Теория вероятностей и математическая статистика
Изучение решения задач по математической статистике и теории вероятностей с помощью формулы Бейеса и Бернулли. Определение константы, вычисление математического ожидания и дисперсии величины X, а также расчет и построение графика функции распределения.
| Рубрика | Математика |
| Вид | контрольная работа |
| Язык | русский |
| Дата добавления | 19.03.2014 |
| Размер файла | 1,3 M |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Размещено на http://www.allbest.ru/
Министерство образования Республики Беларусь
Учреждение образования
«БЕЛАРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
ИНФОРМАТИКИ И РАДИОЭЛЕКТРОНИКИ»
Кафедра вычислительных методов и программирования
Контрольная работа по «Теории вероятностей и математической статистике»
Студентки ЗиДФ
Специальности ЭиОП
гр.201502-38
Сенькевич Светланы Иосифовны
Номер договора 253-с
От 8 июля 2010г.
17.08.2010
Задача 1.15
Наудачу взяты два положительных числа и , причем , . Найти вероятность того, что и
Решение:
Кроме того, по условию
Воспользуемся геометрическим определением вероятности.
Искомая вероятность:
Искомая вероятность:
Ответ: . +
Задача 2.23
Приведены схемы соединения элементов, образующих цепь с одним входом и одним выходом. Предполагается, что отказы элементов являются независимыми в совокупности событиями. Отказ любого из элементов приводит к прерыванию сигнала в той ветви цепи, где находится данный элемент. Вероятности отказа элементов 1, 2, 3, 4, 5 соответственно равны ; ; ; ; . Найти вероятность того, что сигнал пройдет со входа на выход.
Размещено на http://www.allbest.ru/
Решение:
Пусть событие - сигнал пройдет со входа на выход. -сигнал не пройдет со входа на выход. Это произойдет в том случае, если откажут все 5 элементов.
Тогда:
Так как события и образуют полную группу событий, то:
Ответ: . +
Задача 3.24
Прибор состоит из трех блоков. Исправность каждого блока необходима для функционирования устройства. Отказы блоков независимы. Вероятности безотказной работы блоков соответственно равны 0,6; 0,7; 0,8. В результате испытаний один блок вышел из строя. Определить вероятность того, что отказал первый блок.
Решение:
Наблюдаемое событие -в результате испытаний один блок вышел из строя
До опыта возможны следующие гипотезы:
-отказал 1-й блок
-отказал 2-й блок
-отказал 3-й блок
-отказал 1-й и 2-й блок
-отказал 2-й и 3-й блок
-отказал 1-й и 3-й блок
-отказал 1-й, 2-й и 3-й блок
- ни одного блока не отказало
Запишем условные вероятности:
Тогда:
По формуле Бейеса найдем вероятность того, что отказал первый блок:
+
Ответ: .
Задача 4.24
Вероятность попадания в мишень при одном выстреле равна 0,4. По мишени производится шесть независимых выстрелов. Найти вероятность того, что будет хотя бы пять попаданий в мишень.
Решение:
Воспользуемся формулой Бернулли:
Пусть событие -в мишень попали хотя бы пять раз. Это значит пять или шесть раз.
Искомая вероятность:
Ответ: . +
Задача 5.23
Дискретная случайная величина Х может принимать одно из пяти фиксированных значений , , , , с вероятностями , , , , соответственно. Вычислить математическое ожидание и дисперсию величины . Рассчитать и построить график функции распределения.
|
-10 |
-4 |
0 |
4 |
10 |
||
|
0.2 |
0.2 |
0.2 |
0.2 |
0.2 |
Решение:
Вычислим математическое ожидание:
Дисперсию найдем по формуле:
Функция распределения
График эмпирической функции распределения
Задача 6.11
Случайная величина Х задана плотностью вероятности
Определить константу , математическое ожидание, дисперсию, функцию распределения величины , а также вероятность ее попадания в интервал .
Решение:
Константу определим, используя свойство плотности вероятности:
В нашем случае:
Найдем математическое ожидание:
Найдем дисперсию:
Найдем функцию распределения:
для :
для : математический формула вероятность константа
для :
Функция распределения:
Вероятность попадания в интервал :
+
Задача 7.28
Случайная величина распределена равномерно на интервале . Построить график случайной величины и определить плотность вероятности .
Решение:
Построим график
Найдем плотность распределения случайной величины :
в интервале
вне этого интервала
Функция на интервале имеет одну обратную функцию
На интервале две обратные функции:
и
Искомая плотность распределения может быть найдена по формуле:
На интервале , так как
Плотность распределения:
На интервале так как
Плотность распределения:
Таким образом:
+
Задача 8.19
Двухмерный случайный вектор равномерно распределен внутри выделенной жирными прямыми линиями на рисунке области . Двумерная плотность вероятности одинакова для любой точки этой области :
Вычислить коэффициент корреляции между величинами и .
