Преобразование функций

Размещено на http://www.allbest.ru/

Элементы теории множеств

Множеством называется совокупность элементов определенной природы.

Например: множество чисел, геометрических фигур, векторов и т.д.

Элементы множества обозначаются буквами a,b,c, …; x, y, z, …

Множества обозначаются заглавными буквами:

B = {b1, b2,…,bn}

Существуют стандартные обозначения множеств:

N - множество натуральных чисел {1,2,3}

Z - множество целых чисел {0,+-1,+-2}

Q - множество рациональных чисел {m/n}

R - множество действительный чисел

Над множествами приняты следующие операции:

Сложение (присоединение) .

Сложением множеств A и B называется мн-во С, состоящее из всех элементов А и В.

Умножение (пересечение) .

Умножением множеств A и B называется мн-во С, состоящее из элементов А и В одновременно.

Разность \.

Разностью множеств A и B называется мн-во С, состоящее из элементов АВ.

Подмножество АВ.

А называется подмножеством В если все элементы АВ

Равенство

Если АВ и ВА, то А=В

Для записи математ. выражений используется квантр всеобщности «» и квантр существования «»

Выпуклые свойства и их свойства

ОПР. Мн-во U наз. выпуклым, если с любыми своими точками содержит отрезок их соединяющий, т.е.: u₁,u₂U=>u=u₁+(1-)u₂ U, 01.

1) Пересечение любого числа вып. мн-в есть мн-о выпуклое, т.е.: U=Ui, Ui-выпуклые (i=1,l), тогда U - тоже выпукло. Док-во: Возьмём ui,u2U, а мн-во U=Ui=> ui,u2Ui. Т.к. Ui- выпукло, то вместе с точками u1,u2 точка u=u1+(1-)u2 Ui,01.

Из того, что мн-во U=Ui, а точка u Ui, то uUi

2) Пусть точки Ui принадлежат вып. мн-ву U. Тогда точка u=iui U, если i=1. Точка u наз. выпуклой комбинацией точек Ui. Например, любая внутр. точка круга есть вып. комбинация точек пересечения хорды с кругом, проходящей через точку.

Множество вещественных чисел

Множество вещественных чисел {x} называется ограниченным сверху (снизу), если существует число M (m) такое, что x Ј M ( x і m).

Число M называется верхней гранью числового множества {x}. Аналогично, число m называется нижней гранью числового множества {x}.

Верхних (нижних) граней бесконечно много, так как любое число, большее M (меньшее m), есть также верхняя (нижняя) грань.

Наименьшая из верхних граней называется точной верхней гранью или супремумом числового множества {x} (обозначение sup{x}).

4. Наибольшая из нижних граней называется точной нижней гранью или инфимумом числового множества {x} (обозначение inf{x}).

Более точно, эти понятия выражаются следующими свойствами:

Супремум sup{x},.

Инфимум inf{x},.

Теорема о существовании супремума и инфимума числового множества.

Если числовое множество {x} не пусто и ограничено сверху, то у него существует sup{x}.

Если числовое множество {x} не пусто и ограничено снизу, то у него существует inf{x}.

Функция

Если к каждому значению х независимой переменной ставится в соответствии по известному закону некоторое число у, то говорят что на множестве х задана функция Y=f(X).

При этом Х назв. независимой переменной, У- зависимой переменной.

Область определения, область значения функции.

Область определения функции - множество возможных значений, которые может принимать аргумент.

Область значений функции -- множество значений, которые принимает функция в результате ее применения.

Способы задания и основные свойства функции.

Словесный: С помощью естественного языка Игрек равно целая часть от икс. Аналитический: С помощью аналитической формулы f (x) = x!

Графический С помощью графика Фрагмент графика функции.

Табличный: С помощью таблицы значений.

Свойства функции.

1. Чётность. Если облать определения функции симметричня относительно нуля и f(-x)=f(x) "xОD(f), то функция у=f(x) называется чётной.

Если

f(-x)= - f(x) "xОD(f), то функция у=f(x) называется нечётной.

Если не выполняется ни первое, ни второе условие, то функция общего вида.

2. Монотонность. функция у=f(x) - возрастающая, если для любого х1 и х2 из области определения функции (х1 <х2) выполняется неравенство f(x1)<f(x2).

Функция у=f(x) - убывающая, если для любого х1 и х2 из области определения функции (х1>х2) выполняется неравенство f(x1)>f(x2).

Возрастающие или убывающие функции называются монотонными.

3. Ограниченность. Функция у=f(x) называется ограниченной на некотором промежутке, если существует М>0, MОR|"xОданному промежутку |f(x)|ЈM.

Функция у=f(x) называется ограниченной снизу, если существует mОR |"xОданному промежутку mЈf(x). Функция у=f(x) называется ограниченной сверху, если существует mОR |"xОданному промежутку mіf(x).

4. Периодичность. Функция у=f(x) называется периодической с периодом Т не равным нулю, если выволняется условие f(x+ - T)=f(x).

Основные элементарные функции.

1. Степенная. y=xa, a=const, aОR. D(f)=(0;+Ґ). Если aОNЮD(f)=R.

2. Показательная. y=ax

a>0,a не равно 1. D(f)=R/ E(f)=(0;+Ґ). Если a>1, следовательно,

функция возрастает. Если аО(0;1), функция убывает.

