Алгоритми розв’язку задачі відновлення сигналів в спектроскопії з використанням дискретних ортогональних перетворень

Размещено на http://www.allbest.ru/

НАЦІОНАЛЬНА АКАДЕМІЯ НАУК УКРАЇНИ

Інститут проблем моделювання в енергетиці

УДК 519.688:517.983.54+519.64.3

АЛГОРИТМИ РОЗВ'ЯЗКУ ЗАДАЧІ ВІДНОВЛЕННЯ СИГНАЛІВ

В СПЕКТРОСКОПІЇ З ВИКОРИСТАННЯМ

ДИСКРЕТНИХ ОРТОГОНАЛЬНИХ ПЕРЕТВОРЕНЬ

Спеціальність 01.05.02 - Математичне моделювання та обчислювальні методи

Автореферат

дисертації на здобуття наукового ступеня кандидата технічних наук

Засядько Аліна Анатоліївна

Київ 2000



Дисертацією є рукопис

Робота виконана в Черкаському інженерно-технологічному інституті

Науковий керівник:

доктор технічних наук БИКОВ Валентин Іванович професор Інституту соціального управління, економіки і права

Офіційні опоненти:

доктор технічних наук БАРАНОВ Володимир Леонідович провідний науковий співробітник відділення гібридних моделюючих та керуючих систем в енергетиці Інституту проблем моделювання в енергетиці НАНУ

кандидат технічних наук ОЛЕЦЬКИЙ Олексій Віталійович доцент Національного університету “Києво-Могилянська Академія”

Провідна установа:

Інститут космічних досліджень НАН України та Національного космічного агентства

Захист відбудеться 28 вересня 2000 р. о 14 годині на засіданні спеціалізованої вченої ради Д26.185.01 Інституту проблем моделювання в енергетиці НАН України за адресою: м.Київ-164, вул. Генерала Наумова,15

З дисертацією можна ознайомитися у бібліотеці Інституту проблем моделювання в енергетиці НАН України, м.Київ-164, вул. Генерала Наумова, 15.

Автореферат розісланий 22 серпня 2000 р.

Вчений секретар Спеціалізованої вченої ради Д 26.185.01, д.т.н., Романцов В.П.

спектроскопія перетворення дискретний ортогональний

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми. Хоча технологічні аспекти спектроскопії відпрацьовані на достатньому рівні і продовжують розвиватися, можливості існуючої вимірювальної техніки можуть бути істотно розширені не тільки за рахунок вдосконалення технічної бази, а також за допомогою математичних методів обробки. Крім того, аналіз експериментальних даних вимагає подальшого використання сучасних математичних методів і розвиненого програмного забезпечення з метою автоматизації первинної обробки експериментальних даних. Одержані в процесі проведення експерименту дані оброблюються на ЕОМ з використанням різних обчислювальних методів. Тому задача розробки нових більш точних методів і алгоритмів для спектроскопічних досліджень є однією з найбільш актуальних.

В багатьох практично важливих задачах оперативна оцінка досліджуваних процесів і явищ за експериментальними даними має першочергове значення. Подібні задачі на практиці відомі як задачі відновлення сигналів, які є важливим класом задач інтерпретації експерименту. За рахунок неідеальності вимірювального перетворювача відбувається спотворення сигналу, тому вимірювальний сигнал може дуже відрізнятися від справжнього. Початковими даними для розв'язку математичної задачі відновлення невідомої залежності є спостережувана функція і математична модель (наприклад, інтегральне рівняння).

Задача відновлення спектрів належить до класу некоректних задач. Можливість їх розв'язку завдяки регуляризації (за допомогою яких розв'язок некоректної задачі може бути одержано тільки з певним наближенням) має важливе застосовне значення, наприклад, в задачах збільшення розрізнюючої здатності спектральних приладів. Ця задача займає помітне місце серед актуальних задач математичної обробки експериментальних даних. Відомо, що ширина апаратної функції спектральних приладів тісно пов'язана з розрізнюючою здатністю, і чим ширша апаратна функція, тим гірше розрізнююча здатність. Тому необхідно розробити або застосувати ті обчислювальні алгоритми, які коригують цю важливу характеристику і враховують умови проведення експерименту. Для відновлення істинних спектральних розподілень широко використовуються пакети програм, які забезпечують моделювання інтерпретації результатів спостережень за допомогою різноманітних обчислювальних методів.

Методи і алгоритми розв'язання задач інтерпретації результатів спостережень розроблені Василенком Г.І., Верланем А.Ф., Пит'євим Ю.П., Пуховим Г.Є., Сізіковим В.С. та іншими. На теперішній час розроблений широкий спектр різноманітних підходів до розв'язання некоректних задач. Найбільш відомими є: метод регуляризації Тихонова А.М., методи підбору і квазірозв'язання Іванова В.К., метод заміни Лаврент'єва М.М., різноманітні ітераційні і статистичні методи, представлені в працях Баранова В.Л., Воєводіна В.В., Морозова В.О., Танани В.П., Фрідмана В.М., Яголи О.Т., Міллера К., Філліпса Д. Л. та інших. Вони розробили алгоритми розв'язання некоректних задач, які дозволяють істотно розширити коло математичних моделей, які використовуються в інтерпретації результатів експерименту в природничих науках.

