Математичне моделювання коливань рідини в баках з перегородками

Размещено на http://www.allbest.ru/

Національна академія наук України

Інститут кібернетики імені В.М. Глушкова

КУЛИК Анатолій Борисович

УДК 519.633.2

МАТЕМАТИЧНЕ МОДЕЛЮВАННЯ КОЛИВАНЬ РІДИНИ В БАКАХ З ПЕРЕГОРОДКАМИ

01.05.02--математичне моделювання та обчислювальні методи

АВТОРЕФЕРАТ

дисертації на здобуття наукового ступеня

кандидата фізико-математичних наук

Київ -- 2001

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана в Інституті математики НАН України.

Науковий керівник: член-кореспондент НАН України,

доктор фізико-математичних наук, професор Макаров Володимир Леонідович, Інститут математики НАН України, завідувач відділу обчислювальної математики.

Офіційні опоненти:

член-кореспондент НАН України, доктор фізико-математичних наук, професор Скопецький Василь Васильович, Інститут кібернетики НАН України імені В.М. Глушкова, завідувач відділу математичних систем моделювання проблем екології та енергетики;

кандидат фізико-математичних наук, Комаренко Олександр Никодимович, старший науковий співробітник Інститут математики НАН України.

Провідна установа: Львівський національний університет імені Івана Франка, кафедра обчислювальної математики, м. Львів.

Захист відбудеться “22” червня 2001 р. об 11 годині на засіданні спеціалізованої вченої ради Д 26.194.02 при Інституті кібернетики імені В.М. Глушкова НАН України, 03187, МСП, м. Київ, просп. Академіка Глушкова, 40.

З дисертацією можна ознайомитися в бібліотеці Інституту кібернетики імені В.М. Глушкова НАН України, проспект академіка Глушкова, 40

Автореферат розіслано “16” травня 2001р.

Вчений секретар спеціалізованої вченої ради Синявський В.Ф.

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми. Починаючи з середини XIX століття, проблема коливання рідини в твердих та пружних тілах почала привертати увагу багатьох вчених. Фундамент для розвитку даного напрямку механіки заклали всесвітньо відомі вчені Стокс Д.Г, Гельмгольц Г.Л., Нейман .К.Г, Жуковський М.Е. Так, саме Жуковським М.Е. була досліджена задача про рух твердого тіла з порожниною, повністю заповненою ідеальною нестислою рідиною. Але інженерна практика середини ХХ століття висунула ряд нових задач про рух абсолютно твердих або твердих деформованих тіл з порожнинами, частково заповненими рідиною. Значний вклад в розвиток дослідження таких задач зроблено Мікішевим Г.Е., Луковським І.О., Рабіновичем Б.І., Докучаєвим Л.В., Моисеєвим Г.А, Abramson H.N., Bauer H.F., John F та іншими.

Коливання вільної поверхні рідини можуть бути дуже небезпечними при реалізації стійких режимів руху механічної системи або її міцності. Для зменшення впливу шкідливих коливальних явищ вільної поверхні рідини на практиці застосовують різного роду конструктивні пристрої. Широке розповсюдження отримали пристрої у вигляді жорстких та пружних ребер-перегородок. Вони обмежують амплітуду коливання рідини в резонансному режимі, і тим самим виключають появу деяких нелінійних ефектів, які несприятливо впливають на стійкість руху системи в цілому. Вагомий вклад в дослідження впливу ребер-перегородок на коливальні явища зробили Луковський І.О., Троценко В.А. та інші.

На сьогоднішній день задачам про рух твердого тіла з порожнинами, частково заповненими рідиною, присвячена велика кількість робіт. Зокрема, в ракетобудуванні (коливання рідини в паливних баках), в суднобудуванні (коливання рідини в танкерах), вагонобудуванні тощо.

Переважна більшість робіт в цій галузі спрямована на дослідження механічних та фізичних властивостей при коливанні вільної поверхні. Але в той же час математичні властивості розв'язків таких задач досліджені не повністю. Це пов'язано зі складністю системи, що описує об'єкт дослідження і методами її розв'язання.

На початку 90 -х років з'являються нові спектральні методи для розв'язання еволюційних рівнянь, які базуються на перетворенні Келі. За допомогою цих методів можна дослідити математичні властивості розв'язків системи, що описує коливання рідини в твердому тілі. Вагомий вклад в розробку і вивчення таких методів зробили Аров Д.З., Гаврилюк І.П., Макаров В.Л.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Робота виконана у відділі обчислювальної математики Інституту математики НАН України за програмою “Розробка та обґрунтування чисельно-аналітичних методів для розв'язування задач про коливання рідини в баках різної форми“.

