Методы аппроксимации функций
Аппроксимация, при которой приближение строится на заданном дискретном множестве точек. Интерполяционный полином Лагранжа в виде разложения. Получение интерполяционного многочлена функции. Оценка погрешности остаточного члена при вычислении логарифма.
| Рубрика | Математика |
| Вид | курсовая работа |
| Язык | русский |
| Дата добавления | 13.03.2014 |
| Размер файла | 315,6 K |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Размещено на http://www.allbest.ru/
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ
ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ
ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ
«ВОРОНЕЖСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»
(ФГБОУ ВПО «ВГТУ», ВГТУ)
Факультет радиотехники и электроники
Кафедра высшей математики и физико-математического моделирования
КУРСОВАЯ РАБОТА
по дисциплине «Спецглавы математики»
Тема: «Методы аппроксимации функций»
Разработал студент группы КП-121 И.С. Кононученко
Руководитель Кострюков С.А.
2013
Содержание
1. Методы аппроксимации функций
1.1 Непрерывная аппроксимация
1.2 Точечная аппроксимация
1.3 Интерполяционный полином Лагранжа
1.4 Интерполяционный полином Ньютона
1.5 Погрешность глобальной интерполяции
1.6 Метод наименьших квадратов
1.7 Подбор эмпирических формул
1.8 Кусочно-постоянная интерполяция
1.9 Кусочно-линейная интерполяция
2. Практическая часть
2.1 Построить интерполяционный многочлен для функции f(x)=lnx- по узлам х=2; 4; 6; 8; 10; 12. Вычислить приближенное значение логарифма от 5,75. Получить оценку погрешности остаточного члена
2.2 Функцию f(x), заданную таблицей, аппроксимировать линейной зависимостью ц(х)=Ах+В, квадратичной зависимостью ц(х)=Ах2+Вх+С. Найти х, для которого f(x)=10
Список литературы
1. Методы апроксимации функций
логарифм погрешность аппроксимация полином
1.1 Непрерывная аппроксимация
Если исходная функция f(x) задана аналитическим выражением, то при построении аппроксимирующей функции возможно требовать минимальности отклонения одной функции от другой на некотором непрерывном множестве точек, например, на отрезке . Такой вид аппроксимации называется непрерывным или интегральным.
Теоретически для наилучшего приближения целесообразно требовать, чтобы во всех точках некоторого отрезка отклонения аппроксимирующей функции от функции f(x) было по абсолютной величине меньше заданной величины :
В этом случае говорят, что функция равномерно приближает функцию f(x) с точностью на интервале . Практическое получение равномерного приближения представляет большие трудности, и поэтому этот способ применяется главным образом в теоретических исследованиях.
Наиболее употребительным является так называемое среднеквадратичное приближение, для которого наименьшее значение имеет величина
Потребовав обращения в нуль частных производных от М по параметрам, определяющим функцию , получают уравнения, позволяющие найти наилучшие значения этих параметров.
1.2 Точечная аппроксимация
Аппроксимация, при которой приближение строится на заданном дискретном множестве точек , называется точечной.
Для получения точечного среднеквадратичного приближения функции y=f(x), заданной таблично, аппроксимирующую функцию строят из условия минимума величины
,
где yi - значения функции f(x) в точках xi.
Основная сфера применения среднеквадратичного приближения - обработка экспериментальных данных (построение эмпирических формул).
Другим видом точечной аппроксимации является интерполирование, при котором аппроксимирующая функция принимает в заданных точках xi, те же значения yi, что и функция f(x), т.е. .
Рисунок 1
В этом случае, близость интерполирующей функции к заданной функции состоит в том, что их значения совпадают на заданной системе точек.
На рис. 1 показаны качественные графики интерполяционной функции (сплошная линия) и результаты среднеквадратичного приближения (пунктирная линия). Точками отмечены табличные значения функции f(x).
1.3 Интерполяционный полином Лагранжа
Лагранж предложил строить интерполяционный полином в виде разложения
,
где li(x) - базисные функции.
Для того, чтобы полином удовлетворял условиям Лагранжа, т.е. был бы интерполяционным, базисные функции li(x) должны обладать следующими свойствами:
1) быть полином степени n
2) удовлетворять условию .
Лагранж показал, что функции, обладающие указанными свойствами, должны иметь следующий вид
li(x)=.