При розв'язанні систем лінійних алгебраїчних рівнянь (СЛАР) в задачах спектроскопії доводиться часто стикатися з погано обумовленими матрицями великої розмірності. Традиційні алгоритми розв'язку СЛАР виявляються неприйнятними для цих умов. Тому актуальним залишається питання розробки і застосування таких методів, які б покращували число обумовленості СЛАР. Перехід від одного вигляду СЛАР до іншого за допомогою дискретних ортогональних перетворень (ДОП) покращує число обумовленості матриці, яка описує дану систему.

У процедурах обробки експериментальної інформації велике поширення знайшли алгоритми швидких ортогональних перетворень Фур'є, Уолша, Хаара, Хартлі та ін. Завдяки ефективності швидкого перетворення Фур'є (ПФ) значний клас задач в обчислювальній математиці і фізиці почав розв'язуватися значно швидше, ніж раніше. Це стосується, перш за все: розв'язку СЛАР, спектрального аналізу, обчислення інтегралів типу згортки та ін. Швидкі алгоритми можуть виконуватись на будь-яких універсальных ЕОМ, а також на спеціалізованих ЕОМ, які припускають паралельне виконання операцій. Таким чином, актуальність застосування ДОП для обробки результатів спостережень є очевидною.

Мета і задачі досліджень. Метою даної дисертаційної роботи є розробка алгоритмів і програмних засобів розв'язку задачі відновлення сигналів у спектроскопії з використанням дискретних ортогональних перетворень на основі способу модельних прикладів.

Мета досягається шляхом розв'язання наступних задач:

Дослідження алгоритмів розв'язання задачі відновлення сигналів та дослідження параметрів, які впливають на якість розв'язку з врахуванням різної ширини і неточного задання апаратної функції спектральних приладів і вироблення рекомендацій по застосуванню цих алгоритмів у спектроскопії.

Розвиток підходів для реалізації способу модельних прикладів на основі дискретних ортогональних перетворень.

Розробка нових швидких алгоритмів дискретних ортогональних перетворень, які не вимагають накопичення великої кількості початкових даних.

Реалізація розроблених алгоритмів розв'язку задачі відновлення сигналів для лазерного мас-спектрометричного аналізу

Методи досліджень. Для розв'язку поставлених задач використовувались методи розв'язання некоректних задач, цифрової обробки сигналів, теорія інтегральних рівнянь, теорія матриць, методи обчислювальної і прикладної математики. Достовірність основних наукових результатів, висновків і рекомендацій підтвердилась обчислювальними дослідженнями і моделюванням на ЕОМ, а також статистичною обробкою.

Наукові результати, отримані автором.

Експериментальна оцінка і порівняльний аналіз обчислювальних методів розв'язку інтегрального рівняння Фредгольма І роду, яке описує процес перетворення шуканої залежності в спектральному приладі і погано обумовлених СЛАР великої розмірності, до яких зводиться це рівняння для модельних прикладів з різною шириною ядра і різними межами інтегрування. В результаті вироблені засоби реалізації способу модельних прикладів з використанням ДОП при розв'язанні задачі відновлення сигналів у спектроскопії.

Розробка факторизацій матриць коефіціентів для реалізації швидких алгоритмів зважених і комплексних перетворень Уолша, необхідних для розв'язання задачі відновлення сигналів у спектроскопії.

На основі узагальнених кронекерівських добутків матриць за допомогою виділення матриць перестановок в цих алгоритмах розроблена факторизація, яка дозволяє робити перехід між різними впорядкуваннями матриць Уолша.

Розробка факторизацій матриць двійково-інверсних перестановок і перестановок за кодом Грея для реалізації швидких дискретних ортогональних перетворень.

Розробка процедур первинної обробки сигналів, які ґрунтуються на використанні дискретних ортогональних перетворень при розв'язанні задачі відновлення сигналів у спектроскопії способом модельних прикладів і їх застосування в лазерному мас-спектрометричному аналізі.

Дослідження термо- і газодинамічних моделей взаємодії лазерного випромінювання з речовиною для приладу лазерного мас-спектрометричного аналізу ЕМАЛ-2, в результаті якого побудовані модельні приклади на основі інтегрального рівняння Фредгольма І роду.

Практична цінність результатів дисертацiйної роботи полягає в реалізації розроблених алгоритмів i прикладних програм, які дозволяють здійснити первинну обробку одновимірної спектроскопічної інформації. Створений комплекс програм використаний для розв'язання задачі відновлення сигналів, яка виникає в лазерному мас-спектрометричному аналізі.

Впровадження результатів роботи. Результати дисертації дозволяють виконати методику корекції спектральних піків для лазерного мас-спектрометричного аналізу. На основі одержаних процедур первинної обробки експериментальних даних розроблене програмне забезпечення, яке впроваджене в лабораторії мас-спектрометричного аналізу Черкаського інженерно-технологічного інституту. Запропоновані підходи використані в розробці методики лазерної мас- спектрометрії для аналізу композиційних матеріалів, а також сплавів, що самофлюсуються за допомогою приладу ЕМАЛ-2.

