Методи дослідження. В роботі використовуються різноманітні методи розв'язку задач про найкраще наближення класів неперіодичних функцій алгебраїчними многочленами в просторі .

Наукова новизна одержаних результатів. Усі одержані в роботі результати є новими і належать автору. У роботі:

Знайдено асимптотичну рівність для найкращого наближення класів функцій (класів функцій, що визначені на інтервалі [1; 1] таких, що модуль неперервності їх r_тої похідної не перевищує заданого модуля неперервності щ) алгебраїчними многочленами в просторі для опуклих диференційованих модулів неперервності..

Наведено такий клас модулів неперервності, для яких рівність для найкращого наближення класів алгебраїчними многочленами в просторі приймає більш простий вигляд. Показано також, що формула, що отримана для цього випадку не має місця в загальному випадку.

Знайдено рівність для найкращого наближення класів (класів функцій, що визначені на інтервалі [ 1; 1] таких, що їх r  1_ша похідна абсолютно неперервна на кожному інтервалі [a ; b]  (1; 1), а _норма r_тої похідної, що помножена на не перевищує 1) алгебраїчними многочленами в просторі . Крім того, знайдено оцінку для найкращого наближення функцій із класів алгебраїчними многочленами в просторі .

Уточнено результат В.О. Кофанова про найкраще наближення класів алгебраїчними многочленами степені не вище n в просторі , тобто знайдено точне значення цієї величини для випадку, коли n парне і r непарне.

Практичне значення одержаних результатів. Дисертація носить теоретичний характер. Отримані результати надають подальшого розвитку теорії наближення функцій і можуть бути використані для подальших досліджень у цій галузі.

Апробація результатів дисертації. Основні результати дисертаційної роботи доповідались та обговорювались на науковому семінарі ІІ школи “Ряди Фур'є: теорія й застосування” (Кам'янець_Подільський, 1997), міжнародній конференції “Теория приближений и гармонический анализ” (Росія, Тула, 1998), міжнародній конференції з теорії наближення функцій та її застосувань, що присвячена пам'яті В.К. Дзядика (Київ, 1999), міждержавній науково-методичній конференції “Комп'ютерне моделювання” (Дніпродзержинськ, 1999), на науковому семінарі з теорії наближень Дніпропетровського національного університету, а також на семінарі професора Р.М. Тригуба (Донецький державний університет).

Публікації. Основні результати дисертації були опубліковані у статтях [1  3] у виданнях, затверджених ВАК України як такі, в яких слід публікувати матеріали дисертації.

Структура та об'єм роботи. Дисертація складається із вступу, двох розділів і списку використаних джерел. Обсяг дисертації становить 115 сторінок. Список використаних джерел включає 25 найменувань і займає 3 сторінки.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ.

У вступі обґрунтовано вибір теми дисертації на основі аналізу стану проблеми, зазначена актуальність розглянутих задач. Крім того, там згадуються деякі результати з теорії наближення функцій, що мають безпосереднє відношення до змісту дисертації, а також описані головні результати дисертації.

Нагадаємо деякі позначення. Нехай задано нормований простір X; нехай, також, в цьому просторі задана деяка підмножина M і елемент u. Тоді величина називається найкращим наближенням елементу u множиною M. Якщо існує такий елемент , що реалізує цю точну нижню грань, то такий елемент називається елементом найкращого наближення елементу u множиною M.

Нехай тепер у нормованому просторі X задані підмножини F та M. Найкращим наближенням множини F множиною M називається величина

Якщо M множина алгебраїчних або тригонометричних многочленів, степені не вище n, а X є , де , то в цьому разі будемо вважати

В першому розділі досліджено найкраще наближення класів функцій алгебраїчними многочленами в просторі .

Через позначимо таку множину:

,де заданий модуль неперервності. У випадку, коли r = 0 ми будемо писати замість . Нехай -періодична непарна функція, що визначена на інтервалі таким чином:

Нехай далі r-й періодичний інтеграл функції такий, що його середнє значення на періоді, дорівнює 0, тобто

Відзначимо, що ця функція вперше була розглянута М.П. Корнєйчуком (1970). У випадку коли , , то відповідний клас функцій будемо позначати , а функцію .

Шляхом розвитку методики, що була використана для отримання цього результату, удається знайти найкраще наближення класів для усіх диференційованих опуклих модулів неперервності.

В першому розділі показано, что для кожного опуклого диференційованого модуля неперервності має місце така рівність:

,

де так званий ідеальний ейлерів сплайн, тобто

а далі r-й періодичний інтеграл функції (з періодом ) такий, що його середнє значення на періоді, дорівнює 0, тобто

Для того, щоб довести основну рівність, величина оцінюється зверху і знизу, тобто доводяться такі теореми

Теорема 1. Нехай опуклий модуль неперервності. Тоді r = 0, 1, ...

,

де .

Теорема 2. Нехай опуклий модуль неперервності. Тоді r = 0, 1, ...

,

де .

Із цих двох теорем, очевидно, випливає шукана рівність. Але також очевидно і те, що ця формула дуже громіздка і незручна. Виявляється, що цю формулу можна значно спростити, якщо накласти на модуль неперервності додаткову умову. Отже, якщо

(2)

має границю при u  0, то

.

Відзначимо, що модулі неперервності ,   (0; 1] задовольняють умову (2). Справді, для таких модулів неперервності (u) = . Отже з останньої рівності випливає рівність (1).

