Теоремы о числовых характеристиках
Основные теоремы о математическом ожидании, числовых характеристиках случайных величин. Вычисление корреляционного момента. Теоремы о дисперсии случайной величины. Теорема о линейной зависимости случайных величин. Определение коэффициента корреляции.
| Рубрика | Математика |
| Вид | лекция |
| Язык | русский |
| Дата добавления | 18.03.2014 |
| Размер файла | 593,1 K |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Размещено на http://www.allbest.ru/
Теоремы о числовых характеристиках
1. Основные теоремы о математическом ожидании
Мы изложим ряд теорем о числовых характеристиках случайных величин, применимый в широком круге условий.
Теорема 1. Математическое ожидание неслучайной величины равно самой величине
Доказать условие можно, рассматривая неслучайную величину с как частный вид случайной, при одном возможном значении с вероятностью единица; тогда по общей формуле для математического ожидания:
Теорема 2. Неслучайную величину можно выносить за знак математического ожидания
Если с -- неслучайная величина, а X -- случайная, то
Доказательство.
а) Для дискретных случайных величин имеем:
6) Для непрерывных величин
ожидание математический случайный дисперсия
Теорема 3. Математическое ожидание суммы двух случайных величин равно сумме их математических ожиданий.
Докажем, что для любых двух случайных величин X и Y
Это свойство известно под названием теоремы сложения математических ожиданий.
Доказательство.
а) Пусть (X,Y)-- система дискретных случайных величин. Применим к сумме случайных величин общую формулу для математического ожидания функции двух аргументов:
Но представляет собой не что иное, как полную вероятность того, что величина X примет значение xi:
следовательно,
Аналогично докажем, что
и теорема доказана.
б) Пусть (X,Y)-- система непрерывных случайных величин.
Преобразуем первый из интегралов:
и теорема доказана.
Следует специально отметить, что теорема сложения математических ожиданий справедлива для любых случайных величин -- как зависимых, так и независимых.
Теорема сложения математических ожиданий обобщается на произвольное число слагаемых:
т. е. математическое ожидание суммы нескольких случайных величин равно сумме их математических ожиданий.
Для доказательства достаточно применить метод полной индукции.
Теорема 4. Математическое ожидание линейной комбинации случайных величин равно той же линейной комбинации от математических ожиданий аргументов.
Рассмотрим линейную комбинации нескольких случайных аргументов Х1, X2,...,Xn:
где ai ,b -- неслучайные коэффициенты. Докажем, что
Доказательство. Пользуясь теоремой сложения математических ожиданий и правилом вынесения неслучайной величины за знак математического ожидания, получим:
Теорема 5. Математическое ожидание произведения двух случайных величин равно произведению их математических ожиданий плюс корреляционный момент:
Доказательство. Будем исходить из определения корреляционного момента:
Здесь
Преобразуем это выражение, пользуясь свойствами математического ожидания:
что, очевидно, равносильно формуле (7.1.9). Если случайные величины (X, Y) некоррелированные (Kxy=0), то формула (7.1.10) принимает вид:
т.е. математическое ожидание произведения двух некоррелированных случайных величин равно произведению их математических ожиданий.
Формула представляет собой не что иное, как выражение второго смешанного центрального момента системы через второй смешанный начальный момент и математические ожидания:
Это выражение часто применяется на практике при вычислении корреляционного момента.
Теорема умножения математических ожиданий обобщается и на произвольное число сомножителей для независимых случайных величин и имеет вид:
т.е. математическое ожидание произведения независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий.
Это положение легко доказывается методом полной индукции.
2. Теоремы о дисперсии случайной величины
Теорема 6. Неслучайную величину можно выносить за знак дисперсии, возводя ее в квадрат.
Если с -- неслучайная величина, а X -- случайная, то
Доказательство. По определению дисперсии
Следствие
т. е. неслучайную величину можно выносить за знак среднеквадратического отклонения ее абсолютным значением. Доказательство получим, извлекая корень квадратный из формулы (7.2.1) и учитывая, что среднеквадратическое положительная величина.
Теорема 7. Дисперсия неслучайной величины равна нулю
Если с -- неслучайная величина, то , тогда
Теорема 8.Дисперсия суммы двух случайных величин равна сумме их дисперсий плюс удвоенный корреляционный момент:
Доказательство. Обозначим
По теореме сложения математических ожиданий
Перейдем от случайных величин X,Y,Z к соответствующим центрированным величинам X,Y,Z. Вычитая почленно из равенства (7.2.5) равенство (7.2.6), имеем:
По определению дисперсии
что и требовалось доказать.
