Метрология, стандартизация и технические измерения

Размещено на http://www.allbest.ru/

Федеральное агентство по образованию

Министерство образования и науки Российской

федерации Рыбинский государственный

авиационный технический университет

имени П.А. СОЛОВЬЕВА

Факультет заочного обучения

Кафедра радиоэлектронных и телекоммуникационных систем

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА

по дисциплине

Метрология, стандартизация и технические измерения

Вариант №9

Студент группы …………………………………...

(Подпись, дата)

Руководитель канд. техн. наук, доцент …………….. (Дворсон А. И.)

(Подпись, дата)

Рыбинск 2013

Задача 1

Многократные прямые измерения ряда параметров некоторого сложного объекта дали результаты, представленные в таблице 1-10. Построить гистограмму и полигон распределения параметра как случайной величины, найти теоретический закон распределения, проверить гипотезу о его соответствии экспериментальным данным при уровне значимости 0,05

Исходные данные:

Таблица 1.9 Время срабатывания, мс

16	68	3	31	29	4	9	15	35	7
14	56	9	21	5	14	10	2	17	37
6	5	15	8	28	33	8	25	6	7
13	11	5	16	48	22	6	26	19	9
1	20	80	57	7	49	5	45	6	2
13	18	9	3	30	11	10	52	0	35
8	4	2	64	34	15	7	22	1	4
1	36	17	2	12	3	44	12	4	23
32	14	1	27	13	25	1	10	8	26
41	24	11	28	12	38	3	39	19	18

Решение:

1. Максимальное и минимальное значение параметра

n = 100

X_min = 0

X_max = 80 мс

2. Находим количество интервалов гистограммы по формуле 1.1.

(1.1)

3. Находим ширину интервала по формуле 1.2.

(1.2)

мс

4. Разделяем интервалы, определяем количество значений m_j, попавших в каждый j-тый интервал, частоту попадания P^*_j по формуле 1.3 и высоту прямоугольников h_j гистограммы по формуле 1.4. Результаты вычислений заносим в таблицу 1.2

P^*_j = m_j/100 (1.3)

h_j = P^*_j/d (1.4)

Таблица 1.2 Интервалы для построения гистограммы

j	1	2	3	4	5	6	7	8
tj - tj+1,mc	0-10	10-20	20-30	30-40	40-50	50-60	60-70	70-80
mj	41	24	14	10	5	3	2	1
P*j	0,41	0,24	0,14	0,10	0,05	0,03	0,02	0,01
hj, мс-1	0,041	0,024	0,014	0,01	0,005	0,003	0,002	0,001

5. Построим гистограмму распределения (с помощью программы Excel) на основании полученной таблицы.



Рисунок 1.1 Гистограмма распределения величины Х

6. Строим полигон через середину верхней границы каждого прямоугольника гистограммы (рисунок 1.2).

Рисунок 1.2 Полигон распределения величины Х

7. Теоретически внешний вид гистограммы соответствует показательному закону распределения (формула 1.5).

P(x) = л * exp(-л*X) (1.5)

где л - обратная величина от среднего арифметического значения Х

Получаем: P(X) = 0.0533 exp(-0.0533X) (1.6)

8. Построим теоретический закон распределения (рисунок 1.3)

Рисунок 1.3 - Теоретический закон распределения

9. Оценим правильность выдвинутого закона с помощью критерия согласия Пирсона по формуле 1.7.

, (1.7)

параметр распределение интервал погрешность

где P_j^* - статическая вероятность, P_j - вероятность по теоретическому закону распределения.

(1.8)

мс

Найдем в таблице критических точек распределения ч² граничное значение ч²_кр с уровнем значимости 0,05 и числом степеней свободы l=N-r-1=8-1-1=6. Оно равно 12,6.

Так как ч² < ч²_кр , следовательно закон распределения P(x) имеет вид, представленный формулой 1.6.

Ответ: закон распределения случайной величины х:

P(X) = 0.11086 exp(-0.11086X),

при уровне значимости 0,05 соответствует экспериментальным данным.

