Символьные вычисления в среде Matlab

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ

Учреждение образования

“Брестский государственный университет имени А.С. Пушкина”

Математический факультет

Кафедра математического моделирования

Курсовая работа

СИМВОЛЬНЫЕ ВЫЧИСЛЕНИЯ В СРЕДЕ MATLAB

Брест 2012



СОДЕРЖАНИЕ

ВВЕДЕНИЕ

1 КРАТКИЕ СВЕДЕНИЯ О СИСТЕМЕ MATLAB

2 СИМВОЛЬНЫЕ ПЕРЕМЕННЫЕ И ФУНКЦИИ

2.1 Определение переменных и функций и работа над ними

2.2 Матрицы и векторы

2.3 Вычисления с символьными переменным

3 ГРАФИЧЕСКОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ

4 УПРОЩЕНИЕ, ПРЕОБРАЗОВАНИЕ И ВЫЧИСЛЕНИЕ ПРИЛОЖЕНИЙ

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ



ВВЕДЕНИЕ

Данная работа относится к области изучения интегрированной программной системы Matlab для автоматизации математических расчетов, в частности, символьные вычисления в среде Matlab.

Цель курсовой работы - это изучение основных операций с символьными величинами в среде Matlab.

Для достижения данной цели были поставлены следующие задачи:

изучить понятия переменных и функций;

рассмотреть способы представления матриц и векторов и работа с ними;

показать графическое представление функций в среде Matlab;

систематизировать изученные данные.

Объектом исследования являются символьные переменные и функции.

Предмет: вычисления, производимые с символьными переменными и функциями в среде Matlab.

Для решения поставленных нами задач использовался комплекс взаимодополняющих методов исследования: изучение литературы по поставленным вопросам; обобщение и анализ полученных в ходе проведения исследования данных.



1 КРАТКИЕ СВЕДЕНИЯ О СИСТЕМЕ MATLAB

Современная компьютерная математика предлагает целый набор интегрированных программных систем и пакетов программ для автоматизации математических расчетов: Eureka, Gauss, TK Solver!, Derive, Mathcad, Mathematica, Maple V и др. Возникает вопрос: какое место занимает среди них система MATLAB?

MATLAB - одна из старейших, тщательно проработанных и апробированных временем систем автоматизации математических расчетов, построенная на расширенном представлении и применении матричных операций. Это нашло отражение в названии системы (MATrix LABoratory -матричная лаборатория). Однако синтаксис языка программирования системы продуман настолько тщательно, что эта ориентация совсем не ощущается пользователями, которых непосредственно матричные вычисления не интересуют.

Матрицы широко применяются в сложных математических расчетах, например при решении задач линейной алгебры и математического моделирования статических и динамических систем и объектов.

Однако в настоящее время MATLAB далеко вышла за пределы специализированной матричной системы и стала одной из наиболее мощных универсальных интегрированных СКМ (современная компьютерная математика). Слово "интегрированные" указывает на то, что в этой системе объединены удобная оболочка, редактор выражений и текстовых комментариев, вычислитель и графический программный процессор.

В целом MATLAB - это уникальная коллекция реализаций современных численных методов для компьютеров, созданных за последние три десятка лет. Она вобрала в себя опыт, правила и методы математических вычислений, накопленные за тысячи лет развития математики. Это сочетается с мощными средствами графической визуализации и даже анимационной графики.

Система MATLAB была разработана Молером (C.B. Moler) и с конца 70-х годов широко использовалась на больших ЭВМ. К расширению системы были привлечены крупнейшие научные школы мира в области математики, программирования и естествознания.

Одной из основных задач системы было предоставление пользователям мощного языка программирования, ориентированного на математические расчеты и способного превзойти возможности традиционных языков программирования, которые многие годы использовались для реализации численных методов. При этом особое внимание уделялось как повышению скорости вычислений, так и адаптации системы к решению самых разнообразных задач пользователей.

Возможности MATLAB весьма обширны, а по скорости выполнения задач система нередко превосходит своих конкурентов. Она применима для расчетов практически в любой области науки и техники и широко используется при математическом моделировании физических устройств и систем, относящихся к механике, в частности, к динамике, гидродинамике и аэродинамике, акустике и т.д.

