Задача Кошi для лiнiйних i квазiлiнiйних параболiчних систем з виродженням

Размещено на http://www.allbest.ru/

Мiнiстерство освiти i науки України

Чернiвецький нацiональний унiверситет iменi Юрiя Федьковича

Автореферат

дисертацiї на здобуття наукового ступеня кандидата фiзико-математичних наук

01.01.02 - диференцiальнi рiвняння

Задача Кошi для лiнiйних i квазiлiнiйних параболiчних систем з виродженням

Мединський Iгор Павлович

Чернiвцi - 2001

Дисертацiєю є рукопис.

Робота виконана у вiддiлi математичної фiзики Iнституту прикладних проблем механiки i математики iм. Я.С. Пiдстригача НАН України.

Науковий керiвник - доктор фiзико-математичних наук, професор Івасишен Степан Дмитрович, Чернiвецький нацiональний унiверситет iм. Ю. Федьковича, завiдувач кафедри математичного моделювання

Офiцiйнi опоненти:

доктор фiзико-математичних наук, професор Матiйчук Михайло Iванович, Чернiвецький нацiональний унiверситет iм. Ю. Федьковича, завiдувач кафедри диференцiальних рiвнянь

кандидат фiзико-математичних наук, доцент Бокало Микола Михайлович, Львiвський нацiональний унiверситет iм. Iвана Франка, доцент кафедри диференцiальних рiвнянь

Провiдна установа - Iнститут прикладної математики i механiки НАН України (м. Донецьк), вiддiл нелiнiйного аналiзу.

Вчений секретар спецiалiзованої вченої ради Садовяк А.М.

Анотацiя

коші квазілінійний параболічний рівняння

Мединський I.П. Задача Кошi для лiнiйних i квазiлiнiйних параболiчних систем з виродженням.- Рукопис.

Дисертацiя на здобуття наукового ступеня кандидата фiзико-математичних наук за спецiальнiстю 01.01.02 - диференцiальнi рiвняння. Чернiвецький нацiональний унiверситет iм. Ю. Федьковича, Чернiвцi, 2001.

Дисертацiя присвячена одержанню для лiнiйних параболiчних систем з виродженням на початковій гіперплощині результатів, подібних до відомих у теорії задачі Коші для рівномірно параболічних систем без виродження, їх застосуванню до встановлення локальної розв'язності відповідних квазілінійних систем і знаходженню загальних умов глобальної розв'язності задачі Коші для одного класу квазілінійних параболічних рівнянь.

У дисертаційній роботі досліджено властивості фундаментальної матриці розв'язків задачі Коші як функції часової змінної, що дозволило вивчати властивості об'ємних потенціалів, породжених нею, у спеціальних вагових просторах Гельдера. В цих просторах прирости беруться за сукупністю змінних, а вагові функції правильно враховують виродження системи. Доведено загальні леми про властивості інтегралів типу похідних від об'ємних потенціалів. Побудована шаудерова теорія розв'язків параболічних систем з виродженням і, зокрема, доведено теореми про підвищення гладкості таких розв'язків. Доведено теореми про коректну розв'язність задачі Коші для слабко виродженої системи і задачі без початкової умови, якщо виродження сильне. На базі результатів для лінійних систем доведено теореми про локальну розв'язність відповідних квазілінійних систем. Для одного класу параболічних рівнянь встановлено загальні умови глобальної розв'язності задачі Коші.

Ключові слова: параболічні за Петровським системи з виродженням на початковій гіперплощині, слабке і сильне виродження, задача Коші, задача без початкової умови, фундаментальна матриця розв'язків, об'ємний потенціал, коректна, локальна і глобальна розв'язність.

Abstracts

Medynksy I.P. The Cauchy problem for linear and quasilinear parabolic systems with degeneration. - Manuscript.

The thesis for obtaining Candidate of Science (Physics and Mathematics) degree (Ph.D.), speciality 01.01.02 - Differential Equations. - Chernivtsi National Yu. Fedkovich University, Chernivtsi, 2001.

The thesis is devoted tо the obtaining of results for linear parabolic systems with degeneration on the initial hyperplane, which are simiiar to known ones in the Cauchy problem theory for uniformly parabolic systems without degeneration. These results are used to establish the local resolvability of corresponding quasilinear systems and to find general conditions of a global resolvability of the Cauchy problem for a class of quasilinear parabolic equations.