Решение:
Размещено на http://www.allbest.ru/
Запишем в аналитической форме совместную плотность вероятностей:
Определим , используя условие нормировки:
Найдем математическое ожидание и дисперсию величины :
Тогда дисперсия:
Найдем математическое ожидание и дисперсию величины :
Определим корреляционный момент:
Коэффициент корреляции:
Задача 9.14
Вычислить математическое ожидание и дисперсию величин и , а также определить их коэффициент корреляции
Решение:
Вычислим математические ожидания:
Дисперсии:
Корреляционный момент
Определим математическое ожидание произведения величин и :
Коэффициент корреляции:
+
Задача 10.93
По выборке одномерной случайной величины:
- получить вариационный ряд;
- построить на листе формата А4 график эмпирической функции распределения F*(x);
- построить гистограмму равноинтервальным способом;
- построить гистограмму равновероятностным способом;
- вычислить точечные оценки математического ожидания и дисперсии;
- вычислить интервальные оценки математического ожидания и дисперсии ;
- выдвинуть гипотезу о законе распределения случайной величины и проверить ее при помощи критерия согласия и критерия Колмогорова (). График гипотетической функции распределения и построить совместно с графиком в той же системе координат и на том же листе.
|
0.02 |
-2.79 |
-3.65 |
-4.5 |
-3.69 |
-2.29 |
-0.01 |
-1.54 |
-2.35 |
-3.21 |
|
|
0.71 |
-3.56 |
-0.49 |
-0.22 |
-4.23 |
-4.17 |
-3.03 |
-2.58 |
-2.07 |
-3.59 |
|
|
-1.55 |
-3.86 |
0.77 |
-0.62 |
-4.01 |
-0.62 |
-2.69 |
-0.22 |
-0.81 |
-2.27 |
|
|
-0.32 |
0.36 |
-3.04 |
0.07 |
-2 |
-1.72 |
0.5 |
-1.72 |
-1.25 |
0.43 |
|
|
-3.75 |
-2.3 |
-3.13 |
-0.07 |
-2.52 |
-2.04 |
-2.75 |
-0.6 |
-0.98 |
-0.51 |
|
|
-3.11 |
-0.02 |
-0.89 |
-1.21 |
-2.65 |
-4.44 |
-1.06 |
-3.7 |
-0.58 |
-3 |
|
|
-0.03 |
-0.92 |
-2.01 |
-1.57 |
-1.02 |
-4.16 |
-3.03 |
-0.28 |
-1.49 |
-2.26 |
|
|
-0.08 |
0 |
-2.81 |
0.68 |
-1.26 |
-2.26 |
-3.42 |
-2.53 |
0.32 |
-3.72 |
|
|
-2.68 |
-3.89 |
-3.1 |
-1.19 |
-3.36 |
-3.79 |
-1.48 |
-0.19 |
0.76 |
-3.44 |
|
|
-1.74 |
-2.43 |
-3.46 |
-0.84 |
-3.33 |
-0.34 |
-3.92 |
-1.11 |
-3.32 |
-0.07 |
Решение:
Построим вариационный ряд. Отсортируем заданную совокупность значений по возрастанию:
|
-4.5 |
-4.44 |
-4.23 |
-4.17 |
-4.16 |
-4.01 |
-3.92 |
-3.89 |
-3.86 |
-3.79 |
|
|
-3.75 |
-3.72 |
-3.7 |
-3.69 |
-3.65 |
-3.59 |
-3.56 |
-3.46 |
-3.44 |
-3.42 |
|
|
-3.36 |
-3.33 |
-3.32 |
-3.21 |
-3.13 |
-3.11 |
-3.1 |
-3.04 |
-3.03 |
-3.03 |
|
|
-3 |
-2.81 |
-2.79 |
-2.75 |
-2.69 |
-2.68 |
-2.65 |
-2.58 |
-2.53 |
-2.52 |
|
|
-2.43 |
-2.35 |
-2.3 |
-2.29 |
-2.27 |
-2.26 |
-2.26 |
-2.07 |
-2.04 |
-2.01 |
|
|
-2 |
-1.74 |
-1.72 |
-1.72 |
-1.57 |
-1.55 |
-1.54 |
-1.49 |
-1.48 |
-1.26 |
|
|
-1.25 |
-1.21 |
-1.19 |
-1.11 |
-1.06 |
-1.02 |
-0.98 |
-0.92 |
-0.89 |
-0.84 |
|
|
-0.81 |
-0.62 |
-0.62 |
-0.6 |
-0.58 |
-0.51 |
-0.49 |
-0.34 |
-0.32 |
-0.28 |
|
|
-0.22 |
-0.22 |
-0.19 |
-0.08 |
-0.07 |
-0.07 |
-0.03 |
-0.02 |
-0.01 |
0 |
|
|
0.02 |
0.07 |
0.32 |
0.36 |
0.43 |
