Решение задач на построение методом осевой симметрии
Разработка обучающего модуля по решению геометрических задач на построение. Примеры построения задач с помощью циркуля и линейки, схемы их решения. Определение свойства осевой симметрии плоскости. Метод осевой симметрии в решении задач на построение.
| Рубрика | Математика |
| Вид | реферат |
| Язык | русский |
| Дата добавления | 02.04.2014 |
| Размер файла | 775,2 K |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Размещено на http://www.allbest.ru/
4
МИНОБРНАУКИ РОССИИ
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение
Высшего профессионального учреждения
«Поволжская государственная социально-гуманитарная академия»
Факультет математики, физики и информатики
Кафедра математики и методики обучения
Реферат по геометрии
«Решение задач на построение методом осевой симметрии»
Выполнил студент 2 курса ФМФИ
заочного отделения
Баранов Николай Владимирович
Проверил старший преподаватель
Шехмаметьева Галина Евгеньевна
Самара, 2014 г.
Содержание
1.Введение
2.П.1 задачи на построение с помощью циркуля и линейки
3.П. 2 Примеры построения
4.П. 3 Схемы решения задач на построение
5.П. 4 Определение и свойства осевой симметрии плоскости
6.П. 5 Применение осевой симметрии к решению задач
7.Заключение
8.Литература
Введение
Вся история геометрии и некоторых других разделов математики тесно связана с развитием теории геометрических построений. Важнейшие аксиомы геометрии, сформулированные основоположником научной геометрической системы Евклидом около 300 г. до н.э., ясно показывают какую роль сыграли геометрические построения в формировании геометрии. «От всякой точки до всякой точки можно провести прямую линию», «Ограниченную прямую можно непрерывно продолжать», «Из всякого центра и всяким раствором может быть описан круг» - эти постулаты Евклида явно указывают на основное положение конструктивных методов в геометрии древних.
Древнегреческие математики считали «истинно геометрическими» лишь построения, производимые лишь циркулем и линейкой, не признавая «законным» использование других средств для решения конструктивных задач. При этом, в соответствии с постулатами Евклида, они рассматривали линейку как неограниченную и одностороннюю, а циркулю приписывалось свойство чертить окружности любых размеров. Задачи на построение циркулем и линейкой и сегодня считаются весьма интересными, и вот уже более ста лет это традиционный материал школьного курса геометрии.
Одной из самых ценных сторон таких задач является то, что они развивают поисковые навыки решения практических проблем, приобщают к посильным самостоятельным исследованиям, способствуют выработке конкретных геометрических представлений, а также более тщательной обработке умений и навыков. А это в свою очередь усиливает прикладную и политехническую направленность обучения геометрии. Задачи на построение не допускают формального к ним подхода, являются качественно новой ситуацией применения изученных теорем и, таким образом, дают возможность осуществлять проблемное повторение. Такие задачи успешно могут быть связаны с новыми идеями школьного курса геометрии (преобразованиями, векторами). Геометрические построения могут сыграть серьезную роль в математической подготовке школьника. Ни один вид задач не дает, пожалуй столько материала для развития математической инициативы и логических навыков учащегося, как геометрические задачи на построение. Эти задачи обычно не допускают стандартного подхода к ним и формального восприятия их учащимися. Задачи на построение удобны для закрепления теоретических знаний учащихся по любому разделу школьного курса геометрии. Решая геометрические задачи на построение, учащийся приобретает много полезных чертежных навыков.
Объектом исследования квалификационной работы является процесс обучения геометрии.
Предмет исследования - различные методы решения задач на построение.
Цель данной работы - разработка обучающего модуля по теме «Методы решения задач на построение». Предлагается способ формирования у учащихся знаний и умений через решение системы геометрических задач на построение (конструктивных задач) с помощью различных методов.
Наиболее эффективным способом формирования умений является подбор специальных задач. Кажущаяся простота конструктивной задачи только усиливает к ней интерес учащихся, желание найти решение, которое порой требует умственного напряжения и изобретательности.
циркуль плоскость линейка осевая симметрия
П.1 Задачи на построение с помощью циркуля и линейки
Задачей на построение называется предложение, указывающее, по каким данным, какими инструментами, какую геометрическую фигуру требуется построить (начертить на плоскости) так, чтобы эта фигура удовлетворяла определённым условиям.
Решить задачу на построение с помощью циркуля и линейки - значит свести её к совокупности пяти элементарных построений, которые заранее считаются выполнимыми. Перечислим их.
1. Если построены две точки А и В, то построена прямая АВ, их соединяющая, а также отрезок АВ и любой из лучей АВ и ВА (аксиома линейки).
2. Если построена точка О и отрезок АВ, то построена окружность с центром в точке О и радиусом АВ, а также любая из дуг этой окружности.
