Проверка совместности системы уравнений

Размещено на http://www.allbest.ru/

Задание 1

матрица алгебраический скалярный вектор множитель

Проверить совместность системы уравнений и в случае совместности решить ее:

а) по формулам Крамара

б) с помощью обратной матрицы

в) методом Гаусса.

Выполнить проверку.

Решение:

а) по формулам Крамара

Найдем определитель матрицы:

- значит система имеет решение.

теперь воспользуемся формулами Крамара:

Получаем:

Сделаем проверку:

Равенство выполнено, значит, уравнение решено верно.

б) с помощью обратной матрицы

Обозначим через А - матрицу коэффициентов при неизвестных; Х - матрицу-столбец неизвестных Х₁, Х₂, Х₃; Н - матрицу-столбец свободных членов:

, ,

С учетом этих обозначений данная система принимает следующую матричную форму:

А•Х = Н.

Если матрица не вырожденная (ее определитель отличен от 0), то она имеет обратную матрицу А^-1. Х = А^-1•Н.

Для нахождения решения системы уравнений необходимо вычислить обратную матрицу А^-1.

Пусть имеем невырожденную матрицу:

.

Тогда

Где А_ij - алгебраическое дополнение элемента a_ij в определителе матрицы А, которое является произведением (-1)^i+j на минор (определитель) второго порядка, полученный вычеркиванием i-й строки и j-го столбца в определителе матрицы А.

Вычислим определитель и алгебраические дополнения

- следовательно матрица А имеет обратную матрицуА^-1.

Теперь можем найти решение данной системы:

Х=А¹•Н=

Значит:

в) методом Гаусса.

Запишем расширенную матрицу

Помножим первую строку на (-2) и сложим со второй и третьей

Помножим вторую строку на (-1) и сложим с первой. Помножим вторую строку на 4 и сложим с третьей

Помножим третью строку на (10/33) и сложим с первой. Помножим третью строку на (-7/33) и сложим со второй.

Получаем:

Ответ: (3; 0; -1)

Задание 2

I. По координатам точек А(-3; 5; 0), В(2; 1; 0), С(-5; 8; -3)

Найти:

а) Модуль вектора ;

б) Скалярное произведение векторов .

Если

Решение:

1) Если даны точки М₁(х₁; у₁; z₁) и М₂(х₂; у₂; z₂), то координаты вектора находятся по формуле:



Найдем координаты вектора

Модуль вектора вычисляется по формуле:

б) скалярное произведение найдем по формуле:

Ответ: а) ; б)

II. Доказать, что векторы образуют базис и найти координате вектора в этом базисе.

Решение:

Векторы образуют базис, если их смешанное произведение не равно 0.

- значит, векторы образуют базис.

Найдем координаты вектора в базисе .

Найдем матрицу перехода

Для этого найдем обратную матрицу А^-1.

Сделаем проверку:

- единичная матрица

А^-1А=Е



Значит обратная матрица вычислена верно.

Теперь найдем координаты вектора в базисе по формуле:

Ответ: .

Задание 3

Даны вершины треугольника АВС с координатами А(-6; 8), В(6; -1), С(4; 13).

Найти:

1) длину стороны АВ;

2) уравнение сторон АВ и ВС и их угловые коэффициенты;

3) внутренний угол В в радианах с точностью до 0,01;

4) уравнение высоты СD;

5) уравнение медианы АМ и координаты точки К пересечения этой медианы с высотой СD;

6) уравнение прямой, проходящей через точку К, параллельно АВ;

7) сделать чертеж.

Решение:

1. Расстояние d между точками М₁(х₁; у₁) и М₂(х₂; у₂) определяется по формуле:

Найдем длину стороны АВ

2. Уравнение прямой проходящей через точки М₁(х₁; у₁) и М₂(х₂; у₂) имеет вид:

Найдем уравнение прямой АВ:

-9х - 54 = 12у - 96, 9х + 12у - 42 = 0

3х + 4у - 14 = 0 - уравнение прямой АВ.

Для нахождения углового коэффициента k_АВ прямой АВ разрешим полученное уравнение относительно у:

 k_АВ = -.

Найдем уравнение прямой ВС:

-7х + 42 = у + 1, 7х + у - 41 = 0 - уравнение прямой ВС.

Для нахождения углового коэффициента k_ВС прямой ВС разрешим полученное уравнение относительно у: k_ВС = .

3. Угол б угловые коэффициенты которых равны k₁ и k₂, определяется по формуле:

Угол В, образованный прямыми ВА и ВС, найдем по указанной формуле:

В = arctg (1) = 45 ? 0,78 рад.

4. т.к. высота СD перпендикулярна стороне АВ, то угловые коэффициенты этих прямых обратные по величине и противоположны по знаку, т.е.

k_СD = .

