Дифференциальные уравнения в частных производных первого порядка

Размещено на http://www.allbest.ru

1. Уравнения в частных производных первого порядка

Основные понятия.

Дифференциальным уравнением в частных производных называется дифференциальное уравнение, в котором неизвестные функции являются функциями более чем от одной независимой переменной.

Рассмотрим несколько простейших примеров.

Пример 1.

Интегрируя по x, получаем:

где произвольная функция y.

Пример 2.

,

или:

.

Интегрируя по x, получаем:

,

где - произвольная функция .

Интегрируя теперь по , получим:

где - произвольная функция по х. Или обозначая:

,

окончательно будем иметь:

,

где , в силу произвольности функции , тоже является произвольной дифференцируемой функцией у.

Приведенные примеры наводят на мысль, что общее решение дифференциального уравнения в частных производных первого порядка зависит от одной произвольной функции.

Это предложение оказывается справедливым, но нуждается в уточнении. Для его уточнения сформулируем теорему С.В. Ковалевской о существовании и единственности решения уравнения в частных производных.

Теорема 1 (теорема Ковалевской). Существует единственное аналитическое в окрестности точки решение уравнения, разрешенного относительно одной из производных максимального порядка:

,

удовлетворяющее условиям при:

,

если функции ,,…, являются аналитическими функциями в окрестности начальной точки , а является аналитической функцией в окрестности начальных значений своих аргументов , ,.

Решение определяется заданием начальных функций ,,…,, произвольно меняя которые в классе аналитических функций, мы получим совокупность аналитических решений исходного уравнения, зависящую от р произвольных функций.

2. Линейные дифференциальные уравнения в частных производных первого порядка

Определение.

Линейным однородным уравнением с частными производными первого порядка называется уравнение вида:

,

где - заданные функции, непрерывно дифференцируемые в рассматриваемой области G, - неизвестная функция.

Коэффициенты уравнения одновременно не обращаются в нуль ни в одной точке из G.

Решением уравнения будем называть непрерывно дифференцируемую в G функцию , обращающую равенство в тождество.

Геометрическое решение уравнения можно интерпретировать как некоторую гладкую n-мерную поверхность называемую интегральной поверхностью для данного уравнения.

Поставим в соответствие уравнению с частными производными систему обыкновенных дифференциальных уравнений, в симметрической форме записываемую в виде:

Такую систему ОДУ называют характеристической для уравнения, а ее решения (интегральные кривые) - характеристиками уравнения.

Характеристическая система удовлетворяет теореме существования и единственности решений, поэтому через каждую точку области G проходит единственная характеристика уравнения, в параметрической форме представимая в виде n функций:

Для системы ОДУ определено понятие первого интеграла. В соответствие с ним под первым интегралом характеристической системы уравнения будем понимать отличную от константы непрерывно дифференцируемую в G функцию , которая на любой характеристике данного уравнения имеет постоянное значение:

где С - константа.

Теорема 2. Функция является решением уравнения (2) тогда и только тогда, когда является первым интегралом системы.

Доказательство.

1) Достаточность(). Пусть имеется уравнение

Очевидно, что уравнение определяет первый интеграл системы, тогда и только тогда, когда для любого ее решения :

Отсюда:

.

.

Но из (3) находим:

.

Следовательно:

.

Таким образом, функция является решением уравнения.

Необходимость. Легко проверить, что условие является не только необходимым, но и достаточным условием того, что уравнение определяет первый интеграл системы дифференциальных уравнений. Следовательно, если - решение уравнения, то уравнение определяет первый интеграл системы.

3. Квазилинейные дифференциальные уравнения в частных производных первого порядка.

Определение.

Квазилинейным называется уравнение:

,

где от переменных , z в области D; считаем, что .

Уравнение связано с автономной системой уравнений:

,

Здесь и т.п. Траектория системы в пространстве - это линии, называемые характеристиками уравнения, а решение уравнения изображается n-мерной поверхностью Считаем, что в области , а точки .

Теорема 3. Поверхность является решением уравнения тогда и только тогда, когда она целиком состоит из характеристик. То есть через каждую точку поверхности проходит характеристика, целиком лежащая на поверхности.

Доказательство. Если линия - характеристика, лежащая на поверхности, то в каждой точке линии вектор нормали к поверхности ортогонален касательному к этой линии вектору ( Их скалярное произведение равно нулю:

Если через каждую точку поверхности проходит такая линия, то это равенство выполнено на всей поверхности, то есть поверхность удовлетворяет уравнению.

Обратно, если поверхность P( удовлетворяет уравнению, то в каждой точке поверхности выполнено, то есть вектор( ортогонален нормали к поверхности значит касается поверхности. Таким образом, на поверхности P определено поле касательных векторов. Покажем, что через произвольную точку M( проходит лежащая на Р траектория этого векторного поля. В области G - проекции поверхности Р на плоскость - рассмотрим систему:

Через точку ()проходит решение этой системы.