3. Если построены две прямые, то построена точка их пересечения (если она существует).
4. Если построена прямая и окружность, то построена любая из точек их пересечения (если она существует).
5. Если построены две окружности, то построена любая из точек их пересечения (если она существует).
Сведение решения каждой задачи к элементарным построениям делает решение громоздким. Поэтому часто решение задачи сводят к так называемым основным построениям. Выбор некоторых построений в качестве основных в известной степени произволен. Например, в качестве основных построений можно рассмотреть следующие задачи: деление данного угла пополам; построение отрезка, равного данному; построение угла, равного данному; построение параллельной прямой, построение перпендикулярной прямой, деление отрезка в данном отношении; построение треугольника по трём сторонам, по двум сторонам и углу между ними, по стороне и двум прилежащим к ней углам; построение прямоугольного треугольника по гипотенузе и катету.
П. 2 Примеры построения
Задача 1.
В задаче требуется построить четырёхугольник ABCD, у которого AB=a, DC=b, угол DAB=alpha, угол ABC=beta, угол BCD=gamma.
Построение.
1) Построить произвольный луч AE и отложить на нём отрезок AB=a.
2) Построить угол BAF=alpha и угол ABL=beta.
3) Выбрать на луче BL произвольную точку M.
4) Построить угол BMK=gamma.
5) Отложить на луче MK отрезок MN=b.
6) Провести через точку N прямую NS параллельно прямой MB.
7) Отметить точку пересечения прямых NS и AF. Обозначим эту точку буквой D.
8) Провести через точку D прямую DH параллельно прямой KM.
9) Отметить точку пересечения DH и MB. Обозначим её буквой C.
Тогда четырёхугольник ABCD - искомый.
Задача 2.
Рассмотрим случай, когда точки B и C расположены в разных полуплоскостях относительно прямой L.
Построение.
1) Проведём окружность w1 с центром в точке B и радиусом, равным a.
2) Проведём отрезок BC и отметим его середину F.
3) Проведём окружность w2 с центром в точке F и радиусом, равным FB.
4) Отметим точку пересечения D окружностей w1 и w2.
5) Проведём прямую BD.
6) Проведём прямую L через точку A перпендикулярно прямой BD.
Прямая L - искомая.
Задача 3.
1) Отметить на прямой L1 произвольную точку C1.
2) Провести через точку C1 прямую параллельно прямой L до пересечения с прямой L2 в точке D1.
3) Провести отрезок C1A.
4) Провести отрезок D1A1, параллельный отрезку C1A и равный ему.
5) Провести прямую A1B до пересечения с прямой L2 в точке D.
6) Провести через точку D прямую k параллельно прямой L до пересечения с прямой L1 в точке C.
Точки C и D - искомые.
П.3 Схемы решения задач на построение
Решить задачу на построение - значит найти все её решения.
Последнее определение требует некоторых разъяснений.
Фигуры, удовлетворяющие условию задачи, могут различаться как формой так и размерами, так положением на плоскости. Различия в положении на плоскости принимаются или не принимаются в расчёт в зависимости от формулировки самой задачи на построение, а именно в зависимости от того, предусматривает или не предусматривает условие задачи определённое положение искомой фигуры относительно каких-либо данных фигур. Поясним это примерами.
Рассмотрим следующую простейшую задачу: построить треугольник по трём сторонам и углу между ними. Точный смысл этой задачи состоит в следующем: построить треугольник так, чтобы две стороны его были соответственно равны двум данным отрезкам, а угол между ними был равен данному углу. Здесь искомая фигура (треугольник) связана с данными фигурами (два отрезка и угол) только соотношениями равенства, расположение же искомого треугольника относительно данных фигур безразлично. В этом случае легко построить треугольник АВС, удовлетворяющий условию задачи. Все треугольники, равные треугольнику АВС, также удовлетворяют условию поставленной задачи. Однако нет никакого смысла рассматривать эти треугольники как различные решения данной задачи, ибо они отличаются один от другого только положением на плоскости, о чем в условии задачи ничего не сказано. Будем поэтому считать, что задача имеет единственное решение.
Итак, если условие задачи не предусматривает определённого расположения искомой фигуры относительно данных фигур, то условимся искать только все неравные между собой фигуры, удовлетворяющие условию задачи. Можно сказать, что задачи этого рода решаются «с точностью до равенства». Это означает, что задача считается решённой, если: 1) Построено некоторое число неравных между собой фигур Ф1, Ф2, … Фn, удовлетворяющие условиям задачи, и 2) доказано, что всякая фигура, удовлетворяющая условиям задачи, равна одной из этих фигур. При этом считается, что задача имеет n различных решений.
Рассмотрим теперь задачу несколько иного содержания: построить треугольник так, чтобы одной его стороной служил данный отрезок ВС, другая сторона была равна другому данному отрезку l, а угол между ними был равен данному углу б.