Важными достоинствами системы являются ее открытость и расширяемость. Большинство команд и функций системы реализованы в виде текстовых m-файлов (с расширением .m) и файлов на языке C, причем все файлы доступны для модификации. Пользователю дана возможность создавать не только отдельные файлы, но и библиотеки файлов для реализации специфических задач.

Библиотека C Math позволяет пользоваться следующими категориями функций:

операции с матрицами;

сравнение матриц;

решение линейных уравнений;

разложение операторов и поиск собственных значений;

нахождение обратной матрицы;

поиск определителя;

вычисление матричного экспоненциала;

элементарная математика;

функции beta, gamma, erf и эллиптические функции;

основы статистики и анализа данных;

поиск корней полиномов;

фильтрация, свертка;

интерполяция;

операции со строками;

операции ввода-вывода файлов и т.д.

При этом все библиотеки MatLab отличаются высокой скоростью численных вычислений. Однако матрицы широко применяются не только в таких математических расчетах, как решение задач линейной алгебры и математического моделирования, обсчета статических и динамических систем и объектов. Они являются основой автоматического составления и решения уравнений состояния динамических объектов и систем. Именно универсальность аппарата матричного исчисления значительно повышает интерес к системе MatLab, вобравшей в себя лучшие достижения в области быстрого решения матричных задач. Поэтому MatLab давно уже вышла за рамки специализированной матричной системы, превратившись в одну из наиболее мощных универсальных интегрированных систем компьютерной математики.



2 СИМВОЛЬНЫЕ ПЕРЕМЕННЫЕ И ФУНКЦИИ

В состав MATLAB входит Symbolic Math Toolbox, предназначенный для вычислений в символьном виде. Преобразование выражений, разыскание аналитического решения задач линейной алгебры, дифференциального и интегрального исчисления, получение численного результата с любой точностью - вот далеко не полный перечень возможностей, предоставляемых данным Toolbox. Функции Symbolic Math Toolbox реализуют интерфейс между средой MATLAB и библиотекой функций, являющихся вычислительным ядром Maple, причем работа в MATLAB не требует установки Maple. Расширение Toolbox позволяет пользователям, имеющим опыт работы в Maple, использовать ресурсы ядра Maple практически в полном объеме, включая и программирование в Maple.

Объектно-ориентированный подход, реализованный в MATLAB, позволил сделать работу с символьными выражениями простой и удобной.

2.1 Определение переменных и функций и работа с ними

matlab функция матрица вектор

Символьные переменные и функции являются объектами класса symobject, в отличие от числовых переменных, которые содержатся в массивах double array. Символьный объект создается при помощи функции syms. Команда

>> syms x a b

создает три символьные переменные х, а и b. Размер памяти, отводимый по умолчанию под символьные переменные, достаточно большой - посмотрим информацию об определенных только что переменных в окне Workspace браузера рабочей среды или вызовем команду whos:

>> whos x a b

Name Size Bytes Class Attributes

a 1x1 126 sym

b 1x1 126 sym

x 1x1 126 sym

Конструирование символьных функций от переменных класса sym object производится с использованием обычных арифметических операций и обозначений для встроенных математических функций, например:

>> f=(sin(x)+a)^2*(cos(x)+b)^2/abs(a+b)^(1/2)

f =

((b + cos(x))^2*(a + sin(x))^2)/abs(a + b)^(1/2)

Запись формулы для выражения в одну строку не всегда удобна, более естественный вид выражения выводит в командное окно функция pretty:

>> pretty(f)

2 2

(b + cos(x)) (a + sin(x))

---------------------------

1/2

|a + b|

Определенная функция f также является символьной переменной типа sym object, в чем несложно убедиться при помощи браузера переменных.