In the thesis some properties of a fundamental matrix of solutions of the Cauchy problem for the given system and some properties of potentials which hgenerated by it are proved. The properties of the volume potentials are studied in special weight Hцlder spaces. General lemmas on properties of integrals which have the type of derivatives of such volume potentials are proved. Also, theorems on a correct resolvability of the Cauchy problem for weak degeneration system are proved. Schauder theory for solutions of parabolic system with degeneration on the initial hyperplane are constructed. A local resolvability theorems for the corresponding quasilinear systems with degeneration are established in different spaces, which are corresponding whith types of degeneration. Results for quasilinear systems are based on the ones for linear systems with degeneration. General conditions for a global resolvability of the Cauchy problem for a class of quasilinear parabolic equations are established.

Key words: parabolic by Petrovsky system with degeneration on the initial hyperplane,weak and strong degenerations, Cauchy problem, problem without initial data, fundamental matrix of solutions, volume potential, correct, local and global resolvability.

Аннотация

Мединский И.П. Задача Коши для линейных и квазилинейных параболических систем с вырождением. - Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.01.02 - дифференциальные уравнения. Черновицкий национальный университет им. Ю. Федьковича, Черновцы, 2001.

Диссертация посвящена получению для линейных параболических систем с вырождением на начальной гиперплоскости результатов, аналогичных известным в теории задачи Коши для равномерно параболических систем без вырождения, их применению к установлению локальной разрешимости соответствующих квазилинейных систем и нахождению общих условий глобальной разрешимости задачи Коши для одного класса квазилинейных параболических уравнений. В диссертационной работе впервые:

- для линейных параболических систем с вырождением на начальной гиперплоскости: получены оценки приращенийпо временной переменной производных от фундаментальной матрицы решений задачи Коши, а также аналогичные оценки для интегралов от этой матрицы и их производных; доказанны общие леммы о свойствах интегралов типа производных от объёмных потенциалов и специальных весовых пространствах Гёльдера, веса в которых правильно учитывают вырождение системы; исследованы своїства объёмных потенциалов, порожденных фундаментальной матрицей решений задачи Коши, в зависимости от того, к какому пространству принадлежит ин плотность; доказаны теоремы об априорных оценках и повышении гладкости решений задачи Коши или задачи без начального условия в зависимости от типа вырождения системы; доказаны теоремы о корректной разрешимости задачи Коши для систем со слабым вырождением и задачи без начального условия в случае сильного вырождения системы;

- для квазилинейных систем: доказана теорема о локальной разрешимости квазилинейных систем с вырождением на начальной иперплоскости и однородным начальным условием в классах убывающих при функций; при дополнительном предположении о функциях, порождающих вырождение системы, доказана теорема о локальной разрешимости задачи Коши с неоднородным начальным условием в пространствах ограниченных функций; найдены общие условия глобаьной разрешимости задачи Коши для одного класса квазилинейных параболических уравнений.

Полученные результаты и методика доказательств имеют теоретическое значение. Они могут быть использованы при дальнейших исследованиях задачи Коши и краевых задач для линейных и квазилинейных параболических систем с вырождением на начальной гиперплоскости, а также для установления глобальной разрешимости квазилинейных уравнений, если фундаментальное решение соответствующих линейных уравнений обладает необходимыми свойствами.

Ключевые слова: параболические по Петровскому системы с вырождением на начальной гиперплоскости; слабое и сильное вырождения, задача Коши, задача без начального условия, фундаментальная матрица решений, объёмный потенциал, корректная, локальная и глобальная разрешимость.