Задача 2

Многократные независимые равноточные измерения ряда параметров электрических сигналов дали результаты, представленные в таблице 2.1. Определить доверительный интервал, между границами которого с доверительной вероятностью Р = 0,99 находиться истинное значение данного параметра, а также относительную квадратичную погрешность результата измерения.

Таблица 2.1 Результаты измерений параметров электрического синала

Параметр электрического сигнала	Результаты измерений
Амплитуда, мкВ	8801; 8805; 8814; 8793; 8798; 8819; 8831; 8787; 8770; 8777; 8825; 8818; 8775; 8794; 8808; 8812; 8789; 8800; 8794; 8822; 8782; 8796; 8813; 8781

Решение:

1. Находим среднее арифметическое по формуле 2.1.

, (2.1)

где n - число измерений.

(2.2)

2. Находим остаточные погрешности х_j по формуле 2.3.

х_j = x_j - (2.3)

х₁ = 8801 - 8800.16666 = 0.833333 мкВ

х₂ = 8805 - 8800. 16666 = 4.833333 мкВ

х₃ = 8814 - 8800. 16666 = 13,833333 мкВ

х₄ = 8793 - 8800. 16666 = - 7,166666 мкВ

х₅ =8798 - 8800. 16666 = -2,166666 мкВ

х₆ = 8819 - 8800. 16666= 18,833333 мкВ

х₇ = 8831 - 8800. 16666 = 30,833333 мкВ

х₈ = 8787 - 8800. 16666 = -13,166666 мкВ

х₉ = 8770 - 8800. 16666 = - 30,166666 мкВ

х₁₀ = 8777 - 8800. 16666 = - 23,166666 мкВ

х₁₁ = 8825 - 8800. 16666 = 24,833333 мкВ

х₁₂ = 8818 - 8800. 16666 = 17,833333 мкВ

х₁₃ = 8775 - 8800. 16666 = - 25,166666 мкВ

х₁₄ = 8794 - 8800. 16666 = -6,166666 мкВ

х₁₅ = 8808 - 8800. 16666 = 7,833333 мкВ

х₁₆ = 8812 - 8800. 16666 = 11,833333 мкВ

х₁₇ = 8789 - 8800. 16666 = -11,166666 мкВ

х₁₈ = 8800 - 8800. 16666 = -0,1166666 мкВ

х₁₉ = 8794 - 8800. 16666 = - 6,166666 мкВ

х₂₀ = 8822 - 8800. 16666 = 21,833333 мкВ

х₂₁ = 8782 - 8800. 16666 = - 18,166666 мкВ

х₂₂ = 8796 - 8800. 16666 = - 4,166666 мкВ

х₂₃ = 8813 - 8800. 16666 = 12,833333 мкВ

х₂₄ = 8781 - 8800. 16666 = - 19,166666 мкВ

3. Проверяем свойства вероятностей по формулам 2.4 и 2.5.

4. Оцениваем среднеквадратичное отклонение по формуле 2.6.

(2.6)

мкВ (2.7)

5. Оцениваем среднеквадратичное отклонение среднего арифметического по формуле 2.8.

(2.8)

мкВ (2.9)

6. Находим величину Д₁₂ для определения доверительного интервала по формле 2.10.

, (2.10)

где k - значение функции Лапласа, так как в нашем случае количество измерений больше 20.

мкВ (2.11)

7. Находим доверительный интервал по формуле 2.12.

(2.12)

8637,45 мкВ < X₀ < 8962.88 мкВ (2.13)

8. Находим относительную квадратичную погрешность результата измерения по формуле 2.14.

(2.14)

мкВ (2.15)

Ответ: Доверительный интервал равен 8637,45 мкВ < X₀ < 8962.88 мкВ, относительная квадратичная погрешность равна 0.00076 мкВ.