Апробація роботи. Основнi результати роботи доповiдались та обговорювались на 6 мiжнародних та регiональних науково-технiчних конференцiях, а також семінарах, у тому числi: Міжнародній конференції “Algebraic and Combinatorial Coding Theory” (Новгород, 1994), ІІІ Українській конференції з автоматичного керування "Автоматика 96", (Севастополь, 1996), II Міжнародній конференції “Теорія і техніка передачі, приймання та обробки інформації” (Харків-Туапсе, 1996), на IV Українській конференції з автоматичного управління Автоматика-97” (Черкаси), на V Міжнародній конференції “Контроль та керування в технічних системах” (Вінниця, 1997), Міжнародній науково-технічній конференції "Машинобудування і техносфера на межі XXI століття" (Севастополь, 1999), на науково-технічному семінарі Інституту проблем моделювання в енергетиці НАНУ (м.Київ, 1999, 2000).

Публікації. Результати теоретичних і експериментальних досліджень надруковані в 9 основних і 11 додаткових роботах. Статті [4, 8, 9] містяться в журналах: “Электронное моделирование”, [5, 6, 7] - “Известия ВУЗов. Радиоэлектроника”, [2, 3] - “Експрес - новини: наука, технiка, виробництво”. Стаття [1] представлена в збірнику наукових праць Інституту проблем моделювання в енергетиці НАНУ.

Структура і обсяг роботи. Дисертація складається з вступу, чотирьох розділів, висновків, списку використаної літератури з 138 найменувань, 6 додатків на 30 сторінках, 20 рисунків і 5 таблиць - всього 180 сторінок. Основний текст дисертації містить 150 сторінок.



ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ

У вступі показана актуальність задачі, яка розв'язується в дисертації, визначене коло розглянутих питань, наведені основні положення, які виносяться на захист.

В першому розділі представлена постановка і аналіз задач дослідження, до яких відносять задачі відновлення результатів спостережень в спектроскопії, а саме: задача редукції до ідеального приладу в спектроскопії, задача відновлення і цифрова обробка сигналів в одновимірному і двовимірному випадках.

Розглянемо задачу відновлення в спектроскопії, яка описується інтегральним рівнянням Фредгольма першого роду:

, (1)

де A(x,s) - апаратна функція спектрального приладу, яка спотворює вигляд залежності y(s), f(x) - залежність, що одержується експериментально на виході приладу.

Ширина апаратної функції спектральних приладів тісно пов'язана з розрізнюючою здатністю. Для широкої апаратній функції висуваються підвищені вимоги на якість розв'язку і точність задання меж інтегрування для шуканої і спостережуваної функції, які описують спектрометричний сигнал, тому необхідно розробити або застосувати ті обчислювальні алгоритми, які за даних умов демонструють найкращі відновлюючі властивості в порівнянні з існуючими.

Розглядаються переваги і недоліки методів розв'язання (1) з врахуванням особливостей задання апріорної інформації і розв'язання СЛАР, до якого зводиться (1) в більшості випадків. Як правило, потрібно розв'язувати погано обумовлену СЛАР великої розмірності. Відомо, що перехід від одного вигляду СЛАР до іншого за допомогою ортогональних перетворень покращує число обумовленості. Таким чином, вивчена можливість застосування ДОП в цих задачах. Крім того, зроблений висновок, що ще не достатньо досліджене застосування ДОП в обчислювальних методах і зокрема в задачах, що розглядаються.

В другому розділі представлені алгоритми розв'язання задач відновлення в спектроскопії. Оскільки об'єктом дослідження для цієї задачі є інтегральне рівняння Фредгольма І роду (1), то розглядаються обчислювальні методи розв'язку цього рівняння стосовно задач дослідження.

Так, метод Тихонова з вибором параметру регуляризації способом модельних прикладів відносно зводить (1) до розв'язання СЛАР

(C+G)y = F. (2)

Ефективність використаних чисельних методів розв'язку (1) перевірялась існуючими параметрами, необхідними і достатніми до задач, що розглядаються:

-відносний диапазон інтегрування

d= D/D_в, (3)

де D=(b-a)/2, D_в=(b_В-a_В)/2;

-похибка обчислень розв'язку

(4)

-оцінка похибки розв'язку

(5)

де

- оцінка відносної похибки розв'язку

(6)

Де

(7)

- наближене значення

(8)

При вирішенні задачі відновлення, представленої виразом (1), важливу роль відіграє розв'язання СЛАР (2), до якої зводиться при відповідній дискретизації (1). Проте використання традиційних методів розв'язку СЛАР утруднене завдяки поганій обумовленості (як показали дослідження апаратних функцій спектральних приладів). Таким чином, пропонується використовувати ДОП при розв'язанні СЛАР (2) в задачах відновлення сигналів в спектроскопії за допомогою діагоналізації матриць методом Якобі, який виявився найбільш прийнятним серед досліджених алгоритмів діагоналізації матриць за допомогою ДОП. В якості ДОП необхідно використовувати оптимальні для вирішення даної задачі ортогональні перетворення, а потім при необхідності уточнювати розв'язок ітераційно. Також для представлених модельних прикладів розглянуті і досліджені на ефективність декілька відомих і нових видів ітераційних алгоритмів розв'язання СЛАР (2).