3. Логарифмическая. y=logax, a>0, a не равно 1. D(f)=(0;+Ґ),

E(f)=R. Если a>1, следовательно, функция возрастает. Если аО(0;1),

функция убывает.

4. Тригонометрические.

5. Обратные тригонометрические.

Виды преобразований графиков функций

Параллельный перенос графика вдоль оси абсцисс на | b | единиц

y = f(x - b)

- вправо, если b > 0;

- влево, если b < 0.

y = f(x + b)

- влево, если b > 0;

- вправо, если b < 0

Параллельный перенос графика вдоль оси ординат на | m | единиц

y = f(x) + m

- вверх, если m > 0,

- вниз, если m < 0.

Отражение графика

y = f(- x) Симметричное отражение графика относительно оси ординат.

y = - f(x) Симметричное отражение графика относительно оси абсцисс.

Сжатие и растяжение графика

y = f(kx)

- При k > 1 -- сжатие графика к оси ординат в k раз,

- при 0 < k < 1 -- растяжение графика от оси ординат в k раз.

y = kf(x)

- При k > 1 -- растяжение графика от оси абсцисс в k раз,

- при 0 < k < 1 -- cжатие графика к оси абсцисс в k раз.

Преобразования графика с модулем

y = | f(x) |

- При f(x) > 0 -- график остаётся без изменений,

- при f(x) < 0 -- график симметрично отражается относительно оси абсцисс.

y = f(| x |)

- При x0 -- график остаётся без изменений,

- при x < 0 -- график симметрично отражается относительно оси ординат.

Суперпозиция функций

Обратная функция, ее график и свойства

1. Числовые последовательности

Если каждому числу n натурального ряда чисел 1,2,3..n ставится соответствие некоторое вещественное число Xn,то множество вещ.чисел X1,X2,X3..Xn назыв.числовой последовательностью или просто последовательностью.

ЧислаXn назыв.элементами или членами последовательности {Xn} предел числовой последовательности.

Определение 1. Конечное число а называется пределом числовой последовательности x1; x2;...; хn;... (или просто {хn}), если для любого > 0 (сколь угодно малого) существует число N = N() такое, что |хn - а| N.

Обозначение: = а.

Определение 2. Числовая последовательность имеет бесконечный предел, если для любого > 0 (сколь угодно большого) существует число N = N() такое, что | хn при всех n > N.

Обозначение: =

Определение 3. Последовательность {хn} называется бесконечно малой, если = 0.

Определение 4. Последовательность {хn} называется бесконечно большой, если = .

Теорема 1. Пусть существуют конечные пределы последовательностей {хn} и {yn}.

1) Если существует порядковый номер N, начиная с которого (n > N) выполняется условие хn < yn, то N) выполняется условие хn = С, С - const, то = С.

Замечание. Операция [а] означает выделение целой части числа а, не превышающей самого числа а. Например, [5, 43] = 5; [-5, 43] = -6; [4] = 4 и т. д.

Существование предела монотонной и ограниченной последовательности.

Признаки существования предела последовательности.

*Если числовая последовательность монотонна и ограничена, то она имеет предел.

*Если в некоторой окрестности точки x0 (или при достаточно больших значениях x) функция f(x) заключена между двумя функциями (x) и (x), имеющими одинаковый предел A при (или ), то функция f(x) имеет тот же пр.

Предел функции в точке и на бесконечности

Введем понятие предела функциикогда независимая переменная х приближается к т. а.

О: Число b называется пределом функциипри если для любого числа > 0 существует такое числозависящее только от,что из неравенства следует неравенство

Символическая запись определения:

.

Дадим геометрическое истолкование предела функции в точке. Имеем

т.е. если х содержится вокрестности т. а, то график функции находится в полосе между у= b -и у = b + (рис. 7.1). Отметим, что если функция имеет предел при то он единственен. Действительно, в силу определения функции при наличии двух пределов и b2 x->a при график функции не мог бы находиться сразу внутри двух полос:

если

Аналогично определению предела последовательности вводится и предел функции при

Пределы монотонных последовательностей

Предел монотонной функции

Функция f(x) называется монотонно возрастающей, если из x1>x2 следует f(x1)і f(x2); строго монотонно возрастающей, если из x1>x2 следует f(x1)> f(x2).

Оба эти случая объединяют символом f(x).

Функция f(x) называется монотонно убывающей, если из x1>x2 следует f(x1)Ј f(x2); строго монотонно возрастающей, если из x1>x2 следует f(x1)< f(x2).

Оба эти случая объединяют символом f(x)Ї.

Теорема.

Если f(x) при x<a и ограничена сверху то существует конечный .

Если f(x) при x<a но сверху не ограничена, то .

Аналогичные формулировки имеют место и для монотонно убывающей функции.

Признак Больцано-Коши существования предела функции

Теорема. Для того, чтобы при x стремящимся к a существовал конечный , необходимо и достаточно, чтобы

Эта теорема является одной из важнейших теорем теории пределов.

Замечательные пределы

*1-й замечательный предел.

Возьмем круг радиуса 1, обозначим радианную меру угла MOB через Х.

Пусть 0 < X < р/2. На рисунке |АМ| = sin x, дуга МВ численно равна центральному углу Х, |BC| = tg x. Тогда

Разделим все на и получим:

Т.к. , то по признаку существования пределов следует .