В этом случае условие задачи предусматривает определённое расположение искомого треугольника относительно одной из данных фигур (именно относительно отрезка ВС). В связи с этим мы иначе смотрим на вопрос о построении всех решений этой задачи. Как видно из рисунка 5, может существовать до четырёх треугольников, удовлетворяющих условию этой задачи. Они равны между собой, но по разному расположены относительно данной фигуры ВС. В этом случае полное решение задачи предусматривает построение всех этих треугольников. Считается, что задача имеет до четырёх различных решений, различающихся своим расположением относительно данной фигуры.
Итак, если условие задачи предусматривает определённое расположение искомой фигуры относительно какой-либо данной фигуры, то полное решение состоит в построении всех фигур, удовлетворяющих условию задачи (если такие фигуры существуют в конечном числе).
Вопрос о выборе той или иной схемы решения конструктивной задачи является чисто методическим вопросом.
Решение геометрической задачи является вполне доброкачественным, если оно проведено, например, последующей схеме:
Устанавливается конечное число случаев, исчерпывающих все возможности в выборе данных.
Для каждого случая дается ответ на вопрос, имеет ли задача решение и сколько.
Для каждого случая, когда задача имеет решение, дается способ нахождения (с помощью данных геометрических инструментов) каждого из возможных решений или устанавливается, что оно не может быть получено данными средствами.
Этой схемы придерживаются в научных статьях и монографиях; однако она мало пригодна для учебных целей, особенно в условиях средней школы.
При решении каждой сколько-нибудь сложной задачи на построение возникает вопрос о том, как нужно рассуждать, чтобы разыскать способ решения задачи, чтобы получить все решения задачи, чтобы выяснить условия возможности решения задачи и т.п. Поэтому при решении конструктивных задач в учебных условиях рекомендуется пользоваться известной схемой решения, состоящей из следующих четырех этапов: 1) анализ; 2) построение; 3) доказательство; 4) исследование.
Конечно, эта схема не является безусловно необходимой и неизменной, не всегда удобно и целесообразно строго разделять отдельные ее этапы и в точности осуществлять их в указанном порядке. Но по большей части указанная схема серьезно помогает при решении конструктивных задач. Рассмотрим каждый этап этой схемы.
Анализ. Это подготовительный и в то же время наиболее важный этап решения задачи на построение, так как именно он дает ключ к решению задачи. Цель анализа состоит в установлении таких зависимостей между элементами искомой фигуры и элементами данных фигур, которые позволили бы построить искомую фигуру. Это достигается с помощью построения чертежа-наброска, изображающего данные и искомые примерно в том расположении, как это требуется условием задачи. Этот чертеж можно выполнять «от руки». Иногда построение чертежа сопровождают словами: «предположим, что задача уже решена».
На вспомогательном чертеже следует выделить данные элементы и важнейшие искомые элементы. Практически часто удобнее начинать построение вспомогательного чертежа не с данной фигуры, а с примерного изображения искомой фигуры, пристраивая к ней данные так, чтобы они находились в отношениях, указанных в условии задачи. Например, если нужно построить треугольник по биссектрисе, медиане и высоте, проведенным из одной вершины, то при анализе удобнее сначала изобразить произвольный треугольник, а затем уже проводить в нем указанные в задаче линии.
Если вспомогательный чертеж не подсказывает непосредственного способа построения искомой фигуры, то пытаются обнаружить какую-либо часть искомой фигуры или вообще некоторую фигуру, которая может быть построена и которой затем можно воспользоваться для построения искомой фигуры. В более общем случае рассуждение ведется следующим образом. Подмечают, что построение искомой фигуры Ф сводится к построению некоторой другой фигуры Ф. Затем подмечают,что построение фигуры Ф сводится к построению фигуры Ф и т.д. После конечного числа шагов можно прийти к некоторой фигуре Ф, построение которой уже известно.
Пусть, например, требуется построить треугольник по основанию и по медиане и высоте, проведенным к этому основанию. Рассматривая вспомогательный чертеж (рис. 5), замечаем, что треугольник АВС можно легко построить, если будет построен треугольник ВDE: тогда останется только отложить по обе стороны от точки Е на прямой DE отрезки, равные половине данного основания. Но треугольник ВDE прямоугольный и строится по гипотенузе m и катету h.
Полезно учесть следующие частные замечания, помогающие при проведении анализа.
1) Если на вспомогательном чертеже не удается непосредственно заметить необходимые для решения связи между данными и искомыми элементами, то целесообразно ввести в чертеж вспомогательные фигуры: соединить уже имеющиеся точки прямыми, отметить точки пересечения имеющихся линий, продолжить некоторые отрезки и т.д. Иногда бывает полезно проводить параллели или перпендикуляры к уже имеющимся прямым.
