Напівгрупи та майжекільця перетворень

Размещено на http://www.allbest.ru

Размещено на http://www.allbest.ru

Вступ

Актуальність теми. Однією з характерних ознак сучасного етапу розвитку алгебри є підвищення активності досліджень в областях, проміжних від теорій класичних алгебраїчних систем (груп, кілець та модулів, асоціативних алгебр тощо) з одного боку до загальної теорії універсальних алгебр - з іншого. Це явище прогнозувалось О.Г. Курошем як таке, що вiдповiдає основним тенденціям розвитку сучасної загальної алгебри (див., наприклад, вступ до монографії "Курош А.Г. Общая алгебра (лекции 1969-1970 уч.г.) // М.: Наука. - 1974.- 160с.).

До таких проміжних областей належить i теорія майжекiлець, що своїми витоками сягає робіт Дiксона 1905р. (Dickson L. Definitions of group and a field by independent postulates // Trans. Amer. Math. Soc.- 6.- p.198-204; Dickson L. On finite algebras // Nachr. Acad. Wiss. Gцttingen.- 1905.- p. 358-393).

Розвиток теорії майжекiлець поділяється на три основних етапи. Перший етап (до початку 40-х рр.) - дослідження основних загальних властивостей майжекiлець, описання деяких класів скiнченних майжекiлець, застосування в теорії груп підстановок (Цассенхауз, Оре, Таусська, Фiттiнг, Веблен, Веддербарн).

На другому етапі свого розвитку (початок 40-х рр - кінець 70-х рр.) теорія майжекiлець застосовується в задачах класифiкацiї нелiнiйних математичних структур (Menger K. Algebra of analysis // Notre Dame Math. Lect.- 1944.- N3; Menger K. Tri-operational algebra // Report of a Math. Colloq. Second Series, Issue 5-6, Notre Dame.- 1944.- p.3-10; . Jordan P. Ьber polynomiale Fastringe // Acad. Wiss. Mainz. Math.- Nat. Kl.- 1951.- p. 337-340). Закладено основи структурної теорiї майжекiлець (Blackett D. W. Simple and semisimple near-rings // Proc. Amer. Math. Soc.- 1953.- 4.- p.772-785). Виявлено зв`язки з теорією групових многовидiв (Neumann H. On varieties of groups and their associated near-rings // Math. Z.- 1956.- 65.- pp. 36-69). В термінах теорії майжекiлець покладено початок не комутативної гомологічної алгебри (Фрьолiх, серiя робiт 1959-1962 рр). В цей період виявлено простоту майжекiлець деяких класів i, зокрема, повних майжекiлець перетворень груп (симетричних майжекiлець на групах) та полiномiальних майжекiлець над полями нульової характеристики. Отримано аналоги теорем Джекобсона, Веддербарна-Артiна, деяких інших теорем структурної теорії кілець (Berman, Silverman, Betsch, Mlitz, Scott та iн.). Покладено початок теорії радикалів майжекiлець (Betsch, Meldrum, Holcombe, Pilz, Oswald, Angerer, К. Каарлi та ін.). З`явились огляди та пiдсумковi монографії з теорії майжекiлець (Pilz G. Near-rings // North-Holland American Elsevier, Amsterdam.- 1977.- 464p.).

Третій етап розвитку теорії майжекiлець - сучасний. Поглиблюється класифiкацiя майжекiлець, численнішими стають майжекiльцевi конструкції, поширюються застосування. Активно розвивається теорія радикалів. Почалося вивчення матричних, групових та напiвгрупових майжекiлець (Mason, Ligh, Meldrum та ін.), інших алгебраїчних систем, пов`язаних з майжекiльцями, з`явились деякі узагальнення (Andre, Bachman, Williams, Ferrero, Cotti, Veldsman, Stefanescu, Velasco та ін.). Методи теорії майжекiлець почали вiдiгравати суттєву роль в класифiкацiї кратно транзитивних груп підстановок (Kerby, Karzel, Wefelscheid, Hille, Bцhm, Bohnenstengel та ін.).

До проблематики теорії майжекiлець звертались О.Г. Курош, Б. I. Плоткiн та їх учні. Деякими питаннями теорії майжекiлець та її зв`язкам з теорією мультиоператорних груп тощо присвячено роботи С.В. Полiна, Ю.В. Кузьмiна, В.Г. Марина, К. Каарлi.

В Україні однією з перших робіт, в яких розглядаються майжекiльця, є робота "Калужнин Л.А., Сущанский В.И. Вербальные функции на группах // Теор. и прикл. вопр. диф. ур. и алгебры. К.: Нукова думка.- 1977.- с.105-110". Пiзнiше з`явилися роботи, пов`язанi з вивченням групових вiдображень та майжекiлець перетворень (Кириченко В.В., Усенко В.М., Кiртадзе Л.В., Мiхайлова I.О., Рябухо О.М.).

