Траєкторні властивості груп псевдо-гомеоморфізмів польських просторів

Размещено на http://www.allbest.ru

Размещено на http://www.allbest.ru

Вступ

Актуальність теми. Матеріал дисертації відноситься до теорії топологічних динамічних систем. У 1986 році відомими спеціалістами у галузі динамічних систем Д. Сулліваном, Б. Вейссом та Дж. Райтом було запропоновано вивчати групи гомеоморфізмів польського (тобто повного метричного сепарабельного) простору з точністю до множин першої категорії (за аналогією з множинами міри нуль). Цей напрямок в теорії динамічних систем отримав назву динаміки загального положення. Виявилось, що при такому підході вдається отримати дуже цікаві та важливі результати. Зокрема, у роботі Суллівана, Вейсса, Райта було доведено, що кожна ергодична дія зчисленної групи гомеоморфізмів польського досконалого простору траєкторно еквівалентна канонічній ергодичній дії групи цілих чисел. У метричній ергодичній теорії, де об'єктом дослідження є групи перетворень простору з мірою, подібний факт має місце тільки для класу аменабельних груп. На цей час метрична траєкторна теорія вже стала широкою областю динамічних систем, завдяки відомим роботам Г. Дая, Г. Маккі, В. Крігера, А. Кона, Б. Вейсса, Я. Фельдмана, Р. Зіммера, В. Голодця, С. Безуглого, С. Синельщикова, О. Даниленко та інших. У свою чергу в топологічній динаміці, яка є більш складною, існує декілька різноманітних підходів навіть до постановки питань. Крім вищезгаданого підходу тут необхідно відзначити роботи Крігера у зв'язку з топологічними марківськими ланцюгами, роботи К. Скау, Я. Патнама та Т. Джордано з траєкторній класифікації канторовських мінімальних систем, роботи М. Бойля і Д. Хендельмана, роботи Е. Глазнера та Б. Вейсса. Не зважаючи на це, численні важливі питання, які вже стали класичними у метричній теорії, залишаються не дослідженими у топологічному варіанті. Серед них вивчення коциклів динамічних систем (Маккі, Крігер, Зіммер, Голодець, Синельщиков), задача зовнішньої спряженості (Кон, Крігер, Голодець, Безуглий, Синельщиков, Даниленко), теорія підвідношень відношень еквівалентності, породжених динамічними системами (Фельдман, Зіммер, Сазерленд, Даниленко) та інши. Дисертаційна робота присвячена дослідженню саме таких проблем з точки зору динаміки загального положення. Крім того, вирішується задача про траєкторну структуру неергодичних зчисленних груп псевдо-гомеоморфізмів.

Зв'язок теми з науковими програмами. Роботу виконано в межах тематичного плану ФТІНТ НАН України за темою 1.4.10.22.6 ''Алгебраїчні та геометричні методи в теорії операторів та теорії динамічних систем'' (№ державної реєстрації 0196U002943).

Мета і задачі дослідження:

- Опис класів траєкторної еквівалентності неергодичних зчисленних груп псевдо-гомеоморфізмів польського досконалого простору.

- Опис коциклів зчисленних груп псевдо-гомеоморфізмів з точністю до слабкої еквівалентності.

- Знаходження інваріантів зовнішньої спряженості груп псевдо-гомеоморфізмів із нормалізатора повної групи.

- Класифікація підвідношень відношень еквівалентності, породжених зчисленними групами псевдо-гомеоморфізмів.

Наукова новизна. Усі результати дисертації є новими.

Практичне та теоретичне значення. Робота носить теоретичний характер. Результати роботи можуть бути використані для подальших досліджень у теорії топологічних динамічних систем, у дескриптивній динаміці, у теорії операторних алгебр. До числа організацій, які можуть бути зацікавленими результатами дисертації входять Інститут математики НАН України (м. Київ), Харківський національний університет, Фізико-технічний інститут низьких температур НАН України ім. Б.І. Вєркіна.