1. Загальна характеристика роботи

Актуальнiсть теми. Добре вiдомi глибокi й повнi результати в теорiї задачi Кошi для рiвномiрно параболiчних рiвнянь i систем рiвнянь як лiнiйних, так i квазiлiнiйних. При одержаннi бiльшостi з цих результатiв iстотну роль вiдiграє фундаментальна матриця розв'язкiв (ф.м.р.) задачi Кошi для таких систем, її властивостi, а також властивостi породжуваних нею потенцiалiв. Ф.м.р., за рiзних припущень на коефiцiєнти системи, будувалась i дослiджувалась: для рiвномiрно параболiчних систем рiвнянь - I.Г. Петровським, О.А. Ладиженською, С.Д. Ейдельманом, В. Погожельським (W. Pogorzelski), Д.Г. Аронсоном (D.G. Aronson), Л.Н. Слободецьким i М.I. Матiйчуком; для -параболiчних систем - С.Д. Ейдельманом та С.Д. Iвасишеним; для параболiчних систем з рiзними виродженнями й особливостями - С.Д. Iвасишеним i С.Д. Ейдельманом разом з їхнiми учнями Г.П. Малицькою, Л.М. Тичинською, Л.М. Андросовою, О.Г. Возняк, В.С. Дронем та iн.

Результати, що стосуються побудови й дослiдження ф.м.р. задачi Кошi, знайшли важливi рiзноманiтнi застосування до вивчення властивостей розв'язкiв, дослiдження коректної розв'язностi задачi Кошi в широких класах функцiй, одержання iнтегрального зображення розв'язкiв задачi Кошi та розв'язкiв, якi визначенi у вiдкритому шарi , встановлення локальної розв'язностi задачi Кошi для квазiлiнiйних i нелiнiйних параболiчних за Петровським систем рiвнянь, дослiдження можливостi продовження розв'язкiв таких систем на ширший часовий iнтервал.

Значно менше вивченi рiвняння i системи рiвнянь, що мають рiзнi виродження i особливостi. Рiвняння з виродженням за часовою змiнною вивчались А.С. Калашниковим, В.П. Глушком, А.В. Глушаком, С.Д. Шмулевичем та iн. У працях А.С. Калашникова дослiджувались параболiчнi рiвняння другого порядку без побудови фундаментального розв'язку (ф.р.). А.В. Глушак i С.Д.Шмулевич побудували ф.р. задачi Кошi для виродженого параболiчного рiвняння довiльного порядку. В.П. Глушком доведено, що для сильно виродженого рiвняння не можна розглядати задачу Кошi з початковими даними, заданими в точцi виродження. Параболiчнi системи з виродженням на початковiй гiперплощинi вивчались у працях С.Д. Iвасишена та О.Г. Возняк. У цих працях побудована i дослiджена ф.м.р. задачi Кошi для такої системи. Одержанi оцiнки ф.м.р. задачi Кошi використанi для вивчення об'ємних потенцiалiв та iнтегралiв Пуассона, ядрами яких є ф.м.р. Ними також доведено ряд теорем про коректну розв'язнiсть таких систем за додаткового припущення щодо гладкостi коефiцiєнтiв системи, яке звужує область застосування цих результатiв. Не повнiстю дослiджувалась i залежнiсть класiв розв'язкiв систем вiд поведiнки функцiй, що спричиняють виродження. Крiм того, перелiчених результатiв, одержаних вищезгаданими авторами для лiнiйних параболiчних систем з виродженням на початковiй гiперплощинi, є ще не досить для проведення дослiдження локальної розв'язностi квазiлiнiйних систем з виродженням, аналогiчного тому, яке проводилось для невироджених систем.

Проаналiзувавши вiдомi результати для параболiчних систем з виродженням на початковiй гiперплощинi, можна зробити висновок, що вони є неповними, тому їх необхiдно розвинути i доповнити, аби одержати результати, подiбнi до вiдомих у теорiї задачi Кошi для систем без виродження як лiнiйних, так i квазiлiнiйних. Невирiшеним є також питання про знаходження умов глобальної розв'язностi задачi Кошi для квазiлiнiйних параболiчних рiвнянь. Дисертацiйна робота присвячена вирiшенню вищезгаданих питань.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Дисертацiя виконана в рамках науково-дослiдної роботи "Розробка методiв дослiдження та побудови розв'язкiв некласичних та умовно-коректних задач для рiвнянь з частинними похiдними" (номер держреєстрацiї 0197U008960), що виконується у вiддiлi математичної фiзики Iнституту прикладних проблем механiки i математики iм. Я.С. Пiдстригача, до якого, як здобувач наукового ступеня, прикрiплений автор.

