Дослідження інваріантних підмноговидів та їх збурень для скінченновимірних редукцій цілком інтегровних гамільтонових систем

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Київський національний університет імені Тараса Шевченка

Автореферат

дисертації на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук

01.01.02 - диференціальні рівняння

Дослідження інваріантних підмноговидів та їх збурень для скінченновимірних редукцій цілком інтегровних гамільтонових систем

Копич Мирослава Іванівна

Київ - 2001

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана у відділі нелінійного математичного аналізу ІППММ ім. Я. ПІдстригача НАН України

Науковий керівник: доктор фiзико-математичних наук, професор Прикарпатський Анатолій Карольович завідувач відділу нелінійного математичного аналізу ІППММ ім. Я. Підстригача НАН України

Офiцiйнi опоненти:

доктор фiзико-математичних наук, старший науковий співробітник, Самойленко Валерій Григорович Київський національний університет імені Тараса Шевченка, завідувач кафедри

кандидат фiзико-математичних наук, старший науковий співробітник, Голод Петро Іванович Національний університет “Києво-Могилянська академія”, завідувач кафедри

Провiдна установа: Одеський національний університет імені І.І. Мечнікова, м. Одеса

Вчений секретар спецiалiзованої вченої ради Моклячук М.П.

Анотація

Копич М.I. Дослiдження iнварiантних пiдмноговидiв та їх збурень для скiнченновимiрних редукцiй цiлком iнтегровних гамiльтонових систем. --- Рукопис.

Дисертацiя на здобуття наукового ступеня кандидата фiзико-математичних наук за спецiльнiстю 01.01.02 - диференцiальнi рiвняння. - Київський національний університет імені Тараса Шевченка, Київ,2001.

Дисертацiю присвячено дослiдженню iнварiантних пiдмноговидiв, їх вкладень у фазовi простори та слабким i повiльним збуренням скiнченновимiрних редукцiй цiлком iнтегровних гамiльтонових систем. Дослiджено проблему вкладення iнтегральних пiдмноговидiв гамiльтонових систем на неканонiчно симплектичних кодотичних многовидах, розвинуто теорiю Пуанкаре-Картана трансверсального розщеплення асимптотичних лагранжевих многовидiв для слабко та повiльно збурених гамiльтонових систем.

Ключовi слова: цiлком iнтегровнi гамiльтоновi системи, iнтегральний многовид, вiдображення вкладення, асимптотичнi лагранжевi многовиди, трансверсальне розщеплення, теорiя Пуанкаре-Картана, модель Ван-дер Поля.

Аннотация

Копыч М.И. Исследование инвариантных подмногообразий и их возмущений для конечномерных редукций вполне интегрируемых гамильтоновых систем. - Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.01.02 - дифференциальные уравнения. - Киевский национальний университет имени Тараса Шевченко, Киев, 2001.

Диссертация посвящена исследованию инвариантных подмногообразий, их вложению в фазовые пространства, слабым и адиабатическим возмущениям конечномерных редукций вполне интегрируемых гамильтоновых систем. Исследована проблема вложения интегральных подмногообразий гамильтоновых систем на неканонически симплектических кокасательных многообразиях, развита теория Пуанкаре-Картана трансверсального расщепления асимптотических лагранжевых многообразий для слабо и адиабатически возмущенных гамильтоновых систем.

Ключевые слова: вполне интегрируемые гамильтоновы системы, интегральное многообразие, отображение вложения, асимптотические лагранжевы многообразия, трансверсальное расщепление, теория Пуанкаре-Картана, модель Ван-дер Поля.

Annotation

Kopych M.I. Investigation of invariant submanifolds and their perturbations of the finite-dimensional reductions of completely integrable Hamiltonian systems. - Manuscript.

Thesis for candidate degree by speciality 01.01.02. -- differential equations.- Kyev national university named after Taras Shevchenko, Kyiv, 2001.

The thesis is devoted to investigation of invariant submanifolds, their embeddings into the phase spaces, weakly and slowly perturbations of finite-dimensional reductions of completely integrable Hamiltonian systems. Embedding problem of integrable submanifolds of Hamiltonian systems on the noncanonical symplectic cotangent manifolds is investigated, Poincare-Cartan's theory of transversal splitting of asymptotic Lagrangean manifolds for weakly and slowly perturbed Hamiltonian systems is developed.

It is proved that for the completely integrable via Liouville-Arnold Hamiltonian system on the noncanonical symplectic cotangent manifold is possible to construct in the explicit form the embedding mapping of the invariant manifold using the algebraic-analytical algorithm.