Мета і задачі дослідження. Метою роботи є розробка та обґрунтування чисельно-аналітичних методів для розв'язування задач, що моделюють коливання рідини в баках у формі прямокутника та прямокутника з ребрами для двовимірного випадку та у формі паралелепіпеда та паралелепіпеда з ребрами для тривимірного випадку, що здійснюється за допомогою об'єднання методу перетворення Келі зі спеціальним методом тригонометричної колокації для диференціального рівняння другого порядку з необмеженим операторним коефіцієнтом.

Для досягнення вказаної мети в роботі розв'язуються такі задачі:

досліджуються властивості резонансних частот коливання вільної поверхні;

будуються інтерполяційні поліноми, за допомогою яких апроксимується необмежений операторний коефіцієнт для дво- та тривимірного випадків;

проводиться повна дискретна апроксимація вихідної задачі;

наводиться конструктивне представлення розв'язку задачі, що моделює коливання рідини в баках з ребрами-перегородками, будується дискретна модель для двовимірного та тривимірного випадків;

на базі отриманих теоретичних розробок проводяться чисельні експерименти.

Наукова новизна одержаних результатів полягає у наступному:

побудований спеціальний метод тригонометричної колокації, за допомогою якого дискретизується необмежений операторний коефіцієнт у двовимірних та тривимірних задачах;

знайдені і обґрунтовані оцінки похибки тригонометричної інтерполяції;

побудовані дискретні моделі лінійного коливання рідини в баках з ребрами-перегородками;

доведена монотонність резонансних частот коливань вільної поверхні в баках з ребрами в залежності від зміни параметрів, що визначають положення і ширину ребер;

знайдені і обґрунтовані оцінки похибки повної дискретної апроксимації чисельно-аналітичного методу розв'язування задачі, що моделює коливання рідини в баку.

Практичне значення одержаних результатів. Результати, отримані в дисертації, можуть бути використані при конструюванні баків, при дослідженні властивостей коливання вільної поверхні.

Особистий внесок здобувача полягає в тому, що всі результати, які становлять суть дисертаційної роботи, отримані здобувачем особисто. В публікаціях [6-9], які написані в співавторстві, проф. Макарову В.Л. і проф. Гаврилюку І.П. належать постановка задачі та участь в обговоренні теоретичних результатів та результатів чисельних експериментів.

Апробація результатів дисертації. Основні результати дисертації доповідались і обговорювались на міжнародному симпозіумі “Питання оптимізації обчислень” (Київ, 1999), на наукових семінарах Інституту кібернетики НАН України імені В.М. Глушкова (2000, 2001), факультету математики і інформатики Ляйпцігського університету (Ляйпціг, 1999), “Математичні проблеми механіки та обчислювальна математика” (Інститут математики НАН України, 2000), “Сучасні проблеми обчислювальної математики” (Львівський університет імені І. Франка, 2000).

Публікації. Результати дисертації опубліковані в чотирьох друкованих працях [6-9], з яких три статті у виданнях із переліків, затверджених ВАК України, одна стаття у міжнародному іноземному журналі.

Структура і обсяг дисертації. Дисертаційна робота складається із вступу, п'яти розділів, висновків та списку використаних джерел. Загальний обсяг роботи становить 127 сторінок, містить 3 таблиці, 9 рисунків, 80 найменувань у списку використаних джерел.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ

У вступі обґрунтовано актуальність теми дисертаційної роботи, вказано мету та основні напрями її досягнення, наукова новизна та апробація результатів.

У першому розділі зроблено огляд наукових праць за темою дисертації та аналіз сучасного стану проблеми. На прикладі лінійної еволюційної задачі першого порядку з необмеженим операторним коефіцієнтом [1] побудований наближений розв'язок задачі, який є комбінацією методу перетворення Келі з методом тригонометричної колокації. Отримана повна дискретна апроксимація розв'язку вихідної задачі.

Постановка задачі. Потрібно знайти розв'язок задачі

(1)

де псевдодиференціальний оператор А визначається формулою

, (2)

а функція є розв'язком наступної крайової задачі:

(3)

.

У другому розділі розглядається лінійна еволюційна задача другого порядку з необмеженим операторним коефіцієнтом. Для операторного коефіцієнта пропонується відповідна процедура тригонометричної колокації, будується повна дискретна апроксимація розв'язку задачі (1).