Розвинені підходи до застосування способу модельних прикладів з використанням ДОП для вирішення задачі відновлення в спектроскопії на основі розв'язання (1). Розрахунки проводились за допомогою пакету прикладних програм для розв'язання інтегральних рівнянь, виконаного в середовищі Matlab, наданих відділом моделювання динамічних систем Інституту проблем моделювання в енергетиці НАН України. Розглядались розв'язання за допомогою ітераційної регуляризації Фрідмана, методом перетворення Фур'є для різницевих ядер, методом Тихонова. В останньому методі розв'язок (2) знаходився різними способами: алгоритмами, реалізованими у вбудованих підпрограмах Matlab і алгоритмом розв'язання СЛАР діагоналізацією матриць за допомогою ДОП. При цьому бралося до уваги неточне задання, велика розмірність і погана обумовленість апроксимуючих матриць, властивих апаратним функціям спектральних приладів. Проведений порівняльний аналіз обчислювальних алгоритмів, в якому бралися до уваги такі параметри як доцільно використовувати зважене перетворення Уолша-Адамара, оскільки воно виявляє більшу стійкість до змін меж інтегрування і в результаті цього виграш по точності може досягати до трьох разів в різних випадках для наведених модельних прикладів.

Таким чином, для задачі, що досліджується, перетворення Уолша і зважені перетворення Уолша мають переваги при діагоналізації СЛАР за допомогою ДОП перед іншими розглянутими чисельними методами розв'язку (2). ДОП можна одержати через швидкі алгоритми, сутність яких полягає в тому, що іх можна представити (факторизувати) у вигляді кінцевого числа розріджених матриць, що істотно зменшує обсяг оперативної пам'яті і збільшує оперативність обчислень.

В третьому розділі розглянуті швидкі алгоритми перетворень Уолша, необхідні для застосування ДОП при розв'язанні задачі відновлення сигналів в спектроскопії.

Використання узагальнених кронекерівських добутків матриць дозволяє простим математичним шляхом за допомогою алгоритмів, які грунтуються на факторизації, отримувати швидкі алгоритми ДОП Уолша, зручні для реалізації в векторному режимі і в режимі реального часу на ЕОМ. В пункті 3.1 одержані і доведені нові властивості узагальнених кронекерівських добутків матриць [5]. На основі цих і відомих властивостей запропоновані ефективні алгоритми факторизацій матриць двійково-інверсних перестановок початкових даних і перестановок за кодом Грея і доведені їх основні властивості. Ці алгоритми факторизацій відрізняються від відомих тим, що застосовують одиничні матриці і матриці Уолша-Адамара другого порядку, позбавлені рекурентності. Узагальнені кронекерівські добутки матриць мають також і математичну цінність, тому що більшість їх властивостей не співпадає з властивостями звичайних кронекерівських добутків матриць.

Недолік більшості швидких алгоритмів - необхідність знаходження початкових даних перед обробкою, яких повинно бути накопичено не менше половини. В пункті 3.2 наводяться відомі факторизації перетворень Уолша, перспективні для подальшого використання. Ці факторизації застосовують узагальнені кронекерівські добутки і одиничні матриці. Для швидких алгоритмів на основі цих факторизацій до початку обчислень потрібно мати два відліка на вході.

Раціональне використання зваженого перетворення Уолша утруднене через наявність вагових коефіціентів, тому потрібні більш ефективні алгоритми факторизацій матриць цих перетворень, які можна застосовувати для швидких алгоритмів. Існуючі алгоритми одержання матриць зваженого перетворення Уолша неефективні, коли необхідно одержати матриці великої розмірності. В пункті 3.3 описані факторизації (і на їх основі швидкі алгоритми) зважених і

комплексних дискретних перетворень Уолша-Адамара і Уолша-Пелі, у яких відсутні ці недолікі і які відрізняються простотою і економічністю використання пам'яті.

Використання узагальнених кронекерівських добутків матриць дає можливість отримувати вказані матриці засобами, відмінними від відомих. Представимо новий рекурентний алгоритм факторизації з використанням кронекерівських добутків матриць [1]:

WH_p,h (N)=WH_p,h (N/2) H(2) (9)

де WH_p,h (N) - матриця зважених перетворень Уолша з впорядкуванням по Пелі і Уолшу, N=2ⁿ, - узагальнений кронекерівський добуток по рядкам.

Відомий алгоритм, який використовує матриці коефіцієнтів

WH_h,p(N)=¹/_N H_h,p(N) WC_h(N); (10)

WH^-1 _h,p(N)=WC^-1 _h(N) H_h,p(N).

Для (10) матрицї коефіціентів WC_h(N) в [1] пропонується знаходити як

WC_h(N)= 2 WC_h(N/2) E(2), (11)

WC^-1(N) = 1/2 WC^-1(N/2) E(2),

.

Таким чином, запропоновані рекурентні алгоритми побудови матриць зважених перетворень Уолша (9) і матриць коефіціентів (11). Матриці коефіцієнтів - тридіагональні і легко одержуються за допомогою рекурентного алгоритма, який застосовує узагальнені кронекерівські добутки матриць. Ці алгоритми використовують менший обсяг обчислень і відрізняються простотою обчислювальної реалізації. На основі формул (9)-(11) отримані факторизації матриць комплексних перетворень Уолша [2].