Але, слід зауважити, що умова, яка накладена на функцію (u) є істотною, бо існують такі опуклі модулі неперервності, які не задовольняють цю умову і для яких більш проста формула про найкраще наближення виявляється невірною. Приклад такого модуля неперервності також наводиться у першому розділі. Дійсно, розглянемо таку функцію:

.

В першому розділі доведено, що ця функція є опуклий модуль неперервності, але для цього модуля неперервності не виконується умова, яка накладена на функцію (u) і показано, що для нього остання формула про найкраще наближення виявляється невірною.

Другий розділ складається із трьох пунктів. В пункті 2.1 досліджено найкраще наближення класів функцій алгебраїчними многочленами в просторі . В пункті 2.2 розглядається найкраще наближення функцій із класів алгебраїчними многочленами в просторі . В пункті 2.3 уточнено результат В.О. Кофанова про найкраще наближення класів алгебраїчними многочленами у просторі

Класи складаються із функцій f, визначених на інтервалі [1; 1], що задовольняють такі дві умови:

Коган А.М. К вопросу о наилучшем приближении классов алгебраическими полиномами в пространстве // Украинский математический журнал. 1999. т. 51. №11.  с. 1456 1466.

Коган А.М. Наилучшее приближение классов алгебраическими полиномами в пространстве // Вісник Дніпропетровського університету. 1998. Математика. Випуск 3. с. 52 59.

Коган А.М. К вопросу о наилучшем приближении классов алгебраическими многочленами в пространстве .// Вісник Дніпропетровського університету. 1999. Математика. Випуск 4. с. 40 47.

Коган А.М., Моторный В.П. О наилучшем -приближении алгебраическими многочленами классов .// II школа. Ряди Фур'є: теорія і застосування. Тези доповідей. Кам'янець-Подільський.1997. с.58 59.

Коган А.М. Наилучшее приближение классов алгебраическими полиномами в пространстве .// Международная конференция “Теория приближений и гармонический анализ”. Тезисы докладов. Тула.1998. с. 130 131.

Kogan A.M. To the problem of the best approximation of the classes by algebraic polynomials in .// Міжнародна конференція з теорії наближення функцій та її застосувань, присвячена пам'яті В.К. Дзядика. Тези доповідей. Київ.1999. с. 39 40.

АНОТАЦІЇ

Коган О.М. Наближення алгебраїчними многочленами деяких класів диференційованих функцій. Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.01.01 - математичний аналіз. Інститут прикладної математики і механіки НАН України, Донецьк, 2001.

У дисертації досліджується найкраще наближення класів і алгебраїчними многочленами в просторі . Теорія наближень функцій є однією із найбільш розвинених галузей сучасного математичного аналізу, і задачі про найкраще наближення класів неперіодичних функцій алгебраїчними многочленами є одними з традиційних задач теорії наближень.

В першому розділі розглянуто найкраще наближення класів алгебраїчними многочленами в просторі для опуклих диференційованих модулів неперервності; r = 0, 1, .... Знайдено асимптотичне значення цієї величини. Розглянуто також умови, для яких ця асимптотична рівність приймає простіший вигляд. Доведено також, що ці умови є суттєвими.

В другому розділі розглянуто найкраще наближення класів алгебраїчними многочленами в просторі для r = 1, 2, ... . Отримано точне значення цієї величини в такому вигляді

де сплайн, розглянутий в працях В.О. Кофанова. Показані також деякі оцінки величини, що знаходиться в правій частині цієї рівності. На основі цього доведені деякі властивості точок, в яких ця величина досягає максимуму. Знайдено оцінку для найкращого наближення функцій з класів , а також уточнено результат В.О. Кофанова про найкраще наближення класів алгебраїчними многочленами.

Ключові слова: найкраще наближення функцій і класів функцій, модуль неперервності, класи , і .

Коган А.М. Приближение алгебраическими многочленами некоторых классов дифференцируемых функций. Рукопись.

Alexander M. Kogan. Approximation of some classes of differentiable functions by algebraic polynomials. Manuscript.

Thesis for a Philosophy Doctor degree by specialty 01.01.01 mathematical analysis.  Institute of the applied mathematics and mechanics of NAS of Ukraine, Donetsk, 2001.

This dissertation is devoted to investigation of the best approximation of the classes and by algebraic polynomials in . Theory of approximation is one of the most developed branches of modern analysis and the problem of the best approximation of various classes of functions by algebraic polynomials is one of the typical problems of approximation theory.

The problem of the best approximation of the classes by algebraic polynomials in for convex differentiable module of continuity and r = 0, 1, ... is solved in chapter 1 of the dissertation. The asymptotic equality for the best approximation of the classes is obtained. It's also proved that under definite conditions the simpler equality is true. But if these conditions don't hold, this more simple condition is no longer true (the corresponding example is considered in chapter 1).

Approximation of the classes by algebraic polynomials in for r = 1, 2, ... is considered in chapter 2. The following exact equality is obtained:

where is the spline which was considered in the papers by V.A. Kofanov. Some estimations of the expression in the right-hand side of this equality are considered. Taking into account these estimations we can prove some properties of the points, in which this expression reaches its maximum. The estimation of the best approximation of the functions is obtained in chapter 2 too. In chapter 2 the result by V.A. Kofanov about the best approximation of the classes is also improved.

Key words: best approximation of functions and classes of functions, modulus of continuity, classes , and .

Размещено на Allbest.ru