0.5 |
0.68 |
0.71 |
0.76 |
0.77 |
Построим эмпирическую функцию распределения:
где -аргумент (неслучайная величина );
-объем выборки
-количество значений в выборке или вариационном ряду, строго меньших
|
-3 |
-2.81 |
-2.79 |
-2.75 |
-2.69 |
-2.68 |
-2.65 |
-2.58 |
-2.53 |
-2.52 |
-2.43 |
-2.35 |
-2.3 |
-2.29 |
-2.27 |
||
|
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
||
|
0.01 |
0.01 |
0.01 |
0.01 |
0.01 |
0.01 |
0.01 |
0.01 |
0.01 |
0.01 |
0.01 |
0.01 |
0.01 |
0.01 |
0.01 |
||
|
0.30 |
0.31 |
0.32 |
0.33 |
0.34 |
0.35 |
0.36 |
0.37 |
0.38 |
0.39 |
0.40 |
0.41 |
0.42 |
0.43 |
0.44 |
|
-2.26 |
-2.07 |
-2.04 |
-2.01 |
-2 |
-1.74 |
-1.72 |
-1.57 |
-1.55 |
-1.54 |
-1.49 |
-1.48 |
-1.26 |
-1.25 |
-1.21 |
||
|
2 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
2 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
||
|
0.02 |
0.01 |
0.01 |
0.01 |
0.01 |
0.01 |
0.02 |
0.01 |
0.01 |
0.01 |
0.01 |
0.01 |
0.01 |
0.01 |
0.01 |
||
|
0.45 |
0.47 |
0.48 |
0.49 |
0.50 |
0.51 |
0.52 |
0.54 |
0.55 |
0.56 |
0.57 |
0.58 |
0.59 |
0.60 |
0.61 |
|
-0.32 |
-0.28 |
-0.22 |
-0.19 |
-0.08 |
-0.07 |
-0.03 |
-0.02 |
-0.01 |
0 |
0.02 |
0.07 |
0.32 |
0.36 |
0.43 |
||
|
1 |
1 |
2 |
1 |
1 |
2 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
||
|
0.01 |
0.01 |
0.02 |
0.01 |
0.01 |
0.02 |
0.01 |
0.01 |
0.01 |
0.01 |
0.01 |
0.01 |
0.01 |
0.01 |
0.01 |
||
|
0.78 |
0.79 |
0.80 |
0.82 |
0.83 |
0.84 |
0.86 |
0.87 |
0.88 |
0.89 |
0.90 |
0.91 |
0.92 |
0.93 |
0.94 |
|
0.5 |
0.68 |
0.71 |
0.76 |
0.77 |
>0.77 |
|||||||||||
|
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
||||||||||||
|
0.01 |
0.01 |
0.01 |
0.01 |
0.01 |
||||||||||||
|
0.95 |
0.96 |
0.97 |
0.98 |
0.99 |
1 |
Графики эмпирической и теоретической функции распределения
Размещено на http://www.allbest.ru/
Построим гистограмму равновероятностным методом:
Среднюю плотность вероятности можно вычислить по формуле:
|
I |
||||||
|
1 |
-4.5 |
-3.77 |
0.73 |
10 |
13.7 |
|
|
2 |
-3.77 |
-3.39 |
0.38 |
10 |
26.3 |
|
|
3 |
-3.39 |
-3.015 |
0.375 |
10 |
26.7 |
|
|
4 |
-3.015 |
-2.475 |
0.54 |
10 |
18.5 |
|
|
5 |
-2.475 |
-2.005 |
0.47 |
10 |
21.3 |
|
|
6 |
-2.005 |
-1.255 |
0.75 |
10 |
13.3 |
|
|
7 |
-1.255 |
-0.825 |
0.43 |
10 |
23.3 |
|
|
8 |
-0.825 |
-0.25 |
0.575 |
10 |
17.4 |
|
|
9 |
-0.25 |
0.01 |
0.26 |
10 |
38.5 |
|
|
10 |
0.01 |
0.77 |
0.76 |
10 |
13.2 |
Построим гистограмму равноинтервальным методом
|
i |
||||||
|
1 |
-4.5 |
-3.973 |
0.527 |
6 |
0.06 |
|
|
2 |
-3.973 |
-3.446 |
0.527 |
12 |
0.12 |
|
|
3 |
-3.446 |
-2.919 |
0.527 |
13 |
0.13 |
|
|
4 |
-2.919 |
-2.392 |
0.527 |
10 |
0.1 |
|
|
5 |
-2.392 |
-1.865 |
0.527 |
10 |
0.1 |
|
|
6 |
-1.865 |
-1.338 |
0.527 |
8 |
0.08 |
|
|
7 |
-1.338 |
-0.811 |
0.527 |
11 |
0.11 |
|
|
8 |
-0.811 |
-0.284 |
0.527 |
9 |
0.09 |
|
|
9 |
-0.284 |
0.243 |
0.527 |
13 |
0.13 |
|
|
10 |
0.243 |
0.77 |
0.527 |
8 |
0.08 |
Вычислим характеристики распределения: выборочную среднюю, выборочную дисперсию и выборочное квадратическое отклонение.