В пункті 3.4 наведені швидкі алгоритми перетворень Уолша на основі розроблених факторизацій. Був зроблений висновок, що алгоритми для різних впорядкувань матриць Уолша, які базуються на узагальнених кронекерівських добутках матриць, мають переваги над існуючими, але одержуються по-різному. Оскільки при моделюванні проводиться порівняльний аналіз різних впорядкувань матриць Уолша, запропонована обчислювальна схема, що складається з загальної частини, матриці двійково-інверсних перестановок або перестановок за кодом Грея, яка дозволяє одержувати необхідне впорядкування перетворень Уолша [3, 5]:

H_p(N) = (E₂^(n-1) H(2)) С_N(j), (12)

H_p(N) = C ^T_N(i) (E₂^(n-1) H(2)),

де матриці перестановок пропонується знаходити як

P=E₂^(n-1) E₂; P^T =E₂^(n-1) E₂=E₂ E₂^(n-1)_.

С_N(j)= E₂^(n-j) ( E₂ (E₂ E₂^(n-j-1))), (13)

С^T_N(j)= E₂^(j-1) (E₂ (E₂ E₂^(n-j-1))),

P,С - матриці двійково-інверсних перестановок і перестановок за кодом Грея на кожній ітерації; , , - узагальнені кронекерівські добутки матриць (звичайні, по рядкам і по стовпцям відповідно); h,p - впорядкування Уолша по Адамару і Пелі; N=2ⁿ. Представлення (10) також необхідно в випадках, коли при моделюванні одночасно використовуються декілька впорядкувань матриць Уолша.

Для алгоритмів (9-13) був проведений порівняльний аналіз, який підтвердив переваги запропонованих алгоритмів над відомими алгоритмами подібних типів. Для того, щоб порівняння виявилося більш наочним, представимо відомий алгоритм:

H_p(N) = [E₂^(j-1) (E₂^(n-j) H(2))]; (14)

За допомогою засобів Matlab був проаналізований час виконання програм, виконаних на основі розроблених (9), (11-13) і відомих алгоритмів. Розрахунки проводились на ПК з одним процесором Pentium-200 MMX без застосування транслятора Watcom для переходу з мови Matlab в мову С. Результати представлені в таблиці 1. Тут позначено: ШПУА - швидке перетворення Уолша-Адамара, ШЗПУА - швидке зважене перетворення Уолша-Адамара.

Для однопроцесорної машини спостерігається незначне зменшення часу обчислень для ШПУА, побудованого на основі (12), в той час, для ШЗПУА на основі (10),(14) виграш в 1,4 рази в порівнянні з ШЗПУА на основі (10,12).

Таблиця 1

Час виконання алгоритмів швидких перетворення Уолша (мс)

Алгоритм	Кількість відліків
	8	16	32	64	128	256
ШПУА на основі (14)	0,02	0,06	0,11	0,2	0,3	0,44
ШПУА на основі (12)	0,02	0,06	0,1	0,18	0,25	0,39
ШЗПУА на основі (10),(14)	0,03	0,12	0,22	0,32	0,7	1,62
ШЗПУА на основі (10-12)	0,03	0,11	0,16	0,22	0,5	1,22

Таким чином, швидкі алгоритми на основі одержаних факторизацій матриць Уолша мають подібні структури, що робить їх універсальними, дозволяє використовувати мінімальний обсяг пам'яті і підвищує їх ефективність при реалізації на мікропроцесорній техніці.

В четвертому розділі наведена комп'ютерна реалізація розроблених алгоритмів і її застосування для лазерного мас-спектрометричного аналізу (ЛМСА).

В пункті 4.1 описуються структура і можливості розроблених процедур первинної обробки сигналів і комплексу програм на їх основі. Комплекс програм складається з статистичної обробки вхідної послідовності спектральних піків, представлення процесу вимірювання інтегральним рівнянням Фредгольма І роду за допомогою моделювання вхідного емпірічного сигналу моделями, які описують фізичні процеси проведення експерименту і розв'язку одержаного рівняння. Процедури, основані на використанні ДОП для розв'язання задачі відновленния сигналів у спектроскопії способом модельних прикладів, дозволяють коригувати форму спектральних піків під час проведення кількісного і якісного спектрального аналізу. Процедури розраховані на широкий спектр апаратних функцій, дозволяють враховувати вплив неточно заданих експериментальних даних.

В пункті 4.2 програмний комплекс на основі запропонованих процедур використаний в первинній обробці експериментальної інформації для ЛМСА.

Представлена математична модель взаємодії лазерного випромінювання зі зразком, яка необхідна в розробці модельних прикладів. Під час побудови модельних прикладів були досліджені термо- і газодинамічні моделі взаємодії лазерного випромінювання з речовиною для приладу мас-спектрометричного аналізу ЕМАЛ-2 і вперше було враховано зміну коефіцієнта зосередженності і нормальний закон розподілення джерела випромінювання, тому що в результаті заглиблення кратера даний коефіціент для окремих режимів роботи приладу може змінитися на порядок, що уточнює обчислення результатів моделювання.

В результаті отримана модель вхідного сигналу

, (15)

де I -іонізація, r -просторова координата, t - час, k - коефіціент зосередженності.

На основі одержаної математичної моделі (15) розроблені модельні приклади, наведена обробка результатів і розв'язана задача відновлення на прикладі дослідження германійового зразка одиничними ударами лазера.