Особистий внесок здобувача. Тема дослідження та постановки задач належать науковому керівнику Голодцю В.Я. та Синельщикову С.Д. Усі результати одержані особисто.

Апробація роботи. Результати дисертаційної роботи доповідались на Міжнародній конференції "Dynamical Systems and Ergodic Theory" (Кацивелі, Україна, серпень 2000 р.), та на семінарі з ергодичної теорії та теорії операторних алгебр (ФТІНТ, Харків; керівник семінару В.Я. Голодець).

1. Основні необхідні поняття та наводяться результати допоміжного характеру

Почнемо з необхідних визначень. Польськім простором називається повний сепарабельній метричний простір. Далі усюди X - польський досконалий простір. Усі об'єкти у динаміці загального положення (простори, відображення, автоморфізми, відношення еквівалентності) розглядаються з точністю до зміни на множинах першої категорії, якщо це не обговорено додатково.

Визначення: Борелівська бієкція простору називається псевдо-гомеоморфізмом, якщо є множиною першої категорії тоді й тільки тоді, коли - множина першої категорії.

Кожен гомеоморфізм є псевдо-гомеоморфізмом. Якщо - псевдо-гомеоморфізм, то існує щільна - множина , така що є гомеоморфізмом . З точністю до множин першої категорії вивчення зчисленних груп псевдо-гомеоморфізмів зводиться до вивчення зчисленних груп гомеоморфізмів.

Якщо - відношення еквівалентності на , , то через позначається його насичення: для деякого .

Визначення: Відношення еквівалентності , породжене дією зчисленної групи псевдо-гомеоморфізмів простору називається зчисленним відношенням еквівалентності загального положення на просторі : для деякого .

Множина Int - псевдо-гомеоморфізм , такий що для всіх } називається повною групою. Множина Aut - псевдо-гомеоморфізм , такий що для усіх } називається нормалізатором повної групи.

Визначення: Зчисленні групи гомеоморфізмів та просторів та відповідно називаються траєкторно еквівалентними, якщо існують щільні - підмножини , , причому - - інваріантно, а - -інваріантно, та існує гомеоморфізм , такі що для всіх , та для всіх .

Якщо та траєкторно еквівалентні, то відношення та ізоморфні ().

Визначення: Група гомеоморфізмів простору Бера з другою аксіомою зчисленності називається ергодичною, якщо існує точка , така що її орбіта щільна в . Це еквівалентно тому, що кожна - інваріантна підмножина із властивостю Бера є або множиною першої категорії, або доповненням до множини першої категорії.

Теорема: (Сулліван, Вейсс, Райт) Будь-які дві ергодичні зчисленні групи гомеоморфізмів польського досконалого простору траєкторно еквівалентні.

2. Результати про ергодичне розкладання у динаміці загального положення та опис класів траєкторної еквівалентності неергодичних дій зчисленних груп гомеоморфізмів польського досконалого простору

Ергодичне розкладання є необхідним апаратом для вивчення властивостей неергодичних груп перетворень. На відміну від ситуації у метричній теорії, це досить не досліджене поняття у топологічній динаміці. Присвячене вивченню саме його. Нехай - відношення еквівалентності, породжене довільною групою гомеоморфізмів простору . Розбиваюче відношення еквівалентності для відношення визначається наступним чином: . Тоді , а кожен клас еквівалентності є - підмножиною в (а отже, польським простором). Дія групи на кожному ергодична, тому класи - еквівалентності кваліфікуються як ергодичні компоненти дії . Далі вивчаються властивості топологічного фактор-простору , який називається простором ергодичного розкладання системи у динаміці загального положення. Показано, що це - простір Бера із другою аксіомою зчисленності, причому борелівська структура, породжена топологією стандартна. Крім того, викидання як множини першої категорії з , так і - інваріантної множини першої категорії із X не змінює, у суттєвому, ні динамічну систему, ні фактор-простор відповідно. Наступна теорема говорить про те, що, з точністю до множини першої категорії, існує підмножина в , яка грає роль польського фактор-простору ергодичного розкладання.

