Значение "Начала" Евклида в истории математики

Изучение особенностей биографии древнегреческого математика и автора первых теоретических трактатов Эвклида. Исследование его главных трудов. Рассмотрение основных заслуг Эвклида в математике. Характеристика исторического значение труда "Начала".

Рубрика Математика
Вид реферат
Язык русский
Дата добавления 02.04.2014
Размер файла 18,2 K

Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже

Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.

Размещено на http://www.allbest.ru

Министерство образования и науки Российской Федерации

Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Казанский (Приволжский) федеральный университет»

Институт математики и механики им. Н.И. Лобачевского

Кафедра теории и технологий преподавания математики и информатики

Направление: (математика и английский язык)

РЕФЕРАТ

ТЕМА

«Значение «Начала» Евклида в истории математики»

Студентка: Немкова А.И.

группа 05-106

Преподаватель: Шакирова Л. Р.

эвклид древнегреческий математика

Казань 2014

"Единица есть то, через что каждое из существующих считается единым.

Число же - множество, составленное из единиц"

БИОГРАФИЯ

ЭВКЛИД (Euclid c.356-300 ВС)

Эвклид - древнегреческий математик, автор первых дошедших до нас теоретических трактатов по математике. Биографические сведения о жизни и деятельности Эвклида крайне ограничены. Известно, что он родом из Афин, был учеником Платона. Научная деятельность его протекала в Александрии, где он создал математическую школу.

ДОСТИЖЕНИЯ В МАТЕМАТИКЕ

Главные труды Эвклида "Начала" (латинизированное назв.- "Элементы") содержит изложение планиметрии, стереометрии и ряда вопросов теории чисел, алгебры, общей теории отношений и метода определения площадей и объемов, включающего элементы пределов (Метод исчерпывания). В "Началах" Эвклид подытожил все предшествующие достижения греческой математики и создал фундамент для ее дальнейшего развития. Историческое значение "Начал" Эвклида заключается в том, что в них впервые сделана попытка логического построения геометрии на основе аксиоматики. Основным недостатком аксиоматики Эвклида следует считать ее неполноту; нет аксиом непрерывности, движения и порядка, поэтому Эвклиду часто приходилось апеллировать к интуиции, доверять глазу. Книги XIV и XV являются более поздними добавлениями, но являются ли первые тринадцать книг созданием одного человека или школы, руководимой Эвклидом, не известно. С 1482г. "Начала" Эвклида выдержали более 500 изд. на всех языках мира.

"Начала"

Первые четыре книги "Начал" посвящены геометрии на плоскости, и в них изучаются основные свойства прямолинейных фигур и окружностей.

Книге I предпосланы определения понятий, используемых в дальнейшем. Они носят интуитивный характер, поскольку определены в терминах физической реальности: "Точка есть то, что не имеет частей". "Линия же - длина без ширины". "Прямая линия есть та, которая равно расположена по отношению точкам на ней". "Поверхность есть то, что имеет только длину и ширину" и т.д.

За этими определениями следуют пять постулатов: "Допустим:

1) что от всякой точки до всякой точки можно провести прямую линию;

2) и что ограниченную прямую можно непрерывно продолжить по прямой;

3) и что из всякого центра и всяким раствором может быть описан круг;

4) и что все прямые углы равны между собой;

5) и если прямая, падающая на две прямые, образует внутренние и по одну сторону углы, меньше двух прямых, то продолженные неограниченно эти две прямые встретятся с той стороны, где углы меньше двух прямых."

Три первых постулата обеспечивают существование прямой и окружности. Пятый, так называемый постулат о параллельных - самый знаменитый. Он всегда интриговал математиков, которые пытались вывести его из четырех предыдущих или вообще отбросить, до тех пор, когда в XIX в. обнаружилось, что можно построить другие, неевклидовы геометрии и что пятый постулат имеет право на существование. Затем Эвклид сформулировал аксиомы, которые в противоположность постулатам, справедливым только для геометрии, применимы вообще ко всем наукам. Далее Эвклид доказывает в книге I элементарные свойства треугольников, среди которых - условия равенства. Затем описываются некоторые геометрические построения, такие, как построение биссектрисы угла, середины отрезка и перпендикуляра к прямой. В книгу I включены также теория параллельных и вычисление площадей некоторых плоских фигур (треугольников, параллелограммов и квадратов). В книге II заложены основы так называемой геометрической алгебры, восходящей к школе Пифагора. Все величины в ней представлены геометрически, и операции над числами выполняются геометрически. Числа заменены отрезками прямой. Книга III целиком посвящена геометрии окружности, а в книге IV изучаются правильные многоугольники, вписанные в окружность, а также описанные вокруг нее.