Мета i задачi дослiдження. Метою роботи є одержання для лiнiйних параболiчних систем з виродженням на початковiй гiперплощинi результатiв, подiбних до вiдомих у теорiї задачi Кошi для рiвномiрно параболiчних систем без виродження, їх застосування до встановлення локальної розв'язностi вiдповiдних квазiлiнiйних систем i знаходження загальних умов глобальної розв'язностi задачi Кошi для одного класу квазiлiнiйних параболiчних рiвнянь.

Безпосереднiми задачами дослiдження є:

- вивчення властивостей ф.м.р. задачi Кошi для розглядуваних систем як функцiї не тiльки просторової, але й часової змiнних;

- дослiдження властивостей об'ємних потенцiалiв та iнтегралiв типу похiдних вiд об'ємних потенцiалiв у спецiальних вагових просторах, якi правильно враховують характер виродження системи;

- встановлення коректної розв'язностi задачi Кошi та задачi без початкових умов у вагових просторах Гельдера, зокрема побудова шаудерової теорiї задачi Кошi для параболiчних систем з виродженням на початковiй гiперплощинi;

- застосування одержаних результатiв до встановлення локальної розв'язностi квазiлiнiйних систем з виродженням;

- знаходження загальних умов глобальної розв'язностi задачi Кошi для класу квазiлiнiйних параболiчних рiвнянь, який включає вiдомi в лiтературi випадки.

Об'єкт дослiдження: параболiчнi за Петровським системи рiвнянь.

Предмет дослiдження: задача Кошi для лiнiйних i квазiлiнiйних параболiчних систем з виродженнями.

Методи дослiджень: метод Левi, методи теорiї потенцiалу, метод апрiорних оцiнок, метод послiдовних наближень.

Наукова новизна одержаних результатiв. У дисертацiї вперше одержанi такi результати:

- для лiнiйних параболiчних систем з виродженням на початковiй гiперплощинi:

1) одержанi оцiнки приростiв за чаcовою змiнною похiдних вiд ф.м.р. задачi Кошi, а також аналогiчнi оцiнки для iнтегралiв вiд ф.м.р. та їх похiдних;

2) доведенi загальнi леми про властивостi iнтегралiв типу похiдних вiд об'ємних потенцiалiв у спецiальних вагових просторах Гельдера, якi правильно враховують виродження системи;

3) дослiдженi властивостi об'ємних потенцiалiв, породжених ф.м.р. задачi Кошi для виродженої системи, в залежностi вiд того, до якого простору належить його густина;

4) доведенi теореми про апрiорнi оцiнки та пiдвищення гладкостi розв'язкiв задачi Кошi чи задачi без початкової умови в залежностi вiд типу виродження системи;

5) доведенi теореми про коректну розв'язнiсть задачi Кошi для системи iз слабким виродженням i задачi без початкової умови, якщо система є сильно виродженою;

- для квазiлiнiйних систем:

6) доведено теорему про локальну розв'язнiсть квазiлiнiйної параболiчної системи з виродженням на початковiй гiперплощинi з однорiдною початковою умовою в класах спадних при функцiй;

7) за додаткової умови на функцiї, що спричиняють виродження системи, доведено теорему про локальну розв'язнiсть неоднорiдної задачi Кошi в класах обмежених функцiй;

8) знайдено загальнi умови глобальної розв'язностi задачi Кошi для одного класу квазiлiнiйних параболiчних рiвнянь.

При одержаннi цих результатiв модифiкованi методи теорiї задачi Кошi, зокрема теорiї потенцiалу, для рiвномiрно параболiчних систем рiвнянь та розроблена методика доведень для врахування специфiки виродження системи. Для цього введенi ваговi простори Гельдера, вагова функцiя в яких правильно враховує виродження системи i поведiнку розв'язку при .

Практичне значення одержаних результатiв. Дослiдження мають теоретичний характер. Їх результати та методика доведень можуть бути використанi при подальших дослiдженнях задачi Кошi та крайових задач для лiнiйних i квазiлiнiйних параболiчних систем з виродженням на початковiй гiперплощинi, а також для встановлення глобальної розв'язностi задачi Кошi для квазiлiнiйних рiвнянь, якщо ф.р. для вiдповiдних лiнiйних рiвнянь має потрiбнi властивостi.

Особистий внесок здобувача. Основнi результати дисертацiї одержанi автором самостiйно. У спiльних з науковим керiвником роботах [1-3,8,10,11] С.Д. Iвасишену належить постановка задач i аналiз одержаних результатiв.