The local finite-dimensional reductions of dynamical Corteveg-de-Vries's system on invariant submanifolds are described with the establishment of their Hamiltonian conditions.

Hamiltonian four-dimensional extension is constructed for the weakly perturbed Van-der-Pol system. It is investigated the absense of the irregular dynamics of this system via the generalized Poincare-Cartan's canonical transformations theory.

We establish a criterion for the transversal splitting of the asymptotic Lagrangean submanifolds for the adiabatic perturbed Hamiltonian Henon-Heiles system via the generalized Wiggins-Samoilenko-Prykarpatsky method.

Key words: completely integrable Hamiltonian systems, integral manifold, embedding mapping, asymptotic Lagrangean manifolds, tranversal splitting, Poincare-Cartan's theory, Van-der Pol's model.

1. Загальна характеристика роботи

лагранжевий формалізм інваріантний підмноговид

Актуальнiсть теми. Одним з актуальних напрямків сучасної теорії диференціальних рівнянь є дослідження нелінійних диференціальних рівнянь, що використовуються для опису різноманітних нелінійних явищ і процесів в техніці та природознавстві. Вивчення таких диференціальних рівнянь успішно проводиться при використанні найновіших досягнень з функціонального аналізу, нелінійної математичної фізики, диференціальної й алгебраїчної геометрії, асимптотичної теорії диференціальних рівнянь, алгебри.

Значний iнтерес в теорії диференціальних рівнянь становлять проблеми аналізу динамiчних систем на симплектичних многовидах, зокрема, їх iнтегровнiсть за Лiувiллем, а також їх слабких та повiльно-змiнних (адiабатичних) збурень. В останньому випадку актуальним є дослiдження регулярностi поведiнки траєкторiй на iнварiантному многовидi та iснування так званих адiабатичних iнварiантiв. Для їх дослiдження широко використовуються метод усереднення Боголюбова-Митропольського-Самойленка та КАМ-теорiя.

Альтернативний підхід до вивчення проблеми регулярності поведінки траєкторій адіабатично збурених гамільтонових систем ґрунтується на дослідженні лагранжевих многовидів Пуанкаре-Картана. Як виявилось, цей підхід у випадку аналітичних слабко збурених гамільтонових систем зводиться до критерію Мельнікова трансверсального розщеплення асимпотичних сепаратрисних многовидів, а у випадку адіабатично збурених систем - до нового критерію трансверсальності, що дає достатні умови існування нерегулярної хаотичної динаміки в околі гіперболічних особливих точок і траєкторій у рамках сценарію Біркгофа-Смейла. Тому вивчення інваріантних підмноговидів та їх збурень для скінченновимірних редукцій цілком інтегровних динамічних систем за допомогою згаданого підходу є актуальним.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Робота виконана згiдно з загальним планом наукових дослiджень вiддiлу нелiнiйного математичного аналiзу Iнституту прикладних проблем механiки та математики iм. Я. Пiдстригача.

Мета i задачi дослiдження. Побудова лагранжевого та гамільтонового формалізму скінченновимірних редукцій на локальні та нелокальні інваріантні підмноговиди афінно узгоджених бігамільтонових динамічних систем на функціональних многовидах. Розробка прямого аналiтичного алгоритму знаходження вiдображення вкладення для полiномiально алгебраїчних цiлком iнтегровних за Лiувiллем неканонiчно гамiльтонових систем на котодичних многовидах та розвиток методу Пуанкаре-Картана дослiдження структури асимптотичних лагранжевих многовидiв в околі гiперболiчних особливих точок i траєкторiй слабко та адiабатичних збурених гамiльтонових систем.

Методика дослiджень. У роботi використано методи сучасної теорiї диференцiальних рiвнянь, симплектична теорiя гамiльтонових потокiв, теорія Пуанкаре-Картана та теорiя редукцiй на iнварiантнi пiдмноговиди Новiкова-Богоявленського.