Наведемо порівняння розв'язання (2) з використанням методу спряжених градієнтів (який показав найкращий результат серед методів, представлених підпрограмами Matlab) і діагоналізацією матриць за допомогою ДОП (число відліків відновлювальної і експериментальної залежності 16). Результати порівняння наведені в таблиці 2. Знак “+” показує, в скільки разів похибка (4) більше для алгоритму діагоналізації матриць за допомогою ДОП, знак “-” - в скільки разів менше. Для виконання перетворення Уолша-Адамара (ПУА), Уолша-Пелі, зваженого перетворення Уолша-Адамара (ЗПУА) застосовувались розроблені алгоритми на основі (3.3.1), (3.4.5), (3.4.8).

Таблиця 2

Порівняння методу діагоналізації матриць з методом спряжених градієнтів для різних видів ДОП

ДОП	Відносний диапазон інтегрування (3)
	d=0,8	d=1	d=1,25	d=1,5
ПФ	-1,15	-1,11	-1,16	-1,48
ПУА	+1,08	-1,08	-1,14	-1,2
ЗПУА	-1,12	1	-1,185	-1,55

Алгоритм діагоналізації матриць за допомогою ДОП і ЗПУА, як видно з таблиці 2, виявляють більшу стійкість до змін параметру (3). Таким чином, використання алгоритму діагоналізації матриць за допомогою ДОП замість традиційних алгоритмів при розв'язанні (2) дозволило зменшити похибку одержуваних результатів до 1,5 разів в залежності від точності задання меж інтегрування в (1).

Запропонований програмний комплекс апробований в кількісному і якісному аналізі тугоплавких сполук, композиційних матеріалів, плазмових покриттів, сплавів, що самофлюсуються. Вхідними даними для нього є: послідовність спектральних піків (наприклад, для одиничних ударів лазера), довідникові характеристики досліджуваних речовин, режими роботи приладу ЕМАЛ-2. Завдяки розробленому алгоритму розв'язання задачі відновлення розвинута існуюча методика проведення кількісного і якісного аналізу і надані рекомендації по використанню програмного комплекса. Завдяки останньому можна покращити точнісні показники кількісного і якісного лазерного мас-спектрометричного аналізу, проводячи уточнення площі спектрального піка.

В Додатках до роботи наведені розроблені програмні реалізації для середовища Matlab: метода Тихонова з вибором параметра регуляризації способом модельних прикладів, діагоналізації СЛАР за допомогою ДОП, факторизацій матриць ДОП Уолша, швидких алгоритмів ДОП Уолша для (9)-(13). Представлені результати дослідження похибки шуканого розв'язку для всіх наведених модельних прикладів для розглянутих обчислювальних методів розв'язку (1) при варіюванні меж інтегрування, параметру регуляризації і кількості відліків шуканого розв'язку і правої частини рівняння (1). Наведений розроблений програмний комплекс для розв'язання задачі відновлення в ЛМСА.



ВИСНОВКИ

На основі проведених досліджень дисертаційної роботи сформульовані основні висновки і результати.

Розвинені підходи по застосуванню способу модельних прикладів на основі ДОП для вирішення задачі відновлення в спектроскопії на основі розв'язання інтегрального рівняння Фредгольма I роду. При цьому бралося до уваги неточне задання, велика розмірність і погана обумовленість апроксимуючих матриць, властивих апаратним функціям спектральних приладів. Проведений порівняльний аналіз алгоритмів, при якому бралися до уваги такі параметри, як кількість відліків відновлювальної і експериментальної залежності, ширина ядра, параметр регуляризації, відносний диапазон інтегрування, вид ДОП в алгоритмі діагоналізації матриць при розв'язанні СЛАР. На основі цього аналізу розроблені рекомендації по застосуванню ДОП в розглянутій задачі відновлення.

Одержані і доведені нові властивості узагальнених кронекерівських добутків матриць. На основі цих і відомих властивостей запропоновані ефективні алгоритми факторизацій матриць двійково-інверсних перестановок початкових даних і перестановок за кодом Грея. Ці алгоритми факторизацій відрізняються від відомих тим, що використовують одиничні матриці і матриці Уолша-Адамара другого порядка, позбавлені рекурентності, зручні для реалізації в векторному режимі, що є перевагою перед існуючими алгоритмами. Запропонований алгоритм факторизації матриць Уолша, необхідний для діагоналізації матриць при розв'язанні СЛАР, в якому можливий перехід між різними системами впорядкувань перетворень Уолша. Перехід досягається множенням інваріантної частини на матрицю перестановок.

Розроблені рекурентні алгоритми побудови матриць коефіцієнтів за допомогою узагальнених кронекерівських добутків матриць в алгоритмах факторизацій зважених і комплексних перетворень Уолша. Ці алгоритми використовують менший обсяг обчислень і відрізняються простотою обчислювальної реалізації.

Розроблені процедури первинної обробки сигналів, основані на використанні ДОП при розв'язку задачі відновленния сигналів в спектроскопії способом модельних прикладів. Ці процедури дозволяють коригувати форму спектральних піків при проведенні кількісного і якісного спектрального аналізу. Процедури розраховані на широкий спектр апаратних функцій, дозволяють враховувати вплив неточно заданих експериментальних даних, застосовані для розв'язку задачі відновлення сигналів для ЛМСА приладом ЕМАЛ-2. Розроблені рекомендації по застосуванню комплекса програм, використовуючи вже існуючу методику проведення кількісного і якісного аналізу на приладі ЕМАЛ-2.