|
Итого |
|||||||||||
|
-4.5 |
-4.44 |
-4.23 |
-4.17 |
-4.16 |
-4.01 |
-3.92 |
-3.89 |
-3.86 |
-3.79 |
-40.97 |
|
|
-3.75 |
-3.72 |
-3.7 |
-3.69 |
-3.65 |
-3.59 |
-3.56 |
-3.46 |
-3.44 |
-3.42 |
-35.98 |
|
|
-3.36 |
-3.33 |
-3.32 |
-3.21 |
-3.13 |
-3.11 |
-3.1 |
-3.04 |
-3.03 |
-3.03 |
-31.66 |
|
|
-3 |
-2.81 |
-2.79 |
-2.75 |
-2.69 |
-2.68 |
-2.65 |
-2.58 |
-2.53 |
-2.52 |
-27 |
|
|
-2.43 |
-2.35 |
-2.3 |
-2.29 |
-2.27 |
-2.26 |
-2.26 |
-2.07 |
-2.04 |
-2.01 |
-22.28 |
|
|
-2 |
-1.74 |
-1.72 |
-1.72 |
-1.57 |
-1.55 |
-1.54 |
-1.49 |
-1.48 |
-1.26 |
-16.07 |
|
|
-1.25 |
-1.21 |
-1.19 |
-1.11 |
-1.06 |
-1.02 |
-0.98 |
-0.92 |
-0.89 |
-0.84 |
-10.47 |
|
|
-0.81 |
-0.62 |
-0.62 |
-0.6 |
-0.58 |
-0.51 |
-0.49 |
-0.34 |
-0.32 |
-0.28 |
-5.17 |
|
|
-0.22 |
-0.22 |
-0.19 |
-0.08 |
-0.07 |
-0.07 |
-0.03 |
-0.02 |
-0.01 |
0 |
-0.91 |
|
|
0.02 |
0.07 |
0.32 |
0.36 |
0.43 |
0.5 |
0.68 |
0.71 |
0.76 |
0.77 |
4.62 |
|
|
-185.89 |
Выборочная средняя:
Вычислим выборочную дисперсию.
Средняя квадратов:
Выборочная дисперсия:
Среднее квадратическое отклонение:
Вычислим исправленную выборочную дисперсию.
Исправленное среднее квадратическое отклонение:
Найдем доверительный интервал для оценки неизвестного математического ожидания. Он считается по формуле:
, следовательно,
Искомый доверительный интервал математического ожидания:
Найдем доверительный интервал для оценки дисперсии. Он считается по формуле:
Искомый доверительный интервал для дисперсии:
По виду гистограммы, построенной равновероятностным способом можно предположить, что случайная величина распределена по равномерному закону
Выдвинем гипотезы:
где -плотность вероятности равномерного распределения
Найдем вероятности попадания случайной величины в каждый из интервалов и теоретические частоты:
|
-4.5 |
-3.973 |
-3.446 |
-2.919 |
-2.392 |
-1.865 |
-1.338 |
-0.811 |
-0.284 |
0.243 |
||
|
-3.973 |
-3.446 |
-2.919 |
-2.392 |
-1.865 |
-1.338 |
-0.811 |
-0.284 |
0.243 |
0.77 |
||
|
0.083 |
0.103 |
0.103 |
0.103 |
0.103 |
0.103 |
0.103 |
0.103 |
0.103 |
0.089 |
||
|
8.3 |
10.3 |
10.3 |
10.3 |
10.3 |
10.3 |
10.3 |
10.3 |
10.3 |
8.9 |
Проверим степень согласия эмпирического и теоретического распределения по критерию Пирсона:
|
Интервалы |
||||
|
(-4.5)-(-3.973) |
6 |
8.3 |
0.637 |
|
|
(-3.973)-(-3.446) |
12 |
10.3 |
0.281 |
|
|
(-3.446)-(-2.919) |
13 |
10.3 |
0.708 |
|
|
(-2.919)-(-2.392) |
10 |
10.3 |
0.009 |
|
|
(-2.392)-(-1.865) |
10 |
10.3 |
0.009 |
|
|
(-1.865)-(-1.338) |
8 |
10.3 |
0.514 |
|
|
(-1.338)-(-0.811) |
11 |
10.3 |
0.048 |
|
|
(-0.811)-(-0.284) |
9 |
10.3 |
0.164 |
|
|
(-0.284)-0.243 |
13 |
10.3 |
0.708 |
|
|
0.243-0.77 |
8 |
8.9 |
0.091 |
|
|
Итого |
3.167 |
Из расчетной таблицы
Уровень значимости
Число степеней свободы
По таблице критических точек распределения:
Гипотеза о распределении случайной величины по показательному закону не отвергается.
Проверим степень согласия эмпирического и теоретического распределения по критерию Колмогорова.