Пусть, например, требуется построить прямую, проходящую через данную точку А и равноудаленную от двух данных точек В и С. Построение чертежа - наброска удобно начать с искомой фигуры: строим сначала прямую а (рис. 6), на ней выбираем точку А и на равных расстояниях от прямой а выбираем (по разные стороны от прямой) точки В и С.
После этого еще не возникают на чертеже такие связи, которые позволили бы решить задачу. Проведем к прямой а перпендикуляры ВВ и СС, построим отрезок ВС и отметим точку М пересечения отрезка ВС с прямой а. Легко заметить, что М - середина отрезка ВС, а отсюда уже ясен способ построения.
2) Если по условию задачи дана сумма или разность отрезков или углов, то эти величины следует изобразить на вспомогательном чертеже, если их еще нет на нем.
3) В процессе проведения анализа бывает полезно вспомнить теоремы и раннее решенные задачи, в которых встречаются зависимости между элементами, сходные с теми, о которых говориться в условии рассматриваемой задачи.
4) Проводя анализ на основании изучения некоторого чертежа - наброска, мы невольно связываем свои рассуждения в известной мере с этим чертежом. Так, в примере, иллюстрирующем пункт 1), мы избрали точки В и С по разные стороны от прямой а, а в то время как можно было избрать их и по одну сторону от этой прямой. Тот способ решения, к которому мы приходим на основании анализа, может поэтому оказаться пригодным лишь для некоторых частных случаев. Чтобы получаемый нами способ решения был пригоден для возможно более широкого выбора данных, желательно изображать искомую фигуру в возможно более общем виде. Например, искомый треугольник, если в условии задачи нет специального указания о его форме, надо изображать как разносторонний, четырехугольник - как неправильный и т.п. Чем более общий случай мы разберем при анализе, тем проще будет провести в дальнейшем полное решение задачи.
Рассмотрим еще один пример анализа. Требуется вписать окружность в данный треугольник. Пусть АВС - данный треугольник (рис. 7). Чтобы вписать в него окружность, надо определить положение ее центра и найти величину радиуса.
Представим себе, что точка О - центр вписанной окружности, а ОМ - радиус проведенный в какую-либо из точек касания окружности к сторонам треугольника (например, в точку касания окружности к стороне АВ). Тогда отрезок ОМ перпендикулярен к прямой АВ. Поэтому ОМ - расстояние центра вписанной окружности от стороны треугольника АВ. Так как все радиусы окружности равны, то центр окружности одинаково удален от всех сторон треугольника и, следовательно, прямые ОА, ОВ и ОС служат биссектрисами (внутренних) углов треугольника АВС. Этих соображений, очевидно, достаточно для построения центра и определения радиуса искомой окружности.
2. Построение. Данный этап решения состоит в том, чтобы указать последовательность основных построений (или раннее решенных задач), которые достаточно произвести, чтобы искомая фигура была построена.
Построение обычно сопровождается графическим оформлением каждого его шага с помощью инструментов, принятых для построения.
В качестве примера обратимся опять к задаче о построении окружности, вписанной в данный треугольник АВС. Как показывает проведенный выше анализ этой задачи, для построения искомой окружности нужно последовательно построить (см. рис. 7):
биссектрисы каких-либо двух внутренних углов данного треугольника;
точку их пересечения О;
прямую, проходящую через точку О, перпендикулярно прямой АВ;
основание М проведенного перпендикуляра;
окружность (О, ОМ).
3. Доказательство. Доказательство имеет целью установить, что построенная фигура действительно удовлетворяет всем поставленным в задаче условиям.
Так, чтобы провести доказательство правильности приведенного выше построения окружности, вписанной в данный треугольник, надо установить, что построенная нами окружность (О, ОМ) действительно коснётся всех сторон треугольника АВС. Для этого, прежде всего заметим, что прямая АВ касается проведённой окружности, так как эта прямая перпендикулярна к радиусу ОМ.
Вместе с этим ясно, что радиус окружности равен расстоянию её центра от стороны АВ данного треугольника АВС. Далее замечаем, что центр окружности О одинаково удалён от всех сторон треугольника, так как лежит на пересечении биссектрис углов треугольника. Следовательно, расстояние центра окружности от стороны АС или от стороны ВС также равно радиусу построенной окружности, так что если провести через О перпендикуляры к сторонам треугольника АС и ВС, то основания этих перпендикуляров (точки N и Р на рис. 8) расположатся на той же окружности.
Таким образом, каждая из прямых АС и ВС перпендикулярна к соответствующему радиусу в конце его, лежащем на окружности, и поэтому каждая из этих прямых касается построенной окружности.
Доказательство обычно проводится в предположении, что каждый шаг построения действительно может быть выполнен.