Наукова новизна одержаних результатiв. У дисертацiйнiй роботi побудовано лагранжiв та гамiльтонiв формалiзми скiнченновимiрних редукцiй на локальнi та нелокальнi iнварiантнi пiдмноговиди афiнно узгоджених бiгамiльтонових динамiчних систем на функцiональних многовидах; проаналiзовано чотиривимiрнi локальнi редукцiї на iнварiантний пiдмноговид динамiчної системи Кортевега-де Фрiза та її зв'язок з канонiчною гамiльтоновою системою Хенона-Хейлеса; виведено формули вкладення типу Войцеховського для гамiльтонової системи Хенона-Хейлеса, яка явно проiнтегрована у термiнах -функцiй Рiмана на гiперелiптичнiй рiмановiй поверхнi; проаналiзовано iнтегровнiсть локальної та нелокальної чотиривимiрних редукцiй динамiчних систем Кортевега-де Фрiза та Беннi-Каупа; дослiджено явище трансверсального розщеплення сепаратрисних гетероклiнiчних многовидiв в околi гiперболiчних особливих точок адiабатично збуреної гамiльтонової системи Хенона-Хейлеса; проведено симплектичний аналіз регулярності динаміки слабко збуреної динамічної системи Ван-дер Поля в околі періодичного граничного циклу;

Практичне значення одержаних результатiв. Дисертацiя має теоретичний характер. Отриманi результати можуть бути використанi при вивченнi слабко та адiабатично збурених гамiльтонових систем на функцiональних та скiнченновимiрних многовидах, що мають застосування у математичній фiзиці, механiці та гiдродинамiці.

Особистий внесок здобувача. У статтях [1, 2, 4] - Прикарпатському А.К. належать постановка задач і загальна ідея їх розв'язання. У [1] дисертанту належить гамiльтоновий опис скiнченновимiрних редукцiй динамiчної системи Беннi-Каупа, а також усi результати третього роздiлу даної статтi; іншим авторам статті [1] належать решта результатів. У статті [2] дисертантом побудовано характеристичну вектор-функцiю Мельнiкова для опису явища трансверсального розщеплення сепаратрисного многовиду узагальненої динамiчної системи Хенона-Хейлеса. При підготовці статті [2] Блекмор Д. Та Притула М.М. брали участь в обговоренні та формулюванні отриманих результатів. У статті [3] дисертантом зроблено опис асимптотичних лагранжевих многовидiв адiабатично збуреної динамiчної системи Хенона-Хейлеса та побудовано адiабатичнi iнварiанти методом розширення фазового простору. Усі основні результати статті [4], що включені до тексту дисертації, належать дисертанту. Зокрема, побудовано явне вiдображення вкладення iнтегрального пiдмноговиду розширеної гамiльтонової системи Ван-дер Поля, знайдено її асимптотичнi закони збереження та сформульовано критерiй трансверсальностi асимптотичних лагранжевих пiдмноговидiв слабко збуреної системи Ван-дер Поля. Стаття [5] опублікована дисертантом самостійно.

Апробацiя результатiв дисертацiї. Результати дисертацiйної роботи доповiдалися i обговорювалися на IV, V, VI Мiжнародних наукових конференцiях iм. академiка М. Кравчука (Київ, 1995,1996,1997); Всеукраїнськiй конференцiї "Диференцiально-функцiональнi рiвняння та їх застосування" (Чернiвцi, 1996 рiк); Науковiй конференцiї "Нелiнiйнi проблеми аналiзу" (Iвано-Франкiвськ, 1996 рiк); на наукових семiнарах вiддiлу нелiнiйного математичного аналiзу Iнституту прикладних проблем механiки i математики iм. Я.Пiдстригача НАН України (Львiв, 1995-1998 рр.; керiвник -- доктор фiз.-мат. наук А.К. Прикарпатський) та кафедри математичної фізики Київського національного університету імені Тараса Шевченка (Київ,1999р., керівник -- доктор фіз.-мат. наук В.Г.Самойленко).

Публiкацiї. Основні результати дисертацiї опублiковано в наукових працях [1-5], список яких подається в авторефераті.

Структура i обсяг роботи. Дисертацiйна робота складається зi вступу, трьох роздiлiв, розбитих на пiдроздiли, висновків та списку лiтератури з 71 назви. Обсяг роботи 118 сторiнок машинописного тексту.

2. Основний змiст роботи

У роздiлi I розглядається нелiнiйна однорiдна динамiчна система, де - гладке поліноміальне векторне поле на періодичному функціональному многовидi, де , і - відповідний еволюційний параметр.

Ґрунтуючись на схемi Новікова-Богоявленського, описанo симплектичну структуру локальних скінченновимірних джет редукцій на інваріантні підмноговиди вихiдної динамічної системи. Для випадку, коли скiнченновимiрний функцiональний пiдмноговид задається як сукупність критичних точок невиродженого функціоналу Лагранжа, тобто, де редукцiї описуються доведеною в дисертації теоремою.