С учетом этого выражения интерполяционный полином Лагранжа может быть записан в виде
(4.6)
В отличие от интерполяционного полинома в канонической форме для вычисления значений полинома Лагранжа не требуется предварительно определять коэффициенты полинома путем решения системы уравнений. Однако для каждого значения аргумента x полином Лагранжа приходится пересчитывать вновь, коэффициенты же канонического полинома вычисляются только один раз. Поэтому практическое применение полинома Лагранжа оправдано только в том случае, когда интерполяционная функция вычисляется в сравнительно небольшом количестве точек x.
Интерполяционный полином Лагранжа оказывается очень удобным для приближенного вычисления определенных интегралов. Если, например, некоторую функцию заменить интерполяционным полином Лагранжа, то определенный интеграл от нее может быть вычислен следующим образом
Значения интегралов от не зависят от f(x) и могут быть легко вычислены аналитически.
1.4 Интерполяционный полином Ньютона
Рассмотрим еще одну форму записи интерполяционного полинома
Требования совпадения значений полинома с заданными значения функции в узловых точках Ni(xi)=yi, i=0,1,…,n приводит к системе линейных уравнений с треугольной матрицей для неизвестных коэффициентов :
,
решить которую не составляет труда.
Интерполяционный полином называется полиномом Ньютона. Интересная особенность полинома Ньютона состоит в том, что каждая частичная сумма его первых (m+1) слагаемых представляет собой интерполяционный полином степени m, построенный по первым (m+1) табличным данным.
1.5 Погрешность глобальной интерполяции
Ошибка приближения функции f(x) интерполяционным полиномом n-й степени Ln(x) в точке x определяется разностью
.
Можно показать, что погрешность Rn(x) определяется следующим выражением
.
Здесь - производная (n+1) порядка функции f(x) в некоторой точке , а функция определена как
Если максимальное значение производной f (n+1)(x) равно
,
то для погрешности интерполяции следует оценка
.
Конкретная величина погрешности в точке x зависит, очевидно, от значения функции в этой точке. Качественный характер зависимости показан на рис. 2.
Рисунок 2
Вследствие описанного поведения погрешности, глобальная интерполяция в некоторых случаях может давать совершенно неудовлетворительный результат. Из рисунка видно, что погрешность интерполяции тем выше, чем ближе точка x лежит к концам отрезка . За пределами отрезка интерполяции (т.е. при экстраполяции) быстро растет, поэтому погрешность возрастает существенно.
1.6 Метод наименьших квадратов
Пусть для исходных данных xi, fi, i=1,…,N (нумерацию лучше начинать с единицы), выбран вид эмпирической зависимости: y=ц(a0,a1,…,am) с неизвестными коэффициентами a0,a1,…,am. Запишем сумму квадратов отклонений между вычисленными по эмпирической формуле и заданными опытными данными:
S(a0,a1,…,am)=(ц(x1,a0,a1,…,am)-fi)2.
Параметры a0,a1,…,am будем находить из условия минимума функции S(a0,a1,…,am). В этом состоит метод наименьших квадратов (МНК).
Известно, что в точке минимума все частные производные от S по равны нулю:
(1)
Рассмотрим применение МНК для частного случая, широко используемого на практике. В качестве эмпирической функции рассмотрим полином
ц(x)=a0+a1x+a2x2+…+amxm
Формула (1) для определения суммы квадратов отклонений примет вид:
S(a0,a1,…,am)=( a0+a1x+a2x2+…+amxm-fi)2 (2)
Вычислим производные:
Приравнивая эти выражения к нулю и собирая коэффициенты при неизвестных a0,a1,…,am, получим следующую систему линейных уравнений:
Данная система уравнений называется нормальной. Решая эту систему линейных уравнений, получаем коэффициенты .
В случае полинома первого порядка m=1, т.е. , система нормальных уравнений примет вид:
При m=2 имеем:
Как правило, выбирают несколько эмпирических зависимостей. По МНК находят коэффициенты этих зависимостей и среди них находят наилучшую по минимальной сумме отклонений.
1.7 Подбор эмпирических формул
При интерполировании функций мы использовали условие равенства значений интерполяционного полинома и данной функции в узлах интерполяции. Если же исходные данные получены в результате опытных измерений, то требование точного совпадения не нужно, так как данные не получены точно. В этих случаях можно требовать лишь приближенного выполнения условий интерполяции . Это условие означает, что интерполирующая функция F(x) проходит не точно через заданные точки, а в некоторой их окрестности, так, например, как это показано на рис.