Имеющиеся символьные переменные и функции позволяют образовывать новые символьные выражения:

>> syms y

>> g=(exp(-y)+1)/exp(y)

g =

(1/exp(y) + 1)/exp(y)

>> h=f*g

h =

((b+cos(x))^2*(1/exp(y)+1)*(a+sin(x))^2)/(exp(y)*abs(a+b)^(1))

>> pretty(h)

2 2

exp(-y) (b + cos(x)) (exp(-y) + 1) (a + sin(x))

-------------------------------------------------

1/2

|a + b|

Символьную функцию можно создать без предварительного объявления переменных при помощи sym, входным аргументом которой является строка с выражением, заключенная в апострофы:

>> z=sym('c^2/(d+1)')

z =

c^2/(d+1)

>> pretty(z)

2

c

-----

d + 1

Замечание:

Для объявления символьных переменных может быть использована функция sym. Команда syms а, b, с эквивалентна последовательности а=sym('a'); b = sym('b'); c = sym('c').

При работе в области комплексных чисел следует указать, что определяемые переменные являются, в общем случае, комплексными.

Комплексные символьные переменные задаются командой syms с опцией unreal. Опция real означает, что переменные интерпретируются как вещественные. Убедимся, что результат символьных вычислений зависит от того, какие символьные переменные используются - вещественные или комплексные. Объявим две вещественные переменные а и b, образуем комплексное число, считая, что а является действительной частью, а b-мнимой, и найдем сопряженное к нему при помощи conj:

>> syms a b real

>> p=conj(a+i*b)

p =

a - b*i

Произведем аналогичные действия, предварительно объявив а и b как комплексные переменные:

>> syms a b unreal

>> q=conj(a+i*b)

q =

conj(a) - i*conj(b)

Обратим внимание на значения символьных переменных р и q.

Использование одних и тех же операторов в символьных и числовых выражениях возможно благодаря тому, что пакет MATLAB является объектно-ориентированной системой. Для сложения чисел и числовых массивов в MATLAB зарезервирован знак +, который приводит к вызову встроенной функции plus, расположенной в подкаталоге \toolbox\matlab\ops\ основного каталога MATLAB. Например, 1.3 + 2.9 и plus(1.3, 2.9) приводят к одинаковому результату.

>> 1.3+2.9

ans =

4.2000

>> plus(1.3,2.9)

ans =

4.2000

Для символьных переменных и функций используется файл-функция с тем же именем plus, находящаяся в подкаталоге \toolbox\symbolic\@sym\ основного каталога MATLAB. Изучить ее содержимое можно, открыв файл plus.m в редакторе MATLAB. В начале оба ее входных аргумента приводятся к символьному типу данных при помощи функции sym, что позволяет складывать символьную переменную с числовой и получить символьный результат. Далее проверяется совпадение размеров входных аргументов, которые могут быть массивами. Последняя строка содержит вызов функции maple, служащей для обращения к соответствующей функции или оператору из ядра пакета Maple - в данном случае символьному сложению.

Говоря на языке объектно-ориентированного программирования, числовые переменные типа double array образуют класс со своими методами (в том числе plus). Для класса символьных объектов sym метод plus переопределен, MATLAB определяет по типу аргумента соответствующий метод класса и выполняет его.

Пользователь MATLAB может создавать собственные классы и определять их методы, в том числе и переопределять методы предка класса.



2.2 Матрицы и векторы

Символьные переменные могут являться элементами матриц и векторов. Элементы строк матриц при вводе отделяются пробелами или запятыми, а столбцов - точкой с запятой, так же как и для обычных матриц. В результате образуются символьные матрицы и векторы, к которым применимы матричные и поэлементные операции и встроенные функции.

>> syms a b c d e f g h

>> A=[a b;c d]

A =

[ a, b]

[ c, d]

>> B=[e f; g h]

B =

[ e, f]

[ g, h]

>> C=A*B

C =

[a*e+b*g, a*f+b*h]

[c*e+d*g, c*f+d*h]

>> F=A*B

F =

[a*e,b*f]

[c*g,d*h]

Конструирование блочных символьных матриц не отличается от числовых, требуется следить за размерами соответствующих блоков:

>> D=[C A, B C]

D =

[ a*e+b*g, a*f+b*h, a, b, e, f, a*e+b*g, a*f+b*h]