Выдвинем гипотезы:
где -теоретическая функция распределения равномерного закона
По формуле:
Вычисляем значения теоретической функции распределения:
Для этого строим график в одной системе координат с эмпирической:
Теоретическая функция распределения
|
Значения |
||
|
-4.5 |
0 |
|
|
-3.973 |
0.083 |
|
|
-3.446 |
0.187 |
|
|
-2.919 |
0.29 |
|
|
-2.392 |
0.393 |
|
|
-1.865 |
0.497 |
|
|
-1.338 |
0.6 |
|
|
-0.811 |
0.704 |
|
|
-0.284 |
0.807 |
|
|
0.243 |
0.911 |
|
|
0.77 |
1 |
График построен неверно. Очевидно, что график - прямая линия
При уровне значимости
-расхождение между теоретической и эмпирической функцией случайное. Распределение случайной величины по выбранному закону не отвергаем.
Задача 11.37
По выборке двухмерной случайной величины:
- вычислить точечную оценку коэффициента корреляции;
- вычислить интервальную оценку коэффициента корреляции (г = 0,95);
- проверить гипотезу об отсутствии корреляционной зависимости;
- вычислить оценки параметров и линии регрессии ;
- построить диаграмму рассеивания и линию регрессии.
Решение:
Вычислим уравнение регрессии методом наименьших квадратов. Для этого составим расчетную таблицу:
|
|
|
|||||
|
1 |
-0.27 |
-0.25 |
0.0729 |
0.0625 |
0.0675 |
|
|
2 |
2.71 |
4.81 |
7.3441 |
23.1361 |
13.0351 |
|
|
3 |
3.36 |
3.89 |
11.2896 |
15.1321 |
13.0704 |
|
|
4 |
0.16 |
0.58 |
0.0256 |
0.3364 |
0.0928 |
|
|
5 |
2.5 |
3.67 |
6.25 |
13.4689 |
9.175 |
|
|
6 |
4.64 |
4.94 |
21.5296 |
24.4036 |
22.9216 |
|
|
7 |
2.19 |
2.62 |
4.7961 |
6.8644 |
5.7378 |
|
|
8 |
0.97 |
1.18 |
0.9409 |
1.3924 |
1.1446 |
|
|
9 |
2.37 |
2.31 |
5.6169 |
5.3361 |
5.4747 |
|
|
10 |
0.78 |
1.98 |
0.6084 |
3.9204 |
1.5444 |
|
|
11 |
1.63 |
1.43 |
2.6569 |
2.0449 |
2.3309 |
|
|
12 |
0.64 |
1.01 |
0.4096 |
1.0201 |
0.6464 |
|
|
13 |
2.5 |
3.13 |
6.25 |
9.7969 |
7.825 |
|
|
14 |
2.92 |
3.54 |
8.5264 |
12.5316 |
10.3368 |
|
|
15 |
-0.39 |
1.5 |
0.1521 |
2.25 |
-0.585 |
|
|
16 |
2.27 |
4.44 |
5.1529 |
19.7136 |
10.0788 |
|
|
17 |
0.87 |
2.83 |
0.7569 |
8.0089 |
2.4621 |
|
|
18 |
2.79 |
3.3 |
7.7841 |
10.89 |
9.207 |
|
|
19 |
3.82 |
3.11 |
14.5924 |
9.6721 |
11.8802 |
|
|
20 |
2.25 |
2.05 |
5.0625 |
4.2025 |
4.6125 |
|
|
21 |
1.05 |
1.28 |
1.1025 |
1.6384 |
1.344 |
|
|
22 |
1.99 |
3.02 |
3.9601 |
9.1204 |
6.0098 |
|
|
23 |
0.02 |
0.17 |
0.0004 |
0.0289 |
0.0034 |
|
|
24 |
2.97 |
3.36 |
8.8209 |
11.2896 |
9.9792 |
|
|
25 |
0.75 |
0.88 |
0.5625 |
0.7744 |
0.66 |
|
|
26 |
4.06 |
3.73 |
16.4836 |
13.9129 |
15.1438 |
|
|
27 |
3.17 |
1.88 |
10.0489 |
3.5344 |
5.9596 |
|
|
28 |
1.45 |
4.01 |
2.1025 |
16.0801 |
5.8145 |
|
|
29 |
0.15 |
1.5 |
0.0225 |
2.25 |
0.225 |
|
|
30 |
2.27 |
4.62 |
5.1529 |
21.3444 |
10.4874 |
|
|
31 |
3.95 |
3.57 |
15.6025 |
12.7449 |
14.1015 |
|
|
32 |
3.6 |
3.46 |
12.96 |
11.9716 |
12.456 |
|
|
33 |
2.93 |
3.54 |
8.5849 |
12.5316 |
10.3722 |
|
|
34 |
0.23 |
2.38 |
0.0529 |
5.6644 |
0.5474 |
|
|
35 |
1.12 |
2.67 |
1.2544 |
7.1289 |
2.9904 |
|
|
36 |
2.28 |
4.81 |
5.1984 |
23.1361 |
10.9668 |
|
|
37 |
1.54 |
2.43 |
2.3716 |
5.9049 |
3.7422 |
|
|
38 |
2 |
2.47 |
4 |
6.1009 |
4.94 |
|
|
39 |
1.71 |
