Понятие случайной величины

Размещено на http://www.allbest.ru/

3. Понятие случайной величины. Функция распределения и ее основные свойства

3.1 Понятие случайной величины и функции распределения

Одним из основных понятий теории вероятностей является понятие случайной величины. Прежде чем переходить к формальному его определению, мы остановимся на рассмотрении примеров.

Пример 1. Число космических частиц, попадающих на определенный участок земной поверхности в течение промежутка времени определенной длины, подвержено значительным колебаниям в зависимости от многих случайных обстоятельств.

Пример 2. Размер уклонения точки падения снаряда от центра цели определяется большим количеством разнообразных причин, носящих случайный характер. В результате в теории стрельбы вынуждены считаться с явлением рассеивания снарядов около центра цели как со случайным явлением и рассматривать указанные уклонения как случайные величины.

Пример 3.Скорость молекулы газа не остается неизменной, а меняется в зависимости от столкновений с другими молекулами. Этих столкновений очень много даже в течение короткого промежутка времени. Зная скорость молекулы в данный момент, нельзя с полной определенностью указать ее значение, скажем, через 0,01 или 0,001 секунды. Изменение скорости молекулы носит случайный характер.

Приведенные примеры показывают с достаточной определенностью, что со случайными величинами приходится иметь дело в самых разнообразных областях науки и техники.

Несмотря на всю разнородность конкретного содержания приведенных нами примеров, все они с точки зрения математики представляют одну и ту же картину. А именно, в каждом примере мы имеем дело с величиной, так или иначе характеризующей исследуемое явление. Каждая из этих величин под влиянием случайных обстоятельств способна принимать различные значения. Заранее указать, какое значение примет эта величина, нельзя, так как оно меняется случайным образом от испытания к испытанию.

Разнообразие случайных величин весьма велико. Число принимаемых ими значений может быть конечным, счетным и несчетным; значения могут быть расположены дискретно или заполнять интервалы сплошь, или же не заполнять интервалы, но располагаться всюду плотно. Для того чтобы задавать вероятности значений случайных величин, столь различных по своей природе, и притом задавать их одним и тем же способом, в теории вероятностей вводят понятие функции распределения случайной величины.

Рассмотрим пример с подбрасыванием игральной кости:

Выпадению одного и двух очков сопоставим число -1 и будем считать, что это проигрыш;

Выпадению трех и четырех очков сопоставим число 0 и будем считать, что это ничья;

Выпадению пяти и шести очков сопоставим число +1 и будем считать, что это выигрыш;

Множество элементарных исходов в данном случае будет . В соответствии с принятыми правилами на множестве элементарных исходов определена функция

Аргументом это функции является случайное событие. При определении случайной величины будем исходить в соответствии с общими понятиями случайного события из множества элементарных событий U, поля событий F определенной на нем вероятности P(A). Пусть задано вероятностное пространство {U,F,P}.

Определение 1. Случайной величиной называется вещественная функция X(u), определенная на элементах пространства элементарных событий U, так что - числовой оси, множество U₁ на которых функция X(u) строго меньше x является элементом поля событий F, то есть

Иначе можно считать, что X(u) есть случайная величина, если для любого события определена вероятность . Часто аргумент функции X(u) можно опускать, то есть .

Пусть X -- случайная величина и х -- произвольное действительное число. Вероятность того, что X, примет значение, меньшее чем х будет зависеть от значений x. Таким образом вероятность события есть некоторая функция аргумента x, которая называется функцией распределения вероятностей случайной величины X:

Условимся в дальнейшем, как правило, случайные величины обозначать прописными латинскими буквами, а принимаемые ими значения -- строчными.

Резюмируем сказанное, случайной величиной называется переменная величина, значения которой зависят от случая и для которой определена функция распределения вероятностей.

Пример 1. Мы скажем, что случайная величина нормально распределена, если ее функция распределения имеет вид

где С > 0, > 0, m -- постоянные. Впоследствии мы установим связь между постоянными и С и выясним теоретико-вероятностный смысл параметров m и . Нормально распределенные случайные величины играют особо важную роль в теории вероятностей и ее приложениях; в дальнейшем у нас будет много поводов убедиться в этом.

3.2 Свойства функции распределения

Свойство 1. Функция распределения любой случайной величины, есть неубывающая функция.

Зная функцию распределения случайной величины X, можно определить вероятность неравенства x₁X<x₂ при любых . В самом деле, если через A обозначить событие, состоящее в том, что X, примет значение, меньшее чем x₂, через В--событие, состоящее в том, что X < x₁, наконец, через С -- событие x₁X<x₂,то, очевидно, имеет место следующее равенство:

Так как события В и С несовместимы, то Р(А)=P(B)+Р(C).

Но

Поэтому

Так как, по определению, вероятность есть неотрицательное число, то из равенства (3.2.3) следует, что при любых x₁ и (x₂>x₁) имеет место неравенство

что и требовалось доказать.

Свойство 2. . Так как, функция распределения , то согласно свойств вероятности при любом х удовлетворяет неравенству

Свойство 3. Функция распределения может иметь не более чем счетное множество скачков.

