Векторная алгебра
Составление определителя из координат векторов и его вычисление. Решение системы уравнений методом Крамера. Определение длины ребра пирамиды по формуле расстояния между двумя точками. Нахождение координат точки, симметричной относительно прямой.
| Рубрика | Математика |
| Вид | контрольная работа |
| Язык | русский |
| Дата добавления | 11.03.2014 |
| Размер файла | 222,3 K |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Размещено на http://www.allbest.ru
Размещено на http://www.allbest.ru
1. Даны четыре вектора и в некотором базисе. Показать, что векторы образуют базис и найти координаты вектора в этом базисе.
.
Решение:
Составим из координат векторов определитель и вычислим его:
.
Определитель не равен нулю, следовательно, система векторов является линейно-независимой и образует базис трехмерного пространства.
Вектор единственным образом разлагается по векторам этого базиса.
.
Приравнивая соответствующие координаты векторов, получаем следующую систему 3-х линейных уравнений:
.
Решим систему уравнений методом Крамера:
.
.
.
.
.
Координаты вектора в базисе векторов
2. Даны координаты вершин пирамиды . Найти: 1) длину ребра ; 2) угол между ребрами и ; 3) угол между ребром и гранью ; 4) площадь грани ; 5) Объем пирамиды; 6) уравнения прямой ; 7) уравнение плоскости ; 8) уравнения высоты, опущенной из вершины на грань . Сделать чертеж.
Решение:
1) Длину ребра найдем по формуле расстояния между 2-мя точками:
.
.
2) Угол между ребрами и найдем как угол между направляющими векторами и :
.
.
Косинус угла между векторами:
.
.
3) Вычислим угол между ребром и гранью .
Для этого вычислим координаты нормального вектора плоскости - им будет векторное произведение векторов и .
.
Векторное произведение:
.
Нормальный вектор плоскости: (19, -8, 14).
Синус угла:
.
.
4) Вычислим площадь грани . Она будет численно равна половине модуля векторного произведения векторов и :
Искомая площадь:
5) Вычислим объем пирамиды. Он будет равен шестой части модуля смешанного произведения векторов и :
Модуль смешанного произведения:
.
Искомый объем пирамиды:
6) Вычислим уравнение прямой А1А2. Направляющим вектором искомой прямой является вектор . Кроме того, прямая проходит через точку .
Уравнение искомой прямой:
.
7) Вычислим уравнение плоскости . Нормальный вектор плоскости . кроме того, плоскость проходит через точку .
- уравнение грани А1А2А3.
8) Составим уравнение высоты, опущенной на грань из вершины :
Нормальный вектор является направляющим вектором высоты, кроме того, высота проходит через точку
Искомое уравнение высоты:
.
Сделаем схематический чертеж:
Рис. 1
Размещено на http://www.allbest.ru
Размещено на http://www.allbest.ru
3. Найти координаты точки, симметричной точке относительно прямой .
Решение:
Составим уравнение прямой, проходящей перпендикулярно к заданной через точку :
Уравнение прямой с угловым коэффициентом:
.
.
.
Расстояние от точки до прямой:
.
Расстояние от точки до заданной прямой:
.
Пусть - искомая точка.
Расстояние от точки до заданной прямой равно , кроме того, она лежит на найденном перпендикуляре .
Решим систему уравнений:
.
.
-координата точки .
.
Ответ:
.
4. Построить на плоскости область решений системы линейных неравенств.
.
Для построения области допустимых решений строим в системе координат соответствующие данным ограничениям-неравенствам граничные прямые:
.
.
.
Рис. 2
Треугольник есть искомая область решения системы линейных неравенств.
векторный симметричный крамер
5. Составить уравнение линии, для каждой точки которой отношение расстояния до начала координат к расстоянию до прямой равно 0,6.
Решение:
Обозначим через координаты точки искомой линии:
Расстояние до начала координат:
.
.
Расстояние до прямой:
.
Получаем:
.
.
.
.
Полученная линия - эллипс.
Координаты центра .
.
Рис. 3
Литература
1. Высшая математика. Общий курс. Под ред. С.А. Самаля, Мн., 2000.
2. Гусак А.А. Высшая математика в 2 ч., Мн., 1998.
Размещено на Allbest.ru
...Подобные документы
Вычисление скалярного и векторного произведений векторов, заданных в прямоугольной декартовой системе координат. Расчет длины ребра пирамиды по координатам ее вершин. Поиск координат симметричной точки. Определение типа линии, описываемой уравнением.
контрольная работа [892,1 K], добавлен 12.05.2016Понятие числовой прямой. Типы числовых промежутков. Определение координатами положения точки на прямой, на плоскости, в пространстве, система координат. Единицы измерения для осей. Определение расстояния между двумя точками плоскости и в пространстве.
реферат [123,9 K], добавлен 19.01.2012Решение задач систем линейных алгебраических уравнений, матричных уравнений, методы Гаусса и Кремера. Нахождение длины и координат вектора и исчисление его скалярного произведения. Уравнение прямой и определение координат точек неравенства; пределы.