Теорема: Нехай - група гомеоморфізмів польського досконалого простору , - розбиваюче відношення еквівалентності. Тоді існують: щільна - інваріантна - підмножина ? і замкнена в ? трансверсаль відношення еквівалентності , причому селектор ?- неперервне та відкрите відображення, де береться з відносною топологією.

Одержано повний опис класів траєкторної еквівалентності неергодичних зчисленних груп гомеоморфізмів польського досконалого простору.

Пропозиція: Нехай - зчисленна група гомеоморфізмів польського досконалого простору , - розбиваюче відношення еквівалентності, побудоване за дією групи , - замкнена -трансверсаль в , яка є досконалою як топологічний простір. Тоді існують: щільна - інваріантна - множина та розбиття простору на дві відкрите-замкнені -інваріантні підмножини , причому в усі - орбіти являють собою польські досконалі простори, а на (отже усі - орбіти дискретні).

Простір називається дискретною частиною розкладання, а - чисто неперервною. Таким чином, якщо у дії групи відсутні ергодичні компоненти другої категорії, задача опису розбивається на дві: випадок дії дискретного типу та випадок дії чисто неперервного типу. Далі ми класифікуємо їх окремо. Якщо дія групи має ергодичні компоненти другої категорії, то їх кількість не більш ніж зчисленна, тому цей випадок зводиться до випадку ергодичної дії та розглянутих нами двох випадків.

Теорема: Нехай - зчисленне відношення еквівалентності загального положення дискретного типу на польському досконалому просторі . Тоді, з точністю до множини першої категорії, можна представити у вигляді: N, де кожен - або польський досконалий простір, або пуста множина, причому для деякого N і , , де , .

Під дією групи N Z2 на просторі вигляду N розуміємо пошарову дію: , де N Z2 , N, а N Z2 діє на N природнім чином.

Теорема: Нехай - зчисленна група гомеоморфізмів чисто неперервного типу. Тоді існують: щільна - інваріантна - підмножина , польський досконалий простір та гомеоморфізм , де - щільна - підмножина в N, що є інваріантною відносно пошарової дії групи N Z2 на , причому дії груп та N Z2 міцно траєкторно еквівалентні на .

3. Вивчення коциклів зчисленних груп псевдо-гомеоморфізмів польського досконалого простору зі значеннями у польських групах

Усюди в роботі розглядуються орбітальні коцикли, тобто коцикли, які визначені на відношенні еквівалентності, породженим дією групи.

Визначення: Нехай - зчисленне відношення еквівалентності загального положення на , - польська група. Борелівське відображення називається коциклом відношення еквівалентності зі значеннями у польській групі G (), якщо рівність виконано для всіх , де Y - деяка щільна R-інваріантна - підмножина в X.

Два коцикли когомологічні (), якщо існує борелівська функція , така що для усіх , з точністю до множини першої категорії.

Визначаються та вивчаються основні поняття і конструкції, що пов'язані із коциклами в динаміці загального положення.

Нехай , де G - польська група, а відношення є породженим зчисленною групою гомеоморфізмів X. Косим добутком називається дія групи на просторі , яка визначається наступним чином: , та позначається через . є дією псевдо-гомеоморфізмами.

Однією з основних задач у вивченні коциклів є класифікація їх з точністю до слабкої еквівалентності:

Визначення: Коцикли називаються слабко еквівалентними, якщо існує Aut , такий що .

Якщо коцикли слабко еквівалентні, то відповідні косі добуткі та траєкторно еквівалентні.

Далі вводиться дуже важливе поняття топологічної дії Маккі. У вимірній ергодичній теорії це поняття вперше з'явилось у неявній формі в знаменитій роботі Амброза та Какутані про спеціальне представлення потоків. Пізніше Маккі визначив цю дію у більш загальній ситуації - для коциклів вимірних груп перетворень зі значеннями в локально-компактних групах у зв'язку з теорією віртуальних підгруп. Крігер звів задачу траєкторної еквівалентності автоморфізмів простору Лебега з квазіінваріантною мірою до задачі ізоморфізма потоків Пуанкаре, а поток Пуанкаре є, насправді, дією Маккі, асоційованою з коциклом Радона-Нікодіма динамічної системи. Нарешті Голодець та Синельщиков здійснили класифікацію коциклів аменабельних ергодичніх вимірних відношень еквівалентності зі значеннями в локально-компактних групах в термінах дії Маккі. Ми визначаємо топологічну дію Маккі для коциклів відношень еквівалентності загального положення зі значеннями у довільній польській групі.