*2-й замечательный предел.

Пусть х>?. Каждое значение х заключено между двумя положительными целыми числами:

Если x>?, то n>?, тогда

По признаку о существовании пределов:

6. Бесконечно малые и бесконечно большие функции (величины), их свойства.

Определение 8 (бесконечно малая функция). Функция называется бесконечно малой в точке a или при x® a, если

limx ® af(x) = 0

Пример 10.

f(x) = 1/x, x ® Ґ

f(x) = x2, x ® 0

f(x) = 1-cos x, x ® 0

Заметим, что если функция f(x) имеет предел в точке a, равный A, то функция a (x) = f(x)-A является бесконечно малой в точке a. То есть, если функция f(x) имеет предел A в точке a, то f(x) = A+a, где limx® aa (x) = 0.

Отметим некоторые свойства бесконечно малых функций.

Теорема 4 (свойства бесконечно малых функций).

Алгебраическая сумма конечного числа бесконечно малых функций есть бесконечно малая функция.

Произведение бесконечно малой функции на ограниченную функцию есть бесконечно малая.

Произведение конечного числа бесконечно малых является бесконечно малой.

Определение 9 (бесконечно большая функция). Функция называется бесконечно большой при x® a или в точке a, если для любого положительного числа e найдется такое положительное d(e), что для всех x№ a и удовлетворяющих условию |x-a|<d будет выполнено неравенство |f(x)|>e.

Аналогично можно дать определение бесконечно большой при x® Ґ. Приведем его в символической записи:

limx® Ґf(x) = Ґ Ы " e>0 $ d(e)>0 " x:|x|>d |f(x)|>e.

Предложение 1. a(x) бесконечно малая функция при x® a Ы 1/a(x) -- бесконечно большая при x ® a.

Пример 11. y = x2 - бесконечно малая функция при x ® 0, а y = 1/x2 - бесконечно большая при x ® 0.

Сравнение бесконечно малых функций.

Две б.м. функций сравниваються между собой с помощью их отношения(сумма, разность и произведение).

Рассмотрим правило сравнения б.м. функций:

*Пусть при хх0 функции (х) и (х) являються б.м., т.е. Lim(х){при хх0}=0 и Lim(х){при хх0}=0, тогда Правила:1)Если Lim(х)/(х){при хх0}=0, то (х) - б.м. более высокого порядка, чем (х). 2)Если Lim(x)/(х){при хх0}=А0, то (х) и(х) - б.м. одного порядка. 3)Если Lim(х)/(х){при хх0}=1, то (х) и (х) - эквивалентные б.м.. Иногда нужно оценивать как высок порядок б.м. более высокого порядка, поэтому 4)Если Lim(х)/ (х){при хх0}=А0, то (х) - б.м. n-го порядка относительно (х).

Замечания: Для сравнения б.м. функций, при х?, х+\-?, хх0+\-. Существует аналогичное правило.

Эквивалентные бесконечно малые функции, их применение в вычислениях пределов.

Две функции и называются эквивалентными бесконечно малыми, при , если

,

это записывают при .

При вычислении пределов функций в точке и на бесконечности удобно пользоваться следующей теоремой:

Если , и - некоторые функции, определенные в окрестности точки (на числовой полуоси) и при , то

. (16)

Формула (16) показывает, что в произведении можно заменять функцию - сомножитель на эквивалентную ей - более простую для вычисления предела.

Таблица эквивалентных бесконечно малых

Пусть , если . Тогда справедливы следующие эквивалентности:

; (17)

; (18)

; (19)

; (20)

; (21)

(22)

(23)

(24)

7. Непрерывность функции в точке. Свойства функций, непрерывных в точке. Точки разрыва функции.

Функция f(x), определенная в окрестности некоторой точки х₀, называется непрерывной в точке х₀, если предел функции и ее значение в этой точке равны, т.е.

Тот же факт можно записать иначе: _.

Функция f(x) называется непрерывной в точке х₀, если для любого положительного числа ?>0 существует такое число ?>0, что для любых х, удовлетворяющих условию верно неравенство

.

Функция f(x)называется непрерывной в точке х = х₀, если приращение функции в точке х₀ является бесконечно малой величиной.

f(x) = f(x₀) + ?(x)

где ?(х) - бесконечно малая при х?х₀.

Свойства непрерывных функций.

1) Сумма, разность и произведение непрерывных в точке х₀ функций - есть функция, непрерывная в точке х₀.

2) Частное двух непрерывных функций - есть непрерывная функция при условии, что g(x) не равна нулю в точке х₀.

3) Суперпозиция непрерывных функций - есть непрерывная функция.Если u = f(x), v = g(x) - непрерывные функции в точке х = х₀, то функция v = g(f(x)) - тоже непрерывнаяфункция в этой точке.

Классификация точек разрыва функции.

Все точки разрыва функции разделяются на точки разрыва первого и второго рода.

Говорят, что функция f (x) имеет точку разрыва первого рода при x = a, если в это точке.

Существуют левосторонний предел и правосторонний предел ;

Эти односторонние пределы конечны.

При этом возможно следующие два случая:Левосторонний предел и правосторонний предел равны друг другу:

Такая точка называется точкой устранимого разрыва.