Констатуючи високий рівень розвитку досліджень з теорії майжекiлець слід зазначити, що однією з центральних проблем цієї теорії залишається проблема класифiкацiї майжекiлець перетворень груп.

Частину труднощів в цій області з одного боку зумовлено обмеженістю класичних факторизацiйних методів, та вiдсутнiстю адекватних майжекiльцевих конструкцій - з іншого. Недосить уваги приділялося використанню мультиплікативних властивостей майжекiлець перетворень. Довгий час лишався невикористаним потенціал деяких концепцій, що виникли в теорії груп та в теорії напiвгруп, можливості яких виходили далеко за межі цих теорій. Це стосується перш за все концепції, що полягала в реалiзацiї відношень між алгебраїчними системами у вигляді категорій пар таких систем. З початку 60-х років цю концепцію було втілено Б.I. Плоткiним та його школою в теорії групових пар з широко розгалуженими подальшими застосуваннями в теорії зображень груп групами автоморфiзмiв алгебраїчних систем. В теорії напiвгруп в той же період концепцію спарювання (спряження) алгебраїчних систем було реалізовано теорією напiвгруп ендоморфiзмiв математичних структур (в розумiннi Бурбакi), початок якої було покладено Л.М. Глускiним серією робіт про визначуванiсть деяких класiв математичних структур своїми напiвгрупами ендоморфiзмiв. При цьому групами автоморфiзмiв такі структури як правило не визначалися. В основі методів теорії напiвгруп ендоморфiзмiв було покладено метод щільних розширень (Л.М. Глускiн, Б.М. Шайн, Л.Н. Шеврiн, М. Петрiч).

Актуальність теми цієї дисертаційної роботи визначено її метою: розповсюдження концепції спряження алгебраїчних систем на теорію майжекiлець i застосування її до проблеми класифiкацiї майжекiлець перетворень. Основними задачами при цьому є:

* описання структурних властивостей майжекiлець перетворень та їх мультиплікативних напiвгруп, якими вони визначаються з точністю до iзоморфiзму (проблема абстрактної характеризацiї);

* описання факторизацiйних властивостей майжекiлець перетворень груп, мультиплікативних напiвгруп таких майжекiлець, що визначаються факторизацiйними властивостями вiдповiдних груп.

Робота виконується за тематикою наукових досліджень кафедри алгебри та математичної логіки Київського університету iменi Тараса Шевченка та кафедри алгебри Слов`янського державного педагогічного інституту i, зокрема, у вiдповiдностi з програмами

* НДР "Теорiя алгебраїчних систем та їх зображень i її застосування" (держ. реєстр. N 0197U003160) за комплексною науковою програмою Київського Університету iменi Тараса Шевченка "Побудова та застосування математичних методів дослідження детермінованих та стохастичних еволюційних систем" (наказ N 25 від 20.01.97).

* НДР "Класифiкацiйнi методи алгебри, аналізу та геометрії" (держ. реєстр. N 0197U019321), виконуваної за координаційною програмою Мiнiстерства освіти України "Геометричні та аналiтичнi методи в математиці та її застосуваннях" (рiшення науково-експертної ради Мiнiстерства освіти від 27.12.96, протокол N 1).

Основні методи дослідження - загальноалгебраїчнi з використанням методів теорії напiвгруп та теорії майжекiлець.

Автором запропоновано також нові методи вивчення структурних властивостей напiвгруп ендоморфiзмiв та майжекiлець перетворень. Основою цих методів є визначене автором напiвгрупове узагальнення поняття групової пари та введене в роботі поняття напiвретракцiї (лiвої, правої, симетричної) моноїду. За допомогою цих понять в роботі побудовано напiвгруповi та майжекiльцевi конструкції, в термінах яких i сформульовано основні результати.

1. Основні поняття теорії напiвгруп та майжекiлець. Результати досліджень про загальні властивості напiвгруп перетворень, напiвгруп ендоморфiзмiв вільних груп, дистрибутивних майжекiлець та деяких їх узагальнень

Основними результатами розділу є абстрактна характеристика напiвгрупи ендоморфiзмiв вільної групи зліченного рангу та описання дистрибутивних нiльпотентних майжекiлець з метабельовою адитивною групою.