Формула для дисперсии суммы может быть обобщена на любое число слагаемых:
где Кij -- корреляционный момент величин Xi , Xj, знак i<j под суммой обозначает, что суммирование распространяется на все возможные попарные сочетания случайных величин (X1 ,Х2.....,Хn).
Доказательство аналогично предыдущему и вытекает из формулы для квадрата многочлена.
Формула может быть записана еще в другом виде:
где двойная сумма распространяется на все элементы корреляционной матрицы системы величин (Х1,Х2,....Хn), содержащей как корреляционные моменты, так и дисперсии.
Если все случайные величины (Х1,Х2,...,Хп), входящие в систему, некоррелированы (т. е. Кij = 0 при ij). формула (7.2.7) принимает вид:
т.е. дисперсия суммы некоррелированных случайных величин равна сумме дисперсий слагаемых.
Это положение известно под названием теоремы сложения дисперсий.
Теорема 9. Дисперсия линейной комбинации случайных величин определяется соотношением
где Кij-- корреляционный момент величин Xi, Xj.
Доказательство. Введем обозначение:
Тогда
Применяя к правой части выражения (7.2.11) формулу (7.2.7) для дисперсии суммы и учитывая, что D[b] = 0, получим:
где -- корреляционный момент величин Yi, Yj.
Вычислим этот момент. Имеем:
Отсюда
В частном случае, когда все величины (Х1,Х2,...,Хn) некоррелированные, формула принимает вид:
т.е. дисперсия линейной функции некоррелированных случайных величин равна сумме произведений квадратов коэффициентов на дисперсии соответствующих аргументов).
Теорема 10. Дисперсия произведения независимых случайных величин определяется соотношением
Доказательство. Обозначим XY=Z. По определению дисперсии
Так как величины X, Y независимы, mz = mxmy и
При независимых X, У величины Х2, Y2 тоже независимы следовательно,
Но М[X2] есть не что иное, как второй начальный момент величины X, и, следовательно, выражается через дисперсию:
Аналогично
Подставляя выражения (7.2.16) и (7.2.17) в формулу (7.2.15) и приводя подобные члены, приходим к формуле (7.2.14).
В случае, когда перемножаются центрированные случайные величины (величины с математическими ожиданиями, равными нулю), формула (7.2.14) принимает вид:
т.е. дисперсия произведения независимых центрированных случайных величин равна произведению их дисперсий.
3. Теорема о линейной зависимости случайных величин
Теорема. Для линейной независимости двух случайных величин X и Y необходимо и достаточно, что бы .
Необходимость. Пусть , тогда . Определим
Откуда
Подсчитаем коэффициент корреляции , получим
Достаточность.
Пусть . Для определенности положим
Введем в рассмотрение случайную величину
;
;
определим дисперсию случайной величины Z
что и требовалось доказать.
Размещено на Allbest.ru
...Подобные документы
Понятие корреляционного момента двух случайных величин. Математическое ожидание произведения независимых случайных величин Х и У. Степень тесноты линейной зависимости между ними. Абсолютное значение коэффициента корреляции, его расчет и показатель.
презентация [92,4 K], добавлен 01.11.2013Алгебраический расчет плотности случайных величин, математических ожиданий, дисперсии и коэффициента корреляции. Распределение вероятностей одномерной случайной величины. Составление выборочных уравнений прямой регрессии, основанное на исходных данных.
задача [143,4 K], добавлен 31.01.2011Основные понятия, которые касаются центральной предельной теоремы для независимых одинаково распределенных случайных величин и проверки статистических гипотез. Анализ сходимости последовательностей случайных величин и вероятностных распределений.
курсовая работа [582,0 K], добавлен 13.11.2012События и случайные величины. Функция распределения и ее характерные свойства. Сущность и определение основных числовых характеристик случайных величин: математическое ожидание, дисперсия, моменты. Критерии и факторы, влияющие на их формирование.
контрольная работа [118,5 K], добавлен 30.01.2015Сходимость последовательностей случайных величин. Центральная предельная теорема для независимых одинаково распределенных случайных величин. Основные задачи математической статистики, их характеристика. Проверка гипотез по критерию однородности Смирнова.