Розв'язуючи (3) методом розділення змінних та використовуючи (2), ми отримаємо наступне представлення оператора А із (1):

. (4)

Для апроксимації оператора А побудуємо інтерполяційний поліном з класу - тригонометричних поліномів у вигляді

.

Нехай - рівномірна сітка на інтервалі [0, 2p] і u(x) - функція, визначена на [0, 2p]. Визначимо інтерполяційний оператор і інтерполяційний поліном як

Інтерполяційний поліном можна подати через тригонометричні поліноми Лагранжа

, (5)

де фундаментальні інтерполяційні поліноми представляються у вигляді

(6)

Використовуючи формули (6), доводимо наступний результат.

Теорема 2.1. Для тригонометричної поліноміальної інтерполяції має місце похибка

для , де с- константа, незалежна від p та q, де - гільбертовий простір,

.

Нехай - простір тригонометричних поліномів вигляду

та - інтерполяційний поліном для функції u(х), парної відносно точки х=? (u(x)=u(2р-x)), який реалізується у вузлах . Використовуючи результат [2] та враховуючи парність u(x), можна записати інтерполяційний поліном у вигляді

, (7)

де

Для цієї інтерполяції має місце наступна оцінка:

для , де с- константа, незалежна від p та q.

Щоб зробити дискретизацію оператора А, ми обчислюємо і робимо колокацію у вузлах сітки щN .

Має місце наступна теорема. чисельний задача келі рівняння

Теорема 2.2[3]. Нехай - додатно визначений оператор, тоді розв'язок (1) подається у вигляді

,

де дійсне число, -поліноми Лагерра і un визначається з послідовності рівнянь

(8)

За природне наближення до функції u(t) можна взяти часткову суму (напівдискретна модель)

(9)

Наступна теорема показує, що якість наближення (9) автоматично залежить від початкових даних u0 .

Теорема 2.3[4]. Нехай виконуються умови теореми 2.2, тоді має місце наступна оцінка:

,

якщо , де с -довільна константа.

Зауважимо, що оператор А, який визначається через (4), не є додатно визначеним, тому робиться модифікація теореми 2.2.

Замінюючи u0 інтерполяційним поліномом , ми отримаємо задачу

і, покладаючи,

де , , ,

ми визначимо повну дискретну апроксимацію для u1(t,x) як

,

де визначаються з послідовності (8).

Теорема 2.4. Для похибки повної дискретної апроксимації розв'язку задачі (1) має місце наступна оцінка:

с - константа, яка не залежить від s та r.

У третьому розділі розглядається математична модель лінійного слошингу в прямокутнику з ребрами. За допомогою інтерполяційних поліномів (5), (7) та часткової суми (9) будується повна дискретна модель. Доведені теореми про монотонність власних значень операторного коефіцієнта як в дискретному так і неперервному випадках.

Задачу (3) розглядаємо в області з границею Г та з двома ребрами довжини а, встановленими на висоті x2=b.

Визначимо

і нехай г1, г2, г наступні відрізки: ,

Ми визначимо невідому функцію як нормальну похідну потенціалу на г. Тоді на нормальна похідна від є визначеною і

Наступна теорема показує монотонну властивість власних чисел операторного коефіцієнта як функції від b.

Теорема 3.2. Власні значення оператора мають властивості:

і) для має місце нерівність

для ;

іі) ;

ііі)

Для отримання скінченновимірного наближення математичної моделі з оператором , ми використаємо квадратури, основані на тригонометричних інтерполяціях (7) (для парної відносно точки р функції ш) і (5).

Для операторного коефіцієнта отримаємо наступну дискретну апроксимацію:

,

де - чисельні квадратури.

Аналогічно попередньому, ми можемо сформулювати наступний результат.

Теорема 3.3. Власні значення оператора мають властивості:

і) для має місце нерівність

для ;

іі) .

За аналогією з розділом 2 ми визначимо повну дискретну модель для (10) у вигляді

де визначаються з рекурентної послідовності (8).

Теорема 3.5. Для похибки повної дискретної апроксимації розв'язку задачі(10) має місце наступна оцінка:

ВИСНОВКИ

1.Розроблений та обґрунтований чисельно-аналітичний метод для розв'язування задач про коливання рідини в баках у формі прямокутника та прямокутника з ребрами для двовимірного випадку та у формі паралелепіпеда та паралелепіпеда з перегородками для тривимірного випадку, що здійснюється за допомогою об'єднання методу перетворення Келі зі спеціальним методом тригонометричної колокації для диференціального рівняння другого порядку з необмеженим операторним коефіцієнтом.