контрольная работа [220,9 K], добавлен 06.01.2011Доказательство линейной независимости системы векторов пирамиды. Расчет длины ребра, угла между ребрами. Составление уравнения прямой и плоскости. Выполнение операций для матриц. Величина главного определителя. Поиск алгебраических дополнений матрицы.
контрольная работа [156,0 K], добавлен 20.03.2017Вычисление определителя с использованием правила треугольника и метода разложения по элементам ряда. Решение системы уравнений тремя способами: методом Гаусса, методом Кремера и матричным методом. Составление уравнения прямой и плоскости по формуле.
контрольная работа [194,5 K], добавлен 16.02.2015Решение системы уравнений по формулам Крамера и методом Гаусса. Нахождение объема пирамиды, площади грани, величины проекции вектора с помощью средств векторной алгебры. Пример определения и решения уравнения стороны, высоты и медианы треугольника.
контрольная работа [989,1 K], добавлен 22.04.2014Нахождение проекции точки на прямую, проходящую через заданные точки. Изучение формул Крамера для решения систем линейных уравнений. Определение точки пересечения перпендикуляра и исходной прямой. Исследование и решение матричной системы методом Гаусса.
контрольная работа [98,6 K], добавлен 19.04.2015Вычисление определителя, алгебраических дополнений. Выполнение действий над матрицами. Решение систем линейных уравнений по формулам Крамера, методом Гауса. Определение плана выпуска химикатов на заводе. Составление экономико-математической модели задачи.
контрольная работа [184,8 K], добавлен 25.03.2014Решение системы линейных уравнений по правилу Крамера и с помощью обратной матрицы. Нахождение ранга матрицы. Вычисление определителя с помощью теоремы Лапласа. Исследование на совместимость системы уравнений, нахождение общего решения методом Гауса.
контрольная работа [97,3 K], добавлен 24.05.2009Нахождение длины ребер, углов между ними, площадей граней и объема пирамиды по координатам вершин пирамиды. Решение системы трех линейных уравнений с тремя неизвестными методом Крамера, средствами матричного исчисления. Уравнение кривой второго порядка.
контрольная работа [330,3 K], добавлен 01.05.2012Методика проверки совместности системы уравнений и ее решение. Вычисление параметров однородной системы линейных алгебраических уравнений. Нахождение по координатам модуля, проекции вектора, скалярного произведения векторов. Составление уравнения прямой.
контрольная работа [104,2 K], добавлен 23.01.2012Направленные отрезки и прямоугольная декартовая система координат. Уравнение прямой линии с угловым коэффициентом. Параллельность и перпендикулярность прямых. Пространство со скалярным произведением. Решение системы линейных уравнений по формуле Крамера.
шпаргалка [1,1 M], добавлен 30.05.2015Метод Гаусса–Жордана: определение типа системы, запись общего решения и базиса. Выражение свободных переменных с использованием матричного исчисления. Нахождение координат вектора в базисе. Решение системы уравнений по правилу Крамера и обратной матрицей.
контрольная работа [200,4 K], добавлен 17.12.2010Определение разности и произведения матриц. Решение системы линейных уравнений методом Крамера. Уравнение прямой проходящей через точки A (xa, ya) и C (xc, yc). Порядок определения типа кривой второго порядка и ее основных геометрических характеристик.
контрольная работа [272,0 K], добавлен 11.12.2012Решение системы линейных уравнений двумя способами: по формулам Крамера и методом Гаусса. Решение задачи на нахождение производных, пользуясь правилами и формулами дифференцирования. Исследование заданных функций методами дифференциального исчисления.
контрольная работа [161,0 K], добавлен 16.03.2010Решение системы уравнений по формулам Крамера, методом обратной матрицы и методом Гаусса. Преобразование и поиск общего определителя. Преобразование системы уравнений в матрицу и приведение к ступенчатому виду. Алгебраическое дополнение элемента.
контрольная работа [84,5 K], добавлен 15.01.2014Выполнение действий над матрицами. Определение обратной матрицы. Решение матричных уравнений и системы уравнений матричным способом, используя алгебраические дополнения. Исследование и решение системы линейных уравнений методом Крамера и Гаусса.
контрольная работа [63,2 K], добавлен 24.10.2010Нахождение длины сторон и площади треугольника, координат центра тяжести пирамиды, центра масс тетраэдра. Составление уравнений геометрического места точек, высоты, медианы, биссектрисы внутреннего угла, окружности. Построение системы линейных неравенств.
контрольная работа [1,2 M], добавлен 13.12.2012Основные этапы и принципы решения системы линейных уравнений с помощью метода Крамара, обратной матрицы. Разрешение матричного уравнения. Вычисление определителя. Расчет параметров пирамиды: длины ребра, площади грани, объема, а также уравнения грани.
контрольная работа [128,1 K], добавлен 06.09.2015Определение положения точки в пространстве. Правая декартова (или прямоугольная) система координат. Способы измерения дуг. Определение координат точки в пространстве. Определение окружности и ее радиуса. Построение сферической системы координат.
контрольная работа [59,3 K], добавлен 13.05.2009