Теорема 2.1.1. Підмноговид є скінченновимірним інваріантним симплектичним функціональним підмноговидом (парної розмірності), локально дифеоморфно вкладеним у джет-підмноговид, причому векторні поля та на є канонічно гамільтонові, з функціями Гамільтона.

Вихiдна динамiчна система на iнварiантному пiдмноговидi, залежному вiд незалежних параметрiв, є цiлком iнтегровним за Лiувiллем-Арнольдом канонiчно гамiльтоновим потоком.

Встановлено, що нелокальні скінченновимірні редукції на інваріантні підмноговиди допускають алгебро-диференціальну інтерпретацію у термінах відповідних локальних джет-координат на многовиді.

Пiдроздiл 2.2 присвячено побудовi аналiтичної теорiї вкладення інтегральних многовидів цілком інтегровних за Ліувіллем неканонічно гамільтонових систем на кодотичних многовидах.

Розглядається неканонічно гамільтонова система як векторне поле на кодотичному многовиді, симплектична структура якого задається у канонічних координатах у вигляді точної 2-форми, де функції, необхідно мають таку властивість: , яка гарантує невиродженість 2-форми. Відповідна функція Гамільтона задається виразом, де - так зване внутрішнє диференціювання вздовж векторного поля.

Визначення. Гамільтонове векторне поле називається цілком інтегровним за Ліувіллем (у квадратурах) стосовно симплектичної структури на , якщо існує рівно гладких функцій , таких, що відповідні векторні поля , де ,утворюють скінченновимірну розв'язну алгебру Лі над, тобто існують такі числа , що для всіх , і на підмноговиді , розмірність алгебри Лі векторних полів є стала і дорівнює.

Дослiджено випадок, коли алгебра Лі є інволютивна.

Ґрунтуючись на властивостях симплектичної структури та iнволютивного набору полiномiально-алгебраїчних iнварiантiв на симплектичному многовидi, детально описано структуру неканонiчної симплектичної 2-форми на кодотичному многовидi. А саме, доведено леми.

Лема 2.2.1. Нехай симплектична структура та 1-форма, є поліноміально-алгебраїчними виразами змінних. Тоді існує система раціональних 1-форм , точних на інтегральному многовиді.

Лема 2.2.2. Нехай набір 1-форм , є лінійно незалежним майже скрізь на для всіх . Тоді конфігураційний простір задає майже скрізь координатні карти на многовиді, для майже усіх векторна 1-форма на однозначно визначається через векторну 1-форму на , як карті на.

Грунтуючись на теорії Пуанкаре-Картана канонічних перетворень симплектичної структури , доведено теорему.

Теорема 2.2.1. Кожна цілком інтегровна гамільтонова система при припущенні , що , володіє сепарабельним канонічним перетворенням виду яке описується диференціальними алгебраїчними рівняннями типу Пікара-Фукса розв'язками яких є множина алгебраїчних кривих

Таким чином, для випадку, коли інтегральний підмноговид не може бути вкладеним у базовий простір фазового простору , пошук рівнянь типу Пікара-Фукса відповідних до відображення вкладення інтегрального підмноговиду розв”язує задачу знаходження інтегровності динамічної системи у квадратурах.

У пiдроздiлi 2.3 дано опис чотиривимірної локальної редукції динамічної системи Кортевега-де Фріза. На -періодичному функціональному многовиді розглянуто динамічну систему Кортевега-де Фріза.

Розглядається скінченновимірний інваріантний підмноговид

На цьому многовиді дана динамічна система у канонічних джет-координатах має вигляд редукованої динамічної системи Хенона-Хейлеса, яка є канонічно гамільтоновою з функцією Гамільтона. Користуючись результатами підрозділу 2.2, встановлена теорема.

Теорема 2.3.1. Динамічна система Кортевега-де Фріза на 4-вимірному інваріантному підмноговиді еквівалентна канонічно-гамільтоновій системі.

Як наслiдок отримано, що функцiї Гамiльтона i знаходяться в iнволюцiї стосовно канонiчної симплектичної структури. Побудовано вкладення iнтегрального многовиду гамiльтонової системи Хенона-Хейлеса у змiнних Гамiльтона-Якобi.

Знайдено відповідні рівняння для алгебраїчних кривих, цикли на яких дифеоморфні колам з канонічного представлення Арнольда.