4. Исследование. При построении обычно ограничиваются отысканием одного какого-либо решения, причем предполагается, что все шаги построения действительно выполнимы. Для полного решения задачи нужно ещё выяснить следующие вопросы:
всегда ли (т.е. при любом ли выборе данных) можно выполнить построение избранным способом;
можно ли и как построить искомую фигуру, если избранный способ нельзя применить;
сколько решений имеет задача при каждом возможном выборе данных.
Рассмотрение всех этих вопросов и составляет исследование. Таким образом, исследование имеет целью установить условия разрешимости и определить число решений.
Иногда ставится также задача: выяснить при каких условиях искомая фигура будет удовлетворять тем или иным дополнительным требованиям. Например, может быть поставлен вопрос: при каких условиях искомый треугольник будет прямоугольным или равнобедренным? Или такой вопрос: при каких условиях искомый четырёхугольник окажется параллелограммом или ромбом?
Нередко школьники проводят исследование, в известной мере произвольно выбирая те или иные случаи, причём неясно, почему рассматриваются именно такие, а не какие-либо иные случаи. Остаётся неясным также, все ли возможные случаи рассмотрены. При исследовании решения какой-либо сложной задачи такой подход может привести к потере решений, к тому, что некоторые случаи не будут рассмотрены.
Чтобы достигнуть необходимой планомерности и полноты исследования, рекомендуется проводить исследование «по ходу построения». Сущность этого приёма состоит в том, чтобы перебрать последовательно все шаги, из которых слагается построение, и относительно каждого шага установить, всегда ли указанное на этом шаге построение выполнимо, а если выполнимо, то сколькими способами.
Для этого необходимо:
Выяснить, всегда ли существуют в действительности точки, прямые, окружности или другие фигуры, построение которых предполагается осуществить на каждом шаге намеченного построения, или же их существование зависит от специального выбора положения или размеров тех или иных фигур. Например, если предполагается построить точки пересечения окружности с прямой, то надо заметить, что существование таких точек зависит от соотношения между радиусом этой окружности и расстоянием центра окружности от прямой.
Дальнейшее исследование надо проводить только для тех случаев, когда построение возможно, т.е. когда каждый шаг действительно приводит к построению искомых фигур.
Для каждого случая, когда решение существует, определить, сколько именно точек, прямых, окружностей и т.д. даёт каждый шаг построения. Например, если строятся точки пересечения окружности и прямой, то надо учесть, что таких точек будет две, если радиус окружности больше расстояния от центра до прямой, и одна, если радиус окружности равен расстоянию центра от прямой.
Учитывая результаты исследования каждого шага, обратиться к задаче в целом и установить, при каких условиях расположения денных фигур или при каких соотношениях их размеров задача действительно имеет решение, а при каких его не существует. Если возможно, выразить условия разрешимости формулой (в форме неравенств или равенств).
Определить число возможных решений при каждом определённом предположении относительно данных, при котором эти решения существуют.
В итоге таких рассуждений решается вопрос о возможности построения данным способом. Но остаётся ещё открытым вопрос: не возникнут ли новые решения, если изменить как-либо способ построения? Иногда удастся доказать, что всякое решение данной задачи совпадает с одним из уже полученных решений; в этом случае исследование можно считать законченным. Если же это не удаётся, то можно предположить, что задача имеет другие решения, которые могут быть найдены другими способами. В этих случаях полезно ещё раз обратиться к анализу и проверить, нет ли каких-либо иных возможных случаев расположения данных или искомых фигур, которые не были предусмотрены ранее проведённым анализом.
П.4 Определение и свойства осевой симметрии плоскости
Точки М и М1 называются симметричными относительно заданной прямой L, если эта прямая является серединным перпендикуляром к отрезку МM1 (рис 1). Каждая точка прямой L симметрична сама себе. Преобразование плоскости, при котором каждая точка отображается на симметричную ей точку относительно данной прямой L, называется осевой симметрией с осью L и обозначается SL: SL (M) = M1.
Точки М и М1 взаимно симметричны относительно L, поэтому SL(M1)=M. Следовательно, преобразование, обратное осевой симметрии, есть та же осевая симметрия: SL-1 = SL, SL ° SL = E. Иначе говоря, осевая симметрия плоскости является инволютивным преобразованием.
Образ данной точки при осевой симметрии можно просто построить, пользуясь только одним циркулем. Пусть L - ось симметрии, A и B - произвольные точки этой оси (рис 2). Если и SL(M) = M1, то по свойству точек серединного перпендикуляра к отрезку имеем: AM = AM1 и BM = BM1. Значит, точка M1 принадлежит двум окружностям: окружности с центром A радиуса AM и окружности с центром B радиуса BM (M - данная точка). Фигура F и её образ F1 при осевой симметрии называются симметричными фигурами относительно прямой L (рис 3).
Теорема. Осевая симметрия плоскости есть движение.