Рисунок 3
Тогда говорят о подборе эмпирических формул. Построение эмпирической формулы состоит из двух этапов подбора вида этой формулы , содержащей неизвестные параметры a0,a1,…,am, и определение наилучших в некотором смысле этих параметров. Вид формулы иногда известен из физических соображений (для упругой среды связь между напряжением и деформацией) или выбираются из геометрических соображений: экспериментальные точки наносятся на график и примерно угадывается общий вид зависимости путем сравнения полученной кривой с графиками известных функций. Успех здесь в значительной степени определяется опытом и интуицией исследователя.
Для практики важен случай аппроксимации функции многочленами, т.е.
F(x)=a0+a1x+a2x2+…+amxm.
После того, как выбран вид эмпирической зависимости степень близости к эмпирическим данным определяется, используя минимум суммы квадратов отклонений вычисленных и экспериментальных данных.
1.8 Кусочно-постоянная интерполяция
На каждом отрезке [xi-1,xi] интерполяционный многочлен равен константе, а именно левому или правому значению функции.
Для левой кусочно-линейной интерполяции
F(x)= fi-1, если xi-1 ?x<xi, т.е.
F(x)=
Для правой кусочно-линейной интерполяции F(x)= fi-1, если xi-1 <x?xi, т.е.
F(x)=
Легко понять, что условия интерполяция выполняются. Построенная функция является разрывной, что ограничивает ее применение. Для левой кусочно-линейной интерполяции имеем графическое представление:
Рисунок 4
1.9 Кусочно-линейная интерполяция
На каждом интервале [xi-1, xi] функция является линейной Fi(x)=kix+li. Значения коэффициентов находятся из выполнения условий интерполяции в концах отрезка: Fi(xi-1)=fi-1, Fi(xi-1)=fi. Получаем систему уравнений: kixi-1+ li= fi-1, kixi+ li= fi , откуда находим ki=li= fi- kixi. Следовательно, функцию F(x) можно записать в виде:
F(x)= x+ fi- kixi, если , т.е.
Или F(x)=ki ·(x-xi-1)+fi-1, ki = (fi - fi-1) / (xi - xi-1), xi-1 ? x ? xi, i=1,2,...,N-1
При использовании линейной интерполяции сначала нужно определить интервал, в который попадает значение x, а затем подставить его в формулу.
Итоговая функция будет непрерывной, но производная будет разрывной в каждом узле интерполяции. Погрешность такой интерполяции будет меньше, чем в случае кусочно-постоянной интерполяции. Иллюстрация кусочно-линейной интерполяции приведена на рисунке
Рисунок 5
2. Практическая часть
2.1 Построим интерполяционный многочлен для функции
f(x)=lnx- по узлам х=2; 4; 6; 8; 10; 12.
Решение:
Формула для вычисления данного многочлена выглядит следующим образом:
L(x)= , где n- количество узлов.
Рассчитаем значения базисных полиномов.
Формула для расчета базисных полиномов:
li(x)=.
Запишем значения узлов функции:
x0=2
x1=4
x2=6
x3=8
x4=10
x5=12
Вычислим значения функций f(x) в соответствующих узлах:
f(x0)==0.6931471805599453-1.5=-0.8068528194400547
f(x1)= =1.386294361119891-1.25=0.136294361119891
f(x2)= =1.791759469228055-1.1666666666666667=0.625092802561388
f(x3)= =2,079441541679835-1.125=0.954441541679835
f(x4)= =2.302585092994045-1.1=1.202585092994045
f(x5)= =2.484906649788-1.083333333333333=1.401573316454667
Рассчитаем значения соответствующих базисных полиномов:
l0(x)=
l1(x)=
l2(x)=
l3(x)=
l4(x)=
l5(x)=
Запишем формулу вычисления многочлена f(x)=lnx- по полученным данным:
L(x)=f(x0)·l0(x)+ f(x1)·l1(x)+ f(x2)·l2(x)+ f(x3)·l3(x)+ f(x4)·l4(x)+ f(x5)·l5(x).
Подставим в формулу полученные значения:
L(x)=((- 0.8068528194400547) ·(x-4)(x-6)(x-8)(x-10)(x-12)+ +0.136294361119891·5(x-2)(x-6)(x-8)(x-10)(x-12)- 0.625092802561388·10·
· (x-2)(x-4)(x-8)(x-10)(x-12)+ 0.954441541679835·10(x-2)(x-4)(x-6)(x-10)(x-12)-1.202585092994045·5(x-2)(x-4)(x-6)(x-8)(x-12)+ 1.401573316454667·
·(x-2)(x-4)(x-6)(x-8)(x-10)=0,000443792912875·x5-0.001895922201567·x4+
0.032520620421826·x3-0.289410042490318·x2+1.50294940468648·x-2.886362165898854
Далее построим график f(x)=lnx- и сравним его с полученным:
Рисунок 6
f(Размещено на http://www.allbest.ru/
x)=lnx-
L(x)= 0.000443792912875·x5-0.001895922201567·x4+
0.032520620421826·x3-0.289410042490318·x2+
1.50294940468648·x-2.886362165898854
Из рисунка видно, что графики функций совпадают.