Апробацiя результатiв дисертацiї. Результати дослiджень, що включенi до дисертацiї, доповiдались автором на: мiжнародних конференцiях "Nonlinear Partial Differential Equations" (Київ, 1995 р.; Київ, 1997 р.; Львiв, 1999 р.) i "Розробка та застосування математичних методiв у науково-технiчних дослiдженнях" (Львiв, 1998 р.); всеукраїнських наукових конференцiях "Розробка та застосування математичних методiв у науково-технiчних дослiдженнях" (Львiв, 1995 р.), "Новi пiдходи до розв'язання диференцiальних рiвнянь" (Дрогобич, 1997 р.) i "Нелiнiйнi проблеми аналiзу" (Iвано-Франкiвськ, 1996 р.); науковому семiнарi вiддiлiв математичної фiзики i теорiї функцiй та диференцiальних рiвнянь Iнституту прикладних проблем механiки i математики НАН України (Львiв, 2000 р.); наукових семiнарах математичного факультету та кафедр диференцiальних рiвнянь i математичного моделювання Чернiвецького унiверситету (Чернiвцi, 2000 р.).

Публiкацiї. Основнi результати дисертацiйної роботи опублiкованi в 13 працях, з них 2 - в наукових журналах, 5 - у збiрниках наукових праць i 6 - у матерiалах конференцiй. Серед публiкацiй 7 праць у наукових фахових виданнях з перелiку N1 ВАК України вiд 9.06.1999.

Структура i обсяг роботи. Дисертацiя складається з перелiку умовних позначень i скорочень, вступу, чотирьох роздiлiв, висновкiв i списку використаної лiтератури, який мiстить 64 найменування. Повний обсяг роботи становить 120 сторiнок.

Автор висловлює щиру подяку науковому керівниковi професору С.Д. Iвасишену за постановку задачi та змiстовнi консультацiї.

2. Змiст роботи

У вступi обгрунтовується актуальнiсть теми, ставляться мета i задачi дослiдження, указується на зв'язок дисертацiї з науковими темами вiддiлу математичної фiзики, в якому вона виконана, наводяться основнi результати, вiдзначається їх новизна, практичне значення й апробацiя.

У першому роздiлi зроблено огляд праць, що стосуються рiвномiрно параболiчних рiвнянь i систем рiвнянь як лiнiйних, так i квазiлiнiйних, а також рiвнянь i систем з виродженнями. До огляду ввiйшли працi, в яких використовуються ф.м.р. задачi Кошi, її властивостi та властивостi породжених нею об'ємних потенцiалiв, а також в яких застосовуються цi властивостi. Застосування стосуються в основному встановлення коректної розв'язностi задачi Кошi для лiнiйних систем, локальної розв'язностi квазiлiнiйних i нелiнiйних систем, а також глобальної розв'язностi задачi Кошi для квазiлiнiйних рiвнянь.

У роздiлi 2 наведено основнi припущення щодо коефiцiєнтiв системи, що розглядається в дисертацiї. Встановлено оцiнки приростiв похiдних вiд ф.м.р., а також аналогiчних приростiв iнтегралiв вiд ф.м.р. за часовою i сукупнiстю змiнних. У цьому ж роздiлi доведено спецiальнi леми про властивостi iнтегралiв типу похiдних вiд об'ємних потенцiалiв i деякi властивостi iнтегралiв, ядром яких є ф.м.р. параболiчної системи з виродженням на початковiй гiперплощинi, а густина належить до спецiальних вагових просторiв Гельдера.

Теорема 2.1. Нехай виконуються умови 1 і 2. Тоді існує ф.м.р. задачі Коші для системи (1), для якої справджуються оцінки

, (2)

(3)

де , , , , , - характеристична функція множини .

Лема 2.1. Нехай визначається формулою (4), в якій має вигляд (5), де функція задовольняє умови А1-А4. Тоді правильні такі твердження:

а) якщо і (при додатково припускається, що, де, то і справджується оцінка, де;

б) якщо, і виконується додатково припущення з твердження а), то при і, а при і.

