключається за допомогою перетворення Галілея , а для розв'язку задачі використовується комплексне перетворення Фур'є:

. (7)

Після введення потенційних функцій, в просторі зображень задача зводиться до неоднорідної крайової задачі для двох видозмінених хвильових рівнянь, які в свою чергу зводяться до системи 4n лінійних алгебраїчних рівнянь для кожного значення .

Як приклад, розглянуто рух вздовж пластини з постійною швидкістю нормального навантаження, рівномірно розподіленого по полосі шириною 2а:

, (8)

де ,

a^*=a/h.

Для обернення інтегрального перетворення Фур'є використовувався метод Файлона. Проведено чисельні експерименти для визначення верхньої границі та шага інтегрування, побудовано картини зміни напружено - деформованого стану вздовж осьової координати та за товщиною композиту.

На рис.1 показано розподіл нормального переміщення за товщиною шару для однорідного матеріалу та одно- і двохармо-ваного композиту.

Щоб визначити границі застосування стаціонарного роз-в'язку та проаналізувати перехідний процес в моменти безпосередньо після прикладення навантаження, задача про дію рухомого навантаження розглянута в нестаціонарній постановці. При цьому початкові умови задачі приймаються нульовими, а для виключення часової змінної додадково до перетворення Фур'є (8) застосовується інтегральне перетворення Лапласа за безрозмірною змінною часу :

. (9)

Основні труднощі виникають при сумісному обертанні перетворень Фур'є та Лапласа. Розроблено спеціальний алгоритм, який базується на методі Файлона для інтегралів Фур'є,а також для знаходження оригіналів по Лапласу використано чисельний метод із застосуванням зміщених многочленів Лежандра. Чисельні експерименти дозволили визначити необхідну кількість додатків у квадратурних формулах для різних значень просторових та часових змінних. Як приклад, у нестаціонарній постановці розглянуто навантаження рухомою хвилею тиску пластини на шаровому композиті. На рис.2 показано розподілення нормального напруження на границі між пластиною та верхнім шаром композиту для різних моментів часу. На відміну від стаціонарного режиму, коли спостерігається симетрія відносно середини ділянки навантаження, тут впродовж перехідного процесу симетрія ще відсутня та напруження на прямій хвилі (перед навантаженням) трохи менше, ніж на оберненій. З ростом часу відбувається перехід до стаціонарного розв'язку. Для визначення часу встановлення процесу поряд з графіками, подібними приведеним на рис.2, побудовано картини залежності від часу напружень та переміщень у характерних точках конструкції. Аналіз одержаних результатів дозволяє зробити висновок, що у даній задачі при можливо використання стаціоного розв'язку. Показано вплив кількості та параметрів арміровок на характер динамічного напруженого стану, а також відмічено, що з ростом відносної жорсткості пластини різко зменшується коефіцієнт динамічності.

Другий розділ присвячено аналізу напружено - деформованого стану системи пластина - армоване середовище у просторовій постановці. При цьому рух кожного шару матриці та арміровки описується динамічними рівняннями теорії пружності у переміщенях, які у векторній формі мають вигляд