Побудовані модельні приклади на основі інтегрального рівняння Фредгольма І роду при відновленні сигналів для лазерного мас-спектрометричного аналізу, який виконується приладом ЕМАЛ-2. В результаті дослідження термо- і газодинамічних моделей взаємодії лазерного випромінювання з речовиною вперше було враховано зміну коефіцієнта зосередженості і нормальний закон розповсюдження потужності джерела лазерного випромінювання. Внесення поправок в розглянуті моделі дозволяє зменшити до десяти раз похибку представлення процеса взаємодії лазерного випромінювання зі зразком.

Результати дисертації впроваджені в лабораторії мас-спектрометричного аналізу Черкаського інженерно-технологічного інституту у вигляді алгоритмів і програмного забезпечення, яке дозволяє виконувати корекцію спектральних піків для ЛМСА. Використання методики розрахунка по результатам роботи дозволило провести дослідження по розробці методу лазерної масс-спектрометрії для аналізу композіційних материалів на основе карбіда бора з титан-никель-молибденовою зв'язкою і плазмених покриттів на основі карбідів титана і хрома, а також сплавів, що самофлюсуються. За допомогою впровадженого програмного забезпечення похибка проведення кількісного і якісного аналізу наведених речовин зменшилася в залежності від досліджуваної речовини на 5% - 35%.



ПУБЛІКАЦІЇ ЗА ТЕМОЮ ДИСЕРТАЦІЇ

1. Засядько А.А. Использование ортогональных дискретных преобразований в задаче редукции// Збірник наукових праць Інституту проблем моделювання в енергетиці.- 1998. - № 1. - С.12-19.

2. Засядько А.А. Використання ортогональних дискретних перетворень у кiлькiсному спектральному аналiзi // Експрес - новини: наука, технiка, виробництво. - 1997. - № 19-20. - C. 29-30.

3. Засядько А.А. Швидкодiючий алгоритм розв'язання систем рiвнянь для визначення заданного спектру // Експрес-новини: наука, технiка, виробництво, 1997. - № 17-18. - C. 9-10.

4. Засядько А.А., Колесник Ю.В., Литвин А.И., Подгорный О.В. Анализ эффективности алгоритмов и программ БОДП // Электронное моделирование.- 1998. - № 5. - С. 109-111.

5. Литвин А.И., Засядько А.А. Общий подход к векторным алгоритмам преобразований Уолша // Известия ВУЗов. Радиоэлектроника. -1997. - № 3. - С.65-68.

6. Литвин А.И., Засядько А.А. Способы построения матриц комплексных функций Уолша // Изв. ВУЗов. Радиоэлектроника. - 1995 - № 5. - С.70-73.

7. Литвин А.И., Подгорный О.В., Засядько А.А. Способы построения взвешенных дискретных преобразований Уолша // Известия ВУЗов. Радиоэлектроника. - 1994. - № 11. - С.64-67.

8. Решение систем линейных алгебраических уравнений с эрмитовыми матрицами / Литвин А.И., Бойко Т.А., Засядько А.А., Подгорный О.В. //Электронное моделирование. - 1997. - № 4. - С. 105-108.

9. Росошек С.К, Литвин А.И., Засядько А.А. Обобщенные кронекеровские произведения матриц и их применение // Электронное моделирование. - 1997. - № 5. - С. 12 - 20.

10. Особистий внесок автора. У роботах, написаних у співавторстві, автору належать: [4] - розроблені програми реалізації швидких алгоритмів дискретних ортогональних перетворень Уолша; [5] - на основі аналізу швидких алгоритмів дискретних ортогональних перетворень Уолша, які використовують узагальнені кронекерівські добутки матриць, здобувачем були виділені загальні особливості цих алгоритмів і розроблена факторизація, яка дозволяє робити перехід між різними впорядкуваннями матриць Уолша; [6,7] - здобувачем розроблений алгоритм одержання матриць коефіціентів за допомогою узагальнених кронекерівських добутків при побудові матриць комплексних і зважених перетворень Уолша; [8] - здобувачем запропонований ітераційний процес для уточнення одержаного розв'язку при розв'язанні систем лінійних алгебраїчних рівнянь діагоналізацією матриць за допомогою ДОП. Розробка програм для підтвердження ефективності алгритмів; [9] - здобувачем введені і одержані за допомогою кронекерівських добутків алгоритми факторизацій матриць перестановок, які використовуються в швидких алгоритмах дискретних ортогональних перетворень Уолша. Розглянуті і доведені нові властивості кронекерівських добутків матриць.



АНОТАЦІЇ

Засядько А.А. Алгоритми розв'язку задачі відновлення сигналів в спектроскопії з використанням дискретних ортогональних перетворень. - Рукопис. - Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата технічних наук за спеціальністю 01.05.02. - математичне моделювання та обчислювальні методи. - Інститут проблем моделювання в енергетиці НАНУ, м. Київ, 2000.