Мы скажем, что функция распределения F(х) имеет при х=x₀ скачок, если

В самом деле, скачков размера , функция распределения может иметь не более одного, скачков размера от одной четвертой до половины - не более трех. Вообще скачков размера от до может быть не более чем . Совершенно ясно, что мы можем пронумеровать все скачки, расположив их по величине, начиная с больших значений и повторяя равные значения столько раз, сколько скачков этой величины имеет функция F(х).

Свойство 4. . Определим и равенствами

и докажем, что .

Действительно, так как неравенство X< + достоверно, то

Обозначим через событие, состоящее в том, что . Так как событие , эквивалентно сумме событий _, то на основании расширенной аксиомы сложения . Следовательно, при

Отсюда, принимая во внимание неравенства (3.2.5), заключаем, что при .

Свойство 5. Функция распределения непрерывна слева.

Выберем какую-нибудь возрастающую последовательность , сходящуюся к x.

Обозначим через A_n, событие . Тогда ясно, что , при i>j, и произведение всех событий A_n, есть невозможное событие. По аксиоме непрерывности должно быть

что и требовалось доказать.

3.3 Дискретные и непрерывные случайные величины

Определение 1. Случайная величина X называется дискретной, если множество значений, которое она может принимать не более чем счетно, то есть либо конечно либо счетно. (Множество называется счетным, если каждому элементу можно поставить в соответствие число натурального ряда).

Пусть X - дискретная случайная величина принимает значение при этом будем предполагать, что все попарно различны.

Определение 2. Рядом распределения дискретной случайной величины X называется совокупность пар чисел , где - возможные значения случайной величины, а p_i - вероятности, с которыми она принимает эти значения. События образуют полную группу попарно не совместных событий. Ряд распределения можно представить в виде таблицы(Табл.3.3.1) или многоугольника распределения (Рис.3.3.1).

Табл. 3.3.1

xi	X1	x2	…	xn
pi	P1	p2	…	pn

Зная ряд распределения, либо многоугольник распределения можно построить функцию распределения случайной величины(Рис. 3.3.2), которая является исчерпывающей характеристикой случайной величины X.

Отметим, что величина скачка в точке, являющейся возможным значением случайной величины, равна вероятности p_i того, что случайная величина Х примет значение x_i.

Пример. Производится три выстрела по мишени. Вероятность попадания при одном выстреле равна 0,4. Построить ряд распределения для числа попаданий в мишень(см. Табл.3.3.2).

Х - число попаданий в мишень при трех выстрелах.

Табл. 3.3.2

xi	0	1	2	3
pi	0,216	0,432	0,288	0,064

В качестве другого важного класса случайных величин можно выделить непрерывные случайные величины.

Определение 3. Распределение случайной величины X называется непрерывным, если существует такая, интегрируемая функция , что выполняется условие

Функция f(x) называется плотностью вероятности (плотностью распределения вероятности) или дифференциальным законом распределения.

Свойства плотности распределения.

1) - не отрицательная функция.

2) Если F(x) - дифференцируемая функция, то

3) Вероятность того, что случайная величина будет находится в пределах определяется соотношением

4)

Плотность распределения, так же как и функция распределения есть одна из форм закона распределения. Однако она не является универсальной характеристикой случайной величины, так как существует только для непрерывных случайных величин.

Рассмотрим непрерывную случайную величину Х с плотностью распределения f(x) ( Рис.3.3.3).

Выделим элементарный участок dx. Вероятность попадания величины Х на этот участок f(x)dx называют элементом вероятности.

3.4 Числовые характеристики случайных величин

Наиболее полная вероятностная характеристика поведения случайной величины определяется функцией распределения. Однако в ряде случаев не требуется столь полная ее вероятностная характеристика, а необходимо знать лишь некоторые фрагменты ее вероятностного поведения. В теории вероятностей и ее приложениях для характеристики поведения случайных величин используют некоторые постоянные величины, получаемые по определенным правилам. Среди них особенно важны математическое ожидание, дисперсия и моменты различных порядков. С их помощью допускается решение многих вероятностных задач.

1. Математическое ожидание. Среди характеристик случайных величин прежде всего отметим характеристику положения случайной величины на числовой прямой, то есть укажем некоторое число(значение) вокруг которого группируются все возможные значения случайной величины.

Рассмотрим следующий пример. Пусть при стрельбе из некоторого орудия для поражения цели требуется один снаряд с вероятностью , два снаряда - с вероятностью p₂, три снаряда - с вероятностью p₃ …, n снарядов - с вероятностью p_n. Известно что при стрельбе цель будет поражена. Спрашивается сколько снарядов в среднем потребуется для поражения цели.

Итак, известно, что

Тогда

Пусть - возможные значения случайной величины Х, а - соответствующие им вероятности.

Определение 1. Если ряд (или ) сходится абсолютно, то есть (или ), то его сумма называется математическим ожиданием случайной величины Х и обозначается М[X] или Е[X].

