Предельные теоремы для случайных величин
Математические законы теории вероятностей. Рассмотрение статистических закономерностей, свойственных массовым явлениям. Сходимость последовательностей случайных величин. Изучение закона больших чисел. Возможности предсказаний массовых случайных явлений.
| Рубрика | Математика |
| Вид | лекция |
| Язык | русский |
| Дата добавления | 18.03.2014 |
| Размер файла | 59,5 K |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Размещено на http://www.allbest.ru/
1. Предельные теоремы для случайных величин
В курсе теории вероятностей указывалось, что математические законы теории вероятностей получены абстрагированием реальных статистических закономерностей, свойственных массовым случайным явлениям. Свойство устойчивости массовых случайных явлений известно человечеству еще с глубокой древности. Именно эта устойчивость средних и представляет собой физическое содержание «закона больших чисел», понимаемого в широком смысле слова: при очень большом числе случайных явлений средний их результат практически перестает быть случайным и может быть предсказан с большой степенью определенности.
Закон больших чисел играет важную роль в практических применениях теории вероятностей. Свойство случайных величин при определенных условиях вести себя практически как не случайные позволяет уверенно оперировать с этими величинами, предсказывать результаты массовых случайных явлений почти с полной определенностью.
Возможности таких предсказаний в области массовых случайных явлений еще больше расширяются наличием другой группы предельных теорем, касающихся уже не предельных значений случайных величин, а предельных законов распределения. Речь идет о группе теорем, известных под названием «центральной предельной теоремы». Мы уже говорили о том, что при суммировании достаточно большого числа случайных величин закон распределения суммы неограниченно приближается к нормальному при соблюдении некоторых условий.
Различные формы закона больших чисел вместе с различными формами центральной предельной теоремы образуют совокупность так называемых предельных теорем теории вероятностей. Прежде чем рассматривать предельные теоремы теории вероятностей рассмотрим виды сходимости после последовательностей случайных величин, так как сходимость для случайных величин отлична от сходимостей простых числовых последовательностей.
1.1 Сходимость последовательностей случайных величин
случайный математический вероятность число
Пусть на вероятностном пространстве определены случайные величины со значениями .
Определение 1. Последовательность сходится по вероятности (п.в) к величине X, если
9.1.1)
Обозначим сходимость к X по вероятности символом .
Определение 2. Последовательность сходится к X почти наверное (п.н) (с вероятностью единица), если
(9.1.2)
Обозначим эту сходимость символом .
Определение 3. Говорят, последовательностьсходится к X в среднеквадратическом (с.к.), если
(9.1.3)
Обозначим эту сходимость символом .
Определение 4. Последовательность сходится к X по распределению (п.р) с обозначением , если
(9.1.4)
Здесь Fn,F- функции распределения Xn и X, причем сходимость {Fn} к F подразумевается для всех x, за исключением, может быть, точек разрыва F.
Сходимости {Xn} к X, введенные определениями 1-4, связаны между собою отношениями, показанными на рис. 9.1.1.
Размещено на http://www.allbest.ru/
1.2 Закон больших чисел
Рассмотрим ряд теорем, образующих группу теорем закона больших чисел. В качестве леммы необходимой для доказательства теорем докажем важное общее неравенство, известное под названием неравенства Чебышева.
Неравенство Чебышева.
Пусть имеется случайная величина X с математическим ожиданием тх и дисперсией Dx. Неравенство Чебышева утверждает, что, каково бы ни было положительное число , вероятность того, что величина X отклонится от своего математического ожидания не меньше чем на , ограничена сверху величиной --:
(9.2.1)
Доказательство. 1. Пусть величина X дискретная, с рядом распределения:
|
… |
|||||
|
… |
Изобразим возможные значения величины X и ее математическое ожидание тх в виде точек на числовой оси Ох (рис. 9.2.1).
Зададимся некоторым значением и вычислим вероятность того, что величина X отклонится от своего математического ожидания не меньше чем на :
(9.2.2)
Для этого отложим от точки тх вправо и влево по отрезку длиной а; получим отрезок АВ. Вероятность (9.2.1) есть не что иное,
как вероятность того, что случайная точка X попадет не внутрь отрезка АВ, а вовне его:
Для того чтобы найти эту вероятность, нужно просуммировать вероятности всех тех значении xi, которые лежат вне отрезка АВ. Это мы запишем следующим образом:
(9.2.3)
где запись под знаком суммы означает, что суммирование распространяется на все те значения i, для которых точки лежат вне отрезка АВ.
С другой стороны, напишем выражение дисперсии величины X. По определению:
(9.2.4)
Так как все члены суммы (9.2.4) неотрицательны, она может только уменьшиться, если мы распространим ее не на все значения xi, а только на некоторые, в частности на те, которые лежат вне отрезка АВ:
(9.2.5)
Заменим под знаком суммы выражение через . Так как для всех членов суммы , то от такой замены сумма тоже может только уменьшиться; значит.