2.Побудований спеціальний метод тригонометричної колокації, за допомогою якого дискретизується необмежений операторний коефіцієнт. Знайдені і обґрунтовані непокращувальні оцінки за порядком похибки тригонометричної поліноміальної інтерполяції.

3.Побудовані дискретні моделі лінійного коливання рідини в баку у випадку ребер та перегородок. Доведена монотонність резонансних частот коливань вільної поверхні в баках з ребрами в залежності від зміни параметрів, що визначають положення і ширину ребер.

4.. Знайдені і обґрунтовані оцінки похибки повної дискретної апроксимації чисельно-аналітичного методу розв'язування задачі, що моделюють коливання рідини в баках. Проілюстровані чисельні приклади, що підтверджують отримані теоретичні оцінки.

СПИСОК ВИКОРИСТАНИХ ДЖЕРЕЛ

1.Gavrilyuk I., Makarov V., Chapko R. On the numerical solution of linear evolution problems with an integral operator coefficient // J. Integral Eq. Appl. -1999. -Vol. 10, No. 4, P. 1-20.

2.Kress R., Sloan I. H. On the numerical solution of a logarithmic integral equation of the first kind for the Helmholtz equation // Numer. Math. -1993. -No 66. P. 199-214.

3.Gavrilyuk I. P., Makarov V. L. Representation and approximation of the solution of an initial value problem for a first order differential equation in Banach space // Z. Anal. Anw. -1996. -No 15. -P. 495-527.

4.Gavrilyuk I. P., Makarov V. L. Explicit and approximate solutions of second order evolution differential equations in Hilbert space // Numer. Methods for Partial Diff. Eq. -1999. -No 15. P. 111-131.

5.Ganesh, M., Graham I.G., Sivaloganatham I. A new spectral boundary integral collocation method for three -dimension potential problems // Siam J. Numer. Anal. -1998. -Vol. 35, No2. -P. 778-805.

СПИСОК ОПУБЛІКОВАНИХ ПРАЦЬ ЗДОБУВАЧА

ЗА ТЕМОЮ ДИСЕРТАЦІЇ

6.Гаврилюк І.П., Кулик А.Б., Макаров В.Л. Наближене розв'язування еволюційних задач гіперболічного типу на многовидах // Теорія обчислень: Збірник наукових праць(за матеріалами міжнародного симпозіуму “Питання оптимізації обчислень”) -Київ. -1999. -С. 88-91

7.Гаврилюк І.П., Кулик А.Б., Макаров В.Л. Наближене розв'язування лінійної еволюційної задачі другого порядку з необмеженим операторним коефіцієнтом // Вісник Київського університету. Сер. фіз.-мат. наук. -1999. -Вип. №3. -С. 177-181

8.Гаврилюк І.П., Кулик А.Б., Макаров В.Л. Математична модель слошингу в прямокутнику з ребрами // Вісник Київського університету. Сер. фіз.-мат. наук. -1999. -Вип. №4. -С. 110-115

9.Gavrilyuk I.P., Kulyk A.B., Makarov V.L. Integral equations of the linear sloshing in an infinite chute and their discretization // Computational methods in applied mathematics -Vol.1, No1. -2001. -P. 1-22.

АНОТАЦІЇ

Кулик А.Б. Математичне моделювання коливання рідини в баках з перегородками. - Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.05.02 - математичне моделювання та обчислювальні методи. - Інститут кібернетики імені В.М. Глушкова НАН України, Київ, 2001.

Дисертація присвячена розробці і обґрунтуванню чисельно-аналітичних методів для розв'язування задач, що моделюють коливання рідини в баках з перегородками, та дослідженню резонансних частот коливання на вільній поверхні. Для лінійної еволюційної задачі другого порядку будується відповідна процедура знаходження наближеного розв'язку. Будується інтерполяційний поліном, за допомогою якого апроксимується необмежений операторний коефіцієнт. Наводиться конструктивне зображення розв'язку задачі, що описує моделювання коливань рідини в баках з ребрами -перегородками. Будується повна дискретна модель. Доведені теореми про монотонність резонансних частот в залежності від зміни параметрів, що визначають положення і ширину ребер. Результати роботи можуть бути інструментальним комп'ютерним засобом при розв'язуванні ряду важливих задач гідродинаміки, які пов'язані з дослідженням коливання вільної поверхні.

Ключові слова: математичне моделювання, еволюційна задача, перетворення Келі, колокаційний метод, резонансні частоти.