Для непрерывных случайных величин естественным будет следующее обобщение:

Определение 2. Пусть Х - непрерывная случайная величина и f(x) - ее плотность распределения, то математическим ожиданием случайной величины Х называется интеграл , если он сходится абсолютно, то есть когда существует интеграл .

Часто математическое ожидание обозначают символом .

Математическое ожидание существует не для любой случайной величины. Пусть Х дискретная случайная величина, имеющая ряд распределения представленный в табл. 3.4.1.

Табл. 3.4.1

	2	22	…	2k
			…

то есть данный ряд есть ряд распределения случайной величины Х. Определим математическое ожидание случайной величины Х, , так как ряд расходится, то математическое ожидание не существует.

Кроме математического ожидания на практике применяются и другие характеристики положения, в частности мода и медиана.

2. Мода. Определение 3. Модой случайной величины Х называется наиболее вероятное ее значение. Термин «наиболее вероятное значение», строго говоря, применим только к дискретной случайной величине, для непрерывных случайных величин модой является то значение, при котором плотность вероятности достигает наибольшего значения. Условимся обозначать моду символом М₀.

Если кривая распределения (многоугольник) имеет более одного максимума, то распределение называется полимодальным, если распределение имеет минимум, то оно называется «антимодальным».

3. Медиана. Определение 4. Медианой случайной величины Х называется такое число М_е на числовой прямой, для которого справедливо следующее равенство: , то есть одинаково вероятны, события состоящие в том, что случайная величина Х окажется меньше или больше чем число М_е.

Медиана это абсцисса точки, в которой площадь, ограниченная кривой распределения делится пополам. В случае симметричного модального распределения медиана совпадает с математическим ожиданием и модой.

4. Моменты, дисперсия, среднеквадратическое отклонение. В теории вероятностей употребляется ряд характеристик, которые описывают различные свойства распределения случайных величин. Наиболее важными понятиями являются понятия начальных и центральных моментов.

Определение 5. Начальным моментом k-го порядка случайной величины Х называется математическое ожидание k-той степени данной случайной величины, то есть

Для дискретной случайной величины начальный момент k-го порядка определяется формулой , а для непрерывной случайной величины с плотностью распределения f(x) соответственно .

Не трудно заметить, что первый начальный момент есть математическое ожидание случайной величины.

Определение 6. Центрированной случайной величиной , соответствующей случайной величине Х будем называть величину, определяемую равенством =Х-m_x. Заметим, что

Определение 7. Центральным моментом k-го порядка случайной величины Х называется математическое ожидание k-той степени центрированной случайной величины :

Формулы для вычисления центральных моментов имеют вид:

для дискретной случайной величины Х:

для непрерывной случайной величины Х:

Полезно отметить, что для дискретной случайной величины Х может быть вычислен по следующей формуле:

Аналогичную формулу можно получить для непрерывной случайной величины Х.

Ввиду крайней важности второй центральный момент называют дисперсией случайной величины. Дисперсия случайной величины есть характеристика рассеяния(разбросанности) значений случайной величины относительно m_x. Для дисперсии вводят специальное обозначение:

Определение 8. Дисперсией случайной величины Х называется математическое ожидание квадрата соответствующей центрированной случайной величины.

Дисперсия имеет размерность квадрата случайной величины Х. Поэтому часто для наглядности решения задачи пользуются величиной размерность, которой совпадает с Х. Ее называют среднеквадратическим отклонением и определяют по следующей формуле

5. Коэффициент асимметрии (скошенности). Характеризует смещение распределения случайной величины Х относительно математического ожидания

- m_x смещено вправо или распределение смещено влево относительно математического ожидания m₁.

- m_x смещено влево или распределение смещено вправо относительно математического ожидания m₂.

Для симметричных законов .

6. Эксцес. Характеризует островершинность или туповершинность кривой распределения. Определяется соотношением

Для гаусовского(I) распределения Е_х=0.

Е_х>0-островершинность(II)

Е_х<0-туповершинность(III)

Простейшие свойства основных числовых характеристик.

1) Доказательство .

2) Доказательство приведем для непрерывной случайной величины .

3), так как .

7. Квантили.

Определение 9. Квантилью x_p уровня случайной величины Х называется решение уравнения .

Это определение абсолютно корректно для случайных величин со строго монотонной функцией (рис. 3.4.6.а) и требует уточнений для случая, когда решением уравнения является целый промежуток (рис. 3.4.6.б). В последнем случае введение квантили вопрос договорённости. Мы будем считать, что .

Для случая непрерывной случайной величины можно дать другое геометрическое толкование квантили : это такая точка на оси абсцисс, левее которой график плотности распределения ограничивает площадь, численно равную (рис 3.4.7)

Рис 3.4.7 Геометрическая интерпретация для функции

функция дискретный дифференциальный квантиль

Рис 3.4.8 Медиана, верхняя и нижняя квартили распределения для функций и

Наиболее часто встречаются квантили уровней (медиана распределения), (нижняя квартиль) и (верхняя квартиль). Эти квантили делят числовую прямую на 4 части, вероятность попадания в которые равна (см. рис. 3.4.8).

Использование квантилей распределений широко применяется в задачах математической статистики.

Размещено на Allbest.ru

...