курсовая работа [1,6 M], добавлен 13.11.2012Сходимость последовательностей случайных величин и вероятностных распределений. Метод характеристических функций. Проверка статистических гипотез и выполнение центральной предельной теоремы для заданных последовательностей независимых случайных величин.
курсовая работа [364,8 K], добавлен 13.11.2012Математическое ожидание случайной величины. Свойства математического ожидания, дисперсия случайной величины, их суммы. Функция от случайных величин, ее математическое ожидание. Коэффициент корреляции, виды сходимости последовательности случайных величин.
лекция [285,3 K], добавлен 17.12.2010Анализ и обработка статистического материала выборок Х1, Х2, Х3. Вычисление статистической дисперсии и стандарта случайной величины. Определение линейной корреляционной зависимости нормального распределения двух случайных величин, матрицы вероятностей.
контрольная работа [232,5 K], добавлен 25.10.2009Дискретные системы двух случайных величин. Композиция законов распределения, входящих в систему. Определение вероятности попадания случайной величины в интервал; числовые характеристики функции; математическое ожидание и дисперсия случайной величины.
контрольная работа [705,1 K], добавлен 22.11.2013Общая характеристика сходимости последовательностей случайных величин и вероятностных распределений. Значение метода характеристических функций в теории вероятностей. Методика решения задач о типах сходимости. Анализ теоремы Ляпунова и Линдеберга.
курсовая работа [2,6 M], добавлен 22.07.2011Предмет и метод математической статистики. Распределение непрерывной случайной величины с точки зрения теории вероятности на примере логарифмически-нормального распределения. Расчет корреляции величин и нахождение линейной зависимости случайных величин.
курсовая работа [988,5 K], добавлен 19.01.2011Теория вероятностей и закономерности массовых случайных явлений. Неравенство и теорема Чебышева. Числовые характеристики случайной величины. Плотность распределения и преобразование Фурье. Характеристическая функция гауссовской случайной величины.
реферат [56,1 K], добавлен 24.01.2011Статистическое, аксиоматическое и классическое определение вероятности. Дискретные случайные величины. Предельные теоремы Лапласа и Пуассона. Функция распределения вероятностей для многомерных случайных величин. Формула Байеса. Точечная оценка дисперсии.
шпаргалка [328,7 K], добавлен 04.05.2015Основные понятия, действия над случайными событиями. Классическое определение, свойства вероятностей. Правила вычисления вероятностей случайных событий. Построение законов распределения вероятностей случайных величин, вычисление числовых характеристик.
задача [82,0 K], добавлен 12.02.2011Закон распределения случайной величины дискретного типа (принимающей отдельные числовые значения). Предельные теоремы схемы Бернулли. Вычисление вероятности появления события по локальной теореме Муавра-Лапласа. Интегральная формула данной теоремы.
презентация [611,2 K], добавлен 17.08.2015Адекватная линейная регрессионная модель. Правило проверки адекватности. Определение математического ожидания, коэффициента детерминации, множественного коэффициента корреляции по характеристикам случайных величин. Оценка дисперсии случайной ошибки.
контрольная работа [160,0 K], добавлен 13.08.2013Теория вероятности, понятие вероятности события и её классификация. Понятие комбинаторики и её основные правила. Теоремы умножения вероятностей. Понятие и виды случайных величин. Задачи математической статистики. Расчёт коэффициента корреляции.
шпаргалка [945,2 K], добавлен 18.06.2012Вычисление среднего одномерных случайных величин. Определение доверительного интервала для математического ожидания и для дисперсии. Построение эмпирической и приближенной линий регрессии Y по X. Дисперсионный анализ греко-латынского куба второго порядка.
курсовая работа [698,0 K], добавлен 08.05.2012Описание случайных ошибок методами теории вероятностей. Непрерывные случайные величины. Числовые характеристики случайных величин. Нормальный закон распределения. Понятие функции случайной величины. Центральная предельная теорема. Закон больших чисел.
реферат [146,5 K], добавлен 19.08.2015Условия неограниченного приближения закона распределения суммы n независимых величин к нормальному закону распределения. Сущность центральной предельной теоремы. Определение с помощью теоремы Муавра-Лапласа вероятности наступления события в серии опытов.
презентация [91,7 K], добавлен 01.11.2013