У пунктi 2.2.3 за допомогою доведених лем 2.1-2.4 встановлено ряд властивостей об'ємних потенцiалiв, породжених ф.м.р. задачi Кошi для систем з виродженням, у просторах, в яких сталi беруться з оцiнок типу (2) i (3) для ф.м.р. систем, якi розглядаються.

У роздiлi 3 результати з роздiлу 2 застосовуються до дослiдження коректної розв'язностi лiнiйних параболiчних систем, що мають виродження на початковiй гiперплощинi. У пiдроздiлi 3.1 доведено теореми про апрiорнi оцiнки та пiдвищення гладкостi розв'язкiв. Окремо розглянуто випадок слабкого i сильного виродження. Для розв'язкiв використовуються простори i.

Простір складається з функцій, які мають похідні, , та похідні,. Норма в цьому просторі задається формулою.

Простір вводиться аналогічно простору, тільки в означення норм, за допомогою яких він визначається, не входять функції і. Позначення цих норм відрізняються від вищенаведених відсутністю нижніх індексів.

У випадку слабкого виродження початкову умову для розв'язку системи (1) можна ставити у звичайному сенсі.

Припускатимемо, що функція належить до простору, який складається з неперервних функцій, для яких скінченна норма.

Розв'язок задачi Кошi (1), (6) називатимемо регулярним, якщо вiн є неперервним разом iз похiдними, що входять у систему (1).

Теорема 3.1. Нехай коефіцієнти слабко виродженої системи (1) задовольняють умови 1, 2 з деяким, виконується умова 3 з, і.

Тоді якщо - регулярний розв'язок задачі Коші (1), (6) з простору, то і справджується оцінка.

У теоремах 3.2 і 3.3 розглядаються випадки, коли розв'язок належатиме до простору.

Теорема 3.2. Нехай для слабко виродженої системи (1) коефіцієнт, виконуються умови 1, 2, і. Тоді якщо - регулярний розв'язок задачі Коші (1), (6) з простору, то і справджується оцінка.

У теоремі 3.3 встановлюється аналогічне твердження для розв'язку системи (1) з умовою (6), в якій. Апріорним припущенням для розв'язку такої задачі є його належність до простору.

У п. 3.1.2 доведено теорему про апріорні оцінки і підвищення гладкості розв'язку системи (1) у випадку сильного виродження в просторах, з деякими і. Простори відрізняються від спеціальним вибором функції і, які входять в означення норм.

Теорема 3.4. Нехай для системи (1) виконуються умови 1 і 2, і.

Тоді якщо - регулярний розв'язок системи (1) з простору, то і справджується оцінка, де - норма в.

У пiдроздiлi 3.2 за допомогою теорем про апрiорнi оцiнки i пiдвищення гладкостi розв'язкiв доводяться теореми про коректну розв'язнiсть задачi Кошi, якщо система (1) має слабке виродження, i задачi без початкової умови, коли виродження системи є сильним.

Теореми 3.5-3.7. Нехай коефіцієнти системи (1) задовольняють умови 1, 2 з деяким. Тоді правильні такі твердження:

а) якщо, і виконується умова 3 з, то класом коректності задачі Коші (1), (6) є;

б) класом коректності задачі (1), (6) є;

в) функція (4), в якій за ядро взято, де - ф.м.р. задачі Коші для системи (1), є єдиним розв'язком системи (1) з простору, для якого справджується оцінка.

У четвертому роздiлi за допомогою результатiв, одержаних для лiнiйних параболiчних систем з виродженням, дослiджується локальна розв'язнiсть вiдповiдних квазiлiнiйних систем. Окремо розглянуто випадок сильного i слабкого виродження. У пiдроздiлi 4.2 для одного класу квазiлiнiйних параболiчних рiвнянь знайдено умови, за яких iснує глобальний розв'язок задачi Кошi. Наведенi приклади застосування доведеної теореми.

Для формулювання результатiв введемо ще такi позначення:

К1. вираз рівномірно параболічний за Петровським в;

К2. коефіцієнти, обмежені, неперервні за змінною рівномірно щодо та, задовольняють у рівномірну умову Гельдера за з показником та умову Ліпшиця за змінною;

К3.

Для функції припускаються виконаними наступні умови.

F1. Функція неперервна в;

F2., де - неперервна функція;

F3.;

F4.