Уравнение прямой, проходящей через данную точку М₁(х₁; у₁) с угловым коэффициентом k, имеет вид:

у - у₁ = k(х - х₁).

Подставим в данное уравнение координаты точки С и k_СD = , получим уравнение высоты СD:

у - 13 = (х - 4), 3у - 39 = 4х - 16, 4х - 3у + 23 = 0

5. Уравнение медианы АМ. Т. к. АМ медиана, то М середина ВС. Найдем координаты т. М по формуле:

(х - а)² + (у - b)² = R².

Следовательно,

Найдем уравнение прямой АМ:

-2х - 12 = 11у - 88, 2х + 11у - 76 = 0 - уравнение медианы АМ.

Так как К - точка пересечения прямых АМ и СD найдем ее координаты решив систему.



К(-0,5; 7)

6) уравнение прямой, проходящей через точку К, параллельно АВ

Уравнение прямой проходящей через точки М₁(х₁; у₁) и параллельная прямой Ах+Ву+С=0, представляется уравнением А(х-х₁)+В(у-у₁)=0.

Поэтому:

3(х+0,5) + 4(у-7) = 0; 3х+1,5+4у - 28=0

3х+4у - 26,5=0 - уравнение прямой параллельной АВ и проходящей через точку К.

Задание 4

Вычислить пределы:

Решение:

а) Вычислим предел подставив в него -2:

б) Вычислим предел подставив в него -1:

- неопределенность.

Для устранения неопределенности разложим числитель и знаменатель дроби на множители по формулам:

ах² + bx + с = 0

ах² + bx + с = а(х-х₁)(х-х₂)

Тогда получим:

= 0

=3• (х + 1)(х -)

=0

=2• (х + 1)(х -)

Получаем:

в) Вычислим предел подставив в него ?:

- неопределенность.

Для устранения неопределенности разделим числитель и знаменатель на х². Это можно сделать так как значение дроби не изменится если ее числитель и знаменатель разделить на одно и тоже ненулевое число.

г) Вычислим предел подставив в него 0:

- неопределенность.

Для устранения неопределенности применим формулы 1-го замечательного предела:

;

д) Вычислим предел подставив в него 0:

- неопределенность.

Для устранения неопределенности применим формулы 2-го замечательного предела:

Задача 5

Найти производные функций

Решение:

Производная показательной функции вычисляется по формуле:

(а^х)? = а^х •lna



Задача 6

Исследовать функцию методом дифференциального исчисления и построить ее график.

Решение:

1) Область определения:

Функция определена и непрерывна на всей числовой прямой т.к. х² + 5 ? 0

2) Точки пересечения с осями координат:

С осью ОХ т.е. у=0:

(0; 0) - точка пересечения с осою ОХ.

С осью ОУ т.е. х=0:

(0; 0) - точка пересечения с осою ОУ.

3) Исследуем на четность нечетность. Проверим выполнимость равенств: если f(-x) = f(x), то функция четная, если f(-x) = -f(x), то функция нечетная, при хD(y). Если равенства не выполняются, то функция ни четная ни нечетная.

- функция четная.

4) Исследуем на наличие асимптот.

Вертикальных асимптот нет т.к. нет точек разрыва.

Наклонные асимптоты:

y = kx + b - уравнение наклонной асимптоты.

тогда

Таким образом получили уравнение горизонтальной асимптоты:

y = 0•x + 1

y = 1 - уравнение горизонтальной асимптоты.

5) Исследуем функцию на наличие точек экстремума (точек максимума и минимума), промежутки возрастания и убывания функции.

(0; 0) - точка подозрительная на экстремум.

- значит на промежутке (-; 0) функция убывает.

- значит на промежутке (0;) функция возрастает.

х	(-; 0)	0	(0;)
у?	-	0	+
у		т. min

(0; 0) - точка минимума.

5) Исследуем функцию на наличие точек перегиба, промежутки выпуклости и вогнутости функции.



Точки х₁ и х₂ подозрительные на перегиб.

х		-
у??	-	0	+	0	-
у		т. перегиба		т. перегиба

- координаты точек перегиба.



Список использованной литературы

1. Выгодский М.Я. Справочник по высшей математике. - М.: АСТ: Астрель, 2006. - 991 с.

2. Зимина О. В., Кириллов А.И., Сальникова Т. А. Высшая математика. Под ред. А.И. Кирилова. - 3-е изд., испр. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2006. - 368 с.

3. Выгодский М.Я. Справочник по элементарной математике. - М.: АСТ: Астрель, 2007. - 509 с.

4. Красс М.С., Чупрыков Б.П. Математика для экономистов. - СПб.: Питер 2007. - 464 с.

Размещено на Allbest.ru

...