Абстрактну характеристику напiвгрупи (X)=F(X) ендоморфiзмiв вільної групи F(X) в зліченному алфавiтi X отримано методом Л.М. Глускiна ідеальних щільних розширень напiвгруп. Для цього використано множину 0(X) усiх таких (X) , образи яких є циклічними підгрупами групи F(X). Елементи множини (X) названо в роботі автоiндексуваннями групи F(X). Доведено, що 0(X) - щiльний iдеал в (X), а (X) - єдине (з точністю до iзоморфiзму) максимальне щільне розширення ідеалу 0(X). Звідси випливає:

Напiвгрупа S тоді й лише тоді є ізоморфною напiвгрупi ендоморфiзмiв деякої вільної групи F(X), коли S є максимальним щільним розширенням деякого свого ідеалу, ізоморфного напiвгрупi 0(X) автоiндексувань групи F(X).

Отримано, крім того, описання однієї з фактор напiвгруп напiвгрупи 0(X) в термінах напiвгруп Рiса матричного типу.

Майжекiльце N з метабельовою адитивною групою назвемо майжекiльцем Левi, якщо воно є дистрибутивним, добуток xy будь-яких його елементiв x,y де N належить центру адитивної групи i xyz=0 для всiх x,y,z N (нiльпотентнiсть степеня 3). Добре відомо, що майжекiльця Левi виникають кожного разу, коли на довiльнiй метабельовiй групi (G*) визначити мультиплікативну операцію за правилом xy=[x;y]=x*y*x*y. В довільному випадку для описання майжекiлець Леві в роботі визначається поняття L пари метабельової групи. L - пара метабельової групи G складається з абельової групи G та гомоморфiзму G:xx, що задовольняють деяким умовам, близьким до центральності в розумiннi Л.А. Калужнiна (Kaloujnine Lber gewisse Beziehungen zwischen einer Gruppen und ihren Automorphismen // Ber. Math.- Tagung Berlin.- 1953.-164-172). Має місце твердження: майжекiльце N з метабельовою адитивною групою G тоді й лише тоді є майжекiльцем Леві, коли iснує така L - пара групи G , що xy=yx*y для всіх x,y.

Серед інших результатів першого розділу відзначимо описання напiвгрупи ультраендоморфiзмiв довільної групи.

Перетворення групи G назвемо Un - ендоморфiзмом (n2), якщо (g1·...·gn)=g1·...·gn для всiх g1,...,gn. Доведено, що множина UE(G) усіх Un -ендоморфiзмiв (для всiх nN, n2 ) групи G є напiвгрупою відносно операції композиції. Елементи напiвгрупи UE(G) названо в роботі ультраендоморфiзмами групи G. Коли група G не містить елементів скiнченного порядку маємо UE(G)=G. В загальному ж випадку для описання будови напiвгруп ендоморфiзмiв визначено поняття афінного полігону, яке виявилося корисним i для описання пiдмоноїдiв напiвпрямого добутку моноїдiв.

До предметної області спеціальної теорії бінарних спряжень алгебраїчних систем слід віднести пари (A;B) разом з деякими морфiзмами їх компонент в iншi алгебраїчні системи. Найпростішими об`єктами спеціальних теорій є згортки пар алгебраїчних систем - діаграми вигляду з різними способами визначення їх морфiзмiв. Частиною спеціальної теорії є локальна теорія пари (A;B) , де A, B - довiльнi (але фiксованi) алгебраїчнi системи. Морфiзмом вищенаведеної діаграми в діаграму при цьому виступає гомоморфізм UU', що задовольняє природнім вимогам щодо комутативності квадрату, який при цьому виникає.

Окрему предметну область (сказати б, область конструктивної теорії пар алгебраїчних систем) утворюють унiверсальнi об`єкти спеціальних категорій та коунiверсальнi об`єкти загальних категорій пар з огляду на їх можливі застосування у вiдповiдних структурних теоріях.

Зміст багатьох відомих на цей час результатів дозволяє говорити про ту чи іншу форму реалiзацiї потенціалу загальної та спеціальної теорій пар алгебраїчних систем, хоча формування вiдповiдних напрямків в явному вигляді ще далеко від завершення.

Спецiальнi теорії пар алгебраїчних систем поки що не утворюють самостійного напрямку, хоча феноменологiчно такі теорії вже склалися в межах гомологічної алгебри, теорії зображень тощо. Досить зазначити, що, наприклад, шрейєрова теорія групових розширень може бути викладеною мовою вiдповiдної теорії шрейєрових пар, які на вiдмiну від групових пар, що вiдповiдають зображенням, визначаються параметризованими відображеннями однієї компоненти в групу автоморфiзмiв другої.

Категорії модулів над різними класами кілець містять в собі надзвичайно широкий спектр спеціальних категорій пар.

