Приложения эластичности функции нескольких переменных

Размещено на http://www.allbest.ru/

Федеральная таможенная служба

Российская таможенная академия

Владивостокский филиал

Кафедра информатики и информационных

таможенных технологий

КУРСОВАЯ РАБОТА

По дисциплине: «Математический анализ»

На тему: «Приложения эластичности функции нескольких переменных»

Студента: Гущиной Анны Евгеньевны

Группа: ЭБ-1301

Факультет: экономический

Руководитель: В.А.Шлык

Профессор д.ф.-м.н.

Владивосток

2013



Содержание

Введение

Понятие эластичности функции

Свойства эластичности

Использование коэффициента эластичности в экономике

Однородные функции. Формула Эйлера.

Заключение

Список литературы



Введение

При изучении курса математического анализа можно отметить, что данная дисциплина содержит немало разделов, применимых в экономике.

Важнейшим направлением применения дифференциального исчисления в экономике является введение с его помощью понятия эластичности.

Анализ относительных изменений позволяет судить о многих экономических явлениях с большей степенью общности, чем анализ абсолютных изменений. Поэтому наряду с производными при анализе различных зависимостей в экономике широко пользуются особыми показателями - эластичностями.

Коэффициент эластичности показывает относительное изменение исследуемого экономического показателя под действием единичного относительного изменения экономического фактора, от которого он зависит при неизменных остальных влияющих на него факторах.



Понятие эластичности функции

Понятие эластичности функции нескольких переменных вводится аналогично понятию эластичности функции одной переменной.

Пусть, например, = ѓ - функция двух переменных; ?? z = - ѓ, ?? z =ѓ (+?) - ѓ - ее частные приращения.

Определение. Эластичностью функции , z = ѓ(x,y) в точке по называется предел

E_zх=.

Эластичностью z по y в той же точке называется предел

Е_xy=

Говорят, что Е_zx - коэффициент эластичности z по x, а Е_xy - коэффициент эластичности z по x, а E_xy - коэффициент эластичности z по y (обозначение точки часто опускается).

Из определения вытекают формулы:

Е_zx (x,y) = = x()_x' , (1)

E_zy (x,y)== y(_y' . (2)



Свойства эластичности

эластичность функция экономический расчеты

1. Эластичность в точке x₀ суммы y = y₁ +…+ y_n положительных функций y₁ = f₁(x) (i = 1,2,…, n) удовлетворяет соотношению

E_min E_y E_max ,

где E_min(E_max) - это минимальная (максимальная) эластичность в точке x₀ функций у₁.

Доказательство. Воспользуемся формулой, выражающей эластичность через производные функции:

Е_у = ,

где Е₁ - эластичность у₁ в точке х₀. Пусть - доля в сумме . Тогда

. (3)

Так как ,то все . Из определения следует, что . Используя формулу (5), получим

.

Далее, поэтому

.

2. Эластичность произведения функций и в точке равна сумме эластичностей функций и в той же точке:

. (4)

Доказательство. Используя формулу и свойства логарифмической функции, получим

.

3. Эластичность частного функций и в точке равна разности эластичностей функций и в той же точке:

. (5)

Доказательство. Снова используем формулу и свойства логарифмической функции:

.

4. Для функций , и эластичность по в точке находится по формуле

, (6)

где ,- эластичности по и в точке , а - эластичности и по в точке.

Доказательство. Используя формулы (1),(2) и , находим

Для того чтобы сформулировать аналог пятого свойства эластичности, рассмотрим

Определение. Пара функций , называется обратной для пары функций ,

, заданных на множестве , если для любой точки из выполняются равенства:

,

.

Пример. Найти пару обратных функций для функций

,заданных в .

Решение. Из равенства следует, что .Поэтому .Находим однако, учитывая, что , имеем . Следовательно, .

Для любой пары функций , имеем 4 коэффициента эластичности .Записав их в виде таблицы, получим матрицу размера 2х2:

Элементы этой матрицы, расположенные вне главной диагонали, называются перекрестными коэффициентами эластичности.

5. Пусть , - пара обратных функций для функций , Тогда матрица коэффициентов эластичности является обратной к матрице .