1.69 |
2.9241 |
2.8561 |
2.8899 |
|
|
40 |
0.48 |
3.08 |
0.2304 |
9.4864 |
1.4784 |
|
|
41 |
3.62 |
2.82 |
13.1044 |
7.9524 |
10.2084 |
|
|
42 |
2.87 |
1.3 |
8.2369 |
1.69 |
3.731 |
|
|
43 |
4.47 |
3 |
19.9809 |
9 |
13.41 |
|
|
44 |
1.13 |
0.63 |
1.2769 |
0.3969 |
0.7119 |
|
|
45 |
1.45 |
2.31 |
2.1025 |
5.3361 |
3.3495 |
|
|
46 |
2.53 |
2.54 |
6.4009 |
6.4516 |
6.4262 |
|
|
47 |
1.26 |
2.58 |
1.5876 |
6.6564 |
3.2508 |
|
|
48 |
2.89 |
1.28 |
8.3521 |
1.6384 |
3.6992 |
|
|
49 |
1.24 |
2.48 |
1.5376 |
6.1504 |
3.0752 |
|
|
50 |
1.71 |
3.92 |
2.9241 |
15.3664 |
6.7032 |
|
|
Сумма |
99.6 |
129.48 |
276.7578 |
412.3214 |
305.7354 |
Коэффициент корреляции:
Вычислим доверительный интервал для генерального коэффициента корреляции:
Оценка генерального коэффициента корреляции:
Надежность , по таблице значений функции Лапласа находим t=1.96
Искомый доверительный интервал:
Проверим значимость коэффициента корреляции:
По таблице критических точек распределения Стьюдента (, число степеней свободы k=48) находим:
-коэффициент корреляции значим.
Коэффициенты уравнения регрессии можно найти, решив систему уравнений:
Подставляя в систему уравнений числовые значения, получаем:
Таким образом, искомые коэффициенты:
Уравнение регрессии:
Задача 10.93
По выборке одномерной случайной величины:
- получить вариационный ряд;
- построить на листе формата А4 график эмпирической функции распределения F*(x);
- построить гистограмму равноинтервальным способом;
- построить гистограмму равновероятностным способом;
- вычислить точечные оценки математического ожидания и дисперсии;
- вычислить интервальные оценки математического ожидания и дисперсии ;
- выдвинуть гипотезу о законе распределения случайной величины и проверить ее при помощи критерия согласия и критерия Колмогорова (). График гипотетической функции распределения и построить совместно с графиком в той же системе координат и на том же листе.
|
0.02 |
-2.79 |
-3.65 |
-4.5 |
-3.69 |
-2.29 |
-0.01 |
-1.54 |
-2.35 |
-3.21 |
|
|
0.71 |
-3.56 |
-0.49 |
-0.22 |
-4.23 |
-4.17 |
-3.03 |
-2.58 |
-2.07 |
-3.59 |
|
|
-1.55 |
-3.86 |
0.77 |
-0.62 |
-4.01 |
-0.62 |
-2.69 |
-0.22 |
-0.81 |
-2.27 |
|
|
-0.32 |
0.36 |
-3.04 |
0.07 |
-2 |
-1.72 |
0.5 |
-1.72 |
-1.25 |
0.43 |
|
|
-3.75 |
-2.3 |
-3.13 |
-0.07 |
-2.52 |
-2.04 |
-2.75 |
-0.6 |
-0.98 |
-0.51 |
|
|
-3.11 |
-0.02 |
-0.89 |
-1.21 |
-2.65 |
-4.44 |
-1.06 |
-3.7 |
-0.58 |
-3 |
|
|
-0.03 |
-0.92 |
-2.01 |
-1.57 |
-1.02 |
-4.16 |
-3.03 |
-0.28 |
-1.49 |
-2.26 |
|
|
-0.08 |
0 |
-2.81 |
0.68 |
-1.26 |
-2.26 |
-3.42 |
-2.53 |
0.32 |
-3.72 |
|
|
-2.68 |
-3.89 |
-3.1 |
-1.19 |
-3.36 |
-3.79 |
-1.48 |
-0.19 |
0.76 |
-3.44 |
|
|
-1.74 |
-2.43 |
-3.46 |
-0.84 |
-3.33 |
-0.34 |
-3.92 |
-1.11 |
-3.32 |
-0.07 |
Решение:
Построим вариационный ряд. Отсортируем заданную совокупность значений по возрастанию:
|
-4.5 |
-4.44 |
-4.23 |
-4.17 |
-4.16 |
-4.01 |
-3.92 |
-3.89 |
-3.86 |
-3.79 |
|
|
-3.75 |
-3.72 |
-3.7 |
-3.69 |
-3.65 |
-3.59 |
-3.56 |
-3.46 |
-3.44 |
-3.42 |
|
|
-3.36 |
-3.33 |
-3.32 |
-3.21 |
-3.13 |
-3.11 |
-3.1 |
-3.04 |
-3.03 |
-3.03 |
|
|
-3 |