Левосторонний предел и правосторонний предел не равны друг другу:

Такая точка называется точкой конечного разрыва. Модуль разности значений односторонних пределов называется скачком функции.

Функция f (x) имеет точку разрыва второго рода при x = a, если по крайней мере один из односторонних пределов не существует или равен бесконечности.

8. Непрерывность функции на отрезке. Свойства функций, непрерывных на отрезке: ограниченность, существование наибольшего и наименьшего значений, существование промежуточных значений.

Функцию y=f(x) называют непрерывной на отрезке [a, b], если она непрерывна во всех внутренних точках этого отрезка, а на его концах, т.е. в точках a и b, непрерывна соответственно справа и слева.

Свойства: 1Функция, непрерывная на отрезке, ограничена на этом отрезке, т.е. на отрезке [a,b] выполняется условие -M Ј f(x) Ј M. 2. Функция, непрерывная на отрезке [a, b], принимает на нем наибольшее и наименьшее значения.3. Функция, непрерывная на отрезке [a, b], принимает на этом отрезке все значения между двумя произвольными величинами.4. Если функция f(x) непрерывна в точке х = х0, то существует некоторая окрестность точки х0, в которой функция сохраняет знак.5. Если функция f(x)- непрерывная на отрезке [a, b] и имеет на концах отрезка значения противоположных знаков, то существует такая точка внутри этого отрезка, где f(x) = 0. 6. Функция, непрерывная на отрезке, равномерно непрерывна на нем.7. Если функция f(x) определена, монотонна и непрерывна на некотором промежутке, то и обратная ей функция х = g(y) тоже однозначна, монотонна и непрерывна.

Непрерывность функции на отрезке

Непрерывность функции в интервале и на отрезке функция y=f(x) называется непрерывной в интервале от a до b (a;b), если она непрерывна в каждой точке этого интервала.

Функция y=f(x) называется непрерывной на отрезке [a;b], если она непрерывна в каждой точке интервала (a;b) и в точке х=а непрерывна справа, а в точке х=b непрерывна слева.

Свойства функций, непрерывных на отрезке: ограниченность, существование наибольшего и наименьшего значений, существование промежуточных значений.

Функция f(x) называется ограниченной на отрезке [a;b], если существует такое c=const, c>0, что модуль функции |f(x)|c для всех x[a;b], в противном случае функция называется неограниченной на отрезке.

Теорема: всякая непрерывная на отрезке [a;b] функция ограничена на отрезке [a;b].

Теорема Вейерштрасса: если функция непрерывна на [a;b], то она достигает на этом отрезке своего наибольшего и наименьшего значения.

Теорема: если функция непрерывна на [a;b] и на его концах принимает значения разных знаков, то внутри отрезка найдётся хотя бы одна точка с, значение функции в которой равно 0.

Числовые ряды

Сходимость ряда. Необходимый признак сходимости ряда. Эталонные ряды. Пусть задана бесконечная последовательность чисел . Выражение называется числовым рядом. Числа называются членами этого ряда.

Если существует конечный предел , то его называют суммой ряда и говорят, что ряд сходится.

Если не существует (например , при ), то говорят, что ряд расходится и суммы не имеет. Необходимый признак сходимости ряда: Если ряд сходится, то его n-й член стремится к нулю при неограниченном возрастании n.

Следствие. Если n-й член ряда не стремится к нулю, то ряд расходится.

Эталонные ряды, т.е. разложения элементарных функций, можно использовать для получения рядов тех же функций, но сложного аргумента.

Ряды с положительными членами

Определение 1. Числовой ряд называется положительным, если все его элементы не отрицательны.

Признаки сравнения.

Пусть даны два положительных ряда и . Тогда:

1) если при всех n, то из сходимости ряда следует сходимость ряда , а из расходимости ряда следует расходимость ряда ;

2) если существует конечный , то ряды и сходятся и расходятся одновременно;

3) если при всех n, то из сходимости ряда вытекает сходимость ряда , а из расходимости ряда вытекает расходимость ряда .

Ряды с положительными членами

Определение 1. Числовой ряд называется положительным, если все его элементы не отрицательны

Признаки Даламбера и Коши

Признак Даламбера.

Пусть для положительного ряда существует предел . Тогда:

а) если l < 1, ряд сходится;

б) если l > 1, ряд расходится.

Доказательство:

1) Пусть l<1.

Рассмотрим число q, удовлетворяющее соотношению l < q < 1. (1)

Из определения предела и соотношения (1) следует, что для всех значений n, начиная с некоторого номера N, т. е. для , будет иметь место неравенство (1').

Действительно, так как величина стремится к пределу l, то разность между величиной и числом l может быть сделана (начиная с некоторого номера N) по абсолютному значению меньше любого положительного числа, в частности, меньше, чем q-l, т. е. .

Из последнего неравенства и следует неравенство (1'). Записывая неравенство (1') для различных значений n, начиная с номера N, получим:

(2)

Рассмотрим теперь два ряда:

(3)

(3')

Ряд (3') есть геометрическая прогрессия с положительным знаменателем q < 1. Следовательно, этот ряд сходится. Члены ряда (3), начиная с , меньше членов ряда (3'). На основании признака сравнения заключаем, что ряд (3) сходится.