Если А и В - любые точки плоскости и SL(A) = A1, SL(B) = B1, то надо доказать, что A1B1 = AB. Для этого введем прямоугольную систему координат OXY так, чтобы ось OX совпала с осью симметрии. Точки А и В имеют координаты А(x1,-y1) и B(x1,-y2).Точки А1 и В1 имеют координаты A1(x1,y1) и B1(x1,y2) (рис 4 - 8). По формуле расстояния между двумя точками находим:
, .
Из этих соотношений ясно, что АВ=А1В1, что и требовалось доказать.
Из сравнения ориентаций треугольника и его образа получаем, что осевая симметрия плоскости есть движение второго рода.
Осевая симметрия отображает каждую прямую на прямую. В частности, каждая из прямых, перпендикулярных оси симметрии, отображается этой симметрией на себя.
Теорема. Прямая, отличная от перпендикуляра к оси симметрии, и её образ при этой симметрии пересекаются на оси симметрии или ей параллельны.
Доказательство. Пусть дана прямая, не перпендикулярная оси L симметрии. Если m ? L= P и SL(m)=m1, то m1?m и SL(P)=P, поэтому Pm1 (рис 9). Если же m || L , то m1 || L , так как в противном случае прямые m и m1 пересекались бы в точке прямой L, что противоречит условию m ||L (рис 10).
В силу определения равных фигур, прямые, симметричные относительно прямой L, образуют с прямой L равные углы (рис 9).
Прямая L называется осью симметрии фигуры F, если при симметрии с осью L фигура F отображается на себя: SL (F) =F. Говорят, что фигура F симметрична относительно прямой L.
Например, всякая прямая, содержащая центр окружности, является осью симметрии этой окружности. Действительно, пусть М - произвольная точка окружности щ с центром О, ОL, SL(M)= M1. Тогда SL(O) = O и OM1=OM, т. е. M1 є щ. Итак, образ любой точки окружности принадлежит этой окружности. Следовательно, SL(щ)=щ.
Осями симметрии пары непараллельных прямых служат две перпендикулярные прямые, содержащие биссектрисы углов между данными прямыми. Осью симметрии отрезка является содержащая его прямая, а также серединный перпендикуляр к этому отрезку.
Свойства осевой симметрии
1. При осевой симметрии образом прямой является прямая, образом параллельных прямых являются параллельные прямые
3. Осевая симметрия сохраняет простое отношение трех точек.
3. При осевой симметрии отрезок переходит в отрезок, луч - в луч, полуплоскость - в полуплоскость.
4. При осевой симметрии угол переходит в равный ему угол.
5. При осевой симметрии с осью d всякая прямая, перпендикулярная оси d остается на месте.
6. При осевой симметрии ортонормированный репер переходит в ортонормированный репер. При этом точка М с координатами х и у относительно репера R переходит в точку M` с теми же самыми координатами х и у, но относительно репера R`.
7. Осевая симметрия плоскости переводит правый ортонормированный репер в левый и, наоборот, левый ортонормированный репер - в правый.
8. Композиция двух осевых симметрий плоскости с параллельными осями есть параллельный перенос на вектор, перпендикулярный данным прямым, длина которого в два раза больше расстояния между данными прямыми
П.5 Применение осевой симметрии к решению задач
Пример 1. В равнобедренном треугольнике АВС с основанием ВС точка Е является центром вписанной окружности. Прямые СЕ и ВЕ пересекают окружность, описанную около треугольника АВС в точках D и F. Доказать, что ЕDAF - ромб.
Решение. Применим осевую симметрию с осью АЕ
Поскольку точки А и Е лежат на оси, значит, они инвариантны, т.е. переходят в себя; равнобедренный треугольник АВС и окружность, описанная около него, тоже переходят в себя; биссектриса СЕ угла АСВ переходит в биссектрису ВЕ угла АВС. Следовательно, точки D и F переходят друг в друга. Таким образом, мы показали, что прямая АЕ является осью симметрии четырехугольника ЕDAF (рис. 3.4). Для того чтобы доказать, что этот четырехугольник является ромбом, достаточно показать, что треугольник ADE равнобедренный. По условию задачи ВЕ - биссектриса угла АВС, значит, угол ABF = углу FBC. Поскольку эти углы вписаны в окружность и опираются на дуги AF и FC, то эти дуги также равны. С другой стороны, на эти же дуги опираются вписанные в окружность углы: угол ADF и угол FDC. Следовательно, угол ADF =35=углу FDC. А это значит, что в четырехугольнике EDAF диагонали не только взаимно перпендикулярны, но и делят пополам углы при вершинах. Отсюда следует, что четырехугольник EDAF - ромб.
Пример 2.Точка M лежит на диаметре AB окружности. Хорда CD проходит через M и пересекает AB под углом 45°. Докажите, что сумма CM2 + DM2 не зависит от выбора точки M.