Клас функцій, які задовольняють серію умов F1- F4 з певними і, позначаються через, а простори і, елементи яких визначені в шарі, - відповідно через і.

Теорема 4.1. Нехай для коефіцієнтів системи (7) виконуються умови К1-К3, функція належить до класу з і, - таке додатнє число, виконується умова, принаймні для малих Тоді існує таке число, що задача Коші (7) - (8) має єдиний розв'язок з простору.

У випадку слабкого виродження за додаткової умови 3 можна розглядати неоднорідну задачу Коші для системи (7) з неоднорідною початковою умовою (6). Початкова функція береться з класу обмежених і досить гладких функцій, тобто.

Теорема 4.2. Нехай для коефіцієнтів системи (7) виконуються умови К1-К3 і 3, функція належить до класу з. Тоді існує таке число, що неоднорідна задача Коші (6) - (7), де, має єдиний розв'язок з простору.

У підрозділі 4.2 розглядається задача Коші з початковою умовою (6).

Основним результатом пiдроздiлу є теорема 4.3, яка визначає загальнi умови, за яких для задачi Кошi (6), (9) iснує єдиний глобальний розв'язок. Цi умови описують простори розв'язкiв, початкових функцiй та правих частин рiвняння (9). Останнi простори визначаються умовами, , де - деяка додатна стала, а простори розв'язків і початкових функцій - властивостями фундаментального розв'язку, його поведінкою при великих і.

У п. 4.2.2 наведено приклади застосування теореми 4.3. Зокрема, її використано для встановлення глобальної розв'язностi задачi Кошi для ультрапараболiчного рiвняння типу Колмогорова з сталими коефiцiєнтами.

Висновки

Дисертацiя присвячена одержанню для лiнiйних параболiчних систем з виродженням на початковiй гiперплощинi результатiв, подiбних до вiдомих у теорiї задачi Кошi для рiвномiрно параболiчних систем без виродження, їх застосуванню до встановлення локальної розв'язностi вiдповiдних квазiлiнiйних систем i знаходженню загальних умов глобальної розв'язностi задачi Кошi для одного класу квазiлiнiйних параболiчних рiвнянь. У дисертацiйнiй роботi вперше:

для лiнiйних параболiчних систем з виродженням на початковiй гiперплощинi: одержанi оцiнки приростiв за чаcовою змiнною похiдних вiд ф.м.р. задачi Кошi, а також аналогiчнi оцiнки для iнтегралiв вiд ф.м.р. та їх похiдних; доведенi загальнi леми про властивостi iнтегралiв типу похiдних вiд об'ємних потенцiалiв у спецiальних вагових просторах Гельдера, якi правильно враховують виродження системи; дослiдженi властивостi об'ємних потенцiалiв, породжених ф.м.р. задачi Кошi для виродженої системи, в залежностi вiд того, до якого простору належить його густина; доведенi теореми про апрiорнi оцiнки та пiдвищення гладкостi розв'язкiв задачi Кошi чи задачi без початкової умови в залежностi вiд типу виродження системи; доведенi теореми про коректну розв'язнiсть задачi Кошi для системи iз слабким виродженням i задачi без початкової умови, якщо система є сильно виродженою;

для квазiлiнiйних систем: доведено теорему про локальну розв'язнiсть квазiлiнiйної параболiчної системи з виродженням на початковiй гiперплощинi та однорiдною початковою умовою в класах спадних при функцiй; за додаткової умови на функцiї, що спричиняють виродження системи, доведено теорему про локальну розв'язнiсть задачi Кошi з неоднорiдною початковою умовою в просторах обмежених функцiй; знайдено загальнi умови глобальної розв'язностi задачi Кошi для одного класу квазiлiнiйних параболiчних рiвнянь.

Одержанi результати i методика доведень мають теоретичне значення. Вони можуть використовуватись при подальших дослiдженнях задачi Кошi та крайових задач для лiнiйних i квазiлiнiйних параболiчних систем з виродженням на початковiй гiперплощинi, а також для встановлення глобальної розв'язностi задачi Кошi для квазiлiнiйних рiвнянь, якщо фундаментальний розв'язок вiдповiдних лiнiйних рiвнянь має потрiбнi властивостi.