Теория пропорций, разработанная в книге V,одинаково хорошо прилагалась и к соизмеримым величинам и к несоизмеримым величинам. Эвклид включал в понятие "величины" длины, площади, объемы, веса, углы, временные интервалы и т. д. Отказавшись использовать геометрическую очевидность, но избегая также обращения к арифметике, он не приписывал величинам численных значений. Первые определения книги V "Начал" Эвклида: 1. Часть есть величина (от) величины, меньшая (от) большей, если она измеряет большую. 2. Кратное же - большая (от) меньшей, если она измеряется меньшей. 3. Отношение есть некоторая зависимость двух однородных величин по количеству. 4. Говорят, что величины имеют отношение между собой, если они, взятые кратно, могут превзойти друг друга. 5. Говорят, что величины находятся в том же отношении: первая ко второй и третья к четвертой, если равнократные первой и третьей одновременно больше, или одновременно равны, или одновременно меньше равнократных второй и четвертой каждая каждой при какой бы то ни было кратности, если взять их в соответственном порядке. 6. Величины же, имеющие то же отношение, пусть называются пропорциональными. Из восемнадцати определений, помещенных в начале всей книги, и общих понятий, сформулированных в книге I, с восхитительным изяществом и почти без логических недочетов Эвклид вывел (не прибегая к постулатам, содержание которых было геометрическим) двадцать теорем, в которых устанавливались свойства величин и их отношений.

В книге VI теория пропорций книги V применяется к прямолинейным фигурам, к геометрии на плоскости и, в частности, к подобным фигурам, причем "подобные прямолинейные фигуры суть те, которые имеют углы, равные по порядку, и стороны при равных углах пропорциональные". Книги VII ,VIII и IX составляют трактат по теории чисел; теория пропорций в них прилагается к числам. В книге VII определяется равенство отношений целых чисел, или, с современной точки зрения, строится теория рациональных чисел. Из многих свойств чисел, исследованных Эвклидом (четность, делимость и т.д.), приведем, например, предложение 20 книги IX, устанавливающее существование бесконечного множества "первых", т.е. простых чисел: "Первых чисел существует больше всякого предложенного количества первых чисел". Его доказательство от противного до сих пор можно найти в учебниках по алгебре.

Книга X читается с трудом; она содержит классификацию квадратичных иррациональных величин, которые там представлены геометрически прямыми и прямоугольниками. Вот как сформулировано предложение 1 в книге X "Начал" Эвклида: "Если заданы две неравные величины и из большей вычитается часть, большая половины, а из остатка - снова часть, большая половины, и это повторяется постоянно, то когда-нибудь остается величина, которая меньше, чем меньшая из данных величин". На современном языке: Если a и b - положительные вещественные числа и a >b, то всегда существует такое натуральное число m, что mb > a. Эвклид доказал справедливость геометрических преобразований.

Книга XI посвящена стереометрии. В книге XII, которая также восходит, вероятно, к Евдоксу, с помощью Метода исчерпывания площади криволинейных фигур сравниваются с площадями многоугольников. Предметом книги XIII является построение правильных многогранников. Построение Платоновых тел, которым, по-видимому завершаются "Начала", дало основание причислить Эвклида к последователям философии Платона.

ОБЛАСТИ ИНТЕРЕСОВ

Кроме "Начал" до нас дошли такие произведения Эвклида: книга под латинским названием "Data" ("Данные") (с описанием условий, при которых какой-нибудь математический образ можно считать "данным"); книга по оптике (содержащая учение о перспективе), по катоптрике (излагающую теорию искажений в зеркалах), книга "Деление фигур". Не сохранилась педагогическая работа Эвклида "О ложных заключениях" (в математике). Эвклид написал также сочинения по астрономии ("Явления") и музыке.

ЗАСЛУГИ ЕВКЛИДА

ЕВКЛИДА ТЕОРЕМА о простых числах: множество простых чисел является бесконечным ("Начала" Евклида, книга IX, теорема 20). Более точную количественную информацию о множестве простых чисел в натуральном ряде содержит Чебышева теорема о простых числах и асимптотич. закон распределения простых чисел.