Решение. Обозначим точки, симметричные точкам C и D относительно прямой AB, через C / и D / соответственно. РC/MD = 90°, поэтому CM2 + MD2 = C/M2 + MD2 = C /D2. Поскольку РC /CD = 45°, хорда C /D имеет постоянную длину.
Пример 3. Равные окружности S1 и S2 касаются окружности S внутренним образом в точках A1 и A2. Произвольная точка C окружности S соединена отрезками с точками A1 и A2. Эти отрезки пересекают S1 и S2 в точках B1 и B2. Докажите, что A1A2||B1B2.
Решение. Проведем диаметр окружности S, являющийся осью симметрии окружностей S1 и S2. Пусть точки C / и B2 / симметричны точкам C и B2 относительно этого диаметра.
Окружности S1 и S гомотетичны с центром гомотетии в точке A1, причем при этой гомотетии прямая B1B2 / переходит в прямую CC /, поэтому эти прямые параллельны. Ясно также, чтоB2B2 /||CC /. Поэтому точки B1, B2 / и B2 лежат на одной прямой, причем эта прямая параллельна прямой CC /.
Пример 4. Через точку M основания AB равнобедренного треугольника ABC проведена прямая, пересекающая его боковые стороны CA и CB (или их продолжения) в точках A1 и B1. Докажите, чтоA1A : A1M = B1B : B1M.
Решение. Пусть прямая, симметричная прямой A1B1 относительно прямой AB, пересекает стороны CA и CB (или их продолжения) в точках A2 и B2. Так как РA1AM = РB2BM и РA1MA = РB2MB, тоDA1AM ~ DB2BM, т. е. A1A : A1M = B2B : B2M. Кроме того, так как MB - биссектриса треугольника B1MB2, то B2B : B2M = B1B : B1M.
Пример 5. Постройте четырехугольник ABCD, в который можно вписать окружность, зная длины двух соседних сторон AB и AD и углы при вершинах B и D.
Решение. Предположим, что четырехугольник ABCD построен. Для определенности будем считать, что AD > AB. Пусть O - центр вписанной окружности; точка D / симметрична D относительно прямой AO; A / -- точка пересечения прямых AO и DC, C / - точка пересечения прямых BC и A /D /.
В треугольнике BC /D / известны сторона BD / и прилегающие к ней углы РD /BC / = 180° - РB и РBD /C / = РD. Построим треугольник BC /D / по этим элементам. Так как AD / = AD, то можно построить точку A. Затем строим точку O пересечения биссектрис углов ABC / и BD /C /. Зная положение точки O, можно построить точку D и вписанную окружность. Точка C является точкой пересечения прямой BC / и касательной к окружности, проведенной из точки D.
Заключение
Систематическое изучение геометрических построений необходимо в школьном курсе, так как в процессе изучения задач они концентрируют в себе знания из других областей математики, развивают навыки практической графики, формируют поисковые навыки решения практических проблем, приобщают к посильным самостоятельным исследованиям, способствуют выработке конкретных геометрических представлений, а также к более тщательной обработке умений и навыков.
В данной работе основной акцент делается на осевую симметрию, построение с помощью осевой симметрии и решение задач с применением осевой симметрии. Присутствуют свойства осевой симметрии.
Литература
1.Атоносян Л.С. , Базылев В. Т. Часть 1 учебное пособие для студентов физ-мат.
2.Глейзер Г.Д. Геометрия. - 12-тое изд., М., «Просвещение» 1992г.
3.Прасолов В. В. Задачи по планиметрии. 4-е изд.
4.Данные из интернета, Википедия.
5.Шарыгин И.Ф., Ерганжиева Л.Н. Наглядная геометрия. М., 1995 г.
Размещено на Allbest.ru
...Подобные документы
Методика нахождения различных решений геометрических задач на построение. Выбор и применение методов геометрических преобразований: параллельного переноса, симметрии, поворота (вращения), подобия, инверсии в зависимости от формы и свойств базовой фигуры.
курсовая работа [6,4 M], добавлен 13.08.2011Основные виды симметрии (центральная и осевая). Прямая в качестве оси симметрии фигуры. Примеры фигур, обладающих осевой симметрией. Симметричность относительно точки. Точка как центр симметрии фигуры. Примеры фигур, обладающих центральной симметрией.
презентация [2,7 M], добавлен 30.10.2014Понятие симметрии и особенности ее отражения в различных сферах: геометрии и биологии. Ее разновидности: центральная, осевая, зеркальная и вращения. Специфика и направления исследования симметрии в человеческом теле, природе, архитектуре, быту, физике.