(9.2.6)
Но согласно формуле (9.2.3) сумма, стоящая в правой части (9.2.6). есть не что иное, как вероятность попадания случайной точки вовне отрезка АВ; следовательно,
откуда непосредственно вытекает доказываемое неравенство.
2. В случае, когда величина X непрерывна, доказательство проводится аналогичным образом с заменой вероятностей pi элементам вероятности, а конечных сумм -- интегралами. Действительно,
где f(x) -- плотность распределения величины X. Далее, имеем:
где знак под интегралом означает, что интегрирование распространяется на внешнюю часть отрезка АВ.
Заменяя под знаком интеграла через , получим:
откуда и вытекает неравенство Чебышева для непрерывных величия.
Теорема Чебышева.
Пусть последовательность независимых случайных величин, имеющих одинаковые и . Тогда при их среднее арифметическое сходится по вероятности к их математическому ожиданию, то есть
Доказательство. Выше было показано, что величина
имеет числовые характеристики
Применим к случайной величине Y неравенство Чебышева:
Как бы мало ни было число , можно взять п таким большим, чтобы выполнялось неравенство
где -- сколь угодно малое число. Тогда
откуда, переходя к противоположному событию, имеем:
, эквивалентно
что и требовалось доказать.
Обобщенная теорема Чебышева.
Теорема Чебышева легко может быть обобщена на более сложный случай. Обобщенная теорема Чебышева формулируется следующим образом. Если независимые случайные величины с математическими ожиданиями и дисперсиями и если все дисперсии ограничены сверху одним и тем же числом L:
то при возрастании п среднее арифметическое наблюденных значений величин сходится по вероятности к среднему арифметическому их математических ожиданий. Запишем эту теорему в виде формулы. Пусть -- сколь угодно малые положительные числа. Тогда при достаточно большом n
Доказательство. Рассмотрим величину
Ее математическое ожидание равно:
а дисперсия
Применим к величине Y неравенство Чебышева:
или
(9.2.7)
Заменим в правой части неравенства (9.2.7) каждую из величин большей величиной L. Тогда неравенство только усилится:
Как бы мало ни было , можно выбрать п настолько большим, чтобы выполнялось неравенство
,
откуда, переходя к противоположному событию, получим доказываемое неравенство.
Теорема Маркова.
Закон больших чисел может быть распространен и на зависимые случайные величины. Обобщение закона больших чисел на случай зависимых случайных величин принадлежит А. А. Маркову.
Теорема. Если имеются зависимые случайные величины и если при
,
то среднее арифметическое случайных величин сходится по вероятности к среднему арифметическому их математических ожиданий.
Доказательство. Рассмотрим величину
. Очевидно, .
Применим к величине Y неравенство Чебышева:
Так как по условию теоремы при , то при достаточно большом п
или, переходя к противоположному событию,
1.3 Следствия закона больших чисел
Пусть производиться n независимых опытов в каждом из которых с вероятностью p может произойти событие A, пусть
статистическая вероятность или частота появления события A в серии n - опытов.
Теорема Бернулли.
При неограниченном увеличении числа опытов частота сходится к вероятности
или .
Доказательство. Введем в рассмотрение независимые случайные величины - число появлений события A в i - ом опыте. - дискретные случайные величины, их ряд распределения имеет вид:
|
0 |
1 |
||
|
q |
p |
Тогда
Так как - независимые случайные величины
; ,
то к ним можно применить теорему Чебышева, учитывая, что
,
.
Предельная теорема Пуассона.
Пусть производиться n независимых опытов. Событие A в i - ом опыте может произойти с вероятностью , тогда при сходиться к среднему арифметическому вероятностей по вероятности, то есть.
Доказательство.
- независимые случайные величины(число появлений события A в i - ом опыте), имеющие следующие числовые характеристики ,
.
Данные случайные величины удовлетворяют условиям обобщенной теоремы Чебышева.
Применяя её, получим
Размещено на Allbest.ru
...Подобные документы
Основные понятия, которые касаются центральной предельной теоремы для независимых одинаково распределенных случайных величин и проверки статистических гипотез. Анализ сходимости последовательностей случайных величин и вероятностных распределений.
курсовая работа [582,0 K], добавлен 13.11.2012Сходимость последовательностей случайных величин и вероятностных распределений. Метод характеристических функций. Проверка статистических гипотез и выполнение центральной предельной теоремы для заданных последовательностей независимых случайных величин.
курсовая работа [364,8 K], добавлен 13.11.2012- Закон больших чисел. Проверка статистических гипотез (критерий согласия w2 Мизеса: простая гипотеза)
Предельные теоремы теории вероятностей. Сходимость последовательностей случайных величин и вероятностных распределений. Метод характеристических функций. Закон больших чисел. Особенности проверки статистических гипотез (критерия согласия w2 Мизеса).