2) Пусть l>1. Тогда из равенства (где l > 1) следует, что, начиная с некоторого номера N, т. е. для , будет иметь место неравенство или для всех . Но это означает, что члены ряда возрастают, начиная с номера N + 1, и поэтому общий член ряда не стремится к нулю. Следовательно, ряд расходится.

Признак Коши

Пусть для положительного ряда существует предел . Тогда:

а) если l<1, ряд сходится;

б) если l>1, ряд расходится.

Доказательство:

По определению предела для любого существует начиная с которого выполняются неравенства .

1) l < 1

Выберем , чтобы , тогда начиная с N, будет выполняться неравенство:

- сходится

- сходится

геометрическая прогрессия

2) l > 1

Выберем , чтобы , тогда начиная с N, будут выполняться неравенства:

Нарушен необходимый признак сходимости ряда, и он расходится.

Ряды с членами произвольного знака

Абсолютная и условная сходимость. Признак Лейбница.

Числовой ряд, содержащий бесконечное множество положительных и бесконечное множество отрицательных членов, называется знакопеременным. Частным случаем знакопеременного ряда является знакочередующийся ряд, то есть такой ряд, в котором последовательные члены имеют противоположные знаки.

Признак Лейбница

Для знакочередующихся рядом действует достаточный признак сходимости Лейбница.

Пусть {an} является числовой последовательностью, такой, что

1. an+1 < an для всех n;

2.

Тогда знакочередующиеся ряды и сходятся.

Абсолютная и условная сходимость.

Ряд называется абсолютно сходящимся, если ряд также сходится.

Если ряд сходится абсолютно, то он является сходящимся (в обычном смысле). Обратное утверждение неверно.

Ряд называется условно сходящимся, если сам он сходится, а ряд, составленный из модулей его членов, расходится.

Степенные ряды. Область сходимости степенного ряда

Степенным рядом называется выражение:

(1)

Те значения х при которых ряд (1) сходится называются областью сходимости степенного ряда.

Ряды Маклорена и Тейлора

Если функция имеет производные любого порядка в окрестности точки , то получим бесконечный ряд, который называется рядом Тейлора: .

При получим частный случай ряда Тейлора, который называют рядом Маклорена:

Разложение функций в ряды Маклорена и Тейлора.

Понятие функции, дифференцируемой в точке

Дифференциальным уравнением называется уравнение , которое связывает независимый аргумент х, неизвестную функцию у и ее производные .

Геометрический и физический смысл производной функции прямая y-y0=k(x-x0), угловой коэффициент которой равен производной функции в данной точке (k=f'(x0)) называется касательной к графику функции в данной точке.

При х0, значение х0+хх0, т.е. секущая стремиться занять положение касательной, так будем говорить, что касательная есть предельное положение секущей.

Геометрический смысл производной состоит в том, что она равна tg угла наклона касательной.

Прямая, перпендикулярная касательной в точке касания называется нормалью.

-уравнение нормали в точке х0.

Производная сложной и обратной функции.

Производная сложной ф-ции = произведению производной ф-ции по промежуточному аргументу и производной самого промежуточного аргумента по независимой переменной.

y^/=f^/(U)*U^/,или y_x^/=f ^/ (u)F^/(x) y=f(u), u=F(x)

Например:

Пусть y=f(x)-монотонно возрастает или убывает.

Д - область определения

Е - область значения

Каждому у принадлежащему Д найдется свое значение х принадлежащее Д.

Пусть y=f(x) и x=g(y) - взаимно обратные функции и монотонно возрастают или убывают. Если эти функции непрерывны в некотором промежутке и в точке х существует конечная производная, то в функции x=g(y) так же существует производная от у.

Правила дифференцирования, таблица производных.

Теорема: Если f(x) и g(x) дифферен. в точке х, то:

Теорема о произв. сложной функции:

Если y(x)=f(u(x)) и существует f'(u) и u'(x), то существует y'(x)=f(u(x))u'(x).

Теорема о произв. обратной функции.

Таблица производных:

Дифференциал функции и его геометрический смысл

Геометрический смысл дифференциала

limy=A, y=A+

limy/x=y`, y/x=y`+, y=y`x+x

x0

y=y`x+, где -б.м.в., величина более высокого порядка малости,, чем x(), и ее можно отбросить.

dy=y`x

Дифференциалом ф-ции наз. величина, пропорциональная б.м. приращению аргумента х и отличающаяся от соответствующего приращения ф-ции на б.м.в. более высокого порядка малости, чем х.

Если y=x, то dy=dx=x`x=x, dx=x

Если yx, то dy=y`dx, y`=dy,dx

*Геометрический смысл: дифференциал - изменение ординаты касательной, проведенной к графику ф-ции в точке (x0,f(x0)) при изменении x0 на величину x

*Св-ва:

1. (UV)`=U`V`, то (UV)`dx=U`dxV`dx, d(UV)=d(UV)

2. (UV)`=U`V+V`U, то (UV)`dx=V`dU+U`dV

3. d(c)=c`dx=0*dx=0

4. d(U/V)`=(V`dU-U`dV)/V2.