Линия L:

, ,

лежит на поверхности P( и проходит через точку М. Покажем, что L-характеристика. Первым n уравнениям системы она удовлетворяет в силу и равенства на Р. Далее,

Поверхность удовлетворяет уравнению, поэтому последняя сумма равна b(. Итак, линия L удовлетворяет и последнему уравнению системы, то есть является характеристикой.

Теорема 4. (об общем решении квазилинейного уравнения).

Пусть , i=1,…,n - какие-либо независимые первые интегралы системы. Функция является решением уравнения в окрестности точки М своего графика, тогда и только тогда она удовлетворяет равенству:

при какой-либо функции такой, что N=0, в точке М.

Доказательство. Левая часть при любой функции постоянная вдоль траекторий системы, значит, является ее первым интегралом. При равенство определяет вблизи точки М неявную функцию .

Покажем, что формула содержит все решения уравнения. Пусть, например, Тогда вблизи точки М характеристики уравнения удовлетворяют системе:

Пусть -любое решение уравнения, М() -т очка на его графике. Решение системы с начальными условиями:

(i=2,…n),

,

обозначим:

,

.

При получаем точку М. В этой точке якобиан det в силу. В некоторой окрестности точки М систему по теореме о неявных функциях можно разрешить относительно

Функции - первые интегралы системы. Поверхность =0 совпадает с данной поверхностью , так как они обе состоят из характеристик - решений системы с начальными условиями, где . Найдется такая функция , что .Здесь - независимые первые интегралы системы.

Покажем, что в точке М. В этой точке:

.

Следовательно, в точке М.

Замечание. В случае, когда z входит только в один из первых интегралов, например, только в , вместо можно написать:

где Н произвольная функция. Разрешая, если возможно, это уравнение относительно z, получим общее решение уравнения в явном виде.

4. Задача Коши для квазилинейного уравнения

Чтобы упростить формулировки, ограничимся случаем, когда искомая функция z зависит только от двух переменных x и y.

Требуется найти поверхность , удовлетворяющую уравнению:

,

и проходящую через линию L

,

Предполагаем, что данные функции принадлежат .

Пользуясь геометрическим смыслом характеристик, можно предложить такой способ построения решения задачи Коши. Через каждую точку линии L надо провести характеристику. Если из этих характеристик составится гладкая поверхность z=f(x,y), то она и будет решением задачи Коши.

Теорема 5. Пусть на дуге линии L:



Тогда в некоторой окрестности каждой точки дуги существует единственное решение задачи Коши.

Доказательство. Так как и то через каждую точку , дуги проходит единственная характеристика:

,

Функции удовлетворяют системе уравнений вида и начальным условиям:

=,

Поверхность, состоящая из таких характеристик, выражается формулами, где:

Таким образом, есть параметрическое задание искомой поверхности.

Покажем, что в окрестности любой точки дуги эту поверхность можно записать в виде z=f(x,y). Для этого надо разрешить первые два уравнения относительно и подставить в третье. Функции . Уравнения удовлетворяются в любой точке по дуге в силу. В этой точке согласно а в силу ,, поэтому якобиан:



Значит, в окрестности этой точки по теореме о неявных функциях первые два уравнения можно разрешить относительно и получить функции t=t(x,y),s=s(x,y). Подставляя их в третье уравнение, получаем искомое решение, в виде Существование решения доказано.

Его единственность следует из того, что любое решение есть поверхность Вблизи любой точки дуги функции , определяются однозначно. Поэтому решение z-тоже.

Пример 3. Найти общее решение уравнения:

а также поверхность , удовлетворяющую этому уравнению и проходящую через линию:

z+ x+y=1.

Решение.

Пишем в симметричной форме систему уравнений, определяющую характеристики:

.

Находим независимые первые интегралы:



Общее решение уравнения можно записать в виде:

.

Чтобы найти поверхность, проходящую через линию, надо сначала из уравнения исключить x,y,z и получить равенство. Которое может содержать только , Для этого можно, например, из уравнения выразить y,z через x и подставить эти выражения:

y=1-x, z=2x-;

Исключая x из последних двух равенств, получаем:

Подставляя сюда вместо первые интегралы после упрощений получаем искомое решение:

.

квазилинейный коши геометрический

Список литературы

1. Л.Э. Эльсгольц. Дифференциальные уравнения, 2008 - С.241-243.

2. А.Ф. Филиппов. Введение в теорию дифференциальных уравнений, 2006 - С.221-232.

3. Б.М. Демидович, В.П. Моденов. Дифференциальные уравнения, 2008 - С.146-156.

Размещено на Allbest.ru

...