презентация [7,2 M], добавлен 13.12.2016Исследование понятия симметрии, соразмерности, пропорциональности и одинаковости в расположении частей. Характеристика симметрических свойств геометрических фигур. Описания роли симметрии в архитектуре, природе и технике, в решении логических задач.
презентация [1001,7 K], добавлен 06.12.2011Понятие и свойства симметрии, ее типы: центральная и осевая, зеркальная и поворотная. Распространенность симметрии в живой природе. Гомотетия (преобразование подобие). Оценка роли и значения данного явления в химии, архитектуре, технических объектах.
презентация [3,9 M], добавлен 04.12.2013Понятие отражательной и вращательной осевых симметрий в евклидовой геометрии и в естественных науках. Примеры осевой симметрии - бабочка, снежинка, Эйфелева башня, дворцы, лист крапивы. Зеркальное отражение, радиальная, аксиальная и лучевая симметрии.
презентация [447,3 K], добавлен 17.12.2013Виды преобразования симметрии фигур. Понятие оси и плоскости симметрии. Одновременное применение преобразований поворота и отражения, зеркально-поворотная ось. Сопряженные элементы, подгруппы и общие свойства и классификация групп операций симметрии.
реферат [28,0 K], добавлен 25.06.2009Истоки, понятие аналитической геометрии. Метод координат на плоскости. Аффинная и Декартова система координат на плоскости, прямая и окружность. Аналитическое задание геометрических фигур. Применение аналитического метода к решению планиметрических задач.
курсовая работа [1,2 M], добавлен 12.05.2009Построение угла равного данному, биссектрисы данного угла, середины отрезка, перпендикулярных прямых, треугольника по трем элементам. Теорема Фалеса и геометрическое место точек. Построение с использованием свойств движений. Метод геометрических мест.
дипломная работа [359,1 K], добавлен 24.06.2011Понятие симметрии в математике, ее виды: поступательная, вращательная, осевая, центральная. Примеры симметрии в биологии. Ее проявления в химии в геометрической конфигурации молекул. Симметрия в искусствах. Простейший пример физической симметрии.
презентация [1,6 M], добавлен 14.05.2014Центр инверсии: обозначение, пример отображения. Понятие о плоскости симметрии. Порядок оси симметрии, элементарный угол поворота. Физические причины отсутствия осей порядка более 6. Пространственные решетки, инверсионная ось, элементы континуума.
презентация [173,7 K], добавлен 23.09.2013Общие аксиомы конструктивной геометрии. Аксиомы математических инструментов. Постановка задачи на построение, методика решения задач. Особенности методик построения: одним циркулем, одной линейкой, двусторонней линейкой, построения с помощью прямого угла.
курс лекций [4,0 M], добавлен 18.12.2009Рациональность решения задач с помощью теорем Чевы и Менелая, чем их решение другими способами, например векторным. Доказательство теорем, дополнительное построение. Трудности, связанные с освоением этих теорем, оправданные применением при решении задач.
контрольная работа [388,3 K], добавлен 05.05.2019Составление четкого алгоритма, следуя которому, можно решить большое количество задач на нахождение угла между прямыми, заданными точками на ребрах многогранника. Условия задач по теме и примеры их решения. Упражнения для решения подобного рода задач.
практическая работа [1,5 M], добавлен 15.12.2013История интегрального и дифференциального исчисления. Приложения определенного интеграла к решению некоторых задач механики и физики. Моменты и центры масс плоских кривых, теорема Гульдена. Дифференциальные уравнения. Примеры решения задач в MatLab.
реферат [323,3 K], добавлен 07.09.2009Изучение некоторых методов построения отрезков, равных произведению или отношению двух других отрезков, с помощью циркуля и линейки. Использование произвольно выбранного единичного отрезка, а также определение произведения и деления этих отрезков.
творческая работа [936,4 K], добавлен 04.09.2010Основные понятия математического моделирования, характеристика этапов создания моделей задач планирования производства и транспортных задач; аналитический и программный подходы к их решению. Симплекс-метод решения задач линейного программирования.
курсовая работа [2,2 M], добавлен 11.12.2011Методы решения задач с экономическим содержанием повышенного уровня сложности. Выявление структуры экономических задач на проценты. Вывод формул для решения задач на равные размеры выплат. Решение задач на сокращение остатка на одну долю от целого.
курсовая работа [488,3 K], добавлен 22.05.2022Постановка начально-краевых задач фильтрации суспензии с нового кинетического уравнения при учете динамических факторов различных режимов течения. Построение алгоритмов решения задач, составление программ расчетов, получение численных результатов на ЭВМ.
диссертация [1,1 M], добавлен 19.06.2015Общее понятие вектора и векторного пространства, их свойства и дополнительные структуры. Графический метод в решении задачи линейного программирования, его особенности и область применения. Примеры решения экономических задач графическим способом.
курсовая работа [1,2 M], добавлен 14.11.2010
