Теоритические основы аксиоматики Вейля
"Единая теория поля" — первая подлинно геометризованная концепция, толкующая электромагнитное поле как геометрический феномен. Четыре группы аксиом Вейля и доказательства их справедливости с построением математических моделей систем.
| Рубрика | Математика |
| Вид | реферат |
| Язык | русский |
| Дата добавления | 26.03.2014 |
| Размер файла | 98,1 K |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Размещено на http://www.allbest.ru
Размещено на http://www.allbest.ru
Содержание
1. Введение
2. Аксиоматика Вейля
3. Аксиомы линейного векторного пространств
4. Аксиомы размерности
5. Аксиомы скалярного произведения векторов
6. Аксиомы откладывания векторов
7. Требования, предъявляемые к системе аксиом
8. Список литературы
Введение
Герман Вейль (1885--1955) вошел в науку в самом начале нашего века. Он относится к числу немногих великих ученых, сумевших оставить отпечаток своей индивидуальности почти во всех разделах математики. Достойный преемник своего учителя Давида Гильберта и яркий продолжатель традиций немецкой математической школы. Как ученый он сформировался под сильным влиянием Д. Гильберта особый интерес к математическим структурам фундаментальной физики, проблемам аксиоматики физических теорий, к построению единой теории поля. В 1918 г. в сочинении «Пространство, время, материя» Вейль разработал свой вариант «единой теории поля» -- фактически первую подлинно геометризованную концепцию, основанную на расширении Римановой геометрии и истолковании электромагнитного поля как геометрического феномена.
Аксиоматика Вейля
В аксиоматике Вейля два неопределяемых понятия: точка - элемент множества Т и вектор - элемент множества V.
Четыре основных отношения: сумма векторов, произведение вектора на действительное число, скалярное произведение векторов, откладывание вектора от точки.
Четыре группы аксиом:
I. Аксиомы линейного векторного пространства;
II. Аксиомы размерности;
III. Аксиомы скалярного произведения векторов;
IV. Аксиомы откладывания векторов.
Аксиомы линейного векторного пространства
Первая группа аксиом описывает отображение , называемое операцией сложения векторов, позволяет любым двум векторам и отнести третий вектор - их сумму так, что выполняются аксиомы: аксиома вейль электромагнитный феномен
V1: Сложение векторов коммутативно.
V2: Сложение векторов ассоциативно.
V3: Существует нулевой вектор такой, что для справедливо равенство.
V4: Для существует противоположный вектор такой, что .
Вторая группа аксиом описывает отображение , называемое операцией умножения вектора на число, при этом каждому вектору и числу однозначно отнести вектор , называемый произведением вектора на число , так что выполняются аксиомы:
Аксиомы линейного векторного пространства
V5: Операция умножения дистрибутивна по отношению к сложению векторов.
V6: Операция умножения дистрибутивна по отношению к сложению чисел.
V7: Операция умножения вектора на число ассоциативна.
V8: Операция умножения вектора на единицу не меняет вектора .
Теорема 1.5. Произведение любого вектора на число 0 равняется нулевому вектору.
Доказательство. С одной стороны, имеем . С другой стороны, прибавляя почленно к обеим частям полученного равенства вектор , противоположный к вектору , мы получим .Таким образом, , т.е.
Теорема 1.6. Противоположный вектор для вектора равен , т.е. .
Теорема 1.7. Произведение вещественного числа на нулевой вектор равняется нулевому вектору, т.е. .
Система векторов называется линейно зависимой, если равенство выполняется для некоторых постоянных , причем
Аксиомы размерности
D1: Существует три линейно независимых вектора , т.е. если .
D2: Любые четыре вектора линейно зависимы, т.е. если .
Всякая система трех линейно независимых векторов называется базисом данного трехмерного векторного пространства.
Теорема: Всякий вектор векторного пространства можно разложить, и притом единственным образом, по векторам базиса.
Числа x называются координатами вектора в базисе .
Аксиомы скалярного произведения векторов
Четвертая группа аксиом описывает отображение , называемое операцией скалярного умножения векторов, при этом любым двум векторам и однозначно сопоставляется число , называемое скалярным произведением двух векторов, так что выполняются аксиомы:
E1: Скалярное произведение векторов коммутативно.
