Размещено на http://www.allbest.ru/

Установить точки разрыва функции: составить уравнение асимптот

Область определения.

Все предусмотренной формулой функции операции, кроме деления, - т.е. операции сложения и возведения в натуральную степень - выполняются при любых значениях аргумента х, а деление возможно, если делитель не равен нулю. Поэтому данная функция определена, если знаменатель задающей ее дроби не равен нулю: если , т.е. если . Таким образом,

.

Вертикальные асимптоты.

Поскольку вертикальные асимптоты следует искать лишь в точках разрыва данной функции, единственным «кандидатом» в нашей задаче является прямая .

Покажем это:

Значит х=1 точка разрыва 2-го рода и является вертикальной асимптотой.

Наклонные и горизонтальные асимптоты.

Уравнение наклонной асимптоты графика функции имеет вид



; .

В частности, получается, что если , а при этом существует, по этим формулам находится горизонтальная асимптота .

Выясним наличие наклонных асимптот.

;

- уравнение горизонтальной асимптоты.

Построить плоскость фигуры ограниченной линиями:

графиком функции является парабола, ветви которой направлены вверх.

Найдем координаты вершины параболы

(0; 2) - координаты вершины параболы.

- графиком функции является прямая.

Найдем точки пересечения f(x) и g(x)



(-2; 6) и (-1; 3) - координаты точек пересечения графиков функций.

Сделаем чертеж:

Так как дополнительное ограничение х=0, то будем вычислять площадь фигуры АВС.

Построить график функции

парабола экстремум интеграл уравнение

f(x) =

Продифференцировать данные функции:

Исследуйте функцию и постройте ее график.

1.Область определения.

Все предусмотренной формулой функции операции, кроме деления, - т.е. операции сложения и возведения в натуральную степень - выполняются при любых значениях аргумента х, а деление возможно, если делитель не равен нулю. Поэтому данная функция определена, если знаменатель задающей ее дроби не равен нулю: если , т.е. если . Таким образом, .

2)Точки пересечения с осями координат:

С осью ОХ т.е. у=0:

- точка пересечения с осою ОХ.

С осью ОУ т.е. х=0:

- точка пересечения с осою ОУ.

3) Исследуем на четность нечетность. Проверим выполнимость равенств: если f(-x) = f(x), то функция четная, если f(-x) = -f(x), то функция нечетная, при хD(y). Если равенства не выполняются, то функция ни четная ни нечетная.

Функция четная

4)Исследуем на наличие асимптот.

Вертикальные асимптоты.

Поскольку вертикальные асимптоты следует искать лишь в точках разрыва данной функции, единственным «кандидатом» в нашей задаче является прямая х=-2 и х=2.

Наклонные и горизонтальные асимптоты.

Уравнение наклонной асимптоты графика функции имеет вид

,

; .

В частности, получается, что если , а при этом существует, по этим формулам находится горизонтальная асимптота .

Выясним наличие наклонных асимптот.

;

- уравнение горизонтальной асимптоты.

Найдем экстремумы и интервалы монотонности. Действуем по следующей схеме.

Вычислим первую производную данной функции:

(0; 0) - точка подозрительная на экстремум.

Исследуем поведение функции справа и слева от подозрительной точки и точек в которых функция не существует.

Значит на промежутке [0; 2) и (2;) функция убывает, а на промежутке и (-; -2) и (-2; 0) функция возрастает.

Занесем полученные данные в таблицу

х	(-; -2)	-2	(-2; 0)	0	[0; 2)	2	(2;)
у?	+		+	0	-		-
у				т. max

(0; 0) - точка максимума.

6.Найдем интервалы выпуклости функции и точки перегиба.

Для этого поступаем так.

Вычислим вторую производную данной функции:

Точек перегиба нет.

Исследуем поведение функции справа и слева от точек в которых функция не существует.

х	(-; -2)	-2	(-2; 2)	2	(2;)
у??	+		-		+
у

Исследовать на экстремум функцию двух переменных

z = x3 + ху2 + 6ху

Найдем стационарные точки (точки подозрительные на экстремум), используя необходимые условия экстремума,:

Получаем две точки подозрительные на экстремум М и L

Исследуем функцию на экстремум в точке М, L используя достоточные условия экстрэмума.

Сформулируем достаточные условия существования экстремума в стационарной точке.

Обозначим через значения производных

в стационарной точке (х, у). Если

В нашем случае:

Тогда для М



Так как

и , то M- точка максимума функции z.

Тогда для L

Так как

и , то L - точка минимума функции z.

Ответ: M- точка максимума функции z, L - точка минимума функции z.

Найти производную по направлению от М1 к М2, градиент скалярного поля в точках М1(1; 1; 1) и М2(5; -4; 8)

Так как функция дифференцируема в точке М1, то в этой точке существует ее производная по любому направлению , которая определяется формулой



Находим координаты вектора

Находим единичный вектор (орт) :

Вычисляем частные производные функции в точке

М1(1; 1; 1):

Подставим полученное значение в формулу и вычисляя скалярное произведение получим.