Вычислим приближенное значение логарифма от 5,75 с точностью до 0,001.
Решение:
Воспользуемся разложением ln, где х=.
Пользуясь формулой ln=, посчитаем приближенное значение логарифма:
ln5,75=ln
Получим оценку погрешности остаточного члена:
Формула нахождения остаточного члена в других точках:
Rn(x)=f(x)-Ln(x).
Подставим значения и вычислим остаточный член:
Rn(x)= -0.234721044665224-(-0.149875603361276)= 0.0122
Для абсолютной погрешности интерполяционной формулы Лагранжа можно получить следующую оценку:
|Rn(x) |?.
0.0122374?9.9512361
Из оценки следует, что выбирая достаточно большое число точек разбиения можно получить результат с необходимой точностью.
2.2 Функцию f(x), заданную таблицей
|
x |
10 |
15 |
17 |
20 |
|
|
f(x) |
3 |
7 |
11 |
17 |
аппроксимируем линейной зависимостью ц(х)=Ах+В, квадратичной зависимостью ц(х)=Ах2+Вх+С.
Решение:
Для решения этой задачи воспользуемся методом наименьших квадратов.
Система нормальных уравнений для линейной зависимости (x)=Ax+B:
Учитывая, что n=4: ;
Получим:
4B+62A=48,
62B+1014A=662
Решаем систему линейных уравнений:
А=
Следовательно, линейная зависимость будет иметь вид:
Рассмотрим квадратичную зависимость ц(х)=Ах2+Вх+С. Система нормальных уравнений имеет вид:
Найдем не подсчитанные суммы:
Получим:
A=, В= С=
Следовательно, квадратичная зависимость будет иметь вид:
.
Рисунок 7
Функция, заданная таблицей.
Линейная зависимость
Квадратичная зависимость
По графику найдем значение х, для которого f(x)=10.
x=16.5
Список литературы
1. Кириллова С.Ю. Вычислительная математика / Кириллова С.Ю. Изд-во Владим. гос. ун-та, 2009. 102 с.
2. Справочное пособие по приближенным методам решения задач высшей математики / Л.И. Бородич, А.И. Герасимович, Н.П. Кеда и др.; под ред. Л.И. Бородич. М.: Высшая школа, 1986. 189 с.
3. http://www.wikipedia.com/.
4. Тюканов А.С. Основы численных методов: учеб. пособие для студентов. Изд-во РГПУ им. А.И. Герцена, 2007. 226 с.
5. http://www.wolframalpha.com/.
6. http://www.pers.narod.ru/.
Размещено на Allbest.ru
...Подобные документы
Понятие интерполяционного многочлена Лагранжа как многочлена минимальной степени, порядок его построения. Решение и оценка остаточного члена. Нахождение приближающей функции в виде линейной функции, квадратного трехчлена и других элементарных функций.
курсовая работа [141,5 K], добавлен 23.07.2011Доказательство существования и единственности интерполяционного многочлена Лагранжа. Понятие лагранжевых коэффициентов. Способы задания наклонов интерполяционного кубического сплайна, его использование для аппроксимации функций на больших промежутках.
презентация [251,7 K], добавлен 29.10.2013Построение приближающей функции, используя исходные данные, с помощью методов Лагранжа, Ньютона и Эйткена (простая и упрощенная форма реализации). Алгоритм вычисления интерполяционного многочлена. Сравнение результатов реализации методов в среде Mathcad.
курсовая работа [299,3 K], добавлен 30.04.2011Разделенные разности и аппроксимация функций методом наименьших квадратов. Интерполяционные многочлены Лагранжа и Ньютона. Экспериментальные данные функциональной зависимости. Система уравнений для полинома. Графики аппроксимирующих многочленов.
реферат [139,0 K], добавлен 26.07.2009Способы построения интерполяционных многочленов Лагранжа, основные этапы. Интерполирование функций многочленами Ньютона, способы построения графика. Постановка задачи аппроксимации функции одной переменной, предпосылки повышения точности расчетов.