E2: Дистрибутивность скалярного произведения векторов относительно сложения векторов
E3: Ассоциативность скаляра относительно произведения векторов .
E4. и .
Скалярное произведение векторов позволяет определить число называемое скалярным квадратом вектора .
Аксиомы откладывания векторов
Пятая группа аксиом описывает операцию откладывания вектора от точки, при этом любым упорядоченным двум точкам А и В однозначно сопоставляется вектор : , причем точка А называется начальной точкой вектора , а В - конечной. Для операции откладывания вектора от точки выполняются следующие аксиомы:
T1: Для каждой фиксированной точки А и каждого вектора существует единственная точка В такая, что .
T2: Для любых трех точек А, В, С справедливо равенство .
Требования, предъявляемые к системе аксиом
Основное требование, которое предъявляется к системе аксиом -- непротиворечивость. Это требование означает, что, во-первых, система аксиом не должна содержать двух каких-либо взаимоисключающих друг друга предложений. Во-вторых, в следствиях из системы аксиом не должно содержаться двух теорем, противоречащих друг другу.
Для выполнения первого условия необходимо проверить систему аксиом на наличие взаимоисключающих друг друга предложений. Второе условие проверить невозможно, так как число теорем, выведенных из данной системы аксиом, неограниченно. Поэтому, для того чтобы убедиться в непротиворечивости системы аксиом, надо построить модель этой системы.
Теорема: система аксиом Вейля непротиворечива, если непротиворечива арифметика действительных чисел.
Для доказательства построим математическую модель. Введем основные объекты: аксиома доказательство вейль математическая модель
1) векторы;
2) точка.
Введем основные отношения:
1) сложение двух векторов;
2) умножение вектора на скаляр;
3) скалярное произведение векторов;
4) бинарное отношение, принадлежность упорядоченной пары точек и вектора.
Убедимся в справедливости аксиом:
V1.
V2.
V3.
V4.
V5.
V6.
V7.
V8.
V1-V8-выполнены.
D1.
D2.
D1-D2-выполнены.
E1.
E2.
E3.
E4.
E1-E4-выполняются.
T1.
T2.
T1-T2-выполняются.
Список используемой литературы:
1. Егоров И.П. Лекции по аксиоматике Вейля и неевклидовым геометриям, пособие для студентов. Рязань, 1973
2. Основания геометрии. Геометрия Лобачевского: Учебно-методическое пособие/ Н.В. Эйрих, Д.В. Мостовая
Размещено на Allbest.ru
...Подобные документы
Теоретические основы аксиоматики Вейля. Непротиворечивость и категоричность аксиоматики Вейля, прямая, плоскость. Аксиоматика Вейля и школьная геометрия. Задачи, решаемые векторным способом. Виды задач о прямых и плоскостях, их решение и доказательство.
дипломная работа [673,4 K], добавлен 11.12.2012Изучение истории развития геометрии, анализ постулатов Евклида, аксиоматики Гильберта, обзор других систем аксиом геометрии. Характеристика неевклидовых геометрий в системе Вейля. Элементы сферической геометрии. Различные модели плоскости Лобачевского.
дипломная работа [245,5 K], добавлен 13.02.2010Элементы общей теории многомерных пространств. Понятие векторного многомерного пространства на основе аксиоматики Вейля. Евклидово векторное пространство. Четырёхмерное пространство, его пределение и исследование. Применение многомерной геометрии.
дипломная работа [1,0 M], добавлен 24.02.2010Аксиомы линейного векторного пространства. Произведение любого вектора на число 0. Аксиомы размерности, доказательство теоремы. Дистрибутивность скалярного произведения векторов относительно сложения векторов. Требования, предъявляемые к системе аксиом.
реферат [80,9 K], добавлен 28.03.2014Системи аксіом евклідової геометрії. Повнота системи аксіом евклідової геометрії. Арифметична реалізація векторної системи аксіом Г. Вейля евклідової геометрії. Незалежність системи аксіом Г. Вейля. Доведення несуперечливості геометрії Лобачевського.