Доказательство. Умножим матрицы и, используя полученную выше формулу (6):

Так как в результате умножения получилась единичная матрица, то и - взаимно обратные матрицы.



Использование коэффициента эластичности в экономике

Коэффициенты эластичности используются при анализе функций спроса при любом числе различных товаров. В качестве примера рассмотрим случай с двумя товарами. Пусть - количество -го товара,- его цена ( Для пары дополняющих товаров(например, чай и сахар) или заменяющих товаров (например, масло и маргарин) естественно считать, что спрос на каждый товар зависит от обеих цен и :

(7)

Предположим, что не только цены определяют спрос, но и, напротив, спрос определяет цены. Иными словами, будем считать, что систему (7) можно разрешить относительно и в следующем виде:

(8)

Системы (7) и (8) определяют две пары взаимно обратных функций. Согласно свойству 5 матрица коэффициентов эластичности цен по спросу может быть найдена как обратная матрица к матрице коэффициентов эластичности спроса по ценам. Заметим, что в случае, когда перекрестные коэффициенты не равны нулю, . Действительно, используя известную из линейной алгебры формулу для обратной матрицы, находим, что

.

.



Однородные функции. Формула Эйлера.

Пусть - область в , содержащаяся вместе с каждой своей точкой и все точки вида при . Функция с такой областью определения называется однородной степени , если для любого выполняется равенство

.

Однородный многочлен степени является , очевидно , однородной функцией той же степени однородности. Например, многочлен

является однородной функцией степени 2 .

Степень однородности может быть любым действительным числом. Например, функция

является однородной функцией степени от переменных и . Примером однородной функции степени 1 может служить производственная функция Кобба-Дугласа* .

Предположим, что дифференцируемая функция является одновременно и однородной функцией степени . Фиксируя произвольную точку для любого ,имеем

Продифференцируем левую и правые части этого равенства по (левую часть- по правилу дифференцирования сложной функции, правую часть - как степенную функцию). В результате приходим к тождеству

Положив здесь , получим формулу Эйлера:

Аналогично записывается формула Эйлера для однородной функции от любого числа аргументов. Например, формула Эйлера для функции трех переменных выглядит следующим образом:

или, короче,

. (9)

Предположим, что функция не обращается в нуль в некоторой точке . Разделив тогда левую и правую части равенства (9) на значение функции в этой точке, получим формулу

, (10)

где - коэффициенты эластичности по , по и по в точке .

Пример. Проверить соотношение (10) для функции .

Решение. Находим , , .

Следовательно, , что согласуется с равенством (10), поскольку степень однородности функции равна 0.

Заключение

Математика играет важную роль в естественнонаучных, инженерно-технических и гуманитарных исследованиях. Для многих отраслей знания, например, экономики, она стала не только орудием количественного расчета, но также методом точного исследования и средством предельно четкой формулировки понятий и проблем. Без современной математики с ее развитым логическим и вычислительным аппаратом был бы невозможен прогресс в различных областях человеческой деятельности.

В данной работе были рассмотрены основные положения, понятия, формулы и свойства, связанные с изучением приложений эластичности функции нескольких переменных.

В процессе изучения я поняла, что эластичность функции используется скорее как математический метод изучения экономики, а не собственно самой математики. Например, при анализе функций спроса при любом числе различных товаров, которые в свою очередь вносят свой незаменимый вклад в решение экономических задач. Важность знания основных свойств эластичности и методов ее нахождения очевидна.

Таким образом, в процессе выполнения курсовой работы мной были рассмотрены способы нахождения эластичности функции нескольких переменных, я рассмотрела его основные свойства и научилась правильно делать вычисления, применяя теоретические знания.



Список литературы

1) А.С. Солодовников, В.А. Бабайцев, А.В. Браилов, И.Г. Шандра. Математика в экономике. В двух частях. Часть 2. М., Финансы и статистика 2000. Стр.:92-96, 173-178.

2) О.О. Замков, А.В. Толстопятенко, Ю.Н. Черемных. Математические методы в экономике. 3-е изд., перераб. - М.: Дело и Сервис, 2001. - 368 с., стр.73-78.

Размещено на Allbest.ru

...