презентация [204,5 K], добавлен 18.04.2013Непрерывная и точечная аппроксимация. Интерполяционные полиномы Лагранжа и Ньютона. Погрешность глобальной интерполяции, квадратичная зависимость. Метод наименьших квадратов. Подбор эмпирических формул. Кусочно-постоянная и кусочно-линейная интерполяции.
курсовая работа [434,5 K], добавлен 14.03.2014Интерполяция с помощью полинома Ньютона исходных данных. Значение интерполяционного полинома в заданной точке. Уточнение значения корня на заданном интервале тремя итерациями и поиск погрешности вычисления. Методы треугольников, трапеций и Симпсона.
контрольная работа [225,2 K], добавлен 06.06.2011Построение массива конечных разностей. Выполнение экстраполяции. Вычисление приближенной функции с помощью многочлена Лагранжа. Определение значения функции с помощью формул Ньютона. Квадратичная сплайн-интерполяция. Среднеквадратичная аппроксимация.
контрольная работа [1004,9 K], добавлен 01.12.2009Метод решения задачи, при котором коэффициенты a[i], определяются непосредственным решением системы - метод неопределенных коэффициентов. Интерполяционная формула Ньютона и ее варианты. Построение интерполяционного многочлена Лагранжа по заданной функции.
лабораторная работа [147,4 K], добавлен 16.11.2015Теория приближений как раздел математики, изучающий вопрос о возможности приближенного представления математических объектов. Построение интерполяционного многочлена. Приближение кусочно-полиномиальными функциями. Алгоритм программы и ее реализация.
курсовая работа [390,2 K], добавлен 18.10.2015Интерполяционная схема Эйткина. Связь конечных разностей и производных. Распространение ошибки исходных данных при вычислении конечные разности. Свойства разделенной разности. Интерполяционная формула Ньютона для не равноотстоящих узлов. Полином Лагранжа.
лекция [92,3 K], добавлен 06.03.2009Определение погрешности вычислений при численном дифференцировании. Алгебраический порядок точности численного метода как наибольшей степени полинома. Основной и вспомогательный бланк для решения задачи Коши. Применение интерполяционной формулы Лагранжа.
реферат [1,4 M], добавлен 10.06.2012Решение системы линейных уравнений методом Якоби вручную и на Бейсике. Построение интерполяционного многочлена Ньютона с помощью Excel. Получение аппроксимирующей функции методом наименьших квадратов. Построение кубического сплайна по шести точкам.
курсовая работа [304,9 K], добавлен 07.09.2012Роль интерполяции функций, значения которой совпадают со значениями заданной функции в некотором числе точек. Интерполирование функции полиномами, непосредственно непрерывных функций на отрезке и в точке. Определение понятия погрешности интерполяции.
курсовая работа [157,4 K], добавлен 10.04.2011Вычислительные методы линейной алгебры. Интерполяция функций. Интерполяционный многочлен Ньютона. Узлы интерполяции. Интерполяционный многочлен Лагранжа. Интерполяция сплайнами. Коэффициенты кубических сплайнов.
лабораторная работа [70,5 K], добавлен 06.02.2004Преобразование коэффициентов полиномов Чебышева. Функции, применяемые в численном анализе. Интерполяция многочленами, метод аппроксимации - сплайн-аппроксимация, ее отличия от полиномиальной аппроксимации Лагранжем и Ньютоном. Метод наименьших квадратов.
реферат [21,5 K], добавлен 27.01.2011Основные правила расчета значений дифференциального уравнения. Изучение выполнения оценки погрешности вычислений, осуществления аппроксимации решений. Разработка алгоритма и написание соответствующей программы. Построение интерполяционного многочлена.
курсовая работа [212,6 K], добавлен 11.12.2013Особенности метода аппроксимации табулированных функций. Рассмотрение преимуществ работы в среде математической программы Mathcad. Метод наименьших квадратов как наиболее распространенный метод аппроксимации экспериментальных данных, сферы применения.
курсовая работа [1,2 M], добавлен 30.09.2012Оценка неизвестных величин по результатам измерений, содержащим случайные ошибки, при помощи метода наименьших квадратов. Аппроксимация многочленами, обзор существующих методов аппроксимации. Математическая постановка задачи аппроксимации функции.
курсовая работа [1,9 M], добавлен 12.02.2013Интерполяция (частный случай аппроксимации). Аппроксимация функцией. Метод наименьших квадратов. Из курса математики известны 3 способа задания функциональных зависимостей: аналитический, графический, табличный.
реферат [70,4 K], добавлен 26.05.2006