Нехай . Нехай позначає наступну дію групи на просторі : . Нехай - відношення еквівалентнсті, породжене косим добутком , - розбиваюче відношення еквівалентності для , , а - фактор-відображення. Дія групи на фактор-просторі ергодичного розкладання системи (), яка визначається наступним чином:

,

де , ,

називається топологічною дією Маккі, асоційованою з коциклом . Перевіряється, що ця дія є неперервною. Таким чином, дія Маккі це неперервна дія польської групи на топологічному -просторі Бера із другою аксіомою зчисленності. З вимірної ж точки зору це борелівська дія польської групи на стандартному борелівському просторі, що дуже важливе для вивчення властивостей орбіт та стабілізаторів цієї дії. Зокрема, кожна орбіта є борелівською підмножиною в , і кожен стабілізатор є замкненою підмножиною у G. Відзначимо також, що дія Маккі коректно визначена з точки зору динаміки загального положення, тобто викидання (-інваріантної) множини першої категорії не змінює, у суттєвому, її. Надзвичайна важливість дії Маккі складається в тому, що вона є інваріантом слабкої еквівалентності коциклів.

Пропозиція: Якщо коцикли слабко еквівалентні, то асоційовані дії Маккі та ізоморфні з точністю до множини першої категорії.

Дія Маккі ергодична тоді й тільки тоді, коли відношення R є ергодичним. Далі усюди припускаємо, що R - ергодичне.

У випадку зчисленної групи G, можна викидати із довільні множини першої категорії. Отже, беручи до уваги результати розділа 1, отримаємо, що дія Маккі зчисленної групи є дією на польському просторі.

Містить результат про представлення довільної ергодичної дії зчисленної групи у вигляді дії Маккі, що асоційована с деяким коциклом ергодичного відношення еквівалентності:

Теорема: Нехай G - зчисленна ергодична група гомеоморфізмів польського досконалого простору Y. Тоді існує коцикл , де R - зчисленне ергодичне відношення еквівалентності загального положення, для якого асоційована дія Маккі ізоморфна дії G на Y.

Розглянуто спеціальний клас коциклів - транзитних. Транзитність коцикла еквівалентна тому, що косий добуток, побудований за ним є дією дискретного типу. Дія Маккі транзитного коцикла завжди вільна. Для транзитних коциклів зі значеннями у довільній зчисленній групі вдається отримати повну класифікацію у термінах дії Маккі:

Теорема: Нехай R - ергодичне відношення еквівалентності загального положення на польському досконалому просторі, G - зчисленна група. Два транзитні коцикли ,слабко еквівалентні тоді й тільки тоді, коли відповідні дії Маккі та ізоморфні (з точністю до множини першої категорії).

Визначення: Нехай G - польська група. Коцикл називається ергодичним, якщо косий добуток є ергодичним на .

Дія Маккі, асоційована з ергодичним коциклом, є тривіальною дією на одноточковому просторі. Можна довести існування ергодичного коцикла зі значеннями у довільній польській групі.

Теорема: Нехай R - ергодичне відношення еквівалентності загального положення на польському досконалому просторі , G - польська група. Будь-які два ергодичні коцикли ,слабко еквівалентні, тобто існують: щільна -інваріантна -множина , Aut і борелівська функція , такі що - гомеоморфізм і для всіх .

Розв'язано задачу зовнішньої спряженості зчисленних підгруп гомеоморфізмів із нормалізатора повної групи. Якщо траєкторна класифікація дає класифікацію відношень еквівалентності загального положення, то задача про зовнішню спряженість - це “відносна класифікація”, тобто класифікація відносно групи псевдо-гомеоморфізмів, що зберігають таке відношення. Для її рішення ми застосовуємо коцикли, а вирішальну роль грає теорема єдності для ергодичних коциклів.