Основнi праці

1. Ivasyshen S.D., Medynsky I.P. Properties of integrals which have the type of derivatives of volume potentials for parabolic systems with degeneration on the initial hyperplane // Мат. студiї. - 2000.- Т. 13, N1.- C. 33-46.

2. Iвасишен С.Д., Мединський I.П. Про глобальнi розв'язки задачi Кошi для квазiлiнiйних параболiчних рiвнянь // Мат. методи та фiз.-мех. поля. - 1999.- Т. 42, N2.- С. 31-38.

3. Мединський I.П., Iвасишен С.Д. Про коректну розв'язнiсть параболiчних систем з виродженням на початковiй гiперплощинi // Наук. вiсник Чернiвецького ун-ту: Зб. наук. пр. Вип.76. Математика. - Чернiвцi: Рута, 2000.- С. 71-76.

4. Мединський I.П. Апрiорнi оцiнки розв'язкiв параболiчних систем з виродженням // Вiсник Держ. ун-ту "Львiвська полiтехнiка". N337. Прикладна математика. Т. 1.- Львiв: Вид-во Держ. ун-ту "Львiвська полiтехнiка", 1998.- С. 133-136.

5. Мединський I.П. Про властивостi фундаментальної матрицi розв'язкiв задачi Кошi для параболiчної системи з виродженням на початковiй гiперплощинi // Вiсник Держ. ун-ту "Львiвська полiтехнiка". N364. Прикладна математика.- Львiв: Вид-во Держ. ун-ту "Львiвська полiтехнiка", 1999.- С. 298-307.

6. Мединський I.П. Про апрiорнi оцiнки розв'язкiв параболiчних систем з виродженням на початковiй гiперплощинi // Вiсник Держ. ун-ту "Львiвська полiтехнiка". N407. Прикладна математика.- Львiв: Вид-во Нац. ун-ту "Львiвська полiтехнiка", 2000.- С. 185-194.

7. Мединський I.П. Про локальну розв'язнiсть задачi Кошi для квазiлiнiйної параболiчної системи з слабким виродженням на початковiй гiперплощинi // Вiсник Держ. ун-ту "Львiвська полiтехнiка". N411. Прикладна математика. - Львiв: Вид-во Нац. ун-ту "Львiвська полiтехнiка", 2000.- С. 241-247.

8. Medynsky I.P., Ivasyshen S.D. On global solvability of the Cauchy problem for some quasilinear parabolic equations // Intern. Conf. "Nonlinear Partial Differential Equations" (Kiev, August 21-27, 1995): Book of abstracts. - K., 1995.- P.111.

9. Medynsky I.P. The local solvability of the Cauchy problem for the quasilinear parabolic system with degeneration on the initial hyperplane // Intern. Conf. "Nonlinear Partial Differential Equations" (Kiev, August 26-30, 1997): Book of abstracts. - Donetsk, 1997.- P. 129-130.

10. Ivasyshen S.D., Medynsky I.P. The Schauder type estimates of solutions of parabolic systems with degenerations and their applications // Intern. Conf. "Nonlinear Partial Differential Equations" (Lviv, August 23-29, 1999): Book of abstracts. - Lviv, 1999.- P. 90.

11. Iвасишен С., Мединський I. Про глобальну розв'язнiсть задачi Кошi для квазiлiнiйного рiвняння параболiчного типу // Всеукр. наук. конф. "Розробка та застосування математичних методiв в науково-технiчних дослiдженнях" (5-7 жовтня 1995 року, Львiв): Тези доп. Ч. 2.- Львiв, 1995.- С.28-29.

12. Мединський I. Локальна розв'язнiсть квазiлiнiйних параболiчних рiвнянь з виродженнями // Наук. конф. "Нелiнiйнi проблеми аналiзу" (24-27 вересня 1996 року, Iвано-Франкiвськ): Тези доп.- Iвано-Франкiвськ, 1996.- С. 10.

13. Мединський I. Про локальну розв'язнiсть задачi Кошi для квазiлiнiйної параболiчної системи з виродженням на початковiй гiперплощинi // Всеукр. наук. конф. "Новi пiдходи до розв'язання диференцiальних рiвнянь" (15-19 вересня 1997 року, Дрогобич): Тези доп. - К., 1997.- С. 75.

Размещено на Allbest.ru

...