[ c*e+d*g, c*f+d*h, c, d, g, h, c*e+d*g, c*f+d*h]

Обращение к элементам символьных матриц и векторов производится при помощи индексации, в том числе двоеточием и вектором со значениями индексов:

>> d2=D(2,:)

d2 =

[ c*e+d*g, c*f+d*h, c, d, g, h, c*e+d*g, c*f+d*h]

>> d=d2([1 3 4])

d =

[ c*e+d*g, c, d]

2.3 Вычисления с символьными переменными

Символьные операции позволяют находить точные значения выражений или значения со сколь угодно большой точностью. Для преобразования значения числовой переменной в символьную служит функция sym. Введем массив типа double array:

>> A= [1.3 -2.1 4.9

6.9 3.7 8.5];

>> B=sym(A)

B =

[13/10, -21/10, 49/10]

[69/10, 37/10, 17/2]

При переходе от числовых к символьным выражениям по умолчанию используется запись чисел в виде рациональной дроби. Возможны и другие формы представления чисел в символьном виде, которые определяются значением второго входного аргумента функции sym.

Создадим вектор-столбец:

>> c=[3.2;0.4;-2.1]

и занесем в вектор d его символьное представление

>> d=sym(c);

Умножим матрицу B на вектор d - результат является символьной переменной, причем все вычисления проделаны над рациональными дробями.

>> e=B*d

e =

-697/100

571/100

Использование рациональных дробей при выполнении символьных вычислений означает, что всегда получается точный результат, не содержащий погрешность округления. Убедиться в вышесказанном можно на простом примере. Установим формат long е для отображения максимально возможного числа значащих цифр для значений числовых переменных и найдем сумму чисел и .

>> format long e

>> 1.0e+10+1.0e-10

ans =

1.000000000000000e+010

Запишем каждое из чисел в символьные переменные и снова вычислим сумму

>> large=sym(1.0e10);

>> small=sym(1.0e-10);

>> s=large+small

s =

100000000000000000001/10000000000

Рациональная дробь является точным значением суммы. Разумеется, символьные вычисления требуют больших затрат компьютерных ресурсов по сравнению с обычными.

Вычисления с рациональными дробями позволяют получить значение символьного выражения с любой степенью точности, т.е. найти сколь угодно много значащих цифр результата. Для вычисления символьных выражений предназначена функция vpa:

>> c=sym('sqrt(2)');

>> cn=vpa(c)

cn =

1.4142135623730950488016887242097

По умолчанию удерживается 32 значащие цифры. Второй дополнительный входной параметр vpa служит для задания точности:

>> cn=vpa(c,70)

cn =

1.414213562373095048801688724209698078569671875376948073176679737990732

Замечание:

Второй аргумент vpa задает удерживаемое число значащих цифр только для данного вызова vpa. Для глобальной установки применяется функция digits, во входном аргументе которой указывается требуемое количество цифр.

Важно понимать, что выходной аргумент функции vpa является символьной переменной:

>> whos cn

Name Size Bytes Class Attributes

cn 1x1 266 sym

Для перевода символьных переменных в числовые, т.е. переменные типа double array, используется функция double:

>> cnun=double(cn)

cnun =

1.414213562373095e+000



3 ГРАФИЧЕСКОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ

Визуализация символьной функции одной переменной осуществляется при помощи ezplot. Самый простой вариант использования ezplot состоит в указании символьной функции в качестве единственного входного аргумента, при этом в графическое окно выводится график функции на отрезке [-2р, 2р]

>> f=sym('x^2+sin(x)');

>> ezplot(f)

По умолчанию в качестве отрезка, на котором строится график, принимается промежуток пересечения области определения функции и интервала [-2р,2р].

Рисунок 3.1 - График функции f=x^2+sin(x)

Вторым аргументом может быть задан вектор с границами отрезка, на котором требуется построить график функции

>> ezplot(f,[-3,2])

Рисунок 3.2 - График функции f = x^2+sin(x) на [-3;2]

Функция ezplot имеет некоторые отличия от своего аналога - функции fplot, применяемой к числовым функциям. В частности, возможно указание символьной функции, зависящей от двух аргументов:

>> z=sym('x^2+y^3');

>> ezplot(z,[-2 1 -3 4])

Рисунок 3.3 - График функции f = x^2+y^2

В данном случае выведется линия, на которой исследуемое выражение равно нулю.