ЕВКЛИДОВА ГЕОМЕТРИЯ - геометрия пространства, описываемого системой аксиом, первое систематическое (но не достаточно строгое) изложение к-рой было дано в "Началах" Евклида. Обычно пространство Е. г. описывается как совокупрость объектов трех родов, называемых "точками", "прямыми", "плоскостями"; отношениями между ними: принадлежности, порядка ("лежать между"), конгруэнтности (или понятием движения); непрерывностью. Особое место в аксиоматике Е. г. занимает, аксиома о параллельных (пятый постулат). Первая достаточно строгая аксиоматика Ё. г. была предложена Д. Гильбертом (D. Hilbert, см. Гильберта система аксиом). Существуют модификации системы аксиом Гильберта и другие варианты аксиоматики Е. г. Напр., в векторно-точечной аксиоматике за одно из основных понятий принято понятие вектора; в основу аксиоматики Е. г. может быть положено отношение симметрии .

5) ИСТОРИЧЕСКОЕ ЗНАЧЕНИЕ «НАЧАЛ»

Историческое значение "Начал" Евклида заключается в том, что в них впервые сделана попытка логического построения геометрии на основе аксиоматики. Аксиоматический метод, господствующий в современной математике, своим происхождением в большой степени обязан "Началам" Евклида.

Основным недостатком аксиоматики Евклида следует считать ее неполноту; здесь нет аксиом непрерывности, движения и порядка, поэтому Евклиду часто приходится апеллировать к интуиции, доверяться глазу. Что касается определений точки, линии, прямой, поверхности и плоскости, то их значение заключается в том, что они отражают естественный процесс образования этих понятий.

Ни одна научная книга не пользовалась таким большим и длительным успехом, как "Начала" Евклида. С 1482 она выдержала более 500 изданий на всех языках мира. Кроме упомянутых "Начал", до нас дошли такие произведения Евклида: книга под латинским названием "Data" ("Данные"), содержанием которой является определение условий, когда какой-нибудь математический образ можно считать "данным"; книга по оптике (содержащая учение о перспективе) и книга по катоптрике (излагающая теорию искажений в зеркалах), а также "Деление фигур".

Математики более позднего времени - Папп и Д. Прокол - упоминают и ссылаются на недошедшие до нас работы Евклида: четыре книги о комических сечениях, материал которых вошел в произведения Аполлония Пергского; две книги о местах на поверхности; три книги "Поризмы", содержание которых до сих пор до конца не выяснено.

Не сохранилась и педагогическая работа "О ложных заключениях" (в математике). Евклид написал также сочинения по астрономии ("Явления") и музыке. Дошедшие до нас произведения Евклида собраны в критическом издании Гейберга и Менге (Лейпциг, 1883-1916), в котором помещены греческие подлинники, латинские переводы и комментарии позднейших авторов.

Размещено на Allbest.ru

...

Подобные документы

  • Очерк жизни и творчества великого древнегреческого ученого Эвклида, оценка его достижений в области математики. Анализ главных произведений Эвклида, его основополагающие идеи и источники их формирования. Геометрия на поверхности отрицательной кривизны.

    реферат [393,9 K], добавлен 13.12.2010

  • Особенности периода математики постоянных величин. Создание арифметики, алгебры, геометрии и тригонометрии. Общая характеристика математической культуры Древней Греции. Пифагорейская школа. Открытие несоизмеримости, таблицы Пифагора. "Начала" Евклида.

    презентация [2,4 M], добавлен 20.09.2015

  • Роль математики в современном мире. Основные этапы развития математики. Аксиоматический метод построения научной теории. Начала Евклида как образец аксиоматического построения научной теории. История создания неевклидовой геометрии. Стили мышления.

    реферат [25,8 K], добавлен 08.02.2009

  • Основные этапы развития математики в Древней Греции. Изучение чисел и геометрии в Пифагорейской школе. Вклад Зенона, Демокрита, Платона и Евдокса в становление античной науки. Великий геометр древности Евклид и содержание его главного труда "Начала".

    презентация [2,5 M], добавлен 10.03.2013

  • Происхождение термина "математика". Одно из первых определений предмета математики Декартом. Сущность математики с точки зрения Колмогорова. Пессимистическая оценка возможностей математики Г Вейля. Формулировка Бурбаки о некоторых свойствах математики.

    презентация [124,5 K], добавлен 17.05.2012

  • Греческая математика и её философия. Взаимосвязь и совместный путь философии и математики от начала эпохи возрождения до конца XVII века. Философия и математика в эпохе Просвещения. Анализ природы математического познания немецкой классической философии.