-2.81 |
-2.79 |
-2.75 |
-2.69 |
-2.68 |
-2.65 |
-2.58 |
-2.53 |
-2.52 |
|
|
-2.43 |
-2.35 |
-2.3 |
-2.29 |
-2.27 |
-2.26 |
-2.26 |
-2.07 |
-2.04 |
-2.01 |
|
|
-2 |
-1.74 |
-1.72 |
-1.72 |
-1.57 |
-1.55 |
-1.54 |
-1.49 |
-1.48 |
-1.26 |
|
|
-1.25 |
-1.21 |
-1.19 |
-1.11 |
-1.06 |
-1.02 |
-0.98 |
-0.92 |
-0.89 |
-0.84 |
|
|
-0.81 |
-0.62 |
-0.62 |
-0.6 |
-0.58 |
-0.51 |
-0.49 |
-0.34 |
-0.32 |
-0.28 |
|
|
-0.22 |
-0.22 |
-0.19 |
-0.08 |
-0.07 |
-0.07 |
-0.03 |
-0.02 |
-0.01 |
0 |
|
|
0.02 |
0.07 |
0.32 |
0.36 |
0.43 |
0.5 |
0.68 |
0.71 |
0.76 |
0.77 |
Построим эмпирическую функцию распределения:
где -аргумент (неслучайная величина );
-объем выборки
-количество значений в выборке или вариационном ряду, строго меньших
|
-4.5 |
-4.44 |
-4.23 |
-4.17 |
-4.16 |
-4.01 |
-3.92 |
-3.89 |
-3.86 |
-3.79 |
-3.75 |
-3.72 |
-3.7 |
-3.69 |
-3.65 |
||
|
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
||
|
0.01 |
0.01 |
0.01 |
0.01 |
0.01 |
0.01 |
0.01 |
0.01 |
0.01 |
0.01 |
0.01 |
0.01 |
0.01 |
0.01 |
0.01 |
||
|
0 |
0.01 |
0.02 |
0.03 |
0.04 |
0.05 |
0.06 |
0.07 |
0.08 |
0.09 |
0.10 |
0.11 |
0.12 |
0.13 |
0.14 |
|
-3.59 |
-3.56 |
-3.46 |
-3.44 |
-3.42 |
-3.36 |
-3.33 |
-3.32 |
-3.21 |
-3.13 |
-3.11 |
-3.1 |
-3.04 |
-3.03 |
-3.03 |
||
|
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
||
|
0.01 |
0.01 |
0.01 |
0.01 |
0.01 |
0.01 |
0.01 |
0.01 |
0.01 |
0.01 |
0.01 |
0.01 |
0.01 |
0.01 |
0.01 |
||
|
0.15 |
0.16 |
0.17 |
0.18 |
0.19 |
0.20 |
0.21 |
0.22 |
0.23 |
0.24 |
0.25 |
0.26 |
0.27 |
0.28 |
0.29 |
|
-3 |
-2.81 |
-2.79 |
-2.75 |
-2.69 |
-2.68 |
-2.65 |
-2.58 |
-2.53 |
-2.52 |
-2.43 |
-2.35 |
-2.3 |
-2.29 |
-2.27 |
||
|
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
||
|
0.01 |
0.01 |
0.01 |
0.01 |
0.01 |
0.01 |
0.01 |
0.01 |
0.01 |
0.01 |
0.01 |
0.01 |
0.01 |
0.01 |
0.01 |
||
|
0.30 |
0.31 |
0.32 |
0.33 |
0.34 |
0.35 |
0.36 |
0.37 |
0.38 |
0.39 |
0.40 |
0.41 |
0.42 |
0.43 |
0.44 |
|
-2.26 |
-2.07 |
-2.04 |
-2.01 |
-2 |
-1.74 |
-1.72 |
-1.57 |
-1.55 |
-1.54 |
-1.49 |
-1.48 |
-1.26 |
-1.25 |
-1.21 |
||
|
2 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
2 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
||
|
0.02 |
0.01 |
0.01 |
0.01 |
0.01 |
0.01 |
0.02 |
0.01 |
0.01 |
0.01 |
0.01 |
0.01 |
0.01 |
0.01 |
0.01 |
||
|
0.45 |
0.47 |
0.48 |
0.49 |
0.50 |
0.51 |
0.52 |
0.54 |
0.55 |
0.56 |
0.57 |
0.58 |
0.59 |
0.60 |
0.61 |
|
-1.19 |
-1.11 |
-1.06 |
-1.02 |
-0.98 |
-0.92 |
-0.89 |
-0.84 |
-0.81 |
-0.62 |
-0.6 |
-0.58 |
-0.51 |
-0.49 |
-0.34 |
...
Подобные документы
Сущность закона распределения и его практическое применение для решения статистических задач. Определение дисперсии случайной величины, математического ожидания и среднеквадратического отклонения. Особенности однофакторного дисперсионного анализа.
контрольная работа [328,2 K], добавлен 07.12.2013Вычисление математического ожидания, дисперсии, функции распределения и среднеквадратического отклонения случайной величины. Закон распределения случайной величины. Классическое определение вероятности события. Нахождение плотности распределения.