Замечание:

Пределы изменения определяются названиями аргументов. Первые два числа соответствуют первому по алфавиту аргументу, а последние - второму, например в ezplot (z, [-2 1 -3 4]),где z = sym('x^2 + а^3'), считается, что а изменяется от -2 до 1, а х - от -3 до 4.

При помощи ezplot возможно также отображение параметрически заданных функций. Symbolic Math Toolbox предоставляет пользователю целый набор средств для визуализации символьных функций: ezmesh, ezmeshc, ezplot, ezplot3, ezpoiar, ezsurf, ezsurfс. Функция ezsurf отображает график символьной функции только для допустимых значений аргументов, остальные значения отбрасываются, что позволяет исследовать область определения функции двух переменных. Например, обращение

>> ezsurf('asin(x^y)',[0 6 -7 7])

приводит к графику, изображенному на рисунке:

Рисунок 3.4 - График функции f = asin(x^y)



4 УПРОЩЕНИЕ, ПРЕОБРАЗОВАНИЕ И ВЫЧИСЛЕНИЕ ВЫРАЖЕНИЙ

Сложные алгебраические и тригонометрические выражения нередко могут быть приведены к эквивалентным путем упрощения. Symbolic Math Toolbox имеет ряд сервисных функций, предназначенных для различных преобразований символьных выражений. Пользователь может производить как стандартные операции над полиномами, так и использовать более общий алгоритм, предназначенный для упрощения выражений, которые содержат встроенные символьные функции.

Операции с полиномами реализуют четыре функции: collect, expand, homer и factor. Вычисление коэффициентов при степенях независимой переменной производится с использованием функции collect. Введем полином и отобразим eго в командном окне при помощи pretty.

>> p=sym('(x+a)^4+(x-1)^3-(x-a)^2-a*x+x-3');

>> pretty(p)

3 4 2

x + (x-1) - ax + (a+x) - (a-x) - 3

Преобразуем р к виду, содержащему степени х с соответствующими коэффициентами:

>> pc=collect(p);

>> pretty(pc)

3 2 2 3 2 4

x (4a+1) + x (6a -4 ) + x(4a +a +4) - a + a + x - 4

По умолчанию в качестве переменной выбирается х, однако можно было считать, что а - независимая переменная, а х входит в коэффициенты полинома, зависящего от а. Второй аргумент функции collect предназначен для указания переменной, при степенях которой следует найти коэффициенты

>> pca=collect(p,'a');

>> pretty(pca)

3 3 2 2 4 3

x + (x-1) + 4ax + a(6x-1) + a + a(4x + x) - x + x - 3

Функция expand представляет полином суммой степеней без приведения подобных слагаемых:

>> pe=expand(p);

>> pretty(pe)

4 3 2 2 2 3 4 3 2

a + 4 a x + 6 a x - a + 4 a x + a x + x + x - 4 x + 4x - 4

Аргументом expand может быть не только полином, но и символьное выражение, содержащее тригонометрические, экспоненциальную и логарифмическую функции, например

>> f=sym('sin(arccos(3*x))+exp(2*log(x))');

>> fe=expand(f);

>> pretty(fe)

2 2 1/2

x + (1 - 9 x )

Символьные полиномы разлагаются на множители функцией factor, если получающиеся множители имеют рациональные коэффициенты

>> p=sym('x^5+13*x^4+215/4*x^3+275/4*x^2-27/2*x-18');

>> pf=factor(p);

>> pretty(pf)

(2x+1)(2x-1)(x+6)(x+4)(x+3)

-----------------------------

4

Представление числа в виде произведения простых чисел также выполняется при помощи factor:

>> syms a

>> a=sym('230010');

>> s=factor(a)

s =

2*3*5*11*17*41

Обратим внимание, что обращение

>> s1=factor(230010)

s1 =

(2) (3) (5) (11) (17) (41)

выводит в командное окно аналогичный результат, но переменная s является символьной, a si - вещественной, поскольку для объектов класса sym метод factor переопределен.