Дифференцирование функций, заданных параметрически

Применение дифференциала к приближенным вычислениям функций

Как уже известно, приращение ?у функции у = ѓ(х) в точке х можно представить в виде ?у = ѓ'(х)*?х+б*?х, где б>0 при ?х>0, или ?у = dy+б*?х. Отбрасывая бесконечно малую б*?х более высокого порядка, чем ?х, получаем приближенное равенство [?у?dy] [24.3]. Причем это равенство тем точнее, чем меньше ?х. Это равенство позволяет с большой точностью вычислить приближенно приращение любой дифференцируемой функции. Дифференциал обычно находится значительно проще, чем приращение функции, поэтому формула (24.3) широко применяется в вычислительной практике. Пример. Найти приближенное значение приращения функции у = х³-2х+1 при х = 2 и ?х = 0,001. Решение. Применяем формулу (24.3): ?у?dy = (х³-2х+1)'*?х = (3х²-2)*?х. dy|_{x=2; ?x=0.001} = (3*4-2)*0.001 = 10*0.001 = 0.01. Итак, ?у?0,01. Посмотрим, какую погрешность допустили, вычислив дифференциал функции вместо ее приращения. Для этого найдем ?у:

?у=((х+?х)³-2(х+?х)+1)-(х³-2х+1)=х³+3х²*?х+3х*(?х)²+(?х)³-2х-2*?х+1-х³+2х-1=?х(3х²+3х*?х+(?х)²-2); ?y|_{x=2; ?x=0.001} = 0.001(3*4+3*2*0.001+0.001²-2) = 0.010006. Абсолютная погрешность приближения равна |?у-dy| = |0,010006-0,011=0,000006. Подставляя в равенство (24.3) значения ?у и dy, получим ѓ(х+?х)-ѓ(х)?ѓ'(х)?х или [ѓ(х+?х)?ѓ(х)+ѓ'(х)*?х] [24.4]. Формула (24.4) используется для вычислений приближенных значений функций.

Производные и дифференциалы высших порядков

Опр-ие: производной n-го порядка (n2) функции у=f(х) называется производная (первого порядка) от производной (n-1)-го порядка.

Найдя 1-ю производную можно определить 2-ю производную по тем же формулам, по которым определяли первую.

Опр-ие: Дифференциалом n-го порядка функции у=f(х) называется дифференциал первого порядка от дифференциала (n-1)-го порядка. (обозначается dⁿy)По определению dⁿy= d(d^n-1y). Иногда dy называют диф. Первого порядка. В общем случае, dⁿy=f⁽ⁿ⁾(х)dxⁿ, в предположении, что n-ая производная f⁽ⁿ⁾(х) сущ-ет, поэтому понятно, что n-e.

Точки экстремума функции

Опред: точка x0 называется точкой max (min) если существ. такая окрестность данной точки, что в x0 фун. принимает наибольшее (наименьшее) значение.

Точка х0 наз. точкой экстремума, если эта точка max или min данной функции.

Теоремы Ферма, Ролля, Лагранжа, Коши, их применение

Теорема Ролля

Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b], дифференцируема на интервале (а, b) и значения функции на концах отрезка равны f(a) = f(b), то на интервале (а, b) существует точка , a < < b, в которой производная функция f(x) равная нулю,

f() = 0.

Геометрический смысл теоремы Ролля состоит в том, что при выполнении условий теоремы на интервале (a, b) существует точка такая, что в соответствующей точке кривой y = f(x) касательная параллельна оси Ох. Таких точек на интервале может быть и несколько, но теорема утверждает существование по крайней мере одной такой точки.

Теорема Коши

Если функции f(x) и g(x) непрерывны на отрезке [a, b] и дифференцируемы на интервале (a, b) и g(x) 0 на интервале (a, b), то существует по крайней мере одна точка , a < < b, такая, что

.

Т.е. отношение приращений функций на данном отрезке равно отношению производных в точке .

Для доказательства этой теоремы на первый взгляд очень удобно воспользоваться теоремой Лагранжа. Записать формулу конечных разностей для каждой функции, а затем разделить их друг на друга.

Теорема Лагранжа

Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b] и дифференцируема на интервале (а, b), то на этом интервале найдется по крайней мере одна точка

a < < b, такая, что .

Это означает, что если на некотором промежутке выполняются условия теоремы, то отношение приращения функции к приращению аргумента на этом отрезке равно значению производной в некоторой промежуточной точке.

Рассмотренная выше теорема Ролля является частным случаем теоремы Лагранжа.

Теорема Ферма

Если f(x) дифф. в точке x0 и принимает в хтой точке наибольш. или наименьш. значение для некоторой окресности точки x0, то f'(x)=0.

Доказательство:

пусть f(x0) - наибольшая.

Теорема Ролля

Если функция f(x) непрерывна на заданном промеж/ [a,b] деффер. на интервале (a,b) f(a)=f(b) то существует т. с из интерв. (a,b), такая, что f'(c)=0.

Правило Лопиталя

Пусть выполнены следующие условия:

1. Функции f(x) и g(x) определены и дифференцируемы в выколотой окрестности точки a.

(1)

3. g(x) и f(x) не равны нулю в этой выколотой окрестности.