Вычислите следующие интегралы:

а) ; б) ; в) ;

а)

б)

в)

Найти площадь фигуры, ограниченной графиками функций

- графиком функции является парабола, ветви которой направлены вверх.

Найдем координаты вершины параболы

(0; -1) - координаты вершины параболы.

- графиком функции является прямая.

Найдем точки пересечения f(x) и g(x)

(-1; 0) и (2; 3) - координаты точек пересечения графиков функций.

Сделаем чертеж:

На промежутке [-1; 2]

Вычислим площадь фигуры с пределами интегрирования а=-1 и b=2.

Ответ:

Вычислить определенный интеграл:

- по формуле Ньютона-Лейбница;

- по формулам: прямоугольников, трапеций и Симпсона с точностью 0,001;

- Сравните полученные результаты.



Формула Ньютона-Лейбница

Формула прямоугольников:

Предельная погрешность формулы:

Разобьем интервал на 8 промежутков

45, 50, 60, 65, 70, 75, 80, 85, 90

f(450)=2, f(500)=1,7, f(550)=1,49, f(600)=1,33, f(650)=1,22, f(700)=1,132, f(750)=1,07, f(800)=1,03, , f(850)=1,008, f(900)=1.

Предельная погрешность формулы:

Формула трапеции:

Предельная погрешность формулы:

Предельная погрешность формулы:



Формула Симпсона:

Решить дифференциальное уравнение:

Составим характеристическое уравнение

Общее решение однородного уравнения

Составим характеристическое уравнение

Общее решение однородного уравнения

Приняв h = 0,1 методом Эйлера решить задачу Коши для каждого из уравнений. Найти точное решение, построить график.

Делим промежуток на 10 равных частей, так что

х0=0, у0=1

По формуле:

И т. д. Вычисления располагаются по следующей схеме:

х	у
0	1
0,1	1,21
0,2	1,44
0,3	1,69
0,4	1,96
0,5	2,25
0,6	2,56
0,7	2,89
0,8	3,24
0,9	3,61
1	4

Из первых двух столбцов составляется таблица приближенного вычисления.

Найти изображение функций оригинала.

Найти оригиналы, для данных изображений:

Функция не существует в точках х = -1, х = -3, х = 1.

Решить ДУ операторным методом.

Составим характеристическое уравнение

Общее решение однородного уравнения

Общее решение дифференциального уравнения

Частное решение дифференциального уравнения

Ответ:

Найти область сходимости степенного ряда



Решение:

Найдем радиус сходимости

Найдем интервал сходимости

- интервал сходимости

Исследуем сходимость ряда на концах интервала

При х = 4/5 ряд сходится при х = 4/5.

При х = -4/5 знакочередующийся ряд.

Воспользуемся признаком Лейбница для выяснения сходимости ряда

Знакопеременный ряд сходится, если его члены стремится к 0, все время убывая по абсолютному значению

- по предельной теореме сравнения ряд из модулей расходится

Ряд знакочередующийся с

Члены ряда убывают по абсолютной величине:

Все члены ряда стремятся к 0 при

По признаку Лейбница ряд в точке -4/5 сходится условно.

Ответ: радиус сходимости R = 4/5; интервал сходимости [-4/5; 4/5].

Разложить в ряд Фурье функцию.

Функция разрывна при х = 0, где у нее скачок.

- функция стремится к 0 слева.

- функция стремится к 0 справа.

Находим коэффициенты Фурье (функция f(x) - нечетная):

Ряд Фурье имеет вид:



Для функции f(x), заданной таблицей найти f / (x),а также их значения в точке х = х0. Составить многочлен Лагранжа

х	1	2	3
у	-10	16	18

Функция f(x) предположительно задается формулой:

Тогда:

Можем составить систему и найти коэффициенты а, b, с по формулам Крамера.

Найдем определитель матрицы:

- значит система имеет решение.

теперь воспользуемся формулами Крамера:

Тогда функция имеет вид:

Найдем f / (x), а также значения производной в точке х = х0.

Составим многочлен Лагранжа:

Если функция f(x) обладает в замкнутом промежутке (a; b) производными до (n+1)-го порядка включительно, то:

Список использованной литературы

1.Выгодский М. Я. Справочник по высшей математике. - М.: АСТ: Астрель, 2006. - 991с.

2.Зимина О. В., Кириллов А. И., Сальникова Т. А. Высшая математика. Под ред. А. И. Кирилова. - 3-е изд., испр. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2006. - 368с.

3.Выгодский М. Я. Справочник по элементарной математике. - М.: АСТ: Астрель, 2007. - 509с.

4.Красс М. С., Чупрыков Б. П. Математика для экономистов. - СПб.: Питер 2007. - 464с.

Размещено на Allbest.ru

...