Задача 3

Производятся прямые измерения неких параметров X и Y, после чего по формулам Z₁ = X^mYⁿ и Z₂ = Xⁿ/Y^m, где m и n - соответственно предпоследняя и последняя цифры номера зачетной книжки студента (в случае цифры ноль принимать соответствующее значение равным 10), рассчитываются результаты косвенных измерений физических величин Z₁ и Z₂. Найти коэффициенты влияния относительных погрешностей прямых измерений на относительную погрешность результатов косвенных измерений.

Решение:

Z₁ = x²y⁵

Z₂ = x⁵/y² = x⁵y^-2

Коэффициенты влияния находятся по формулам 3.1 и 3.2.

(3.1)

(3.2)

1. Находим коэффициенты для Z₁.



2. Находим коэффициенты для Z₂.

Ответ: y_x1 = 2; B_y1 = 5; y_x2 = 5; B_y2 = - 2.

Задача 4

Произведены совместные измерения информационных параметров входной неэлектрической (перемещение, мм) и выходной электрической величин измерительного преобразователя (датчика перемещения) с целью определения его функции преобразования. Результаты эксперимента представлены в таблице 4.1. Найти аналитическое выражение функции преобразования и значения входящих в ее состав числовых параметров интерполяционным методом и методом наименьших квадратов, построить графики двух аппроксимирующих функций совместно с экспериментальными точками, оценить точность аппроксимации тем и другим методами.

Таблица 4.1 Результаты совместных измерений информационных параметров датчика перемещения.

№ п/п	Информационный параметр	Результаты измерений
0	Перемещение, мм	0.0; 1.0; 2.0; 3.0; 4.0; 5.0; 6.0; 7.0; 8.0; 9.0
5	Частота, кГц	0.0; 3.0; 4.8; 6.1; 7.0; 7.8; 8.5; 9.0; 9.5; 9.9

Решение:

1. Построим график экспериментальных точек (рисунок 4.1).

2.

Рисунок 4.1 - График экспериментальных точек

2. Представим функцию в виде ax²+bx+c=p. Нужно найти коэффициенты a, b, c. Найдем их с помощью интерполяционного метода. Выбираем три произвольных точки на графике (т. к. 3 коэффициента требуется найти) и составим систему уравнений.

Точка (1;3)

a + b + с = 3 (4.1)

Точка (5; 7.8)

25a + 5b + с = 7.8 (4.2)

Точка (9; 9,9)

81a + 9b + c = 9,9 (4.3)

(4.4)

Решаем систему, представленную формулой 4.4.

а = - 0,084 кГц/мм²

b = 1.706 кГц/мм

c = 1.378 кГц

Подставляем полученные значения:

- 0.084x² + 1.706x+1.378 = p₁

3. Оцениваем точность по формуле 4.5.

(4.5)

г_ср = 20,4 %

4. Находим коэффициенты методом наименьших квадратов. Систему составляем по формуле 4.7.

 (4.7)

Решаем систему представленную формулой 4.7.

a = -0,122 кГц/мм²

b = 2,096 кГц/мм

с = 0,625 кГц

Подставляем полученные коэффициенты.

- 0,122х² + 2,096х +0,625 = р₂

5. Оцениваем точность по формуле 4.5.

г_ср = 4,296 %

6. Строим графики получившихся функций (рисунок 4.2).



Рисунок 4.2 - Графики аппроксимирующих функций

Вывод: Так как средняя погрешность при расчете методом наименьших квадратов меньше, чем погрешность при интерполяционном методе, то наиболее точным является метод наименьших квадратов.

Список использованных источников

1 Метрология, стандартизация и сертификация: Программа учебной дисциплины и методические указания к выполнению контрольной работы / Сост. А. И. Дворсон; РГАТА. - Рыбинск, 2005 г. - 15 с.

2 Дворсон А.И. Метрология и радиоизмерения: Конспект лекций. Часть 1; РГАТА - Рыбинск, 1995 г. - 65 с.

3 Гмурман В. Е. Теория вероятностей и математическая статистика. - М.: Высш. шк, 1999. - 479 с.

Размещено на Allbest.ru

...