Если при этом существует (2)

То существует и (3)

Причем, они равны между собой.(4)

Доказательство: Доопределим функции f(x) и g(x) в точке x=a, положив f(a)=g(a)=0. Рассмотрим отрезок между числами a и x, где точка из упомянутой в условии выколотой окрестности. Для определенности будем считать, что x<a. Обе функции на отрезке [x,a] неперывны, а в интервале (x,a) дифференцируемы, т.е. удовлетворяют условиям теоремы Коши. Следовательно, Существует такая точка с(x,a), что выполняется равенство (5).

Так как f(a)=g(a)=0. При ха будет са, потому x<c<a.

По условию теоремы существует (2). Здесь х можно заменить любой другой буквой, в частности с. Переходя к пределу в равенстве (5) при ха, получим.

Или, что то же самое (4).

Применение производной функции к вычислению пределов.

Условия монотонности функций

Функция y=f(x) имеет в точке х1 максимум (минимум), если если значение функции f(x1) больше (меньше), чем ее значение во всех точках некоторого интервала.

МАХ и МИН называются экстремумами.

1-ое достаточное условие: точка х₀ является точкой экстремума, если ее производная в этой точке меняет знак:

2-ое достаточное условие: пусть при х=х1

Пусть вторая производная непрерывна в некоторой окрестности точки х1. Тогда, если , то при х=х1 функция имеет максимум, если , то минимум.

- если с “+” на “-”, то х₀- т. max

- если с “-” на “+”, то х₀- т. min

Необходимое условие экстремума. Если ф-ия f(x) имеет экстремум, то ее производная в этой точке равна нулю.

Экстремумы функции, необходимые и достаточные условия точек экстремума.

Точка х0 называется точкой локального максимума функции, если для всякого х из дельта окрестности (x(x0-;x0+)) выполняется f(x)<f(x0), и точкой локального минимума, если f(x)>f(x0).

Теорема (необходимое условие локального экстремума): Если функция имеет в точке х0 локальный экстремум и дифференцируема в этой точке, то её производная равна нулю. Док-во: т.к. в точке х0 функция имеет локальный экстремум, то есть такой интервал, на котором значение функции в точке х0 будет наибольшим/наименьшим среди всех других значений функции на этом интервале, что означает по теореме Ферма производная в этой точке равна нулю. Обратное не верно.

Достаточное условие экстремума: если непрерывная функция f(x) дифференцируема в дельта окрестности (x0-;x0+) и при переходе через неё слева направо производная меняет знак с + на -, то х0- точка максимума(если с - на + то минимума).Док-во (с + на -): Рассмотрим (x0-;x0) для х из этого интервала на отрезке [x;x0]. Применим формулу Лагранжа. f(x0)-f(x)=f '(c)>0*(x0-x)>0, c(x;x0) => f(x0)>f(x). Рассмотрим (x0;x0+): тогда на [x0;x], по формуле Лагранжа f(x)-f(x0)=f '(c)<0*(x-x0)>0, f(x0)>f(x). Вывод: для любой точки из (x0-;x0+) выполняется условие что f(x0)>f(x) => х0-точка максимума.

Наибольшее и наименьшее значения функции дифференцируемой на отрезке

Выпуклость графика функции. Точки перегиба. График дифференцируемой функции у = ѓ(х) называется выпуклым вниз на интервале (а;b), если он расположен выше любой ее касательной на этом интервале. График функции у = ѓ(х) называется выпуклым вверх на интервале (а;b), если он расположен ниже любой ее касательной на этом интервале. Точка графика непрерывной функции у = ѓ(х), отделяющая его части разной выпуклости, называется точкой перегиба. На рисунке 154 кривая у = ѓ(х) выпукла вверх в интервале (а;с), выпукла вниз в интервале (с;b), точка М(с;ѓ(с)) -- точка перегиба.

Интервалы выпуклости вниз и вверх находят с помощью следующей теоремы. Теорема 25.11. Если функция у = ѓ(х) во всех точках интервала (а;b) имеет отрицательную вторую производную, т. е. ѓ"(х)<0, то график функции в этом интервале выпуклый вверх. Если же ѓ"(х)>0 для любого xє(а;b) -- график выпуклый вниз. Теорема 25.12 (достаточное условие существования точек перегиба). Если вторая производная ѓ"(х) при переходе через точку х₀, в которой она равна нулю или не существует, меняет знак, то точка графика с абсциссой х₀ есть точка перегиба.

Асимптоты графика функции. Полное исследование функции и построение ее графика

Первообразная и неопределенный интеграл. Свойства неопределенного интеграла

Интегрирование рациональных функций

Интеграл от многочлена - легко и просто. Правильная рациональная дробь раскладывается на сумму элементарных дробей.

Типы дробей:

1), 2),3),4)

1)

2)

3)

4)

- рекуррентная формула

Вывод: интеграл от любой рациональной ф-ции выражается элементарной ф-цией ln,arctg, степенная.

Интегрирование некоторых видов иррациональностей

; ; n1,n2…N, m1,m2…Z

, где s-общий знаменатель дробей m1/n1, m2/n2 …

, тогда

Вид интеграла	Тригоном. подстановка	Иррацион. подстановка

m,n,p Q; a,b R

1) p Z, тогда , где s-общий знаменатель дроби

2)

3) , где s- знаменатель дроби

Во всех остальных случаях интеграл не выражается, т. е. является не берущимся.

Интегрирование тригонометрических функций

tg(x/2)=t - универсальная тригоном. подстановка.