Найтиповішим феноменом спеціальних категорій є техніка універсальних та коунiверсальних квадратів, застосування якої неодноразово демонструвало її плiднiсть (див., наприклад, Генералов А.И. Относительная гомологическая алгебра и относительные группы Гротендика колец // Дисс. ... доктора физ-мат наук. Санкт-Петербург.-1991.-с.242.).

Зрозуміло, однак, що самостійний розвиток спеціальних теорій пар алгебраїчних систем ще чекає необхідних стимулів з боку теорій iндивiдуальних алгебраїчних систем, що не піддаються вивченню методами комутативної гомологічної алгебри, та потребує змістовної феноменології спряжень алгебраїчних систем різних класів. Потенціальна наявність останньої обґрунтовується, зокрема, теоремою Бiркгофа про реалiзацiю груп групами автоморфiзмiв універсальних алгебр, а також теоремою Еренфойхта-Мостовського про реалiзацiю груп підгрупами груп автоморфiзмiв моделей.

Вiдповiднi стимули зароджувались, зокрема, в теорії напiвгруп та в теорії майжекiлець.

Деякі нові аспекти спеціальної теорії пар виникають в зв`язку з поняттям гомоморфiзмiв сплетення (Григорчук Р.И., Курчанов П.Ф. Некоторые вопросы теории групп, связанные с геометрией // Итоги науки и техн. Соврем. пробл. матем. Фундам.направления.-1990.- 58.- с.191-256.).

2. Поняття напiвгрупової пари та спеціальної категорії згорток напiвгрупової пари

Описано універсальний об`єкт цієї категорії. Визначено та охарактеризовано поняття NR - спряження групи та майжекiльця.

В основі методів, що застосовуються, лежить поняття напiвретракцiї моноїдiв, введене та детально вивчене в першому параграфі розділу.

Перетворення моноїду (M,*) назвемо лівою напiвретракцiєю цього моноїду, якщо (x*y)=(x) при будь-яких x,y. В двоїстий спосіб визначаються правi напiвретракцiї. Якщо перетворення одночасно є лівою та правою напiвретракцiєю, то говоритимемо про (симетричну) напiвретракцiю.

Якщо - симетрична напiвретракцiя моноїду (M,*), то її образ є моноїдом відносно операції a*pi b= (a*b). Цей моноїд позначається через M}pi i називається мутацією моноїду M. Ліва (права) напiвретракцiя моноїду M називається регулярною, якщо її образ є пiдмоноїдом в M. Отримано критерії регулярності однобічних напiвретракцiй.

Визначаються та вивчаються напiвгруповi пари Б. Неймана - об`єкти загальної категорії напiвгрупових пар.

Спряженням Б. Неймана моноїдiв (M1,*), (M2,*) назвемо пару відображень: M1T(M2):tt : M2T(M1):tt, перше з яких є гомоморфізмом, друге - антигомоморфiзмом (T(X) - симетрична напiвгрупа на множині X), для яких виконуються умови (u*v)x=uxx*vx. Сукупність (M1;M2) називатимемо в цьому випадку напiвгруповою парою Б. Неймана. Згорткою пари Б. Неймана (M1;M2) називається моноїдна діаграма. що задовольняє умовам yr*xl=xyl*yxr. Природно при цьому виникає категорія згорток пари Б. Неймана (M1;M2).

напiвретракцiя ізоморфізм моноїд мультиплікативний

Література

1. Усенко В.М. Про напівпрямі добутки груп // Вісник Київ. Ун-ту. Матем. і мех. - 1985.- 27.- с.87-90.

2. Усенко В.М. Подгруппы полупрямых произведений групп // Укр. матем. журн. - 1991.- т.43, NN7,8.- с.1048-1055.

3. Усенко В.М. Редуковані гомоморфізми та підгрупи прямих добутків // Доп. АН України. Сер. А.- 1992.- N10.- с.3-5.

4. Кириченко В.В., Усенко В.М. До загальної теорії адитивних функцій на групах // Доп. АН Украњни. Сер. А.- 1992.- N11.- с.3-5.

5. Усенко В.М. Скісні гомоморфізми та загальні добутки груп // Доп. АН України. Сер. А.- 1992.- N12.- с.3-5.

6. Усенко В.М. Епіфільтри та однобічні ідеали напівгруп перетворень // Вісник Київ. Ун-ту. Сер. фіз-мат.н.- 1993.- вип.1.- с.60-64.

7. Усенко В.М. S-гомоморфізми та загальні добутки груп // Вісник Київ. Ун-ту. Сер. фіз-мат.н.- 1993.- вип.3.- с.81-87.

8. Усенко В.М., Киртадзе Л.В. О почтикольцах с ортодоксальными идемпотентами // Докл. АН Украины. Сер. А.- 1993.- N5.- c.5-8.

Размещено на Allbest.ru