Кулик А.Б.Математическое моделирование колебаний жидкости в баках с перегородками. - Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.05.02 -математическое моделирование и вычислительные методы. - Институт кибернетики имени В.М Глушкова НАН Украины, Киев, 2001.

Диссертация посвящена разработке и обоснованию численно -аналитических методов для решения задач, моделирующих колебания жидкости в баках с перегородками, и исследованию резонансных частот колебания на свободной поверхности. Для линейной эволюционной задачи второго порядка строится соответствующая процедура нахождения приближенного решения. Строится интерполяционный полином, аппроксимирующий неограниченный операторный коэффициент. Приводится конструктивное представление решения задачи, описывающей моделирование колебаний жидкости в баках с ребрами - перегородками. Строится полная дискретная модель. Доказаны теоремы про монотонность резонансных частот в зависимости от изменения параметров, определяющих положение и ширину перегородок. Результаты работы могут быть инструментальным компьютерным средством для решения ряда важных задач гидродинамики, связанных с исследованием колебаний свободной поверхности.

Диссертационная работа состоит из вступления, пяти разделов, списка использованной литературы. Общий объем составляет 127 страниц.

Во введении обоснована актуальность темы диссертации, определены цели и основные направления ее достижения, показана научная новизна и апробация работы.

В первом разделе сделано обозрение научных работ по теме диссертации и анализ современного состояния проблемы. Приведена постановка задачи.

Во втором разделе рассматривается линейная эволюционная задача второго порядка с неопределенным операторным коэффициентом. Для операторного коэффициента строится интерполяционный полином, представимый посредством тригонометрических полиномов Лагранжа. Относительно качества интерполяционного приближения доказана теорема. Построена полная дискретная аппроксимация решения исходной задачи.

В третьем разделе рассматривается математическая модель линейного слошинга в прямоугольнике с ребрами. С помощью интерполяционных полиномов, построенных во втором разделе, представляется полная дискретная модель. Доказаны теоремы про монотонность собственных значений операторного коэффициента как в дискретном так и в непрерывном случаях. Проиллюстрированы численные эксперименты, подтверждающие полученные выше теоретические оценки.

В четвертом разделе представлена математическая модель колебания свободной поверхности в баках. Построена соответствующая коллокационная процедура для аппроксимации операторного коэффициента. Доказаны теоремы о качестве приближения тригонометрической интерполяции операторного коэффициента. Построена полная дискретная аппроксимация решения исходной задачи.

Пятый раздел посвящен нахождению приближенного решения исходной задачи на поверхности бака с продольными перегородками. Для получения конечномерного приближения математической модели используются квадратуры, основанные на тригонометрических интерполяциях, представленных в четвертом разделе. Доказаны теоремы о монотонности собственных значений по параметрам длины, ширины и глубины ребер. Проиллюстрированы численные эксперименты, подтверждающие полученные выше теоретические оценки.

Ключевые слова: математическое моделирование, эволюционная задача, преобразование Келли, коллокационный метод, резонансные частоты.

Kulyk Anatoliy B.Mathematical modeling of liquid oscillation in tanks with ribs. -Manuscript.

Thesis for the Candidate degree by speciality 01.05.02 -Mathematical modeling and numerical methods. -The Glushkov Institute of Cybernetics of The National Academy of Science of Ukraine, Kyiv, 2001.

The thesis is devoted to development and substantiation of numerical-analytical methods to solve the problems that simulate oscillations of a liquid in tanks with the partitions and to research of resonant frequencies of oscillation on a free surface. For the linear evolutionary problem of the second order the appropriate procedure of finding approximate solution has been created. The interpolational polynomial with the help of which the unlimited statement coefficient approximated has been created. The constructive representation of solution of the task which describes simulations of oscillations of a liquid in tanks with edges-partitions has been resulted. The completely discrete model has been created. The theorems of a monotonicity of resonant frequencies depending on change of parameters, which define a depth and width of edges have been proved. The results of dissertation research can be a tool computer resource at solution of a number of the important tasks of hydrodynamics, which are connected with the research of a free surface oscillation.

Keywords: mathematical simulation, evolutionary problem, Cayley transform, the collocation method, resonant frequencies.



Підп. до друку 18.04.2001. Формат 60ґ84/16. Папір друк. Офс. друк.

Ум. друк. арк. 1,16. Ум. фарбо-відб. 1.16. Обл. -вид. арк. 0,9.

Тираж 100 пр. Зам. . Безкоштовно.

Віддруковано в Інституті математики НАН України

01601 Київ 4, МСП, вул. Терещенківська, 3

Размещено на Allbest.ru

...