Тобто точки є розв'язками відповідної проблеми Якобі обернення абелевих інтегралів на рімановій поверхні , що у термінах відповідних функцій Рімана можна подати в явному аналітичному вигляді:

де - вектор квазічастот на торі , - деякий початковий вектор на торі і - параметри вкладення, залежні від , і - відповідні - функції першого роду.

У наступних пiдроздiлах побудовано вкладення iнтегрального многовиду для таких динамiчних систем: типу Кеплера на площинi, Буссiнеска та Савади-Котери.

Пiдроздiл 2.4 присвячено вивченню скінченновимірних редукцій типу Мозера для динамічної системи Бенні-Каупа та доведенню їх повної інтегровностi за Лiувiллем-Арнольдом. Для афiнно бiгамiльтонової динамiчної системи Бенні-Каупа, де векторне поле визначено на гладкому функціональному многовиді задано лагранжів інваріантний підмноговид. Функціонал Лагранжа.

Доведено теорему.

Теорема 2.4.2. Динамічна система типу Неймана (2) на фазовому просторі є цілком інтегровною системою Гамільтона, розв'язки якої є квазіперіодичними функціями параметра у випадку компактності відповідного інваріантного інтегрального підмноговиду.

У пiдроздiлi 2.5 вивчається симплектична структура скінченновимірних редукцій на неоднорідні інваріантні підмноговиди.

Для однорідної динамічної системи побудовано неоднорiдний iнварiантний пiдмноговид, де функцiя Лагранжа.

На основi симплектичного аналiзу векторних полiв та зредукованих на iнварiантний пiдмноговид встановлено критерiй гамiльтоновостi векторного поля , що дається теоремою.

Теорема 2.5.1. Динамічна система допускає симплектичну редукцію на скінченновимірний інваріантний підмноговид тоді і лише тоді, коли інваріантна відносно поля.

Роздiл IІI присвячено симплектичному аналізу інтегральних підмноговидів слабко збурених гамільтонових динамічних систем на кодотичних многовидах. Запропоновано узагальнення методу А. Пуанкаре дослiдження асимптотичних лагранжевих многовидiв, яке дає можливiсть встановити критерiй їх трансверсального розщеплення для слабко збурених цiлком iнтегровних гамiльтонових динамiчних систем.

Визначення 3.2.1. Гладка поверхня називається лагранжевою, якщо для будь-якого гомотопічно тривіального циклу контурний інтеграл.

Припущення, щодо системи Гамільтона

а) система володіє двома гіперболічними невиродженими точками функції Гамільтона;

б) якщо та - відповідно стійкий та нестійкий асимптотичні лагранжеві многовиди;

в) існує зв'язна відкрита область , яка містить точки , така, що у просторі рівняння поверхонь може бути зображено у вигляді графіка, де - деяка гладка функція;

г) траєкторія системи рівнянь в області:

де фіксована величина цілком належить лагранжевому многовиду в околі особливих точок прямує до точок.

Беручи до уваги ці припущення та результати попереднiх пiдроздiлiв, проведено симплектичний аналіз слабко збуреної динамічної системи Вандер Поля.

Розглянуто деяке гамільтонове розширення динамічної системи Вандер Поля при достатньо малих. Зокрема, встановлено, що при і достатньо малих існує стійкий гіперболічний періодичний інваріантний підмноговид, чиї стійкий та нестійкий асимптотичні многовиди Лагранжа є регулярними при у околі цього многовиду.

Записуючи систему Вандер Поля як систему Гамiльтона на розширеному кодотичному фазовому просторі.

Тобто динамічна система Вандер Поля включається до останньої системи як її інваріантна частина. Відповідна канонічна симплектична структура дається виразом . Знайдено закон збереження динамічної системи.

Доведено теорему.

Теорема 3.2.1. Динамічна система володіє інваріантним граничним циклом радіуса , що лежить на поверхнi.

Використовуючи отриманий вище результат про канонiчнi перетворення асимптотичних лагранжевих многовидiв, дано опис їх деформацiй для слабко збуреної розширеної моделi Вандер Поля.

Теорема 3.2.2. Усі траєкторiї динамічної системи Вандер Поля довільне число є регулярними в околі граничного циклу.

У пiдроздiлi 3.3 розвинута теорiя використана для дослiдження адiабатично-збуреної гамiльтонової системи Хенона-Хейлеса. На основi встановленого критерiю трансверсального розщеплення асимптотичних лагранжевих многовидiв та його зв'язку з критерiєм Мельнiкова дослiджено регулярнiсть динамiки адiабатично збуреної моделi Хенона-Хейлеса в околi особливих гiперболiчних точок.