Визначення: Нехай - зчисленне відношення еквівалентності загального положення на X, - дії зчисленної групи G гомеоморфізмами на X, такі що Aut для усіх . Дії називаються зовнішньо спряженими, якщо існують: Y - щільна -інваріантна -підмножина в X,та - гомеоморфізм Y, такі що Aut, і для усіх виконано рівність:

,

де:

Int.

Теорема: Нехай R - зчисленне ергодичне відношення еквівалентності загального положення на X. Дії зчисленної групи G, такі що Aut для всіх є зовнішньо спряженими тоді й тільки тоді, коли

IntInt.

Визначення: Коцикл , де G - польська група, називається регулярним, якщо він когомологічний до ергодичного коцикла зі значеннями у замкненій підгрупі (). Група називається визначальною для .

Доводиться, що регулярність коцикла еквівалентна (суттєвій) транзитивності дії Маккі , яка асоційована з , тобто, після викидання -інваріантної множини першої категорії, представляє собою дію на однородному просторі , де - замкнена підгрупа в . Далі, використовуючи цей факт та теорему єдиності для ергодичних коциклів, отримаємо наступну

Теорема: Нехай - зчисленне ергодичне відношення еквівалентності загального положення, - польська група. Регулярні коцикли слабко еквівалентні тоді й тільки тоді, коли їх визначальні підгрупи є спряженими у .

Далі показано, як приклад, що кожен коцикл зі значеннями у довільній компактній польській групі є регулярним.

Висновки

1. Одержано повний опис класів траєкторної еквівалентності зчисленних неергодичних груп псевдо-гомеоморфізмів польського досконалого простору.

2. Отримано теорему єдності для ергодичних коциклів: доведено, що будь-які два ергодичні коцикли зчисленної групи псевдо-гомеоморфізмів польського досконалого простору зі значеннями у довільній польській групі слабко еквівалентні.

3. Вирішено задачу зовнішньої спряженості для груп псевдо-гомеоморфізмів: знайдено повну систему інваріантів зовнішнього спряження дій зчисленної групи елементами нормалізатора повної групи.

4. Визначено поняття топологічної дії Маккі, асоційованої з коциклом зчисленної групи псевдо-гомеоморфізмів польського досконалого простору, яка є інваріантом слабкої еквівалентності коциклів. За його допомогою отримано класифікацію, з точністю до слабкої еквівалентності, регулярних коциклів зі значеннями у довільній польській групі та транзитних коциклів зі значеннями у довільній зчисленній групі. Крім того, доведено, що кожна зчисленна ергодична група гомеоморфізмів польського простору може бути представленою як дія Маккі, асоційована до деякого коцикла зчисленної ергодичної групи псевдо-гомеоморфізмів.

5. Розвинуто теорію підвідношень відношень еквівалентності загального положення. Класифіковані нормальні ергодичні підвідношення та підвідношення скінченого індексу зчисленного ергодичного відношення еквівалентності загального положення.

траєкторний гомеоморфізм інваріант неергодичний

Література

1. Golodets V.Ya., Kulagin V.M., Sinel'shchikov S.D. Orbit properties of pseudo-homeomorphism groups of a perfect Polish space and their cocycles. // London Math. Soc. Lecture Note Series - 2000. - 277 - “Descriptive Set Theory and Dynamical Systems” - Cambridge Univ. Press, Cambridge. P. 211-229.

2. Кулагин В.М. Структура коциклов групп псевдогомеоморфизмов, // Математическая физика, анализ, геометрия. - 2000. - 7 (№2) - С. 209-218.

3. Голодець В.Я., Кулагiн В.М., Синельщиков С.Д. Коцикли та пiдвiдношення вiдношень еквiвалентностi загального положення. // Доповiдi НАН Украіни. - 2001. - 7 - С. 13-16.

Размещено на Allbest.ru