курсовая работа [1,0 M], добавлен 27.01.2012 Сходимость последовательностей случайных величин. Центральная предельная теорема для независимых одинаково распределенных случайных величин. Основные задачи математической статистики, их характеристика. Проверка гипотез по критерию однородности Смирнова.
курсовая работа [1,6 M], добавлен 13.11.2012Общая характеристика сходимости последовательностей случайных величин и вероятностных распределений. Значение метода характеристических функций в теории вероятностей. Методика решения задач о типах сходимости. Анализ теоремы Ляпунова и Линдеберга.
курсовая работа [2,6 M], добавлен 22.07.2011Классическое, статистическое и геометрическое определения вероятности. Дискретные случайные величины и законы их распределения. Числовые характеристики системы случайных величин. Законы равномерного и нормального распределения систем случайных величин.
дипломная работа [797,0 K], добавлен 25.02.2011Описание случайных ошибок методами теории вероятностей. Непрерывные случайные величины. Числовые характеристики случайных величин. Нормальный закон распределения. Понятие функции случайной величины. Центральная предельная теорема. Закон больших чисел.
реферат [146,5 K], добавлен 19.08.2015Двумерная функция распределения вероятностей случайных величин. Понятие условной функции распределения и плотности распределения вероятностей. Корреляция двух случайных величин. Система произвольного числа величин, условная плотность распределения.
реферат [325,3 K], добавлен 23.01.2011Сущность и предмет теории вероятностей, отражающей закономерности, присущие случайным явлениям массового характера. Изучение ею закономерностей массовых однородных случайных явлений. Описание наиболее популярных в теории вероятностей экспериментов.
презентация [474,2 K], добавлен 17.08.2015Возможные варианты расчета вероятности событий. Выборочное пространство и события, их взаимосвязь. Общее правило сложения вероятностей. Законы распределения дискретных случайных величин, их математическое ожидание. Свойства биномиального распределения.
презентация [1,4 M], добавлен 19.07.2015Основные понятия, действия над случайными событиями. Классическое определение, свойства вероятностей. Правила вычисления вероятностей случайных событий. Построение законов распределения вероятностей случайных величин, вычисление числовых характеристик.
задача [82,0 K], добавлен 12.02.2011Понятие корреляционного момента двух случайных величин. Математическое ожидание произведения независимых случайных величин Х и У. Степень тесноты линейной зависимости между ними. Абсолютное значение коэффициента корреляции, его расчет и показатель.
презентация [92,4 K], добавлен 01.11.2013Алгебраический расчет плотности случайных величин, математических ожиданий, дисперсии и коэффициента корреляции. Распределение вероятностей одномерной случайной величины. Составление выборочных уравнений прямой регрессии, основанное на исходных данных.
задача [143,4 K], добавлен 31.01.2011Случайный процесс в теории вероятностей. Математическое ожидание и дисперсия. Многомерные законы распределения. Вероятностные характеристики "входной" и "выходной" функций. Сечение случайной функции. Совокупность случайных величин, зависящих от параметра.
курсовая работа [1,8 M], добавлен 23.12.2012Понятие и направления исследования случайных величин в математике, их классификация и типы: дискретные и непрерывные. Их основные числовые характеристики, отличительные признаки и свойства. Законы распределения случайных величин, их содержание и роль.
презентация [1,4 M], добавлен 19.07.2015Теорема Бернулли как простейшая форма закона больших чисел. Предельные теоремы теории вероятностей и объяснение природы устойчивости частоты появлений события. Качественные и количественные утверждения закона больших чисел, его практическое применение.
курсовая работа [75,2 K], добавлен 17.12.2009Статистическое, аксиоматическое и классическое определение вероятности. Дискретные случайные величины. Предельные теоремы Лапласа и Пуассона. Функция распределения вероятностей для многомерных случайных величин. Формула Байеса. Точечная оценка дисперсии.
шпаргалка [328,7 K], добавлен 04.05.2015Изучение закономерностей массовых случайных явлений. Степень взаимосвязи теории вероятностей и статистики. Невозможные, возможные и достоверные события. Статистическое, классическое, геометрическое, аксиоматическое определение вероятности. Формула Бейеса.
реферат [114,7 K], добавлен 08.05.2011Понятие комплекса случайных величин, закона их распределения и вероятностной зависимости. Числовые характеристики случайных величин: математическое ожидание, момент, дисперсия и корреляционный момент. Показатель интенсивности связи между переменными.
курсовая работа [2,4 M], добавлен 07.02.2011Дискретные системы двух случайных величин. Композиция законов распределения, входящих в систему. Определение вероятности попадания случайной величины в интервал; числовые характеристики функции; математическое ожидание и дисперсия случайной величины.
контрольная работа [705,1 K], добавлен 22.11.2013