Висновки

Розвинуто підхід для дослідження нелокальних скiнченновимiрних редукцiй на iнварiантнi пiдмноговиди полiномiальних динамiчних систем на функцiональних многовидах.

Показано, що цiлком iнтегровна за Лiувiллем-Арнольдом гамiльтонова система на неканонiчно симплектичному кодотичному многовидi допускає явну побудову вiдповiдного вiдображення вкладення iнтегрального многовиду за допомогою алгебро-аналiтичного алгоритму основаного на конструюванні та вивченні розв”язків спеціальних диференціально-алгебраїчних рівнянь типу Пікара-Фукса.

Вивчено чотиривимiрнi цiлком iнтегровнi за Лiувiллем-Арнольдом редукцiї динамiчної системи Кортевега-де-Фрiза, що володiють двома функцiонально незалежними iнволютивними полiномiально алгебраїчними iнварiантами, та побудовано вiдповiднi вiдображення вкладення iнтегральних многовидiв.

Дано опис локальних скiнченновимiрних редукцiй динамiчної системи Кортевега-де-Фрiза на неоднорiднi iнварiантнi пiдмноговиди та встановлено умови їх гамiльтоновостi. Для слабко збуреної системи Вандер Поля побудовано гамiльтонове чотиривимiрне розширення та встановлено його асимптотичну цiлком iнтегровность.

Доведено критерiй трансверсального розщеплення асимптотичних лагранжевих пiдмноговидiв для адiабатично збуреної гамiльтонової системи Хенона-Хейлеса.

Основні роботи

1. A. Prykarpatsky, O. Hentosh, M. Kopych and R. Samuliak. Neumann-Bogolyubov-Rosochatius Oscillatory Dynamical Systems and their Integrability Via Dual Moment Maps. Part I// Nonl. Math. Physics,-1995-v. 2, N2.-P. 98-113.

2. Blackmore D., Prykarpatsky A.K., Prytula M.M., Kopych M.I. Transversal splitting of the separatrix manifolds of a generalized Henon-Heiles Hamiltonian system//Доп.НАН України.-1996.-N11.-С. 52-55.

3. M. Kopych, Y. Prykarpatsky, R. Samuliak. Adia\-batic in\-variants of a generalized Henon-Heiles Hamiltonian system and the structure of chaotic motion //Доп.НАН України.-1997.-N 2.-С. 32-36.

4. Kopych M.I., Basuira R., Prykarpatsky A.K. The symplectic study of motions in a perturbed Van-der-Pol dynamical system//Math.Methods and Phys.Mech.Fields.-1998.-N 4.-P. 99-106.

5. Копич М.І. Симплектичні інваріантні редукції цілком інтегровних динамічних систем на функціональних просторах та їх інтегральні підмноговиди// Нелінійні коливання.-2000.-Т.3, № 2.-С. 206-217.

6. R.V. Samuliak, A.K. Prykarpatsky, M.I. Kopych. Finite dimensional dynamical system associated with the field Dicke type model and its integrability via the dual moment map// Тези доповiдей IV мiжн. наук. конф. iм.ак. М. Кравчука.-Київ,-1995. - С. 216.

7. A. Prykarpatsky, M. Kopych. Adiabatic chaos in a generalized Henon-Heiles Hamiltonian system// Тези доповiдей V мiжн. наук. конф. iм. ак. М. Кравчука.-Київ,-1996. - С. 357.

8. A. Prykarpatsky, M. Prytula, M. Kopych. The study of the chaotic motion in a slowly perturbed Henon-Heiles Hamiltonian system via the geometric Poincare-Melnikov approach//Тези доповiдей всеукр. конф. "Диференцiально-функцiональнi рiвняння та їх застосування".-Чернiвцi.-1996.-С. 158.

9. M. Kopych, Ya. Prykarpatsky. Adiabatic invariants of a generalized Henon-Heiles Hamiltonian system and the structure of the chaotic motion//Тези доп.наук. конф. "Нелiнiйнi проблеми аналiзу".-Iвано-Франкiвськ.-1996.-С. 44.

10. Kopych M.I. Geometric structure of adiabatically perturbed separatrix manifolds of Hamiltonian system//Тези доповiдей VI мiжн. наук. конф. iм.ак. М. Кравчука. - Київ,-1997.-С. 217.

Размещено на Allbest.ru