контрольная работа [38,5 K], добавлен 25.03.2015Вычисление вероятностей возможных значений случайной величины по формуле Бернулли. Расчет математического ожидания, дисперсии, среднеквадратического отклонения, медианы и моды. Нахождение интегральной функции, построение многоугольника распределения.
контрольная работа [162,6 K], добавлен 28.05.2012Определение вероятности определенного события. Вычисление математического ожидания, дисперсии, среднеквадратического отклонения дискретной случайной величины Х по известному закону ее распределения, заданному таблично. Расчет корреляционных признаков.
контрольная работа [725,5 K], добавлен 12.02.2010Определение вероятностей различных событий по формуле Бернулли. Составление закона распределения дискретной случайной величины, вычисление математического ожидания, дисперсии и среднеквадратического отклонения случайной величины, плотностей вероятности.
контрольная работа [344,8 K], добавлен 31.10.2013Правила выполнения и оформления контрольных работ для заочного отделения. Задания и примеры решения задач по математической статистике и теории вероятности. Таблицы справочных данных распределений, плотность стандартного нормального распределения.
методичка [250,6 K], добавлен 29.11.2009Решение задач по определению вероятности событий, ряда и функции распределения с помощью формулы умножения вероятностей. Нахождение константы, математического описания и дисперсии непрерывной случайной величины из функции распределения случайной величины.
контрольная работа [57,3 K], добавлен 07.09.2010Определение вероятности случайного события; вероятности выиграшных лотерейных билетов; пересечения двух независимых событий; непоражения цели при одном выстреле. Расчет математического ожидания, дисперсии, функции распределения случайной величины.
контрольная работа [480,0 K], добавлен 29.06.2010Определение вероятности наступления события, используя формулу Бернулли. Вычисление математического ожидания и дисперсии величины. Расчет и построение графика функции распределения. Построение графика случайной величины, определение плотности вероятности.
контрольная работа [390,7 K], добавлен 29.05.2014Определение закона распределения вероятностей результатов измерения в математической статистике. Проверка соответствия эмпирического распределения теоретическому. Определение доверительного интервала, в котором лежит значение измеряемой величины.
курсовая работа [2,0 M], добавлен 11.02.2012Определение вероятности того, что из урны взят белый шар. Нахождение математического ожидания, среднего квадратического отклонения и дисперсии случайной величины Х, построение гистограммы распределения. Определение параметров распределения Релея.
контрольная работа [91,7 K], добавлен 15.11.2011Определение вероятности брака проверяемых конструкций. Расчет вероятности того, что из ста новорожденных города N доживет до 50 лет. Расчет математического ожидания и дисперсии. Определение неизвестной постоянной С и построение графика функции р(х).
курсовая работа [290,7 K], добавлен 27.10.2011Теория вероятностей — раздел математики, изучающий закономерности случайных явлений: случайные события, случайные величины, их свойства и операции над ними. Методы решения задач по теории вероятности, определение математического ожидания и дисперсии.
контрольная работа [157,5 K], добавлен 04.02.2012Вероятность попадания случайной величины Х в заданный интервал. Построение графика функции распределения случайной величины. Определение вероятности того, что наудачу взятое изделие отвечает стандарту. Закон распределения дискретной случайной величины.
контрольная работа [104,7 K], добавлен 24.01.2013Статистическое, аксиоматическое и классическое определение вероятности. Дискретные случайные величины. Предельные теоремы Лапласа и Пуассона. Функция распределения вероятностей для многомерных случайных величин. Формула Байеса. Точечная оценка дисперсии.
шпаргалка [328,7 K], добавлен 04.05.2015Функциональные и степенные ряды. Разложение функций в ряды Тейлора и Макларена. Теорема Дерихле. Основные понятия в теории вероятностей. Теорема умножения и сложения вероятностей независимых событий. Формулы Бейеса, Бернулли. Локальная теорема Лапласа.
методичка [96,6 K], добавлен 25.12.2010Особенности выполнения теоремы Бернулли на примере электрической схемы. Моделирование случайной величины по закону распределения Пуассона, заполнение массива. Теория вероятности, понятие ожидания, дисперсии случайной величины и закон распределения.
курсовая работа [29,7 K], добавлен 31.05.2010Примеры пространства элементарных событий. Вероятность появления одного из двух несовместных событий. Функция распределения F(x,y) системы случайных величин. Расчет математического ожидания и дисперсии. Закон генеральной совокупности и его параметры.
контрольная работа [178,1 K], добавлен 15.06.2012Применение классического определения вероятности в решении экономических задач. Определение вероятности попадания на сборку бракованных и небракованных деталей. Вычисление вероятности и выборочного значения статистики при помощи формулы Бернулли.
контрольная работа [309,4 K], добавлен 18.09.2010Вероятностная модель и аксиоматика А.Н. Колмогорова. Случайные величины и векторы, классическая предельная проблема теории вероятностей. Первичная обработка статистических данных. Точечные оценки числовых характеристик. Статистическая проверка гипотез.
методичка [433,3 K], добавлен 02.03.2010