    дипломная работа [68,4 K], добавлен 07.09.2009

  • Анализ роли математики в оценке количественных и пространственных взаимоотношений объектов реального мира. Трактовка и обоснование математических теорем Ферма, Ролля, Лагранжа, Коши и Лопиталя. Обзор биографии, деятельности и трудов великих математиков.

    курсовая работа [467,9 K], добавлен 08.04.2013

  • Некоторые биографические данные и легенды из жизни Евклида. Основание математической школы и изложение геометрии в труде "Начала", описание метрических свойств пространства и его бесконечности. Сочинения "Оптика" и "Катоптрика" и изобретение монохорда.

    презентация [2,0 M], добавлен 21.12.2010

  • Значение понятия математика. Ее роль в науке. Математика как наука основанная на разнообразие математических моделей, задачей которых является отображение реальных событий и явлений. Особенности математического языка. Известные высказывания о математике.

    реферат [21,7 K], добавлен 07.05.2013

  • Предпосылки зарождения математики в Древнем Египте. Задачи на вычисление "аха". Наука древних египтян. Задача из папируса Райнда. Геометрия в Древнем Египте. Высказывания великих ученых о важности математики. Значение египетской математики в наше время.

    реферат [18,3 K], добавлен 24.05.2012

  • Греческая математика. Средние века и Возрождение. Начало современной математики. Современная математика. В основе математики лежит не логика, а здравая интуиция. Проблемы оснований математики являются философскими.

    реферат [32,6 K], добавлен 06.09.2006

  • Общая характеристика распространенных проблем поиска величины максимального потока в сети при помощи алгоритма Форда-Фалкерсона. Знакомство с задачами по дискретной математике. Рассмотрение особенностей и этапов постройки дерева кратчайших расстояний.

    контрольная работа [740,3 K], добавлен 09.03.2015

  • Исторические формы математических открытий. Пифагор: философия числа; дедуктивно-аксиоматический метод; раннее и позднее пифагорейство. Классика греческой науки, "Начала" Евклида. Великие эллины: Евдокс, Платон, Архимед, Птолемей; Александрийская школа.

    дипломная работа [882,4 K], добавлен 08.04.2014

  • Развитие математики переменных величин: создание аналитической геометрии, дифференциального и интегрального исчисления. Значение появления книги Декарта "Геометрия" в создании математики переменных величин. Становление математики в ее современном виде.

    реферат [25,9 K], добавлен 30.04.2011

  • Анализ проявлений недоказуемости пятого постулата Евклида. Общая характеристика и обоснование основных идей неевклидовской геометрии в работах Д. Саккери, И.Г. Ламберта, Я. Бояи, Ф. Швейкарта, Ф.А. Тауринуса, К.Ф. Гаусса, Н.И. Лобачевского, Я. Больяйя.

    реферат [29,4 K], добавлен 21.09.2010

  • Ознакомление с жизнью и научной деятельностью древнегреческих ученых Фалеса Милетского, Пифагора, Демокрита и Аристотеля. Рассмотрение вклада в развитие математики Аристотеля и Аполлония Пергского. Научные достижения математика Андрея Петровича Киселева.

    презентация [491,1 K], добавлен 21.11.2011

  • Значение математики в нашей жизни. История возникновения счета. Развитие методов вычислительной математики в настоящее время. Использование математики в других науках, роль математического моделирования. Состояние математического образования в России.

    статья [16,2 K], добавлен 05.01.2010

  • Изучение исторического развития математики в Российской Империи в период 18-19 веков как науки о количественных отношениях и пространственных формах действительного мира. Анализ уровня математического образования и его развитие российскими учеными.

    реферат [17,5 K], добавлен 26.01.2012

  • Геометрия Евклида как первая естественнонаучная теория. Структура современной математики. Основные черты математического мышления. Аксиоматический метод. Принципы аксиоматического построения научных теорий. Математические доказательства.

    реферат [32,4 K], добавлен 10.05.2011

  • Робота присвячена важливісті математики, їх використанню у різних галузях науки. Інформація, яка допоможе зацікавити учнів при вивченні математики. Етапи розвитку математики. Філософія числа піфагорійців. Математичні формули у фізиці, хімії, психології.

    курсовая работа [347,2 K], добавлен 12.09.2009

Работы в архивах красиво оформлены согласно требованиям ВУЗов и содержат рисунки, диаграммы, формулы и т.д.
PPT, PPTX и PDF-файлы представлены только в архивах.
Рекомендуем скачать работу.