курсовая работа [2,3 M], добавлен 10.12.2014Використання методу Полларда для вирішення проблеми дискретного логарифмування, його складність і час обчислення рішення ECDLP. Аномальні криві й криві над розширеннями малого поля. MOV-атака та суперсингулярні криві над полем F. Метод спуску Вейля.
реферат [269,5 K], добавлен 21.02.2011Изложение теории поля с помощью векторного анализа и составление пособия. Циркуляция векторного поля. Оператор Гамильтона и векторные дифференциальные операции второго порядка. Простейшие векторные поля. Применение теории поля в инженерных задачах.
дипломная работа [190,2 K], добавлен 09.10.2011Возникновение и развитие теории динамических систем. Развитие методов реконструкции математических моделей динамических систем. Математическое моделирование - один из основных методов научного исследования.
реферат [35,0 K], добавлен 15.05.2007Сущность математической теории скалярных и векторных полей, ее основные понятия и определения. Характерные черты и отличительные признаки скалярных и векторных полей, доказательства их главных теорем.
лекция [121,6 K], добавлен 11.02.2010Приемы построения математических моделей вычислительных систем, отображающих структуру и процессы их функционирования. Число обращений к файлам в процессе решения средней задачи. Определение возможности размещения файлов в накопителях внешней памяти.
лабораторная работа [32,1 K], добавлен 21.06.2013История развития алгебры как научной дисциплины. Расширения Галуа как универсальный метод решения уравнений любой степени. Определение понятия коммуникативной (абелевой) группы. Сущность кольца и его свойства. Примеры использования конечного поля.
реферат [50,0 K], добавлен 28.05.2014Происхождение термина "математика". Одно из первых определений предмета математики Декартом. Сущность математики с точки зрения Колмогорова. Пессимистическая оценка возможностей математики Г Вейля. Формулировка Бурбаки о некоторых свойствах математики.
презентация [124,5 K], добавлен 17.05.2012Порядок доказательства истинности заключения методом резолюции (с построением графа вывода пустой резольвенты) и методом дедуктивного вывода (с построением графа дедуктивного вывода). Выполнение бинарных операций и составление результирующих таблиц.
курсовая работа [185,3 K], добавлен 24.05.2015Дослідження особливостей скалярного та векторного полів. Похідна за напрямом. Градієнт скалярного поля, потенціальне поле. Сутність дивергенції, яка характеризує густину джерел даного векторного поля в розглянутій точці. Ротор або вихор векторного поля.
реферат [244,3 K], добавлен 06.03.2011Елементи загальної теорії багатомірних просторів, аксіоматика Вейля. Геометрія k-площин в афінному і евклідовому просторах: паралелепіпеди, симплекси, кулі. Застосування багатомірної геометрії: простір-час класичної механіки і теорії відносності.
дипломная работа [1,0 M], добавлен 28.01.2011Изучение конструкции и простейших свойств конечных полей, степень расширения поля разложения. Определение и свойства фундаментальной группы топологического пространства. Способ построения клеточного комплекса путем последовательного приклеивания клеток.
контрольная работа [926,4 K], добавлен 26.12.2010Історія появи й розвитку геометрії: постулати Евкліда, аксіоматика Гильберта та інші системи геометричних аксіом. Неевклідові геометрії в системі Вейля. Різні моделі площини Лобачевского, незалежність 5-го постулату Евкліда від інших аксіом Гильберта.
дипломная работа [263,0 K], добавлен 12.02.2011Определение понятия поверхностного интеграла первого и второго рода, их основные свойств, примеры вычисления и его перевода в обыкновенный двойной. Рассмотрение потока векторного поля через поверхность, как механического смысла поверхностного интеграла.
контрольная работа [157,6 K], добавлен 24.01.2011Примеры скалярных полей. Производная в точке в направлении орта. Операторы дифференцирования или Гамильтона. Напряженность электрического поля, поле скоростей в движущейся среде. Дивергенция и ротор. Символ Кронекера. Некоторые свойства оператора набла.
контрольная работа [229,2 K], добавлен 21.03.2014Геометрическая и алгебраическая формулировка теоремы Пифагора. Многочисленность ее доказательств: через подобные треугольники, методом площадей, через равнодополняемость, при помощи дифференциальных уравнений. Доказательства Евклида и Леонардо да Винчи.
презентация [378,7 K], добавлен 15.10.2013