; ; ;

Специальная тригоном. подстановка:

1) R(-sinx,cosx)dx = -R(sinx,cosx), тогда cosx = t;

2) R(sinx,-cosx)dx = -R(sinx,cosx), тогда sinx = t;

3) R(-sinx,-cosx)dx = -R(sinx,cosx), тогда tgx = t;

Интегралы вида:

I. m,n Z, m,n >= 0;

1) Одно из чисел m, n - нечетное, тогда sinx=t,cosx=t;

2) Оба нечетные или четные -

II. m,n Q

III.

это дифференц. Бином

- для гиперболических функций аналогично

Универсальная подстановка - th(x/2) = t, и так далее…

Таблица интегралов

Методы замены и интегрирования по частям в неопределенном интеграле

Метод подстановки

Методом подстановки (заменой переменной) называется метод, при котором введение новой переменной позволяет свести исходный интеграл к табличному.

Теорема: Пусть функция x=(t) определена и дифференцируема на некотором множестве Т, и пусть Х-множество значений этой функции. На множестве Х определена функция y=f(x), тогда если на Х функция f(x) имеет первообразную, то на Т справедлива формула:.

Метод интегрирования по частям

Теорема: Пусть функции U(x) и V(x) определены и дифференцируемы, на множестве Х и пусть функция U'(x)*V(x) имеет первообразную на этом промежутке, тогда на Х функция U(x)*V'(x) так же имеет первообразную и справедлива формула: . Док-во: [U(x)V(x)]'=U'(x)V(x)+U(x)V'(x) => U(x)V'(x)=-U'(x)V(x)+[U(x)V(x)]', интегрируя обе части получаем: .

Определенный интеграл, его свойства

Пусть y=f(x), определена на отрезке [a;b]:

Размещено на http://www.allbest.ru/

Разобьём этот отрезок на n произвольных частей точками a=x0<x1<x2<…<x_i-1<x_i<…<xn=b, причём отрезки не обязательно равные. На каждом отрезке выберем произвольную точку i[ x_i-1;x_i], найдём жначение функции f в точке i. Обозначим xi растояние между точками xi и xi-1. найдём соответствующее произведение: f(i)xi. Составим сумму этих произведений:

Сумма такого сида называется интегральной суммой функции y=f(x) на отрезке [a;b]. Обозначим в качестве .

Определние: если существует конечный предел интегральной суммы при 0, то этот предел называется определёенным интегралом от функции y=f(x) по отрезку [a;b] и обозначается: .

Теорема Коши: Если функция y=f(x) непрерывна на отрезке [a;b], то определённый интеграл существует.

Геометрический смысл: площадь криволинейной трапеции, ограниченной с верху функцией y=f(x), с низу осью Ох, и по бокам прямыми х=а, х=b.

Формула Ньютона-Лейбница

Если функция y=f(x) непрерывна на [a;b] и F(x) - какая либо первообразная функции на [a;b], т.е. F'(x)=f(x), то имеет место формула:

Док-во: рассмотрим разность

F(b)-F(a)=F(xn)-F(x0)=[F(x n)-F(x n-1)]+[F(x n-1)-F(x n-2)]+…+[F(x2)-F(x1)]+[F(x1)-F(x0)].

Разложим каждую скобку по формуле Лагранжа:

F'(n)(xn-x n-1)+ F'( n-1)(x n-1- x n-2)+…+ F'(2)(x2-x1)+ F'(1)(x1-x0)=f(n)xn+ f(n-1)xn-1+…+ f(2)x2+ f(1)x1= - интегральная сумма.

функция интеграл последовательность интегрирование

По теореме Коши т.к. функция непрерывна, то определённый интеграл существует. Так

Методы замены и интегрирования по частям в определенном интеграле

Интегрирование по частям в определенном интеграле.

Замена переменной в определенном интеграле

Двойной и тройной интегралы, их свойства

Свойства двойного интеграла

Двойной интеграл обладает следующими свойствами:

1.

2.

3. , где k - константа;

4. Если в области R, то ;

5. Если в области R и (рисунок 4), то ;

6. Если на R и области R и S являются непересекающимися (рисунок 5), то .
Здесь означает объединение этих двух областей.

Производная по направлению. Градиент

Пусть в некоторой области задана функция и точка . Проведем из точки вектор , направляющие косинусы которого . На векторе , на расстоянии от его начала рассмотрим точку , т.е. .

Будем предполагать, что функция и ее частные производные первого порядка непрерывны в области .

Предел отношения при называется производной от функции в точке по направлению вектора и обозначается , т.е..

Для нахождения производной от функции в заданной точке по направлению вектора используют формулу: , где - направляющие косинусы вектора , которые вычисляются по формулам:

.

Пусть в каждой точке некоторой области задана функция .

Вектор, проекциями которого на оси координат являются значения частных производных этой функции в соответствующей точке, называется градиентом функции и обозначается или (читается «набла у»):

.

При этом говорят, что в области определено векторное поле градиентов.

Для нахождения градиента функции в заданной точке используют формулу:

.

Свойства градиента

1. Производная в данной точке по направлению вектора имеет наибольшее значение, если направление вектора совпадает с направлением градиента. Это наибольшее значение производной равно .

2. Производная по направлению вектора, перпендикулярного к вектору , равна нулю.

Размещено на Allbest.ru

...