Дисертаційна робота вирішує важливу науково-технічну задачу підвищення точності інтерпретації результатів спектроскопічних вимірювань на основі розв'язання інтегрального рівняння Фредгольма першого роду. Досліджуються підходи до розв'язання цієї задачі на основі способу модельних прикладів з використанням дискретних ортогональних перетворень. Aлгоритми розраховані на різну ширину апаратної функції спектрального приладу і можуть застосовуватися при неточному заданні апріорної інформації, одержуваної в процесі дослідження речовини методами спектроскопії. Використання алгоритму діагоналізації матриць при розв'язанні СЛАР за допомогою ДОП в розробленому алгоритмі первинної обробки сигналів в порівнянні з іншими алгоритмами дозволяє підвищити якість ров'язку задачі відновлення спектральних піків, що підтверджується результатами впровадження комплекса програм, який реалізує всі запропоновані в роботі алгоритми при лазерному масспектрометричному аналізі.

Ключові слова: задача відновлення, обчислювальні методи, дискретні ортогональні перетворення, інтегральні рівняння, швидкі алгоритми.

Zasyad'ko A.A. The solving algorithms of signal restoring problem in spectroscopy using Orthogonal Discrete Transforms. -Manuscript. - Thesis for a candidate's degree by speciality 01.05.02 - mathematical modeling and numerical methods.- The Institute of Simulation Problems in Power of National Academy of Science of Ukraine.-Kyiv, 2000.

The important scientific problem of increasing accuracy of spectroscopic measurements is regarded in the dissertation. This problem can be solved on the base of Fredgholm integral equations of the first kind. Approaches based on the model sampling method with the use of discrete orthogonal transforms are investigated. Proposed algorithms can take into account various width of a spectral device. They can be applied if information obtained by spectroscopic analysis of the substance is non-exact. The algorithm based on matrix diagonalization with the use of discrete orthogonal transforms allows to improve quality of recognizing spectral peaks. Algorithms regarded in the dissertation were implemented in the program package which was developed for laser mass-spectrometric analysis. Practical use of this package confirms effectiveness of the algorithms.

Key words: restoring task, discrete orthogonal transforms, integral equations, numerical methods, fast algorithms, interpreting of experimental data.

Засядько А.А. Алгоритмы решения задачи восстановления сигналов в спектроскопии с использованием дискретных ортогональных преобразований. - Рукопись. - Диссертация на соискание ученой степени кандидата технических наук по специальности 01.05.02. - математическое моделирование и численные методы. - Институт проблем моделирования в энергетике НАНУ, г. Киев, 2000.

В диссертационной работе решается важная научно-техническая задача повышения точности интерпретации результатов спектроскопических измерений на основе решения интегрального уравнения Фредгольма первого рода. Эта задача возникает при проведении количественного и качественного анализа в спектроскопии. Исследуются подходы к решению этой задачи на основе способа модельных примеров с использованием дискретных ортогональных преобразований. Особое внимание обращается на необходимость учета неточного задания аппаратной функции, плохой обусловленности аппроксимирующих матриц, свойственных аппаратным функциям спектральных приборов. Проводится сравнительный анализ различных методов решения задачи с учетом таких параметров, как: количество отсчетов восстанавливаемой и экспериментальной зависимости, ширина аппаратной функции спектральных приборов, параметр регуляризации, относительный диапазон интегрирования, вид дискретных ортогональных преобразований. На основе этого анализа разработаны рекомендации по использованию дискретных ортогональных преобразований при решении задачи восстановления в спектроскопии.

Алгоритмы рассчитаны на различную ширину аппаратной функции спектрального прибора и могут применяться при неточном задании априорной информации, получаемой в процессе исследования вещества методами спектроскопии. Использование алгоритма диагонализации матриц при решении систем линейных алгебраических уравнений с помощью ДОП в разработанных процедурах первичной обработки сигналов в сравнении с рассмотренными алгоритмами позволяет повысить точность решения задачи восстановления спектральных пиков, что подтверждается результатами внедрения комплекса програм при лазерном масс-спектрометрическом анализе. Разработанный комплекс программ реализует все предложенные в данной работе алгоритмы. Для реализации алгоритма диагонализации матриц, использованном при решении рассмотренной задачи восстановления, предложены быстрые алгоритмы ДОП Уолша, в которых разработаны эффективные факторизации матриц коэффициентов и матриц перестановок для разных видов преобразований Уолша. Разработанные быстрые алгоритмы ДОП Уолша помимо рассматриваемых в данной работе задач можно использовать в цифровой обработке сигналов.

Разработаны процедуры первичной обработки сигналов, основанные на использовании дискретных ортогональных преобразований при решении задачи восстановления сигналов в спектроскопии способом модельных примеров и апробированы в лазерном масс-спектрометрическом анализе. Исследование термо- и газодинамических моделей взаимодействия лазерного излучения с веществом позволило получить модельные примеры на основе интегрального уравнения Фредгольма первого рода для прибора лазерного масс-спектрометрического анализа ЭМАЛ-2.

Использование методики расчета по результатам работы позволило провести исследования по разработке метода лазерной масс-спектрометрии для анализа композиционных материалов на основе карбида бора с титан-никель-молибденовой связкой и плазменых покрытий на основе карбидов титана и хрома, а также самофлюсующихся сплавов. С помощью внедрения в лабораторию ЧИТИ по масс-спектрометрическому анализу разработанного комплекса программ погрешность проведения количественного и качественного анализа приведенных веществ уменьшилась в зависимости от исследуемого вещества на 5% - 35%.

Ключевые слова: задача восстановления, численные методы, дискретные ортогональные преобразования, интегральные уравнения, быстрые алгоритмы, интерпретация экспериментальных данных.

Размещено на Allbest.ru

...