Упрощение выражений общего вида производится при помощи функций simple и simplify, которые основаны на разных подходах. Функция simplify реализует мощный алгоритм упрощения выражений, содержащих как тригонометрические, экспоненциальную и логарифмическую функции, так и специальные: гипергеометрическую, Бесселя и гамма-функцию. Кроме того, simplify способна преобразовывать выражения, содержащие символьное возведение в степень, суммирование и интегрирование. Алгоритм, заложенный в simple, пытается получить выражение, которое представляется меньшим числом символов, чем исходное, последовательно применяя все функции упрощения Toolbox.

Функция subs позволяет произвести подстановку одного выражения в другое. В общем виде subs вызывается с тремя входными аргументами: именем символьной функции, переменной, подлежащей замене, и выражением, которое следует подставить вместо переменной. Функция subs, в частности, облегчает ввод громоздких символьных выражений, имеющих определенную структуру:

>> f=sym('(a^2+b^2)/(a^2-b^2)+a^4/b^4');

>> f=subs(f,'a','(exp(x)+exp(-x))');

>> f=subs(f,'b','(sin(x)+cos(x))');

>> pretty(f)

4 2 2

(exp(-x)+exp(x)) (cos(x)+sin(x))+(exp(-x) + exp(x))

------------------- - ----------------------------------------

4 2 2

(cos(x) + sin(x)) (cos(x)+sin(x))-(exp(-x) + exp(x))

Заметим, что необязательно было производить подстановку сначала для а и затем для b. Одновременная замена переменных соответствующими выражениями требует указания массивов ячеек в фигурных скобках.

Последовательность команд

>>f=subs(f,{'a','b'},{'(exp(x)+exp(x))','(sin(x)+cos(x))'});

>> pretty(f)

обеспечивает тот же самый результат.

Подстановка вместо переменной ее числового значения приводит к вычислению символьной функции от значения аргумента, например:

>> f=sym('exp(x^3+2*x^2+x+5)');

>> q=subs(f,'x',1.1)

q =

1.897732263918382e+004

Число можно заменить его символьным представлением и затем найти значение функции с произвольной точностью при помощи vpa:

>> q=subs(f,'x','1.1')

q =

18977.32263918380228952284447214

>> vpa(q,50)

ans =

18977.322639183802289522844472139578548917101383678



ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В результате проведенного исследования были выполнены задачи:

изучены понятия переменных и функций;

рассмотрение способов представления матриц и векторов и работа сними;

были представлены графики функций;

систематизированы изученные данные.

В состав Matlab входит Symbolic Math Toolbox, предназначенный для вычислений в символьном виде. Преобразование выражений, разыскание аналитического решения задач линейной алгебры, дифференциального и интегрального исчисления, получение численного результата с любой точностью - вот далеко не полный перечень возможностей, предоставляемых данным Toolbox.

В целом Matlab - это уникальная коллекция реализаций современных численных методов для компьютеров, созданных за последние три десятка лет. Она вобрала в себя опыт, правила и методы математических вычислений, накопленные за тысячи лет развития математики.

Возможности Matlab весьма обширны, а по скорости выполнения задач система нередко превосходит своих конкурентов. Она применима для расчетов практически в любой области науки и техники и широко используется при математическом моделировании физических устройств и систем, относящихся к механике, в частности, к динамике, гидродинамике и аэродинамике, акустике и т.д.



СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ

1. Ануфриев, Е.И. Matlab 7; учебник / Е. И. Ануфриев.- СПб.: БХВ-Петербург, 2005. - 1104 с.

2. Дьяконов, В. Matlab6, учебник / В. Дьяконов. - СПб.: Питер, 2001. - 502 с.

3. Кетков, Ю. Matlab 7, учебник / Ю. Кетков. - СПб.: БХВ-Петербург, 2005. - 747 с.

4. Половко, А. М. Matlab для студентов / А. М. Половко. - М. : Инфра, 2005.? 320 с.

Размещено на Allbest.ru

...